2019高考理科数学二轮练习阶梯练习(含解析与解析)8

2019高考理科数学二轮练习阶梯练习（含解析与解析）8
(时间：40分钟总分值：60分) 1、点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .假设点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标、
解⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0 －11 2.
设A (a ，b )，那么由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，得⎩⎨⎧
－b ＝－3，
a ＋2
b ＝4.
所以⎩⎨⎧
a ＝－2，
b ＝3，
即A (－2,3)、
2、(2017·扬州调研测试)在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M .
解设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a b c d ， 那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，
即⎩⎨⎧ a ＋2b ＝7，
c ＋2
d ＝10，
2a ＝2，2c ＝4，
解得⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝3，
c ＝2，
d ＝4.
所以M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1
32 4. 3、(2017·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
1
1－1 1对应的变换作用下得
到的曲线C 1的方程、
解设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，
它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 1－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y )、 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎨⎧
x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x －y
2，y 0
＝x ＋y
2.
因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y
2＝1，即x 2－y 2＝4. 所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.
4、矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
1
22
x 的一个特征值为3，求其另一个特征值、
解矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4. 因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1，
由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1， 所以矩阵M 的另一个特征值为－1.
5、求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 11 2的特征值及对应的特征向量、
解特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－2 －1 －1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3. 由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.
将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎨⎧
－x －y ＝0，
－x －y ＝0
⇒x ＋y ＝0， 可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量、 同理，当λ2＝3时，由⎩⎨⎧
x －y ＝0，
－x ＋y ＝0
⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11为属于特征值λ2
＝3的一个特征向量、
综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 11 2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11. 6、在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1
a b
4对应的变换作
用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值、
解法一在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)、 A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′.
因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－2 －2b ， 所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)、 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，
所以⎩⎨⎧
－2－－2b －4＝0，－2a －－8－4＝0.
解得a ＝2，b ＝3.
法二设P (x ，y )为直线x ＋y ＋2＝0上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
1 a b
4对应的变
换作用下得到点Q (x ′，y ′)，
那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫
x ′y ′， 得⎩⎨⎧
x ＋ay ＝x ′，
bx ＋4y ＝y ′，解得⎩⎨⎧
x ＝－4x ′＋ay ′，
y ＝bx ′－y ′
ab －4.
因此－4x ′＋ay ′ab －4＋bx ′－y ′ab －4＋2＝0， 即(b －4)x ′＋(a －1)y ′＋(2ab －8)＝0.
因为直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0.所以b －41＝a －1
－1＝2ab －8
－4.解得a ＝2，b ＝3.。