天津市实验中学高三第一阶段月考数学试卷及答案解析

2022届高三年级第一次阶段考 数学 试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）
1. 设全集U =R ，集合{}
|21x A x =>，{}|15B x x =-，则(
)()U
A B =
A. [)1,0-
B. (]0,5
C. []1,0-
D. []0,5
2. “0a b ⋅<”是“a 与b 夹角为钝角”的(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 函数3
222x x
x y -=+在[6,6]-的图象大致为()
A. B. C.
D.
4. 若0.52a =，0.2log 5b =，20.5c =，则a 、b 、c 三个数的大小关系式(
)
A. c a b <<
B. b c a <<
C. c b a <<
D. b a c <<
5. 平面向量a 与b 的夹角为60︒，=(2,0)a ，||1b =，则|+2|a b = ( )
A. B. C. 4 D. 12
6. 函数()sin()(0)6
f x A x π
ωω=+
>的部分图象如图，()f x 的最小
正零点是
512
π
，则()()f x = A. 72sin()12x π+ B. 2sin(2)6x π+ C. 2sin(2)6
x π
-+
D. sin(2)6
x π
+
7. 已知1sin cos 2αα+=
，则2cos ()()4π
α-= A.
19
B. 29
C. 38
D.
1
8
8. 已知2()2ln f x x ax x =-+在区间(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是(
)
A. (,4)-∞
B. (,4]-∞
C. (,5)-∞
D. (,5]-∞
9. 已知函数2|log |,02()sin(),2104
x x f x x x π
<<⎧⎪
=⎨⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足1234()()()()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则
3412
(1)(1)
x x x x -⋅-⋅的取值范围是
()
A. (15,25)
B. (20,32)
C. (8,24)
D. (9,21)
二、单空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. 设i 是虚数单位，若复数2()2a
a R i
-∈-是纯虚数，则a =________. 11. 设曲线()1
x
f x x =
+在2x =处的切线与直线0ax y -=垂直，则a =______. 12. 若α是锐角，且1
sin()63
πα-=，则cos α的值是__________.
13. 已知0,0x y >>且
111211
x y +=++，则x y +的最小值为_________. 14. 已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ωω=+
∈>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平
移(0)ϕϕ>个单位长度，所得函数()y g x =为偶函数时，则ϕ的最小值是________. 15. 在ABC 中，3BC =，4AC =，90ACB ∠=︒，D 在边AB 上(不与端点重合).延长CD
到P ，使得9.CP =当D 为AB 中点时，PD 的长度为______ ；若3
()(2
P
C m P A mP Bm =+-为常数0m ≠且3
)2
m ≠
，则BD 的长度是______ .
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）
16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b a c =+，3sin 4sin .b C c A =
(1)求cos B 的值；
(2)求tan(2)4
B π
+
的值．
17. 设()()2+sin +sin +cos 1.2f x x x x x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
(1)求
()f x 的最小正周期及()=y f x 图象的对称轴方程； (2)求
()f x 在5,
6
6ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最值．
18. 在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若22tan tan b A a B =，
2
2sin 1cos 2.2
A B
C +=+ ()Ⅰ求角A 的大小，
()Ⅱ若点D 为AB 边上一点，满足45BCD ∠=︒且CD =ABC 的面积．
19. 已知函数()(x f x e ax a =-为常数).
(1)当0a =时，求()f x 过原点的切线方程；
(2)讨论()f x 的单调区间和极值；
(3)若[0,1]x ∀∈，()0f x 恒成立，求a 的取值范围．
20. 已知函数()ln ,.m
f x x m R x
=+
∈ (1)当m e =时，求函数()f x 的极小值; (2)讨论函数()()3
x
g x f x ='-
零点的个数; (3)若对任意的()()
0,
1f b f a b a b a
->><-恒成立，求实数m 的取值范围.
20210922手动选题组卷
答案和解析
【答案】
1. C
2. B
3. B
4. B
5. B
6. B
7. D
8. D 9. D
10. 5 11. −9 12. 2√6;16
13. √2 14. π
8 15. 132 185
16. 解：
(1)因为3bsinC =4csinA ，由正弦定理得：3bc =4ac ，因为c ≠0，所以3b =4a ． 联立2a +c =2b
3b =4a ，解得{a =3
4b c =54b , 由余弦定理得cosB =
.34
b/2
:.54
b/2
;b 2
2×3
4
b×54
b
=35
(2)由(1)得sinB =4
5，sin2B =2sinBcosB =2425，cos2B =2cos 2B −1=−7
25，
则tan2B =−24
7，
所以tan.2B +π
4/=tan2B:1
1;tan2B =−17
31．
17. 解：
f (x )=−2√3sin 2x +2sinxcosx =√3cos2x −√3+sin2x =2sin.2x +π
3/−√3 (1)f (x )最小正周期T =
2π2
=π
令2x +π3=π2+kπ，k ∈Z ，解得：x =π12+kπ2
，k ∈Z
∴f (x )对称轴方程为x =π
12
+
kπ2
，k ∈Z
(2)∵x∈0π
6,5π
6
1∴2x+π
3
∈02π
3
,2π1
令2x+π
3=3π
2
，解得：x=7π
12
∴f(x)在0π
6,7π
12
1上单调递减，在上单调递增
∴f(x)min=f.7π
12/=−2−√3，f(x)max=2sin2π
3
−√3=0．
18. 解：(Ⅰ)由2sin2A:B
2
=1+cos2C得1−cos(A+B)=2cos2C，即2cos2C−cosC−
1=0，解得cosC=−1
2
，故C=120°．
根据正弦定理知a
sinA =b
sinB
，代入b2tanA=a2tanB得，即
sinAcosA=sinBcosB，
故sin2A=sin2B，因此A=B或A+B=90°(舍去)，故A=30°．(Ⅱ)由(Ⅰ)知△ABC为等腰三角形，顶角C=120°．
设BC=AC=m，由S△ABC=S△BCD+S△ACD，即
，
整理得√3
2m=CD⋅(√2
2
+√2:√6
4
)=(3√2−√6)⋅3√2:√6
4
=3，解得m=2√3，
故S▵ABC=1
2
m2⋅sin120∘=3√3．
19. 解：(1)当a=0时，f(x)=e x，
则f′(x)=e x，
设切点坐标为(x0,e x0)
∴f′(x0)=e x0=e x0
x0
，
解得x0=1，
∴f′(1)=e，
∴f(x)过原点的切线方程y=ex；
(2)f(x)=e x−ax，
∴f′(x)=e x−a，
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，无极值；当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，
当x<lna时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，当x>lna时，f′(x)>0，函数f(x)在(lna,+∞)上单调递增，∴f(x)
极小值
=f(lna)=e lna−alna=a−alna，无极大值；
(3)∀x∈,0,1-，f(x)≥0恒成立，即e x−ax≥0，
当x=0时，1≥0恒成立，
当x≠0时，a≤e x
x
，
设g(x)=e x
x
，x∈(0,1-，
∴g′(x)=e x(x;1)
x2
≤0恒成立，
∴g(x)在(0,1-上单调递减，
∴g(x)min=g(1)=e，
∴a≤e，
综上所述a≤e．
20. 解：(1)当m=e时，f′(x)=x;e
x2
，x>0，当x>e时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当0<x<e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)只有极小值f(e)，
且f(e)=lne+e
e
=2，
∴f(x)的极小值为2．
(2)∵g(x)=f′(x)−x
3=x;m
x2
−x
3
=0，
∴m=x−x3
3
，
令 (x)=x−x3
3
，x>0，m∈R，
则 (1)=2
3
， ′(x)=1−x2=(1+x)(1−x)，令 ′(x)>0，解得0<x<1，
∴ (x)在区间(0,1)上单调递增，值域为(0,2
3
)；
同理，令 ′(x)<0，解得x>1，
∴ (x)在区间(1,+∞)上单调递减，值域为(−∞,2
3
).
∴当m≤0，或m=2
3
时，g(x)只有一个零点；
当0<m <2
3时，g(x)有2个零点； 当m >2
3时，g(x)没有零点． (3)对任意b >a >0，
f(b);f(a)b;a
<1恒成立，
等价于f(b)−b <f(a)−a 恒成立； 设t(x)=f(x)−x =lnx +m x
−x(x >0)，
则t(b)<t(a)．
∴t(x)在(0,+∞)上单调递减；
∴t′(x)=1
x −m
x 2−1≤0在(0,+∞)上恒成立， ∴m ≥−x 2+x =−(x −1
2
)2+1
4
(x >0)，
∵−(x −12)2+14≤14，当且仅当x =1
2时等号成立，
∴m ≥1
4；
∴m 的取值范围是,1
4,+∞)． 【解析】
1. 【分析】
本题主要考察集合的概念，属于一般题． 【解析】
解：∵A =*x|2x >1+，则A ∈(0,+∞) 则∁U A =(−∞,0-, 则(∁U A)∩B =,−1,0- 故选C ．
2. 解：当<a ⃗ ，b ⃗ >=π，则a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，满足a ⃗ ⋅b ⃗ <0但此时“a ⃗ 与b ⃗ 夹角为钝角”不成立，即充分性不成立，
若“a ⃗ 与b ⃗ 夹角为钝角”，则π
2<<a ⃗ ，b ⃗ ><π， 则a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ ><0，即必要性成立， 故“a ⃗ ⋅b ⃗ <0”是“a ⃗ 与b ⃗ 夹角为钝角”的必要不充分条件， 故选：B ．
根据平面向量的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据平面向量的数量积的定义和性质是解决本题的关键．
本题考查函数的作法，涉及到函数的奇偶性，函数值的估计，属于中档题．
根据函数的奇偶性，排除选项C，结合函数在x>0时的取值范围，排除选项D，再根据x=4时函数值的估计，排除选项A，从而得正确选项．
【解答】
解：因为f(x)=2x3
2x:2−x ，所以f(−x)=;2x3
2−x:2x
=−f(x)，且x∈,−6,6-，
所以函数y=2x3
2x:2−x
为奇函数，排除C;
当x>0时，f(x)=2x3
2x:2−x
>0恒成立，排除D;
因为f(4)=
2×64
24:2−4
=128
16:1
16
=128×16
257
≈7.97，排除A．
故选B．
4. 解：∵a=20.5>1，b=log0.25<0，c=0.52∈(0,1)，
则a>c>b．
故选：B．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 【分析】
本题考查向量的模，属于基础题．
根据向量的数量积，将向量的模平方再开方，即可得答案．
【解答】
解：∵|a⃗|=2,|b⃗ |=1,a⃗·b⃗ =2×1×1
2
=1．
=√a⃗2+4a⃗·b⃗ +4b⃗ 2=√4+4+4=2√3．
故选：B．
6. 解：函数f(x)=Asin(ωx+π
6
)的部分图象知，A=2，
根据五点法画图知，(5π
12
,0)是f(x)图象的第三个点，
所以ω⋅5π
12+π
6
=π，解得ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+π).
由函数的部分图象求出A的值，利用五点法画图求出ω的值，即可写出f(x)的解析式．本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
7. 【分析】
本题考查同角三角函数基本关系以及二倍角公式，属于基础题．
根据题意，利用二倍角公式求解即可．
【解答】
解：已知sinα+cosα=1
2
，
所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1
4
，
所以sin2α=−3
4
，
则
=sin2α:1
2= ;
3
4
:1
2
=1
8
，
则cos2(π
4−α)=1
8
，
故选D．
8. 解：∵f(x)=2x2−ax+lnx在区间(1,+∞)上单调递增，∴f′(x)=4x−a+1
x
≥0在(1,+∞)上恒成立，
即a≤4x+1
x
在(1,+∞)上恒成立，
设g(x)=4x+1
x
(x≥1)，则a≤g(x)min，
由对勾函数的性质可知，g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，∴g(x)>g(1)=4+1=5，
∴a≤5，
故选：D．
依题意得f′(x)=4x−a+1
x ≥0在(1,+∞)上恒成立，即a≤4x+1
x
在(1,+∞)上恒成立，
令g(x)=4x+1
x
(x≥1)，利用其性质可得a≤g(x)min=g(1)，可得a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分离参数法与构造函数法的综合应用，考查运算能力，属于中档题．
9. 解：函数的图象如图所示，
∵f(x1)=f(x2)，
∴−log2x1=log2x2，
∴log2x1x2=0，
∴x1x2=1，
∵f(x3)=f(x4)，
∴x3+x4=12，2<x3<4，8<x4<10，
∴(x3;1)⋅(x4;1)
x1⋅x2
=x3x4−(x3+x4)+1=x3x4−
11=x3(12−x3)−11=−x32+12x3−11=−(x3−6)2+25，
∴(x3;1)⋅(x4;1)
x1⋅x2
的取值范围是(9,21)．
故选：D
画出函数f(x)的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2<x3<4，8<x4<10，由此
可得(x3;1)⋅(x4;1)
x1⋅x2
的取值范围．
本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
10. 【分析】
本题考查了复数的四则运算、复数的概念，根据分母实数化，化简原复数，然后根据复数是纯虚数，得到复数的实部为零虚部不为零，由此求解出a的值．
【解答】
解：∵2−a
2;i =2−a(2:i)
(2;i)(2:i)
=2−2a
5
−a
5
i，
又∵复数2−a
2;i
(a∈R)是纯虚数，
∴2−2a
5=0，且−a
5
≠0，∴a=5．
故答案为：5．
11. 解：因为f′(x)=1
(x:1)2，所以f′(2)=1
9
，故a=−9．
故答案为：−9．
求出函数的导数，利用切线的斜率与直线的斜率关系，求解a即可．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．是基础题．
12. 【分析】
本题考查同角三角关系式及两角和与差的三角公式，属于基础题．
依题意，cos(α−π
6)=2√2
3
，利用两角和的余弦公式即可求的值．
【解答】
解：因为α 为锐角，所以−π
6<α−π
6
<π
3
，
所以cos(α−π
6)=2√2
3
，
=2√2
3×√3
2
−1
3
×1
2
=2√6;1
6
，
故答案为2√6;1
6
．
13. 【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
令a=2x+1，b=y+1，则x=a;1
2
，y=b−1，再利用基本不等式计算可得．【解答】
解：令a=2x+1，b=y+1，因为x>0，y>0，所以a>1，b>1，
则x=a;1
2
，y=b−1，
所以1
a +1
b
=1，
所以x+y=a;1
2+b−1=a
2
+b−3
2
=(a
2
+b)(1
a
+1
b
)−3
2
=1
2
+1+b
a
+a
2b
−3
2
=b
a +a
2b
≥2√b
a
×a
2b
=√2，
当且仅当b
a =a
2b
，即b=2:√2
2
，a=√2+1，x=y=√2
2
，时取等号．
故答案为：√2．
14. 【分析】
本题主要考查函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换规律，考查函数的奇偶性，属于中档题． 由条件根据函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换规律，得平移后的函数
，可得
，由此即可求出结果．
【解答】 解：由函数的最小正周期为， 可知ω=2，故， 将y =f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度， 可得
的图象，
又函数y =g(x)是偶函数，
，
∵φ为正角，
则k =0时，可得φ的最小值是π8．
故答案为π8．
15. 解：当D 为AB 中点时，
在△ABC 中，BC =3，AC =4，
∠ACB =90°，则AB =5，
所以CD =12AB =52，又CP =9，
所以PD =CP −CD =9−52=132，
即当D 为AB 中点时，PD 的长度为132．
PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数m ≠0且m ≠32
)， 如图，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则A(4,0)，B(0,3)，
由PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32
−m)(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得PC
⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(3−2m)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．
由CP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0(舍)．
所以直线PC 的方程为y =
9;6m 8m x ， 直线AB 的方程为x 4+y 3=1，
联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ．
即D(7225,2125)，
∴|BD|=√(7225)2+(2125−3)2=
185．
∴BD 的长度是185．
故答案为：132；185．
当D 为AB 中点时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解；若PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数m ≠0且m ≠32
)，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得A 与B 的坐标，再把PC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由CP =9列式求得m 值，从而求得D 的坐标，则BD 的长度可求．
本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，属于中档题． 16. 本题考查三角函数中角的余弦值，考查正弦定理、余弦定理，三角函数的和差角公式，二倍角公式，同角公式，属于中档题．
(1)由正弦定理得3b =4a ，通过联立方程组，用b 表示出a 和c ，利用余弦定理可求出cos B 的值；
(2)由(1)可得从而得到sin2B,cos2B,tan2B 的值，再代入即可得到tan (2B +π4)的值． 17. 本题主要考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的基本性质：最小正周期、对称性、单调性以及最值情况．考查对基础知识的掌握情况．
(1)先将函数f(x)化简整理，可将函数化简为y =Asin(wx +ρ)的形式 ，即可得周期与对称轴方程；
(2)先根据x 的范围求出
的范围，再由正弦函数的单调性以及最值情况，进而得
到函数f(x) 的单调性与最值． 18. 本题考查正弦定理、两角和差公式以及三角形的面积公式，属于中档题．
(1)由2sin 2A:B 2=1+cos2C 通过三角恒等变换，得到cosC =−12，C =120°，b 2tanA =a 2tanB ，运用同角三角形关系以及正弦定理得到此A =B ，从而得到A ．
(2)设BC=AC=m，由S△ABC=S△BCD+S△ACD，建立方程，解得m的值，再运用三角形面积公式，即可得到答案．
19. (1)设切点坐标为(x0,e x0)，根据导数得几何意义和斜率公式即可求出切线方程；
(2)根据导数和函数单调性和极值的关系，分类讨论即可求出求出；
(3)分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出a的范围．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及极值最值，考查不等式与函数单调性的应用，考查转化思想，是一道综合题．
20. 本题考查函数的极小值的求法，考查函数的零点的个数的讨论，考查恒成立问题，解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用，属于难题．
(1)当m=e时，f′(x)=x;e
x2
，x>0，求出函数f(x)的单调区间即能求出f(x)的极小值；
(2)由g(x)=f′(x)−x
3=x;m
x2
−x
3
=0，得m=x−x3
3
，令 (x)=x−x3
3
，x>0，m∈R，则
(1)=2
3
， ′(x)=1−x2=(1+x)(1−x)，由此利用导数性质能求出函数g(x)=
f′(x)−x
3
零点的个数；
(3)当b>a>0时，f(b);f(a)
b;a
<1恒成立等价于f(b)−b<f(a)−a恒成立，构造函数设t(x)=f(x)−x，利用导数的性质即可求出m的取值范围．。