2020-2021初中数学向量的线性运算单元汇编含答案解析(1)

2020-2021初中数学向量的线性运算单元汇编含答案解析(1)
一、选择题
1．下列关于向量的运算中，正确的是
A ．a b b a -=-r r r r ；
B ．2()22a b a b --=-+r r r r ；
C ．()0a a +-=r r
；
D ．0a a +=r r
．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则进行计算. 【详解】
A. ()
,a b b a A ---v
v v v ＝所以错误；
B. (
)
222a b a b B ---v v
v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r
v v ＋＝，C 所以错误;
D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.
2．已知向量，且
则一定共线的三点是( )
A ．A 、
B 、D B ． A 、B 、C
C ．B 、C 、D
D ．A 、C 、D
【答案】A 【解析】 【分析】
证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】
解：由向量的加法原理知
所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】
本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.
3．如图，已知向量a r
，b r
，c r
,那么下列结论正确的是（ ）
A ．a b c +=r
r
r
B ．b c a +=r
r r
C ．a c b +=r
r r
D ．a c b +=-r r r
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r
， 即a c b +=-r r r 故选D ．
4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu
r +AC u u u r ）
的长度为（ ） A ．2 B ．4
C 31
D 31
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuu
r +AC u u u r ）的长度为
【详解】
22||3,||1||(3)122|||2|224
AB BC AC AC AB BC
AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u r
u u u r u u u r u u u r
Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：B. 【点睛】
考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.
5．计算45a a -+r r
的结果是（ ）
A ．a
B ．a r
C ．a -
D ．a -r
【答案】B 【解析】 【分析】
按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】
-4a+5a=a v v v ,
所以答案为B 选项 【点睛】
本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键
6．已知3a →
=，2b =r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．32a b →→
= B ．23a b →→
=
C ．32a b →→
=-
D ．23a b →→
=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
【详解】
∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反 ∴
32
a b =-v v 故选D. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
7．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是( )
A ．2a b =r r
B ．//a c r r ，//b c r r
C ．||||a b =r r
D ．12
a c =r r ，2
b
c =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】
A 选项：由2a b =r r ，可以推出//a b r
r ．本选项不符合题意；
B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b r
r ．本选项不符合题意；
C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r
r ．本选项符合题意；
D 选项：由12
a c =r r ，2
b
c =r r ，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．
8．若向量a r
与b r
均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．
A ．a b =r r
B ．1a =r
C ．1b =r
D ．a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
由向量a r
与b r
均为单位向量，可得向量a r
与b r
的模相等，但方向不确定． 【详解】
解：∵向量a r 与b r
均为单位向量，
∴向量a r 与b r
的模相等，
∴a b =r r
.
故答案是：D. 【点睛】
此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．
9．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+
C ．+-
D ．--
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图，
，则
-+
故选B ． 【点睛】
此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.
10．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=r
r r
B ．a b b a +=+r r
r
r
C ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行
D ．如果a b =r r ，那么a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】
A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；
B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r
，所以选项B 正确；
C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r
，所以选项C 正确；
D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r
方向不
同，则a b ≠r r
，所以D 选项错误.
故选D. 【点睛】
本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.
11．已知向量a r
和b r
都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）
A ．a b =r r
B ．2a b +=r r
C ．0a b -=r r
D ．a b =r
r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量a r
和b r
都是单位向量，，可知|a r
|＝|b r
|＝1，由此即可判断． 【详解】
解：A 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r
r
不一定成立，故本选项错误．
B 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=r r 不一定成立，故本选项错
误．
C 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=r
r
不一定成立，故本选项错误．
D 、向量a r
和b r
都是单位向量，则|a r
|＝|b r
|＝1，故本选项正确． 故选：D ．
【点睛】
本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键
12．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）
A ．||＝2||
B ．是与方向相同的单位向量
C ．2-＝
D ．∥
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．
故选D ． 【点睛】
考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．
13．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ）
A ．A
B B
C CA =+u u u r u u u r u u u r B ．AB BC AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC
=-u u u r u u u r u u u r D ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】
AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r
，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r
，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
，故D 选正确.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.
14．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r
表示正确的是（ ）
A ．34a r
B ．34a -r
C ．43a r
D ．43a -r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】
∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r
，
∴BA=
4
3
AC ， ∵BA u u u r 与AC u u u
r 方向相反， ∴BA u u u r =43
a -r ，
故选D. 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.
15．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r
表示b r 向量为（ ） A ．35b a =r r B ．53b a =r r C ．35b a =-r r D ．53
b a =-r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r
表示b r 向量.
【详解】
a r
=3，b r =5，
b r =53a r ,
b r 与a r
的方向相反, ∴5.3
b a =-r r
故选：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
16．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．a r //c r ，b r //c r
B ．1,22
a c
b
c ==r r r r
C ．2a b =r r
D ．a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r
，故本选项错误；
B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r
，故本选项错误.
C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r
，故本选项错误；
D.∵a b =r r ，∴a r 与b r 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．
17．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r
，下列说法中，不正确的是（ ）
A ．||2||a b =r r
； B ．a r ∥b r
；
C ．a r 与b r
方向相反； D ．20a b +=r r
．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量以及模的知识求解即可.
【详解】
A.∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴
||2||a b =r r
，该选项不符合题意错误；
B. ∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与b
r 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r
，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；
D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r
是两个矢量相加是带方向的，应该是
02b a →
→→
+=，该选项符合题意正确；
故选：D 【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本知识.
18．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v
是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．
A ．1a e a
=r r r ；
B ．e a a =r r r ；
C ．b e b =r r r ；
D ．11a b a b
=r r r r ．
【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】
解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
B 、符合向量的长度及方向，正确；
C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了向量的性质．
19．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r
可以用点P 的坐
标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r
＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2
＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r
互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r
＝（﹣3﹣1，1）
B ．OE uuu r ﹣1，1），OF uuu r
，1）
C ．OG u u u r 1
2
），OH u u u r ）2，8）
D ．OM u u u u r ），ON u u u r
2，
2
） 【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】
A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r
互相垂直，故本选项符合题意．
B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r
不垂直，故本选项不符合题意．
C ）2
+1
2
×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．
D 、由于（5+2）（5﹣2）+2
×2
2
＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.
20．点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r ，若AC mBC =u u u r u u u r
，则m 的值等于（ ）．
A ．
23
B ．
32
C ．23
-
D ．32
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知条件即可得：25AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得出：52
AB BC =-u u u r u u u
r ，再代入
35AC AB =u u u r u u u r
中，即可求出m 的值.
【详解】
解：∵点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r
∴25
AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
∴5522CB AB BC ==-u u u r u u u r u u u r
∴55322335BC B C A C A B ⎛⎫=- ⎝==-⎪⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r
故选D.
【点睛】
此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.。