解析目标分流法在汽车多学科设计优化中的应用

解析目标分流法在汽车多学科设计优化中的应用
赵迁;陈潇凯;林逸
【摘要】在阐述分解协调策略和研究ATC方法计算流程基础上,利用基于二次罚函数的ATC方法对某发动机燃烧室进行多学科设计优化(MDO)研究.考虑几何和热力学两个学科,很好地解决了学科问复杂耦合带来的计算困难,计算结果与不分解优化的结果非常接近,验证了该方法在汽车设计中的有效性.同时研究了步长对优化结果的影响,发现随着步长加大,误差变大,计算成本变低.
【期刊名称】《汽车技术》
【年(卷),期】2010(000)006
【总页数】5页(P25-28,55)
【关键词】解析目标分流法;多学科设计优化;分解协调策略
【作者】赵迁;陈潇凯;林逸
【作者单位】北京理工大学;北京理工大学;北京理工大学;北京汽车研究总院
【正文语种】中文
【中图分类】U462
1 前言
对汽车厂商来说，汽车设计过程总是包含专门学科小组间强烈的协作，例如碰撞与安全、NVH和计算流体动力学。

传统的串行设计优化方法忽视了学科间的相互作用，只片面强调某个学科的重要性，设计优化时以该学科最优为目的，所以它只能
得到局部最优解而非全局最优，且其设计周期长、成本高。

多学科设计优化（Multidisciplinary Design Optimization,MDO）是一种通过充分探索和利用系统中相互作用的协同机制来设计复杂系统和子系统的方法论。

利用MDO方法，能够综合考虑多个学科对汽车整体性能的影响并充分利用学科之间的相互作用来获取整体最优解，这能够充分提高汽车的性能和汽车设计开发的整体水平。

国内外对MDO的研究主要集中在航空航天领域，故在汽车设计领域开展MDO 研究具有十分重要的意义。

MDO方法的开发和改进是MDO领域内最重要、最活跃的研究内容，其中解析目标分流（Analytical Target Cascading,ATC）方法是一种比较新的有严格收敛证明的多级MDO方法[1，2]。

本文将ATC方法应用到某发动机燃烧室设计优化中，验证该方法在汽车设计中的有效性。

2 汽车多学科设计优化
2.1 MDO方法
MDO方法与传统意义上的寻优算法是不同的。

传统寻优算法属于优化理论的研究领域，而MDO方法是从设计问题本身入手，从设计计算结构、信息组织的角度来研究问题，是在具体寻优算法的基础上提出一套设计计算框架（或称作MDO 方法），该计算框架将设计对象各学科的知识与这些具体的寻优算法结合起来，形成一套有效地解决复杂对象的优化求解方法。

MDO方法通常可分为单级方法和多级方法两类。

多级优化方法用到了分解协调策略，即将系统优化问题分解为多个子系统（学科）的优化协调问题，对各个学科子系统分别进行优化，并通过某种机制进行协调。

分解的优点在于可以实现并行设计而压缩设计周期，充分利用多处理器及分布式的软、硬件，这些正是当今计算机技术的发展方向。

常用的多级MDO方法主要有并行子空间优化方法（Concurrent Subspace Optimization,CSSO）[3]、协同优化方法（Collaborative Optimization,CO）
[4]、两级集成系统综合方法（Bi-Level Integrated System Synthesis,BLISS）[5]和 ATC 方法。

2.2 分解协调策略
2.2.1 系统分解
汽车的设计开发是一个高度复杂的过程，从产品概念设计阶段开始，经过产品详细设计阶段到用于制造的最终设计阶段。

分解是将一个复杂系统分割成较小的子系统，并且确定它们之间的相互作用。

对于同一个复杂系统可以有不同的分解方式。

例如汽车可以按属性分解为人机工程、车辆动力学、车辆NVH、车辆被动安全性和经
济技术性等；也可以按部件分解为车身系统、底盘系统、传动系统以及电气装置等。

分解后的子系统是层次型或非层次型的，如图1所示的汽车分解示例，它们通常
通过少量的耦合设计变量相互联系，因此必须执行系统协调以保证所有的耦合变量收敛。

对非层次系统，所有的子系统在同一层次通过耦合变量互相联系。

对层次系统，上面层次的每个子系统可能分解成下面层次的一组它的子系统，相同层次的子系统可能共享一些共同变量，协调通常不是通过相同层相互交换数据，而是通过与它们上面层次的系统交换数据实现。

图1 汽车分解示例
2.2.2 系统协调
子问题通过共同的设计变量和分析上的相互作用联系在一起。

子问题的求解必须考虑这些联系，使得各个子问题最优解的集合仍然是整个系统的最优解，这个工作叫做协调。

执行基于分解的设计优化需要完成两个重要的初步步骤。

首先，必须定义系统分解；其次，必须建立协调子问题求解的策略。

制定分解和协调策略可以看作是最优化系统设计的前处理步骤。

图2阐明了这些初步步骤[6]，最初没有分解的系统如图2a 所示，顶点表示系统的部件或跟系统设计相关的分析，连接这些顶点的边表示不同
部件或分析之间的相互作用。

第一步确定每个部件应该属于哪个子问题，完成这一步的结果是如图2b所示的系统分解。

分解完成后，必须设计协调策略。

协调策略中一个重要的方面是子问题的求解顺序，如图2c所示。

图2 执行基于分解的设计优化的过程
3 ATC方法理论
3.1 初始系统设计问题的数学模型
采用Tosserams的符号记法[7]，像汽车这样的大规模复杂工程系统的设计优化可以用公式（1）表示。

将其作为一个单独的优化问题直接求解的计算成本非常大，因此必须将该问题分解为多级上多个单元的优化问题。

式中，z为所有的设计变量；f为整体目标函数；g和h分别是不等式和等式约束。

3.2 ATC方法的术语和公式
假设问题（1）有包含N层M个单元的层次型结构（如图3所示的ATC指标符号的示例[7]）。

下面出现的量，指标ij表示与i层上单元j有关的量，i=1、…、N，j=1、…、M。

图3 设计问题层次型分解的指标符号示例
每一个单元有局部变量xij，并且单元通过目标变量 tij耦合，所以 z=[x11，…，xNM，t22,…,tNM]。

进一步假设目标函数是通过单元加法可分的，即
f=f11+…+fNM，并且约束也是通过单元可分的，即g=g11+…+gNM、
h=h11+…+hNM。

为了使每一个单元问题都是可分的，从而能够独立求解，引入响应复制rij和如公式（2）所示的一致性约束，强迫响应复制匹配最初的目标，
并且一致性约束用罚函数π松弛并添加到目标函数上。

对于一般的罚函数π，考虑设计变量的子集，从而得到如下所示的每个单元问题
pij的公式：
式中，[xij，rij，t（i+1）k，…t（i+1）kcij]，xij 为 i层上单元 j的局部变量；tij 为i层上单元j跟i-1层上它的父单元共享的目标变量；εi为i层上单元的集合，Cij={k1，…，kcij}为i层上单元j的子单元的集合；cij为i层上单元j的子单元的数量；fij为i层上单元j的局部目标，gij和hij分别为不等式和等式约束。

3.3 ATC方法的计算流程
根据ATC的计算过程和信息传递，pij的信息流可以用图4表示。

由于罚函数π的存在，单元问题一般是耦合的。

通过不可分的罚函数，保持了单元问题间的一致性，因此必须定义协调策略解决耦合的单元问题。

3.4 基于二次罚函数的ATC公式
使用二次罚函数的一致性松弛函数用下式表示：
式中，wij为权重，°符号表示Hadamard乘积。

当二次罚函数的权重取有限值时，不能得到精确解，因此罚参数在迭代求解过程中用下式更新：
式中，β为步长；上标k为迭代次数。

图4 ATC单元问题的信息流
4 发动机燃烧室设计优化算例
选取了某内燃机燃烧室（图5）设计优化问题[8，9]验证ATC方法解决汽车设计优化问题的有效性。

图5 燃烧室示意
4.1 数学模型
单级设计公式表示如下：
式中，f是最小化负比功率，这等价于最大化单位发动机排量的有效功率这个初始目标；b为气缸内径；cr为压缩比；dE为排气门直径；dI为进气门直径；w为峰值功率时的转速；F MEP为摩擦平均有效压力；ηt为热效率；ηv为容积效率；ρ
为进气密度；Af为空燃比；Cs为气道流通系数；Sv为面容比；Q为燃料低热值；Nc为缸数；V为容积；P0～P4是为了简化上面的表达式（目标函数和约束）而
定义的几个参数；g1为最小缸径壁厚约束；g2为最大发动机高度约速；g3为气
门几何和结构约束；g4为最小气门直径比约束；g5为最大气门直径比约束；g6
为最大马赫数约束；g7为敲缸极限压缩比约束；g8为最大液力变矩器转速约束；g9为部分负载下最小的燃油经济性约束；参数值 Ki（i=0、1、…、12）和 Li
（i=1、2）见 Papalambros的论文[8]。

设计变量 x=[b，dI，dE，cr，w]的下
界为[70，25，25，6，5],上界为[90，50，50，12，12]。

不分解（All-in-one）优化的最优解 x*=[83.33，37.3391，30.9915，9.4501，6.0709]，最优目标函
数值为 f*=-55.6425 kW/mm3。

4.2 ATC方法
为了将该问题描述为MDO问题，定义几何（geometry）和热力学（thermodynamics）两个学科。

分解后，原本简单的问题转化为两个学科相互
耦合的复杂问题。

联系变量为b和dI，没有响应变量，几何学科的局部变量为dE，热力学学科的局部变量为cr和w。

接下来用ATC方法解决该问题，两个学科的数学模型分别用式（7）和式（8）表示。

由于两个问题存在耦合，因此必须进行协调。

系统级问题P0是一个无约束最小化问题，其数学模型可以用式（9）表示。

注意到P0除了最小化目标函数外，同时
还为联系变量和子系统局部变量设置目标，这与纯粹的ATC方法不同，原因是目
标f不能按要求被几何和热力学子系统分解来分析从而使子系统单独确定局部变量的值。

以上3式中，wi为罚参数，上标g表示在几何学科中计算的量，上标t表示在热
力学学科中计算的量，上标0表示在系统级中计算的量。

4.3 计算结果与分析
取几个不同的初始点进行计算，发现对结果影响很小，所以下面以初始点x=[82，39，34，8.42，5]为例，研究步长对优化结果的影响。

收敛准则为系统级和学科
级问题计算得到的联系变量值之间差异的最大值不得大于某个值ε。

表1所示为ε=0.0001，初始罚参数w′取1，步长β分别取1.2、1.4、1.6和2
时的优化结果。

从表1可以看出，这4种情况都能较快收敛，并且目标函数值和
最优解接近初始问题的结果。

随着步长加大，迭代次数变少，但误差变大，当取2时已与最优解差别较大。

这是因为随着迭代求解的进行，罚参数过大导致了数值求解困难。

因此，为了节省计算成本又能得到较好的结果，建议步长最好取1和2
之间的某个值。

表1 ATC优化结果步长β最优解x* 迭代次数
5 结束语
通过发动机燃烧室设计优化算例的计算结果，验证了解析目标分流法在汽车设计中的有效性，并且是一种计算精度较高、收敛速度快的方法。

迭代计算时用来更新罚参数的步长对计算结果影响较大，一般来说步长越大计算成本越少，但误差变大。

实际应用中建议步长在[1，2]区间内选择，并且需要在计算成本和计算精度上有权
衡。

本文采用的算例比较简单，可以用不分解方法直接求解。

而ATC方法在求解多个学科相互耦合的复杂MDO问题时才能体现出优越性，且还需要在实际的大规模复杂工程问题中进行应用、检验及进一步完善。

参考文献
【相关文献】
1 Kim H M,Michelena N F,Papalambros P Y,et al.Target cascading in optimal system design.ASME Journal of Mechanical Design,2003,125（3）：475～480.
2 Michelena N F,Park H,Papalambros P Y.Convergence properties of analytical target cascading.AIAA Journal,2003,41（5）：897～905.
3 Sobieszczanski-Sobieski J.Optimization by decomposition：a step from hierarchic to non-hierarchic systems.In Proceedings of the 2nd NASA/Air Force Symposium on Recent Advancesin MultidisciplinaryAnalysisand Optimization,Hampton VA,1988.
4 Braun R D,Moore A A,Kroo I M.Collaborative approach to launch vehicle design.Journal of Spacecraft and rockets,1997,34（4）：478～486.
5 Sobieszczanski-Sobieski J,Agte J S,Sandusky Jr R R.Bilevel Integrated System Synthesis.AIAA Journal,2000,38（1）：164～172.
6 Allison J T.Optimal partitioning and coordination decisions in decomposition-based design optimization.Michigan：University of Michigan,2008.
7 Tosserams S,Etman L F P,Rooda J E.An augmented Lagrangian decomposition method for analytical target cascading using the alternating direction method of multipliers.Struct Multidisc Optim,2007,31（3）：176～189.
8 Papalambros P Y,Wagner T C.Optimal Engine Design Using Nonlinear Programming and the Engine Assessment Model.Ford Motor Company Scientific Research
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9 McAllister C D,Simpson T W.Multidisciplinary Robust Design Optimization of an Internal Combustion Engine.Transactions of the ASME,2003,125：124～130.。