四川省成都市双流区双流棠湖中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题

四川省成都市双流区双流棠湖中学2020-2021学年高二上学
期10月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是
A ．
11
a b
>
B ．ln()0a b ->
C ．21a b -<
D ．11()()3
2
a
b
<
2．不等式2x 1
0x 3+≤-的解集为( )
A ．1
{x |x 3}2-≤≤
B ．1
{x |x 3}2-
<< C ．1
{x |x 3}2
-≤<
D ．1
{x |x 2
≤或x 3}≥
3．若变量x,y 满足约束条件{x +2y ≥0,
x −y ≤0,x −2y +2≥0, 则z =2x −y 的最小值等于 （ ）
A ．−5
2
B ．−2
C ．−3
2
D ．2
4．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．x －2y ＋7＝0 C ．x －2y －5＝0
D ．2x ＋y －5＝0
5．已知()1,2A 、()3,4B --、()2,C m ，若A 、B 、C 三点共线，则(m = ) A ．
52
B ．3
C ．
72
D ．4
6．下列说法正确的是（ ）
A ．若两个平面和第三个平面都垂直，则这两个平面平行
B ．若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
C ．若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行
D ．若两条平行直线中的一条和一个平面平行，则另一条也和这个平面平行 7．已知直线310x y -+=的倾斜角为α，则21
sin2cos 2αα+= A ．
25
B ．15
-
C ．14
D ．120-
8．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（ ）
A ．1：3
B ．1：4
C ．1：5
D ．1：6
9．函数()log 11(0,1)a y x a a =-+>≠，图象恒过定点A ，若点A 在一次函数
y mx n =+的图象上，其中0m >，0.n >则12m n
+的最小值是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
10．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )
A ．
2
π B ． C ． D ．
3
π 11．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很
可以转化为平面上点()M x,y 与点()N a,b 的距离.结合上述观点，可得
()f x =( )
A ．
B ．
C ．
D ．12．在三棱锥—P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，2,30APC S ABC ∆=∠=︒，则三棱锥
—P ABC 的外接球体积的最小值为 ( )
A ．4π
B ．
43
π C ．64π D ．
323
π
二、填空题
13．直线10x +=的倾斜角为_________． 14．直线(1)210a x y a --++=恒过定点_____．
15．对于任意实数x ，不等式210ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围是___ .
16．已知,a b 为正数，若直线220ax by +-=被圆224x y +=截得的弦长为
____________.
三、解答题
17．已知三角形的三个顶点()2,0A -，()4,4B -，()0,2C ，
()1求AC 边所在直线方程；
()2求线段BC 的中垂线所在直线方程．
18．已知圆x 2+y 2=8内有一点P 0（-1，2），AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦.
（1）当α=
34
π
时，求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 0平分时，写出直线AB 的方程(用直线方程的一般式表示)． 19．已知函数()12
(0)f x x a x
=-
+>． ()1判断函数()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论； ()2若()20f x x +≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围．
20．关于x 的不等式2(2)20()ax a x a R +--≥∈的解集为(,1][2,)-∞-+∞. （1）求a 的值；
（2）若关于x 的不等式()()2
320x c a x c c a -+++<解集是集合A ，不等式
(2)(1)0x x -+>的解集是集合B ，若A B ⊆，求实数c 的取值范围.
21．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧
，D 是AC 的中点.
（1）求证：1//B C 平面1A BD ； （2）求二面角1A BD A --的大小；
（3）求直线1AB 与平面1A BD 所成角的正弦值. 22．已知圆O ：222x y +=，直线l ：2y kx =-．
()1若直线l 与圆O 交于不同的两点A 、B ，当AOB ∠为锐角时，求k 的取值范围； ()2若1
2
k =
，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，则直线CD 是否过定点？若是，求出定点，并说明理由．
()3若EF 、GH 为圆O 的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M ⎛ ⎝⎭
，求四边形EGFH 的面积的最大值．
参考答案
1．D 【解析】 【分析】
由22log log a b >可得0a b >>，故0a b ->，据此逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】
由22log log a b >可得0a b >>，故0a b ->，逐一考查所给的选项： A .
11a b
<； B .0a b ->，()ln a b -的符号不能确定； C .21a b ->；
D .111322a a b
⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查对数函数的性质，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．C 【分析】
将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可． 【详解】
不等式等价为()()2130
30x x x +-≤⎧-≠⎨⎩
，
得1
3
23
x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≠⎩，即132x -≤<，
即不等式的解集为1
{|3}2
x x -≤<， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查分式不等式的求解，将其转化为一元二次不等式是解决本题的关键．
【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【详解】
解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0
x −y ≤0x −2y +2≥0 作出可行域如图，
由图可知，最优解为A ，
联立{x +2y =0x −2y +2=0 ，解得A （﹣1，1
2）．
∴z ＝2x ﹣y 的最小值为2×（﹣1）−1
2=−5
2． 故选A ．
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 4．B 【分析】
利用平行直线系方程的知识，设所求直线方程是：x －2y ＋c ＝0，直线又过点（-1，3），将点坐标代入方程求出c ，即可得到所求直线方程. 【详解】
设直线方程式是：x －2y ＋c ＝0 因为直线过点(－1,3) 所以-1-6+c=0，解得c=7 故所求直线方程是：x －2y ＋7＝0
【点睛】
本题考察平行直线的求法，当直线方程式是一般式时，可以利用两直线平行的条件：
111
222
A B C A B C =≠ 设出直线方程求解.注：已知直线:0l Ax BY C ++=，求与其平行或垂直的直线时，记住以下结论，可避免讨论： (1)与l 平行的直线可设为：10Ax BY C ++=； (2)与l 垂直的直线方程可设为：20Bx AY C -+= 5．C 【解析】 【分析】
A 、
B 、
C 三点共线，可得AC BC k k =，利用斜率计算公式即可得出．
【详解】 解：
A 、
B 、
C 三点共线，
AC BC k k ∴=，242123m m -+∴
=-+，解得7
2
m =． 故选C ． 【点睛】
本题考查了三点共线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．C 【分析】
举出特例，即可说明错误选项． 【详解】
正方体过同一顶点的三个平面可以两两互相垂直，所以A 错误；
圆锥的两条母线与底面形成的夹角相等，但是两条母线相交，所以B 错误；
若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则该平面内有两条相交直线与另一个平面平行，所以这两个平面平行，故C 正确；
另一条直线可能在这个平面内，结论不成立，故D 错误； 综上选C.
本题考查了空间几何体中点、线、面的位置关系，特殊形式下的结论判断，属于基础题． 7．A 【解析】
分析：根据直线的斜率得到tan α的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式把
21
sin 2cos 2
αα+化为关于tan α的关系式即可. 详解：由题设有tan 3α=，
22
22
1sin cos cos sin 2cos 2cos sin ααααααα++=+ 2tan 142
1tan 105
αα+=
==+.
故选A.
点睛：一般地，直线的斜率k 和倾斜角α之间的关系式tan ,0,
,22k ππααπ⎡⎫⎛⎤
=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
，注意当2
π
α=
时，斜率是不存在的.对于三角函数式的求值问题，我们往往从次数的差
异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 8．A 【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】
解：由题意可知：几何体被平面ABCD 平面分为上下两部分，
设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：
1
21222
⨯⨯⨯=； 下部为：22226⨯⨯-=，截去部分与剩余部分体积的比为：13
． 故选A ． 【点睛】
本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力. 9．C 【分析】
令对数的真数等于1，求得,x y 的值，可得函数的图象恒过定点A 的坐标，根据点A 在一次函数y mx n =+的图象上，可得12m n =+，再利用基本不等式求得12
m n
+的最小值． 【详解】
解：对于函数()log 11(0,1)a y x a a =-+>≠，令11x -=，求得2x =，1y =，可得函数的图象恒过定点()2,1A ，
若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0.n >则有12m n =+，
则
122424448m n m n n m m n m n m n +++=+=++≥+=， 当且仅当4n m
m n
=时，取等号， 故
12
m n
+的最小值是8， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，以及基本不等式的应用，属于中档题． 10．A 【分析】
由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】
设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．
平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，
在△A 2BM 中，22
A B BM a =
==，，
22
A M a ==，
222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做． 11．C 【分析】
化简得()f x =()M x,0与点
()N 2,4-，()H 1,3--的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．
【详解】
()f x =
=
表示平面上点()M x,0与点()N 2,4-，()H 1,3--的距离和， 连接NH ，与x 轴交于()M x,0， 由题得044310
,,2217
MN MH k k x x -+=∴=∴=-+-+， 所以10M ,07⎛⎫-
⎪⎝⎭
， ()
f x ∴
=
故选C ．
本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键． 12．D 【分析】
设AC x =，由APC ∆的面积为2，得4
PA x
=，进而得到ABC ∆外接圆的半径r x =和O 到平面ABC 的距离为12
2d PA x
=⋅=，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解. 【详解】
如图所示，设AC x =，由APC ∆的面积为2，得4
PA x
=， 因为030ABC ∠=，ABC ∆外接圆的半径r x =，
因为PA ⊥平面ABC ，且4PA x =， 所以O 到平面ABC 的距离为12
2d PA x
=⋅=，
设球O 的半径为R ，则2R =
=≥=，
当且仅当x =
所以三棱锥P ABC -的外接球的体积的最小值为3
43223
3
π
π⨯=
，故选D.
【点睛】
本题主要考查了有关球与棱锥的组合体问题，以及球的性质的应用和球的体积公式，其中解答中正确认识组合体的结构特征，合理应用球的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 13．030 【解析】
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角 【详解】
10x +=，则33
y x =
+
，斜率为3
则tan 3
α=
，解得30α=︒ 故答案为30 【点睛】
本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题 14．(2,3)- 【分析】
直线方程即a （x+2）+（﹣x ﹣y+1）=0，一定经过x+2=0和﹣x ﹣y+1=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标． 【详解】
直线（a ﹣1）x ﹣y+2a+1=0 即 a （x+2）+（﹣x ﹣y+1）=0， 根据a 的任意性可得20
10x x y +=⎧⎨
--+=⎩
，解得x=﹣2，y=3，
∴当a 取不同的实数时，直线（a ﹣1）x ﹣y+2a+1=0恒过一个定点，这个定点的坐标是（﹣2，3）．
故答案为（﹣2，3）． 【点睛】
本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线 k （ax+by+c ）+（mx+ny+p ）=0 表示过ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点的一组相交直线，但不包括ax+by+c=0这一条． 15．(4,0]- 【分析】
分0a =与0a ≠讨论即可得结论. 【详解】
当0a =时，有10-<显然成立，当0a ≠时，则0
0a <⎧⎨<⎩
，解得40a -<<，
综上40a -<≤，故答案为(4,0]- 【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立的问题，考查了二次函数的图象的应用，属于基础题.
16．
8
【分析】
由题意可知圆的圆心坐标为(0,0)，半径r =2
1=，据
此整理计算可得t ==结合二次函数的性质确定其最大值即可. 【详解】
圆的圆心坐标为(0,0)，半径r =2，
由直线被圆截取的弦长为
1=，
2244,a b t ∴+====
则34a =
时,t =8
.
故答案为
8
． 【点睛】
本题主要考查等价转化的数学思想，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．（1）20x y -+=（2）2370x y --= 【解析】 【分析】
⑴可通过A C 、两点坐标以及直线的截距式方程即可求出AC 边所在直线方程；
⑵首先可通过B C 、两点坐标计算出BC 中点坐标，然后通过直线BC 的斜率计算出线段BC 的中垂线斜率，最后通过直线的点斜式方程即可得出结果。

【详解】
⑴由()20A -，
、()02C ，知直线AC 所在直线方程为122
x y
+=-，即20x y -+=； ⑵由()44B -，
、()02C ，可知BC 中点为()21，-， 又因为32BC k =-，所以线段BC 的中垂线斜率为2
3
， 所以线段BC 的中垂线所在直线方程为()2
123
y x +=-，即2370x y --=。

【点睛】
本题考查的是直线的相关性质，主要考查的是直线的截距式方程、直线的点斜式方程、两直线垂直的相关性质，考查计算能力，考查对直线的基础性质的理解，是简单题。

18
．（1（2）x －2y ＋5＝0 【分析】
(1)先求出直线AB 的方程,再利用垂径定理求解即可.
(2) 当弦AB 被点P 0平分时利用0OP AB ⊥得出AB 的斜率,再用点斜式求解化简成一般方程即可. 【详解】
（1）过点O 做OG ⊥AB 于G ,连结OA ,当α=135°时,直线AB 的斜率为-1,
故直线AB 的方程x+y -1=0, ∴OG
=,
∵r = 2
OA ===
∴ ||2AB OA ==
（2）当弦AB 被点P 0平分时,OP 0⊥AB , 直线OP 0的斜率为－2,所以直线AB 的斜率为1
2
．根据直线的点斜式方程,直线AB 的方程为1
2(1)2
y x -=+,即x －2y ＋5＝0． 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系,常用垂径定理与斜率关系等,属于中等题型. 19．（1）见证明；（2）()1,0[4
-∞⋃，)+∞ 【解析】 【分析】
()1根据函数的单调性的定义证明即可；()2不等式()20f x x +≥在()0,+∞上恒成立，化
简整理可得
21
2x x a
+≥在()0,+∞上恒成立，根据基本不等式求出左边的最小值为4，由此即可得到实数a 的取值范围． 【详解】
()()1f x 在()0,+∞递减，
证明如下： 设120x x <<，
则()()()21121212
212120x x f x f x a x a x x x --=-++-
=>， 故()f x 在()0,+∞递增；
()()220f x x +≥在()0,+∞上恒成立，
即
21
20x x a
+-≥在()0,+∞上恒成立， 整理得：21
2x x a
+≥，
根据基本不等式，得
224x x +≥=， ∴不等式
()21
20,x x a +≥+∞上恒成立， 即14a ≥，解之得0a <或14
a ≥．
综上所述，得a 的取值范围为()1
,0[4
-∞⋃，)+∞． 【点睛】
本题给出含有参数的函数，讨论不等式恒成立并求不等式的解集，着重考查了函数恒成立的问题、基本不等式求最值和一元二次不等式的解集等知识．对于恒成立求参的问题，常见的方法有：变量分离，转化为函数的最值问题. 20．（1）1a =；（2）1
[,1]2
c ∈-. 【详解】
试题分析：（1）根据题意可知0a >，且不等式对应方程的两个实数根为1-和2，由此可求
a 的值；
（2）
1a =，
原等式可转化为()()2
31210x c x c c -+++<，即()()210x c x c ---<， ∴对应方程的根为122,1x c x c ==+，下面分当1c >时，当1c <时，当1c =时三种情况讨
论，结合A B ⊆，可求实数c 的取值范围 试题解析：
（1）根据题意关于x 的不等式()()2
20ax a x x a R +--≥∈的解集为
][(),12,,0a -∞-⋃+∞∴>，又由题意可知不等式对应方程的两个实数根为1-和2，
2
2a
∴=，解得1a =. （2）
1a =，原等式可转化为()()2
31210x c x c c -+++<，
即()()210x c x c ---<，
∴对应方程的根为122,1x c x c ==+
①当1c >时，21,c c >+∴不等式的解集是()()1,2,1,2A c c B =+=-.
22,1,,11,2,1,1,c c A B c c c c c ≤≤⎧⎧⎪⎪
⊆∴+≥-⇒≥⇒∈⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩
∅
②当1c <时，()()21,2,1,1,2c c A c c B <+∴=+=-.
1,21,21,12,1,121,1,
c c A B c c c c c ⎧≥-⎪≥-⎧⎪⎪
⊆∴+≤⇒≤⇒-≤<⎨⎨⎪⎪<<⎩⎪
⎩
.
③当1c =时，A =∅，满足A B ⊆.
综合上述，1,12c ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
. 21．（1）详见解析；（2）3π；（3
）7
. 【详解】 试题分析：
(1)设1AB 与1A B 相交于点P ，由1//PD B C 即可证得1//B C 平面1A BD . (2)利用题意找到二面角的平面角为
3
π
； (3)利用(2)中的结论找到线面角，计算可得直线1AB 与平面1A BD
所成角的正弦值为7
. 试题解析：（1）设1AB 与1A B 相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，
D 为AC 中点，1//PD B C ∴.
又
PD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD
1//B C ∴平面1A BD .
（2）正三棱柱111ABC A B C -，1AA ∴⊥底面ABC .
又
BD AC ⊥，1A D BD ∴⊥，
1A DA ∴∠就是二面角1A BD A --的平面角.
1=3AA 1
12AD AC =
=
，11tan A A A DA AD
∴∠==13
A DA π
∴∠=
，即二面角1A BD A --的大小是
3
π
. （3）由（2）作1AM A D ⊥，M 为垂足.
BD AC ⊥，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， BD ∴⊥平面11A ACC ，
AM ⊂平面11A ACC ，BD AM ∴⊥.
1A D BD D ⋂=，AM ∴⊥平面1A DB ，
连接MP ，则APM ∠就是直线1AB 与平面1A BD 所成的角.
13AA =，1AD =，∴在1Rt AA D ∆中，13
A DA π
∠=
，
1sin60AM ∴=⨯︒=
，112AP AB ==. sin AM
APM AP ∴∠==
7=.
∴直线1AB 与平面1A BD
所成的角的正弦值为7
.
（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.） 22．（1
）1k <<-
或1k <<（2）直线CD 恒过定点1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．详见解析（3）52
【分析】
(1)首先可以设出A B 、两点坐标，然后联立圆与直线方程并得出1212x x x x +⋅、的值，最后根据0>以及0OA OB ⋅
>即可得出结果；
(2)首先将1
2
k =
带入直线方程得出直线的解析式，然后设出P 点坐标并写出以OP 为直径的圆的方程，最后将其与圆O 方程联立即可得出直线CD 的方程并根据直线CD 的方程得出定点坐标；
(3)首先可以设圆心O 到直线EF GH 、的距离分别为1d 、2d ，然后通过勾股定理即可得出
2212d d +的值，再然后写出EF 与GH ，通过1
2
S EF GH =
即可求出四边形EGFH 的面积的最大值． 【详解】
(1)根据题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，
将2y kx =-代入22
2x y +=，整理得到：(
)2
2
1420k
x
kx +-+=，
则有(
)2
2
16810k k =-+>，解可得：2
1k
>，
而1212
22
42
,11k x x x x k k +=
⋅=++， AOB ∠为锐角121200OA OB x x y y ⇔⋅>⇔+>，
又由(
)
()2
2
121212122
6212401k x x y y k x x k x x k
-+=+-++=>+， 解可得：23k <，
又由21k >，则213k <<，
解可得：1k <<-或1k <<
(2)12k =
时，直线l 的方程为：1
22y x =-， 设122
P a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则以OP 为直径的圆的方程为()1202x x a y y a ⎛⎫
-+-
+= ⎪⎝⎭
， 即2
2
1202x y ax a y ⎛
⎫
+-+-
= ⎪⎝⎭
，将其和圆O ：222x y +=联立，消去平方项得：12202ax a y ⎛
⎫---= ⎪⎝
⎭，即为直线CD 的方程，
将其化为()12202
a x y y ⎛⎫+
-+= ⎪⎝
⎭知该直线恒过定点112，⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
故直线CD 恒过定点112，
⎛⎫- ⎪⎝⎭
； (3)设圆心O 到直线EF 、GH 的距离分别为1d 、2d ， 则2
2
2
123||2
d d OM +==
，
所以EF ==GH ==
所以22
121
35
2242
22
S EF GH d
d =
=≤-+-=-
=，
当且仅当22
1222d d -=-即 122
d d ==
时，取“=”， 所以四边形EGFH 的面积的最大值为52
． 【点睛】
本题考查圆的相关性质，主要考查圆与直线相交、圆的切线、相交圆的公共弦方程的相关性质，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，体现了基础性和综合性，是难题．。