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南京市金陵中学2018届高三综合
（按2018江苏新说明出题，给大家一个建议）
一，选择题（5分×12＝60分）
(1) 已知抛物线y 2＝2(x －2)的焦点为F ，点M 在抛物线上，若|MF |＝3，则点M 到y 轴的距离为 B
(A) 5 (B) 4．5 (C) 4 (D) 3．5 (2) 以下p 是q 的必要而不充分条件的是 A
(A) p ：x 2－1＝0，q ：x －1＝0 (B) p ：a ，b 都不是偶数，q ：a ＋b 不是偶数
(C) p ：ac 2＞bc 2，q ：a ＞b (D) p ：x 2≠y 2，q ：x ≠y 或x ≠－y (3)已知集合A ＝{x |log 12
(x ＋1)≥－2}，B ＝{x |x ＋2
x ≤0}，则A ⋂B 用区间来表示是 B
(A) [2，3] (B) (－1，0) (C) [－3，2] (D) (－∞，2]
(4) 设a ，b ，c ，d 是四条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下4个命题：
①α β＝a ，若b ⊂α且b ⊥a ，则b ⊥β；②α∥β，若a ⊂α，则a ∥β；③α⊥β，a ⊥α，则a ∥β；④与两条异面直线都相交的两直线不一定是异面直线．其中正确的是 B (A) ②③ (B)②④ (C)①③④ (D)②③④
(5)设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中，不正确的是 D (A)tan αtan β＜1 (B)sin α＋sin β＜ 2 (C)cos α＋cos β＞1 (D) 1
2tan(α＋β)＜tan(α＋β2)
(6)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 12＞0，S 13＜0，则 S 1a 1，S 2a 2，…，S 12
a 12
中最大的是 B (A)
S 1a 1 (B) S 6a 6 (C) S 7a 7 (D) S 12
a 12
(7) 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列各组的两个事件中是互斥而不是
对立事件的一组是 C
(A)至少有1个白球与都是白球 (B)至少有1个白球与至少有1个红球 (C)恰有1个白球与恰有2个白球 (D)至少有1个白球与都是红球
(8) 已知(1－2x )5的展开式的第r 项为t r ．若t 3≤t 2＜t 1，则x 的取值范围是 D (A) (－
110，＋∞) (B)[－14，＋∞) (C)[－14，0] (D)(－1
10
，0] (9) 已知 f (x ) 是定义在实数集R 上的偶函数，且f (x )＋f (x ＋2)＝2．若x ∈[0，2)时，f (x )
＝2－x ，则f (7.5)＝ C
(A) 0．5 (B) －0．5 (C) 1．5 (D) －1．5 (10) 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b
2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，点M 在双曲线上．若MF 1→·MF 2
→
＝0，且∠MF 1F 2＝30º，则双曲线的离心率是 D (A) 4＋2 3 (B) 3－1 (C)
3＋1
2
(D) 3＋1 二、填空题（4分×4＝16分）
(11)设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 同时满足以下三个条件：①x －4y ≤－3；②3x ＋5y ≤25；
③x ≥1.则z 的取值范围是__________. [3，12]
(12)若函数y ＝f (x )＝ax 3－bx 2＋cx 的图象过点A (1，4)，且当x ＝2时，y 有极值0，则f (－
1)＝——————. －36
(13) 若正三棱锥的各条棱长均为a ，则这个三棱锥的内切球半径为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.
6a 12
(14)在△ABC 中，给出以下四个命题：①若AB →·BC →
＞0，则△ABC 是钝角三角形；②若△
ABC 是A 为顶点的等腰三角形，则AB →·BC →＝AC →·BC →
；③△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·BC →＝0；④△ABC 为斜三角形的必要不充分条件是AB →·BC →
≠0．其中真命题是____________．(只须填出真命题的序号) ①④
15. 若指数函数()()x
f x a x
R =∈的部分对应值如下表：
则不等式1(|1|)0f x --<的解集为 。

()()0,11,2
16. P 、Q 是抛物线y=x 2
上顶点以外的两点，O 为坐标原点.∠POQ=
4
π
,直线1l 、2l 分别是过P 、Q 两点抛物线的切线.（Ⅰ）则1l 、2l 的交点M 点的轨迹方程是 ；（Ⅱ）若1l 、2l 分别交x 轴于A 、B 两点，则过△ABM 的垂心与点10,4⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
的直线方程是 ．22
1
4610(0),.4
x y y y y ---=≠=- 三、解答题:
(17) (本小题满分14分)已知sin(α－π4)＝－35，α∈[－π2， π2]，求cos(2α＋π
4
).
解 a ∈[－π2，π2]，∴－3π4≤a －π4≤π
4
．
由sin(α－π4)＝－35＞－22，知－π2＜α－π4＜0，∴cos(α－π4)＝4
5.
cos2α＝sin(π2－2a )＝－sin2(a －π4)＝－2sin(α－π4)cos(α－π4)＝24
25；
sin2α＝cos(π2－2a )＝cos(2α－π2)＝cos2(α－π4)＝2cos 2(α－π4)－1＝7
25.
∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝172
50
.
(18) (本小题满分14分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .
(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．
由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，
∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－1
2
.
∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝1
4a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列.
设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．
由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－1
2.
当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.
逆命题为假.
(19) (本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝∠ABC ＝90o ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，E 为PD 的中点. (Ⅰ) 求证：CE ∥平面PAB ；
(Ⅱ) 求PA 与平面ACE 所成角的大小； (Ⅲ) 求二面角E －AC －D 的大小.
(Ⅰ) 证 取PA 的中点F ，连结FE 、FB ，则
FE ∥BC ，且FE ＝1
2AD ＝BC ，∴BCEF 是平行四边形，
∴CE ∥BF ，而BF ⊂平面PAB ，∴CE ∥平面PAB . (Ⅱ) 解 设AD 的中点为G ，连结EG ，则
EG ∥AP ，问题转为求EG 与平面ACE 所成角的大小. 又设点G 到平面ACE 的距离为GH ，H 为垂足，连结EH ，则∠GEH 为直线EG 与平面ACE 所成的角． ∵V E －AGC ＝13S △AGC ·EG ＝1
3
．
又AE ＝2，AC ＝CE ＝5，易求得S △AEC ＝3
2，
∴V G －AEC ＝13⨯32⨯GH ＝V E －AGC ＝13，∴GH ＝2
3．
在Rt △EHG 中，sin ∠GEH ＝HG EH ＝2
3，即PA 与平面
ACE 所成的角为a rcsin 2
3
．
(Ⅲ) 设二面角E －AC －D 的大小为α．
由面积射影定理得cos α＝S △AGC S △AEC ＝23，∴α＝a rccos 2
3
．
向量解法 以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图的空间直角系．则
A (0，0，0)，P (0，0，2)，
B (2，0，0)，D (0，2，0)，
C (2，1，0)，E (0，1，1)，
AC →＝(2，1，0)，AE →＝(0，1，1)，AP →
＝(0，0，2)． 设平面ACE 的一个法向量为n (x ，y ，z )．
P
A
B
C
D
E
∵n ⊥AC →，n ⊥AE →
， ∴⎩⎨⎧n·AC →＝0，n·AE →＝0⇒⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，y ＋z ＝0．
令x ＝1，则y ＝－2，z ＝2，得n ＝(1，－2，2)．
(Ⅱ) 设点P 在平面ACE 上的射影为Q ，由共面向量定理，
设PQ →＝m PA →＋n PC →＋(1－m －n )PE →
，得
PQ →
＝m (0，0，－2)＋n (2，1，－2)＋(1－m －n )(0，1，－1) ＝(2n ，1－m ，－m －n －1)．
∵PQ →⊥AC →，PQ →⊥AE →
，∴⎩⎨⎧PQ →·AC →＝0，PQ →·AE →＝0⇒⎩⎨⎧m －4n －1＝0，m ＋n ＝0，解得m ＝19，n ＝－29．
∴PQ →＝(－49， 89，－89)，∴|PQ →|＝4
3
.
设PA 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝|PQ →
||AP →|＝23，∴θ＝arcsin 2
3．
别解 易得向量AP →
在n 上的射影长为d ＝n ·|PQ →||n |＝43．
设PA 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝d |AP →|＝23，∴θ＝arcsin 2
3．
(Ⅲ) 显然，AP →为平面ABCD 的法向量，cos<n ,AP →
>＝n ·AP →|n |·|AP →|＝46＝23.
∴二面角E －AC －D 的大小为arccos 2
3
．
(20) (本小题满分14分)已知f (x )＝2ax 3＋3(1－a )x 2－6x (a ≠0，x ∈R)．问x 为何值时，f (x )有极小值，极小值是多少？
解 a ≠0，则f ′(x )＝6ax 2＋6(1－a )x －6＝6(x －1)(ax ＋1)．当a ＝－1时，f ′(x )≤0，f (x )没有极小值，当a ≠－1时，f ′(x )＝0有两解：x ＝1，x ＝－1
a ． 1º a ＜－1时，1＞－1a .所以当x ＝－1
a 时，f (x )有极小值3a ＋1a 2；
2º －1＜a ＜0时，1＜－1
a .所以当x ＝1时，f (x )有极小值－a －3； 3º a ＞0时，1＞－1a .所以当x ＝1时，f (x )有极小值－a －3.
(21) (本小题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为3
2
，过点M (－1，0)的直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点.
(Ⅰ) 若直线l 的斜率为1，且PM →
=－35
QM →，求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若(Ⅰ)中的椭圆的右顶点为A ，直线l 的倾斜角为α，问α为何值时，AP →·AQ →
取最大值，并求出这个最大值.
解 (Ⅰ)∵c a ＝32，∴a 2＝43c 2，b 2＝13c 2
，故可设椭圆的方程为 3x 24c 2＋3y 2c
2＝1，
即3x 2＋12y 2＝4c 2．
由 ⎩⎨⎧3x 2＋12y 2＝4c 2，
y ＝x ＋1，
得15y 2－6y ＋3－4c 2＝0． 设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，∵PM →
＝－35QM →，∴y 1＝－35
y 2，
由韦达定理y 1＋y 2＝25y 2＝2
5，∴y 2＝1，∴x 2＝0，将点Q (0，1)代入椭圆方程，得c 2＝3，
∴所求的椭圆方程为x 24
＋y 2
＝1．
(Ⅱ)∵A (2, 0)，∴AP →·AQ →
＝(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2． ① 设直线l 的方程为my ＝x ＋1，其中m ＝cot α.
⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4， my ＝x ＋1
⇒(m 2＋4)y 2－2my －3＝0. ∴y 1＋y 2＝2m
m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，
∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝
－8
m 2＋4
， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2
y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－4m 2＋4
m 2＋4
.
代入①式，整理得AP →·AQ →＝33m 2＋4.当m ＝0，即α＝90º时，AP →·AQ →
有最大值334.。