2021学年高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版

最大积雪深度x/cm 26.4 23.4 13.5 16.7 24.0 19.1
灌溉面积y/公顷 49.8 45.0 29.2 34.1 45.8 36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象． (2)建立一个能根本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出 图象． (3)根据所建立的函数模型，假设今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？
中的数据，问题即可获解． (2)列式比较法：假设题所涉及的是最优化方案问题，那
么可根据表格中的数据先列式，然后进展比较． (3)描点观察法：假设根据题设条件不能直接确定需要用 哪种数学模型，那么可根据表中的数据在直角坐标系中进展描 点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需
要用的数学模型，问题即可顺利解决．
(1) 求 函 数 y1 ， y2 的 解 析 式．(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额？
思路点拨： 函数图象 系―待数 ―定→法 y1与y2的解析式 ―→
总利润y＝y1＋y2 配 换―方 元 ―→法 法 最大利润
解：(1)P1：y1＝axn 过点1，54，4，52，
∴54＝a·1n， 52＝a·4n.
2 0.85 10 7.73 18 44.75 26 160.32
3 1.28 11 9.91 19 53.38 27 167.05
4 1.75 12 12.75 20 71.61 28 174.9
5 2.27 13 16.55 21 83.89 29 177.87
6 2.75 14 20.1 22 97.46 30 180.19
3．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上 建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有 连续10年的实测资料，如下表所示：
年序 1 2 3 4
最大积雪深度x/cm 15.2 10.4 21.2 18.6
灌溉面积y/公顷 28.6 21.1 40.5 36.6
年序 5 6 7 8 9 10
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x，作出函数图
个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x
的函数关系是( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x
D．y＝2x＋1
解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后变
成4×2＝23(个)，……，分裂x次后变成y＝2x＋1个．
答案：D
利用函数模型解决问题
某 企业拟共用10万元投资甲、乙两 种商品．各投入x万元，甲、乙两 种商品可分别获得y1，y2万元的 利润，利润曲线P1：y1＝axn， P2：y2＝bx＋c如下图．
(3)今后最多还能砍伐多少年？
思路点拨：可建立指数函数模型求解． 解：(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1)，则 a(1－x)10 ＝12a， 即(1－x)10＝12，解得 x＝1－12110. (2)设经过 m 年，剩余面积为原来的 22， 则 a(1－x)m＝ 22a，即121m0＝1212，
建立拟合函数解决实际问题
我国农业科学家研究某地区玉米 植株生长高度与时间的函数关系，通过观测、分析，列出了该 地区玉米在不同阶段的高度数据：
生长阶段 x 植株高度 y/cm
生长阶段 x 植株高度 y/cm
生长阶段 x 植株高度 y/cm
生长阶段 x 植株高度 y/cm
1 0.67
9 6.36 17 37.55 25 153.6
解：(1)根据题意得 S＝－2t＋20012t＋30，1≤t≤30，t∈N，
45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N， S＝－ －t920＋t＋409t＋0060，00301，≤1t≤≤t5≤0，30t，∈tN∈. N，
(2)①当 1≤t≤30，t∈N 时，S＝－(t－20)2＋6 400， 当 t＝20 时，S 的最大值为 6 400. ②当 31≤t≤50，t∈N 时，S＝－90t＋9 000 为减函数， 当 t＝31 时，S 的最大值是 6 210. ∵6 210<6 400， ∴当 t＝20 时，日销售额 S 有最大值 6 400.
10 5.49
17 28.04
4
5
6
7
1.36 1.71 2.16 2.73
11
12 13 14
6.93 8.75 11.04 13.94
18
19 20 21
35.40 44.69 56.41 71.21
生长阶段x 22
23
24
25
函数值f(x) 89.89 113.48 143.26 180.85
2．应用函数模型解决问题的根本过程
1．假设某商品靠广告销售的收入 R 与广告费 A 之间满足 关系 R＝a A，那么广告效应 D＝a A－A，当 A＝______时， 取得最大广告效应．
解析：D＝－( A)2＋a A. 当 A＝a2，即 A＝a42时，D 取得最大值． 答案：a42
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 226×2%. 再 经 过 x 天 后 小 白 鼠 体 内 的 病 毒 细 胞 个 数 为 226×2%×2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2 ＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物， 即第二次最迟应在第33天注射药物．
1m0＝12，解得 m＝5， 故到今年为止，已砍伐了 5 年． (3)设从今年开始，以后砍了 n 年， 则 n 年后剩余面积为 22a(1－x)n. 令 22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥ 42， 121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15. 故今后最多还能砍伐 15 年．
建立数学模型一定要过好三关： (1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉 实际背景，为解题翻开突破口． (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语 言，用数学式子表达文字关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对数学知识进展检 索，从而认定或构建相应的数学模型．
1．经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均 为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t＋ 200(1≤t≤50，t∈N)，前 30 天价格为 g(t)＝12t＋30(1≤t≤30，t ∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系； (2)求日销售额 S 的最大值．
2．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的开展规律及其
预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进展实验，经检测，病
毒细胞的个数与天数的记录如下表.
天数
1234 5 6
病毒细胞个数 1 2 4 8 16 32
该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠
将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
第三章 函数的应用
3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用实例
学习目标
1．了解函数模型的广泛应用．(重点、难点) 2．掌握通过建立函数模型解决应用题的根本方法和步 骤．(重点、难点)
1．常用的函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k、b 为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k、b 为常数，k≠0)； (3)二次函数模型： _y_＝__a_x_2_＋__b_x＋__c_(_a_、__b_、__c_为__常__数__，__a_≠_0_)____________；
解：(1)描点作图如下：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近， 由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y ＝a＋bx.
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0，45.8)，代入 y＝a＋
bx，得
21.1＝a＋10.4b， 45.8＝a＋24.0b，
用计算器可得 a≈2.4，b≈1.8.
1．函数模型解决实际问题的应用题主要有以下两种类 型：
(1)给出函数解析式的； (2)给出函数类型，可利用待定系数法求得函数解析式的． 2．读懂题目所表达的实际问题的意义，领悟其中的数学 本质，承受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的 位置关系、数量关系，确立解题思路和下一步的努力方向，对 于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助图象和列表 来理清它．
―→
验证结果
解：(1)作出散点图，变化趋势线近似于“S〞形，如图．
以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达 这个图形，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段 的函数图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相 似．
下面我们来考虑给出第 1 至第 25 个生长阶段的一个指数函 数关系式．假设指数函数 y＝aebx，并且通过点(2,0.85)和(23， 112.73) ， 把 这 两 个 点 的 坐 标 代 入 函 数 关 系 式 ， 解 方 程 组 得 a≈0.534，b≈0.233.
∴ an＝ ＝5412， .
∴y1＝54x21 ，x∈[0，＋∞)． P2：y2＝bx＋c 过点(0,0)，(4,1)，
c＝0， ∴b＝14. ∴y2＝14x，x∈[0，＋∞)．
(2)设用 x 万元投资甲商品，那么用(10－x)万元投资乙商品， 总利润为 y 万元．
根据题意，得 y＝54x12＋14(10－x)＝－14( x)2＋54 x＋140 ＝－14 x－522＋6156(0≤x≤10)， 当且仅当 x＝52，即 x＝245＝6.25 时，ymax＝6156. ∵x＝6.25，∴10－x＝10－6.25＝3.75. ∴用 6.25 万元投资甲商品，3.75 万元投资乙商品，才能获 得最大利润．
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何 时注射该种药物？(准确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的 生命？(准确到天，lg 2＝0.301 0)
解：(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(n∈N*)的函数 关系式为y＝2n－1(n∈N*)．为了使小白鼠在实验过程中不死 亡，那么2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27，即第一次最迟 应在第27天注射该种药物．
(4)指数函数模型： _y_＝__a_b_x＋__c_(_a_、__b_、__c_为__常__数__，__a_≠_0_，__b_＞__0_，__b_≠_1_)_____； (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m、n、a 为常数，a＞0， a≠1)； (6)幂函数模型： _y_＝__a_x_n＋__b_(_a_、__b_、__n_为__常__数__，__a_≠_0_，__n_≠_1_)___________； (7)分段函数模型； (8)y＝ax＋bx(x＞0，a＞0，b＞0)函数模型．
因此，用指数函数近似得到的关系式为 y＝f(x)＝0.534e0.233x.
(2)由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下：
生长阶段x 1
2
函数值f(x) 0.67 0.85
生长阶段x 8
9
函数值f(x) 3.44 4.35
生长阶段x 15
16
函数值f(x) 17.60 22.21
3 1.07
从表中我们可以清楚地看出，第1到第6生长阶段与实际得 到的数据误差很小，后面数据误差较大．
这个指数函数反映了在玉米生长的后几个阶段增长较快， 与实际数据中稳定于某一数值附近不符．
数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法：假设由题中条件能明显确定需要用的数学模 型，或题中直接给出了需要用的数学模型，那么可直接代入表
7 3.69 15 27.35 23 112.73 31 180.79
8 4.71 16 32.55 24 135.12
(1)作出函数图象，近似地写出y与x之间的关系式． (2)利用得到的关系式，与表中实际数据作比较，通过比 较，你得到了什么信息？
思
路
点
拨：
借助散 点图
―→
探求函 数模型
―→
根据拟合函数 解决实际问题
自建函数模型解决问题
一片森林原来的面积为 a，计划每年砍伐伐到面积的一半时，所用
时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积
的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1)求每年砍伐面积的百分比．
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？