福建省泉州一中、莆田二中、仙游一中2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

福建省泉州一中、莆田二中、仙游一中2020-2021学年高一
下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i 是虚数单位，复数z 满足()i 1i z +=，则z 的虚部是（ ）. A ．
12 B ．1i 2-
C ．1i 2
D ．12
-
2．已知向量(1,2),(0,2),(1,)a b c λ==-=-，若(2)//a b c -，则实数λ的值为（ ） A ．13
-
B ．3-
C ．
13
D ．3
3．已知m ，n 为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（ ）
A ．,//m n m n αα⊥⇒⊥
B ．//,n n ββαα⊥⇒⊥
C ．//,m n m n ββ⊥⇒⊥
D ．//,//m n m n αα⊂⇒
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =b =1
cos 3
C =，则ABC 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D 5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为（ ）
A B π C ．
D ．83
π
6．如图，已知等边ABC 与等边ABD △所在平面成锐二面角
3
π
，E ，
F 分别为AB ，AD 中点，则异面直线EF 与CD 所成角的余弦值为（ ）
A B C D 7．已知ABC 中，2AB =，1AC =，1AB AC ⋅=，O 为ABC 所在平面内一点，且230OA OB OC ++=，则AO BC ⋅的值为（ ） A ．4- B ．1- C ．1 D ．4
8．已知在菱形ABCD 中，AB BD ==，将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，得到
三棱锥A BCD -，且使得棱AC =则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．7π B ．14π
C ．28π
D ．35π
二、多选题 9．若复数z 满足1
z i
i z -=+，则（ ）
A ．1z i =+
B ．
z =C ．z 在复平面内对应的点位于第四象限
D ．2z 为纯虚数
10．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．12
33
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅>
D ．4S =
11．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，
14,2AB BC BB ===，E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A ．1D
B CE ⊥
B ．三棱锥D CEF -的体积为
83
C ．若P 是棱11C
D 上一点，且11D P =，则
E 、C 、P 、
F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面为五边形
12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即
S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）
．现
有ABC 满足sin :sin :sin A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）
A ．ABC 的周长为10+
B ．AB
C 的三个内角满足2A B C +=
C ．ABC
D ．ABC 的中线CD 的长为
三、填空题
13．已知单位向量a 与b 的夹角为
4
π
，则2a b +=___________． 14．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式
cos sin ix e x i x =+，
这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：1i e π+=___________.
15．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且22cos b c a B +=，8a =，
ABC 的面积为b c +的值为______．
四、双空题
16．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面ABC ，
AD PB ⊥，垂足为D ，DE PC ⊥，垂足为E ，若2PA AC ==，则
PE
EC
=__________，三棱锥P ADE -体积的最大值是__________.
五、解答题
17．已知向量()3,1a =-，5b =，5a b ⋅=-，()1c xa x b =+-． （1）若a c ⊥，求实数x 的值；
（2）当c 取最小值时，求b 与c 的夹角的余弦值．
18．在矩形ABCD 中，24AB AD ==，E 是AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，得到如图所示的四棱锥-P BCDE ．
（1）若平面PDE ⊥平面BCDE ，求四棱锥-P BCDE 的体积； （2）若PB PC =，求证：平面PDE ⊥平面BCDE ．
19．在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2
cos 222
C
C -=，③
()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解
决该问题.
已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B =，2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .
20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．
（1）求证：BM //平面P AD ．
（2）平面P AD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．
21．某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效机制，把文明城市创建不断引向深入．近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域ABCDE （如图所示），其中三角形区域ABE 为健身休闲区，四边形区域BCDE 为文娱活动区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知60=︒∠BAE ，120BCD ∠=︒，
33DE BC CD ===．
（1）求道路BE 的长度；
（2）求道路AB ，AE 长度之和的最大值．
22．如图所示，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，1AB =，
2AD =，ADC 60∠=，1AF =，M 是线段EF 的中点.
（1）求证：AC BF ⊥；
（2）求直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；
（3）设点P 为一动点，若点P 从M 出发，沿棱按照→→M E C 的路线运动到点C ，求这一过程中形成的三棱锥P BFD -的体积的最小值.
参考答案
1．A 【分析】
直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：因为()i 1i z += 所以(1)1111(1)(1)222
i i i i z i i i i -+=
===+++-， 则z 的虚部为：1
2
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题． 2．B 【分析】
用向量共线的坐标运算求解. 【详解】
由题意得，2(2,4)a =，2(2,6)a b -=， 又(2)a b c -∥，(1,)c λ=-，则260λ+=， 解得3λ=-． 故选:B . 3．C 【分析】
ABD 项均可举出反例，C 项可用线面垂直的判定定理说明 【详解】
A. ,//m n m α⊥，则n 也可在平面α内，故选项A 不正确.
B. //,n ββα⊥，则n 也可在平面α内, 故选项B 不正确.
C. //,m n m n ββ⊥⇒⊥成立
两平行线,m n ，m ⊥平面β，m 必垂直于β内的两条相交直线，
则n 必定垂直于β内那两条相交直线，故n β⊥, 故C 正确. D. //,m n αα⊂，则,m n 也可是异面直线的关系. 故选项D 不正确. 故选：C 4．C 【分析】
先利用同角三角函数关系求sin C ，再根据面积公式求ABC
S .
【详解】 解：因为1
cos 3
C =
，0C π<<，
所以sin 3
C ==
因为a =b =
所以11sin 223
ABC
S
ab C ==⨯=， 故选：C 【点睛】
本题考查利用同角三角函数关系求角的正弦值、利用三角形面积公式求面积，是基础题. 5．A 【分析】
由题意可得该几何体的体积与圆锥相同，结合圆锥侧面展开图的特征可求得圆锥的母线与底面半径的长度，进而可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可得解． 【详解】
由题意可知，该几何体的体积等于圆锥的体积， ∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， ∴圆锥的底面周长为
23
23
ππ⨯=， ∴圆锥的底面半径为1，母线长为3，
∴=
∴圆锥的体积V
圆锥
21133
π=⨯⨯⨯=．
从而所求几何体的体积为V =． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了数学文化与圆锥体积的求法，考查了圆锥侧面展开图的特征，正确理解题意是解题的关键，属于基础题． 6．C 【分析】
连接CE ，DE ，根据面面角可得DC ，再利用余弦定理即可求解. 【详解】
连接CE ，DE ，等边ABC 与等边ABD △所在平面成锐二面角3
π
，
可得3
DEC π
∠=
，
设等边ABC 与等边ABD △的边长为a ，
则DE CE ==
，即DEC 为等边三角形，
所以2
DC =
， 因为E ，F 分别为AB ，AD 中点，
所以//EF BD ，异面直线EF 与CD 所成角即为,BD CD 所成的角，
在BCD △
中，2
22
cos a a BDC ⎫+-⎪∠==故选：C 7．B 【分析】
取AB AC 、为基底，把AO BC 、都用AB AC 、表示，再计算AO BC ⋅. 【详解】
()
2231111231612AC A AO B A B AC AB AB AC C B AC ⋅-=-⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
-⋅=
【点睛】 向量运算的技巧:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行运算. 8．C 【分析】
设外接球的球心为O ，等边三角形BCD 的中心为O '，取BD 的中点F ，证得BD ⊥平面
AFC ，在平面AFC 中，过点A 作CF 的垂线，与CF 的延长线交于点E ，证得AE ⊥平
面BCD ，得到四边形O EGO '是矩形，设外接球的半径为R ，根据222OO O B OB ''+=和222OA AG GO =+，求得球的半径R ，结合表面积公式，即可求解.
【详解】
由题意可知ABD △，BCD △为等边三角形，如图所示， 设外接球的球心为O ，等边三角形BCD 的中心为O '， 取BD 的中点F ，连接AF ，CF ，OO '，OB ，O B '，OA ， 由
AB AD BC BD DC ====，可得AF BD ⊥，CF BD ⊥， 又因为AF CF F ⋂=，所以BD ⊥平面AFC ，
且可求得3AF CF ==，而AC =120AFC ∠=︒， 在平面AFC 中，过点A 作CF 的垂线，与CF 的延长线交于点E ，
由BD ⊥平面AFC ，可得BD AE ⊥，
又由AE EC ⊥，BD EC F ⋂=，所以AE ⊥平面BCD ， 过点O 作OG AE ⊥于点G ，则四边形O EGO '是矩形， 又因为2
sin 6023
O B BC '=︒⨯
=，
所以112O F O B ''=
=，sin 60AE AF =︒=，3sin 302EF AF =︒=. 设外接球的半径为R ，OO x '=，则由222OO O B OB ''+=，222OA AG GO =+，
可得2222x R +=，2
2
2
3122x R ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，解得x =27R =， 故三棱锥A BCD -外接球的表面积2428==ππS R . 故选：C .
【点睛】
解答多面体与球的组合体内接与外接问题的策略：
（1）几何体的外接球和内切球问题，其解题关键在于确定球心在几何体中的位置，找到球的半径或直径与几何体相关元素之间的关系，结合原有几何体的特征求出球的半径.常见的方法是将几何体还原到正方体或长方体中去求解.
（2）球的截面问题，需理解两个基本性质：球的任何一个截面都是圆面，球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面，然后利用性质解三角形求出球的半径. 9．BD 【分析】 由
1
z i
i z -=+，求得1z i =-+，结合共轭复数的概念，复数的模及几何意义，复数的运算，逐
项判定，即可求解. 【详解】 由
1z i
i z -=+，可得()()()
2121111i i i z i i i i ⋅+===-+--+， 所以1z i =--，所以A 不正确；
由z ==
，所以B 正确；
由z 在复平面内对应点为()1,1-，位于第二象限，所以C 不正确；
由()2
2
12z i i =-+=-，则2z 为纯虚数，所以D 正确．
故选：BD 10．BD 【分析】
利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】
由20PA PC +=，2QA QB =，
可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：
对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()
2212
3333
BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；
对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，1
32
ABC
S AB h =
=，即6AB h =， 则APQ 的面积12122
26423233
APQ
S AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】
本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题 11．BCD 【分析】
连接DE ， 1D E ，根据勾股定理，可证DE EC ⊥，根据线面垂直的判定定理，可证CE ⊥平面1DD E ，即1CE D E ⊥，因为111D E D B D ⋂=，即可判断A 的正误；利用等体积法，即可求得三棱锥D CEF -的体积，即可判断B 的正误；取11C D 中点G ，则P 为1D G 中点，连接FP ，CP ，1AG ，则可证FP EC ，根据两平行线可确定一个平面，即可判断C 的正
误；作EH
CP ，交1AA 于H ，则可证E 、H 、P 、C 在同一平面内，即可得E 、C 、P 、
F 、H 在同一平面内，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】
连接DE ， 1D E ，如图所示，
因为E 为AB 的中点，所以EB=BC =2，
所以CE =DE CE ==DC =4，
所以222DE EC DC +=，即DE EC ⊥， 又因为1DD ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，
所以1DD CE ⊥，
所以CE ⊥平面1DD E ，即1CE D E ⊥， 又111D E D B D ⋂=，即1D E 与1D B 不平行， 所以CE 不垂直1D B ，故A 错误；
由等体积法可得：三棱锥D CEF -的体积118
422323
D CEF F CED V V --==⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；
作出P ，使11D P =，取11C D 中点G ，则P 为1D G 中点，连接FP ，CP ，1AG ， 因为F ，P 分别为11A D ，1D G 中点， 所以1
FP
AG ， 又11A D G CBE ≌，且11A D BC ，1D G
EB
所以1
AG EC ，所以FP
EC ，
所以E 、C 、P 、F 四点共面，故C 正确；
由选项C 可得E 、C 、P 、F 四点共面，平面CEF 即为平面CEFP ， 作EH
CP ，交1AA 于H ，如图所示：
所以E 、H 、P 、C 在同一平面内，即H 点在平面ECP 内， 所以E 、C 、P 、F 、H 在同一平面内，
所以平面CEF 截该长方体所得的截面为五边形，故D 正确.
故选：BCD 【点睛】
解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理、性质定理并灵活应用，证明四点共面时，常用两平行线可以确定一个平面，两相交线可以确定一个平面，考查学生对基础知识的掌握程度，属中档题. 12．AB 【分析】
对于选项A ，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长； 对于选项B ，根据余弦定理可求得cos C 的值为
1
2，可得3
C π=，可得ABC ∆三个内角A ，C ，B 成等差数列；
对于选项C ，由正弦定理可得，ABC 外接圆直径2sin sin sin a b c
R A B C
===；根据cos B 可求得sin B ，由
sin b
B
可得2R 的值； 对于选项D ，由余弦定理得cos B ，在BCD △中，由余弦定理即可求得CD . 【详解】
A 项：设ABC 的内角A 、
B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c ，
因为sin :sin :sin A B C =，所以由正弦定理可得::a b c =2a t =，
3b t =，()0c t =>，因为ABC S =△，所以
解得2t =，则4a =，6b =，c =ABC 的周长为10+A 正确；
B 项：因为2221636281
cos 22462
a b c C ab +-+-===⨯⨯，
所以3
C π
=
，223
3
A B C π
π
π+=-
=
=，故B 正确；
C 项：因为3
C π
=
，所以sin C =
，由正弦定理得2sin 3c R C ===
R =
C 错误；
D 项：由余弦定理得222cos
2a c b B ac +-===
BCD △中4BC =，
BD 2cos
14B =
=，解得CD =D 错误. 故选：AB ．
13【分析】
根据公式2
a a =和向量的数量积，代入计算即可． 【详解】
解：因为单位向量a 与b 的夹角为4π，所以1a b ==，cos 42
a b a b π⋅==，
因此2
2
222212a b b a b a +=++⋅=++=．
14．0 【分析】
由已知公式可直接计算. 【详解】
cos sin ix e x i x =+，
1cos sin 11010i e i πππ∴+=++=-++=.
故答案为：0.
15．【分析】
由22cos b c a B +=，根据余弦定理，求得得222b c a bc +-=-，得到1
cos 2
A =-
，根据
因为ABC 的面积为16bc =，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】
由题意，在ABC 中，22cos b c a B +=，
根据余弦定理，可得222
222a c b b c a ac +-+=⨯，整理得222b c a bc +-=-，
可得2221
cos 22b c a A bc +-==-，因为(0,)A π∈，可得23
A π=
，
又因为ABC 的面积为11sin 222
bc A bc =⨯=16bc =， 又由8a =，根据余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，
即22
22222642cos
()()163
b c bc b c bc b c bc b c π
=+-=++=+-=+-，
所以2()80b c +=，可得b c +=
故答案为：【点睛】
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 16．3 3
4
【分析】
由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，进一步得到
PE
EC
的值；证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值． 【详解】
由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA
AB A =，
BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，
PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．
在Rt PAC △中，由2PA AC ==，得4PC =．
由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则212
34
PA PE PC ===， 431EC PC PE ∴=-=-=，
∴
3PE
EC
=；
由3PE =，PA =23AE =，
又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅， 即3
2
AD DE
⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）． ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是111133332
322
4
AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．
故答案为：3；3
4
． 【点睛】
解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理
17．（1）13
x =；（2．
【分析】
（1）利用平面向量垂直表示可得出关于x 的等式，进而可求得实数x 的值；
（2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得c 的值，可求出x 的值，进一步可求出b c ⋅的值，利用平面向量数量积可求得b 与c 的夹角的余弦值． 【详解】
（1）由已知条件可得()2
2
23110a =+-=，
()1c xa x b =+-，则
()()()2
21110511550c a xa x b a x a x a b x x x ⎡⎤⋅=+-⋅=+-⋅=--=-=⎣⎦
， 解得1
3
x =
； （2）()()()2
2
2
2
2
2
1211c c xa x b xa x x a b x b ⎡⎤==+-=+-⋅+-⎣⎦
()()()22
22101015125205521x x x x x x x =--+-=-+=-+.
当2
5
x =
时，c 取最小值1. 2355c a b =
+，则()22
323235515
55555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，
因此，1cos ,5
51b c b c b c
⋅<>==
=⨯⋅. 【点睛】
方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得cos ,a b a b a b
⋅<>=⋅，其中两向量,a b <>的取值
范围是[]0,π；
（2）坐标法：若非零向量
11,a
x y 、22,b
x y ，则cos ,a b <>=
.
18．（1）（2）证明见解析． 【分析】
（1）先证明线面垂直得锥体的高，再求体积. （2）先证线面垂直，再由线面垂直推出面面垂直. 【详解】
（1）如图所示，取DE 的中点M ，连接PM ， 由题意知，PD PE =，PM D E ∴⊥， 又平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE
平面BCDE DE =，PM ⊂平面PDE ，
PM ∴⊥平面BCDE ，即PM 为四棱锥-P BCDE 的高．
在等腰Rt PDE 中，2PE PD AD ===，1
2
PM DE ∴=
= 而梯形BCDE 的面积11
()(24)2622
S BE CD BC =+⨯=⨯+⨯=，
∴四棱锥-P BCDE 的体积1
1633
V PM S =⨯⨯==
（2）取BC 的中点N ，连接PN 、MN ，则BC MN ⊥，
PB PC =，BC PN ∴⊥， MN
PN N =，MN 、PN ⊂平面PMN ，BC ∴⊥平面PMN ，
PM ⊂平面PMN ，BC PM ∴⊥，
由（1）知，PM DE ⊥，
又BC 、DE ⊂平面BCDE ，且BC 与DE 是相交的，PM ∴⊥平面BCDE ，
PM ⊂平面PDE ，
∴平面PDE ⊥平面BCDE ．
19．选择见解析；π
6
C =
，1S =【分析】
选择条件①由正弦定理可得1
sin 2
C =
，求出角C,利用面积公式1
sin 2
ABC
S ab C =
求解； 选择条件②
由二倍角的余弦公式化简即可求解cos C =
，三角形面积解法同①； 选择条件③由正弦定理及余弦定理可求出cos C ，三角形面积解法同①. 【详解】
选①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=， 因为sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，
所以由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B A A B C A B +=， 即2sin sin 4sin sin sin B A C A B =，所以1sin 2
C =， 因为()0,πC ∈，所以π6
C =或5π
6C =. 若5π6C =
，由sin sin A B =， 而π6A <，π6B <，从而1
sin sin 4
A B <，矛盾，舍去.
故π6
C =
， 接下来求△ABC 的面积S .
法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得
2
24
πsin sin 6
c R C =
==， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R B B ==，
16sin sin 4(1ab A B ∴==，
111sin 4(11222
ABC S ab C ∴==⨯+⨯=. 法二：由（1
）得cos C =
，即cos cos sin sin A B A B -=
sin sin A B =
，cos cos A B ∴=， 1cos()cos cos sin sin 2
A B A B A B ∴-=+=， 5π5π(,)66A B -∈-，π3A B ∴-=或π3
B A -=， 当π3A B -=时，又5π6A B +=，7π12A ∴=，π4B =，
由正弦定理得π
2sin
sin 4πsin sin 6c B b C ===
117π1sin 2sin 122122ABC S bc A ∴==⨯=+=+△ 当π3
B A -=
时，同理可得1ABC S = 故△ABC
的面积为1选
②2cos 222
C C -+，
因为2
cos 222C C -+，
所以22cos 1cos )20C C --=
，即22cos 30C C -=，
(2cos 0C C =，
所以cos C =
或cos C =， 因为()0,πC ∈，所以π6
C =
. 以下同解法同①， 选
③()sin sin sin a A b B c C +=，
由()sin sin sin a A b B c C +=
及正弦定理得()22
a a
b
c +=，
即222a b c +-=，
由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==， 0πC <<，
π6
C ∴=， 以下解法同①.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.
20．（1）证明见解析；（2）存在；N 为AE 的中点．
【分析】
（1）取PD 的中点E ，连接EM ，AE ，由中位线性质可证ABME 是平行四边形，根据线面平行的判定可证BM ∥平面P AD ．
（2）由线面垂直的判定及性质可得PD ⊥平面ABME ，作MN ⊥BE ，交AE 于点N ，由线面垂直的性质得MN ⊥PD ，即有MN ⊥平面PBD ，利用△BME ∽△MEN 得到线段比例关系证N 为AE 的中点.
【详解】
（1）证明：取PD 的中点E ，连接EM ，AE ，则有//EM CD 且12EM CD =
，而//AB CD 且12
AB CD =， ∴//AB EM ，AB EM =.
∴四边形ABME 是平行四边形，即BM ∥AE ．
∵AE ⊂平面P AD ，BM ⊄平面P AD ，
∴BM ∥平面P AD ．
（2）解：当N 为AE 的中点时，MN ⊥平面PBD ．理由如下：
∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，
∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，即AB ⊥平面P AD ，
∵PD ⊂平面P AD ，
∴AB ⊥PD ，又P A ＝AD ，E 是PD 的中点，即AE ⊥PD ，而AB ∩AE ＝A ，
∴PD ⊥平面ABME ．
作MN ⊥BE ，交AE 于点N ，
∴MN ⊥PD ，又PD ∩BE ＝E ，
∴MN ⊥平面PBD ．
易知△BME ∽△MEN ，而1BM EM AB ===，
∴BM EM EM EN =，即2EM EN BM ==AE =， ∴N 为AE 的中点．
【点睛】
关键点点睛：
（1）由中位线性质证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行；
（2）综合应用线面垂直的判定及性质证MN ⊥平面PBD ，结合三角形相似确定N 的位置. 21．（1）2km ；（2）4km ．
【分析】
（1）连接BD ，利用余弦定理求得1BD =，利用正弦定理可求得sin BED ∠，进而可求得30BED ∠=︒，90BDE ∠=︒，即可解出BE ；
（2）设ABE α∠=，由正弦定理可得sin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE
==∠∠∠，用α表示出AB ，AE ，
则可得4sin(30)AB AE α+=+︒，即可求得当60α=︒时AB AE +取得最大值． 【详解】
（1）如图，连接BD ，在BCD △
中，由余弦定理得
22222cos1203BD BC CD BC CD ⎛=+-⋅︒= ⎝
⎭22121332⎛⎛⎛⎫+-⨯⨯-= ⎪ ⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，所以1BD =，
因为BC CD =，所以180120302
CDB CBD ︒-︒∠=∠==︒， 又90EBC ∠=︒，所以60EBD ∠=︒，在EBD 中，1BD =
，DE 60EBD ∠=︒，
1sin BED
=∠， 所以1sin 2BED ∠=
，30BED ∠=︒或150︒（舍去）， 所以30BED ∠=︒，90BDE ∠=︒，得2BE =，即BE 的长度是2km ．
（2）设ABE α∠=，因为60=︒∠BAE ，所以120AEB α∠=︒-，
在ABE △中，由正弦定理得sin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE
==∠∠∠，
因为2sin sin 60BE BAE ==∠︒，
所以()120AB α=︒-
，AE α=，
所以()12033
AB AE αα+=︒-+ ()4sin 30α=+︒，
因为0120α︒<<︒，所以3030150α︒<+︒<︒，
所以当3090α+︒=︒，即60α=︒时，
AB AE +取得最大值4km ，即道路AB ，AE 长度之和的最大值为4km ．
22．（1）证明见解析；（2；（3. 【分析】
（1）利用余弦定理求出AC ，利用勾股定理可得出AB AC ⊥，由已知可得出AF AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面ABF ，由此可得出AC BF ⊥；
（2）设点A 在平面BDF 内的射影为点O ，连接DO ，可得出ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，利用等体积法计算出AO ，可求得sin ADO ∠，再利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；
（3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，
推导出//FN CM ，可得出//CM 平面BDF ，结合图形可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，可得
()min P BFD C BFD F BCD V V V ---==，利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
（1）在平行四边形ABCD 中，ADC 60∠=，1CD AB ==，2AD =，
由余弦定理可得2222cos 3AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，AC ∴=
2BC AD ==，222AB AC BC ∴+=，90BAC ∴∠=，AB AC ∴⊥，
因为四边形ACEF 为矩形，则AF AC ⊥，
AB AF A =，AC ∴⊥平面ABF ，
BF ⊂平面ABF ，所以AC BF ⊥；
（2）在ABD △中，1AB =，2AD =，180120BAD ADC ∠=-∠=，
由余弦定理可得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，
AB AC ⊥，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD 平面ACEF AC =，AB
平面
ABCD ，AB ∴⊥平面ACEF ，
AF ⊂平面ACEF ，AB AF ∴⊥
，则BF =
AF AC ⊥，AB AC A ⋂=，AF ∴⊥平面ABCD ，
AD ⊂平面ABCD ，AD AF ∴⊥
，DF ∴，
222BF DF BD ∴+=，由勾股定理的逆定理知90BFD ∠=
，
12BDF S BF DF ∴=⋅=△， 设点A 在平面BFD 内的射影为O ，连接DO ，
则ADO ∠为直线AD 与平面BDF
所成角，122ABD ABC S S AB AC ==
⋅=△△， 由A BDF F ABD V V --=，可得1133
BDF ABD AO S AF S ⋅=⋅△△
，可得110ABD BDF AF S AO S ⋅===△△， 又2AD =
，1sin 10220
AO ADO AD ∠===
，cos 20
ADO ∴∠==， 因此，直线AD 与平面BDF
； （3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，
因为四边形ABCD 为平行四边形，且AC BD N ⋂=，则N 为AC 的中点，
//AC EF 且AC EF =，M 为EF 的中点，//CN FM ∴且CN FM =，
所以，四边形CMFN 为平行四边形，则//CM FN ，
FN ⊂平面BDF ，CM ⊄平面BDF ，//CM ∴平面BDF ，
由图可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，
()min 1121sin1201326P BFD C BFD F BCD V V V ---===⋅⋅⋅⋅⋅=. 【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h l
θ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.。