中考数学考点总动员系列 专题07 整式方程(组)及应用(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

考点七：整式方程（组）及应用 聚焦考点☆温习理解
一、一元一次方程的概念
1、方程 含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。

1、一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式
)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式2
22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a
ac b b x 4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

四、二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程.
2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法
（1）代入法（2）加减法
6、三元一次方程
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

7、三元一次方程组
由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。

名师点睛☆典例分类
考点典例一、一元一次方程
【例1】（2017某某某某第17题）解方程：432(1)x x -=-．
【答案】x=12
.
考点：解一元一次方程.
【点睛】按照步骤去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可
【举一反三】
1.（2017某某某某一模）解方程11132
x --=，去分母正确的是（ ） A. 111x --= B. 2331x -+= C. 2336x -+= D. 2316x --=
【答案】C
【解析】 等式的两边同时乘以公分母6后去分母．解：在原方程的两边同时乘以6，得2-3（x-1）=6；故选C ．
2.若代数式x ﹣5与2x ﹣1的值相等，则x 的值是．
【答案】﹣4．
【解析】
试题分析：根据题意得：x ﹣5=2x ﹣1，解得：x =﹣4，故答案为：﹣4．
考点：解一元一次方程．
考点典例二、一元一次方程的应用
【例2】（2017某某某某二模）中国CBA 篮球常规赛比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，
负1场得1分，今年某队在全部38场比赛中最少得到70分，那么这个队今年胜的场次是（）
A. 6场
B. 31场
C. 32场
D. 35场
【答案】C
【解析】设胜了x场，由题意得：
2x+（38﹣x）=70，
解得x=32．
答：这个队今年胜的场次是32场．
故选C
【点晴】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，本题根据“全部38场比赛中最少得到70分”，等量关系：列出方程解答即可.
【举一反三】
1.闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为（）
A．60﹣x=20%（120+x）B．60+x=20%×120
C．180﹣x=20%（60+x）D．60﹣x=20%×120
【答案】A．
【解析】
试题分析：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：60﹣x=20%（120+x）．故选A．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
20，则这件衣服的进价2. （2017某某乌鲁木齐第13题）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利00
是元．
【答案】100.
【解析】
试题解析：设进价是x元，则（1+20%）x=200×0.6，
解得：x=100．
则这件衬衣的进价是100元．
考点：一元一次方程的应用．
考点典例三、一元二次方程
【例3】解方程：
（1）2（x+1）2=8；
（2）x2+2x+1=8（配方法）；（3）2x2﹣3x﹣1=0 （公式法）；（4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0．
【答案】（1）x1=1，x2=﹣3；（2）
1122
x=-+，
2122
x=--；（3）
13+7 4
x=，
237
4
x
-
=；（4）
15 6
y=，
2
7 18
y=；（4）x1=x2=3．
试题解析：（1）2（x+1）2=8，
（x+1）2=4，
x+1=±2，
x=﹣1±2，
∴x1=1，x2=﹣3；
（2）x2+2x+1=8，
（x+1）2=8，
x+1=22
±，
∴x1=-1+2x2=-1-22
（3）2x2﹣3x﹣1=0，
a=2，b=﹣3，c=﹣1，
△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17＞0，
x=
317
22
--±
⨯
（）
=
317
4
±
，
∴x1=317
+
，x2=
317
-
；
（4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2，
64（3y﹣2）2﹣9（2y﹣3）2=0，
[8（3y﹣2）+3（2y﹣3）][8（3y﹣2）﹣3（2y﹣3）]=0，（30y﹣25）（18y﹣7）=0，
解得，y1=5
6
，y2=
7
18
；
（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0，
[（x﹣1）﹣2]2=0，
（x﹣3）2=0，
∴x﹣3=0，
得x1=x2=3．
【点睛】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．观察方程的特征，选择适当的方法解方程即可.
【举一反三】
1.一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方后可变形为（）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
【答案】C.
【解析】
试题分析：x2﹣6x﹣5=0，把方程的常数项移到右边得，x2﹣6x=5，方程两边都加上32得，x2﹣6x+9=5+9，所以（x﹣3）2=14，故答案选C.
考点：解一元二次方程.
2.解方程：x2+4x﹣1=0．
【答案】x1=﹣2+5，x2=﹣2﹣5．
【解析】
试题分析：移项可得x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
试题解析：
x2+4x﹣1=0
x2+4x=1
x2+4x+4=1+4
（x+2）2=5
x=﹣2±5
x1=﹣2+5，x2=﹣2﹣5．
考点：解一元二次方程.
考点典例四、一元二次方程的应用
【例4】（2017某某某某第7题）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
【答案】C．
【解析】
考点：一元二次方程的应用．
【点睛】根据增长率问题由1月份的销售额是2万元就可以表示出2月的快递总件数为2（1+x），则3月的快递总件数为2（1+x）2，列出方程求解即可.
【举一反三】
1.随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2
【答案】C.
【解析】
试题分析：设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得方程20（1+x）2=28.8．故答案选C．
考点：一元二次方程的应用.
2. （2017某某庆阳第9题）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）
A．（32-2x）（20-x）=570B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-x）（20-x）=32×20-570D．32x+2×20x-2x2=570
【答案】A．
【解析】
试题解析：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，
故选A．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
考点典例五、二元一次方程组
【例5】. （2017某某某某第6题）二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+236
y x
y x 的解是（ ）
A. ⎩⎨⎧==15
y x B. ⎩⎨⎧==24
y x C. ⎩⎨⎧-=-=1
5y x D.
【答案】B ．
【解析】
试题解析： ①﹣②得到y=2，把y=2代入①得到x=4，
∴
故选B ．
考点：解二元一次方程组.
【点睛】观察方程组方程的特点，选择适当的方法解方程组即可．
【举一反三】
1. （2017某某某某第6题）若二元一次方程组3,
354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,
,x a y b =⎧⎨=
⎩则a b -=（
）
A ．1
B ．3
C ．1
4- D ．7
4
【答案】D.
【解析】
试题解析：∵x+y=3，3x-5y=4，
∴两式相加可得：（x+y ）+（3x-5y ）=3+4，
∴4x -4y=7，
∴x -y=7
4，
∵x=a ，y=b ，
∴a -b=x-y=7
4
故选D.
考点：二元一次方程组的解.
2.已知x ，y 满足方程组，求代数式（x ﹣y ）2
﹣（x+2y ）（x ﹣2y ）的值． 【答案】原式=
5
3. 【解析】 试题分析：解方程组的求得x 与y 的值，把代数式化简后代入计算即可求出值．
试题解析：原式=x 2﹣2xy+y 2﹣x 2+4y 2=﹣2xy+5y 2
，
， ①+②得：3x=﹣3，即x=﹣1，
把x=﹣1代入①得：y=
51， 则原式=52+51=5
3． 考点：二元一次方程组的解法；整式的化简求值.
考点典例六、二元一次方程组的应用
【例6】（2017某某乌鲁木齐第18题）我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？
【答案】笼中鸡有23只，兔有12只．
【解析】
考点：二元一次方程组的应用．
【点睛】设这个笼中的鸡有x 只，兔有y 只，根据“从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿”列出
方程组，解方程组即可．
【举一反三】
1. （2017某某某某第15题）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分
100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x ，y 人，则可以列方程组．
【答案】13+=1003x+y=100x y ⎧⎪⎨⎪⎩
【解析】
试题解析：设大、小和尚各有x ，y 人，则可以列方程组：
13+=1003x+y=100x y ⎧⎪⎨⎪⎩
． 考点：由实际问题抽象出二元一次方程组.
2.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需分钟．
【答案】40．
考点：二元一次方程组的应用．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．（2017某某某某一模）对于实数a 、b ，规定a ⊕b=a-2b ，若4⊕ (x-3)=2,则x 的值为（ ）
A. -2
B. 12-
C. 52
D. 4 【答案】D
【解析】 试题分析：根据新规定a ⊕b=a-2b ，把4⊕ (x-3)=2直接代入可得4-2（x-3）=2，解方程可得x=4. 故选：D
2. （2017某某某某卷）“珍爱生命，拒绝毒品”，学校举行的2017年禁毒知识竞赛共有60道题，曾浩同学答对了x 道题，答错了y 道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A. 60{ 74x y x y +=-=
B. 60{ 74
x y y x +=-= C. 60{ 74x y x y =-=- D. 60{ 74
y x y x =-=- 【答案】A
【解析】
解：由题意可得，60{ 74
x y x y +=-=，故选A ． 点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．
3.（2015某某）一个等腰三角形的两条边长分别是方程2
7100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A ．12
B ．9
C ．13
D ．12或9
【答案】A ．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．
4.已知关于x 的方程230x x a ++=有一个根为-2，则另一个根为
A ．5
B ．－1
C ．2
D ．－5
【答案】B.
【解析】
试题分析：设方程的里一个根为b ，根据一元二次方程根与系数的关系可得-2+b=-3，解得b=-1，故答案选
B.
考点：一元二次方程根与系数的关系.
5.（某某某某）方程2x －y ＝1和2x ＋y ＝7的公共解是（ ）
A. 0
{ 1x y ==- B. C. 1
{ 5x y == D. 2
{ 3x y ==
【答案】D
【解析】
试题分析：此题要求公共解，实质上是解二元一次方程组21{ 27
x y x y -=+=． 解： 21{ 27x y x y -=+=①
②，
①+②得：
4x=8，
x=2，
把x=2代入②得：y=3，
∴
2
{
3
x
y
=
=
．
故选：D．
考点：解二元一次方程组．
6.（2017某某某某期末）三元一次方程组的解为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解方程组得C.
二．填空题
7.（2017某某某某一模）某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%，若按标价打七折出售，可获利______%。

【答案】40
【解析】设按标价打七折出售，设可获利x，再设成本为a元，根据题意，得，解得：x=0.4=40%，即按标价打七折出售，可获利40%；故答案是40。

.设甲种票买了x X，乙种票买了y X，依据题意，可列方程组为.
【答案】
36, 3020860
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
.
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组.
9.某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为．
【答案】10（1+x）2=13．
【解析】
试题分析：设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据“十一月份加工量=九月份加工量×（1+月平均增长率）2”，可列方程为：10（1+x）2=13.
考点：一元二次方程的应用.
10.（2017某某静安二模）如果实数x满足（x+1
x
）2﹣（x+
1
x
）﹣2=0，那么x+
1
x
的值是_____．
【答案】2
【解析】设
1
x y
x
+=,则原方程可变形为y2−y-2=0，
解得y1=−1,y2=2，
当y1=−1时,
1
1 x
x
+=-，
∵△=b2−4ac<0 ∴此方程无解，
当y2=2时,
1
2 x
x
+=，
∵△=b2−4ac=0, ∴此方程有解，
∴
1
2 x
x
+=；
故答案为：2.
11.(2017某某某某)方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是_____．【答案】x1=3，x2=9
【解析】（x﹣3）（x﹣9）=0，
x﹣3=0，x﹣9=0，
x1=3，x2=9，
故答案为：x1=3，x2=9.
12.（2017某某某某卷）已知实数m 满足满足2310m m -+=，则代数式的值等于______．
【答案】9．
【解析】解：∵2310m m -+=，∴231m m =-，∴=1931312
m m -+-+ =193131
m m -++=2911931m m -++=291831m m ++=()9311831m m -++=()93131m m ++=9．故答案为：9． 点睛：此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出231m m =-．
三．解答题
13.（2017某某某某中考模拟）解方程：3(x －5)＝7x －1 【答案】72x =-
【解析】
试题分析：方程去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．
试题解析：
3(x －5)＝7x －1
3x-15=7x-1
3x-7x=-1+15
-4x=14 x=72
- 14.（2017某某某某）解方程组：5{
2311x y x y +=+= 【答案】4
{ 1x y ==.
【解析】
试题分析：用加减消元法进行求解即可.
试题解析：5{ 2311x y x y +=+=①
② ，
①×3，得：3x+3y ＝15③，
③-②，得x＝4，
把x=4代入①，得，4+y=5，∴y=1，
∴
4
{
1
x
y
=
=
.
15. （2017某某贵港第23题）某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格.
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
【答案】91) 甲队胜了8场，则负了2场；(2) 乙队在初赛阶段至少要胜5场．
【解析】
试题分析：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．
试题解析：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：
2x+10﹣x=18，
解得：x=8，
则10﹣x=2，
答：甲队胜了8场，则负了2场；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：
2a+（10﹣a）≥15，
解得：a≥5，
答：乙队在初赛阶段至少要胜5场．
考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
16.（2017某某呼和浩特第20题）某专卖店有A，B两种商品．已知在打折前，买60件A商品和30件B 商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？
【答案】打了八折．
【解析】
试题分析：设打折前A 商品的单价为x 元/件、B 商品的单价为y 元/件，根据“买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出x 、y 的值，再算出打折前购买500件A 商品和450件B 商品所需钱数，结合少花钱数即可求出折扣率．
试题解析：设打折前A 商品的单价为x 元/件、B 商品的单价为y 元/件，
根据题意得：603010805010840x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，解得：164x y =⎧⎨=⎩
，500×16+450×4=9800（元）， 980019609800
- =0.8． 答：打了八折．
考点：二元一次方程组的应用．
17. （2017某某滨州期末）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠着长为25米的墙，
另外三边用木栏围成，木栏长40米.问养鸡场的面积能达到220平方米吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由.
【答案】养鸡场的面积不能达到220平方米
【解析】
18.（2017某某某某）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？
（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？
【答案】（1）该市举办方应邀请6支球队参赛；
（2）该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分。

【解析】⑴设该市举办方应邀请x 支球队参赛
依题意得，()130x x -=
解方程得，()
126,5x x ==-不合题意，舍去
（2）()104234120--⨯+⨯+⨯=16
答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分。