第2讲 一次方程组-2021年新八年级数学暑假精品课程(华师大版)(原卷版)

第2讲 一次方程组
【学习目标】
1.理解一次方程组的含义；
2.求解一次方程组；
3.一次方程组的hi 应用.
【基础知识】
考点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 考点诠释：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
考点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 考点诠释：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,5.x y =⎧⎨
=⎩
． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
考点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 考点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎩
⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组. 考点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
考点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x a y b =⎧⎨=⎩
的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526
x y x y +=⎧⎨+=⎩无解，而方程组
1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩
的解有无数个． 考点五、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
考点六、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
考点诠释：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便． 考点七、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
考点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
考点八、选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
考点九、常见的一些等量关系
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.增收节支问题：
（1）增长（递减）率公式：
原来的量×（1+增长率）=后来的量；原来的量×（1-递减率）=后来的量；
（2）利润公式：
利润=总收入-总支出；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
（3）银行利率公式：
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×.
考点诠释：
增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程．3.行程问题：
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
考点十、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程
两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
考点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【考点剖析】
考点一：二元一次方程
例1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．
(1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3； (4)x+y＝6； (5)2x-4y＝7；
(6)
1
2
x+=；(7)
2
51
x
y
+=；(8)
1
3
2
x y
+=；(9)280
x y
-=；(10)
4
6
2
x y
+
=．
举一反三：
【变式】（桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（）
A．=y+5x B．3x+2y=2x+2y C．x=y2+1 D．
考点二：二元一次方程的解
例2．（吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（）A．B． C． D．
举一反三：
【变式】若方程24ax y -=的一个解是21
x y =⎧⎨
=⎩，则a= . 考点三：二元一次方程组及方程组的解 例3．判断下列各组数是否是二元一次方程组4221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①
②的解．
（1）35x y =⎧⎨=-⎩ （2）21x y =-⎧⎨=⎩ 考点四：用代入法解二元一次方程组
例4． 用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=⎧⎨
+-=⎩①②
考点四：由解确定方程组中的相关量
例6．（莆田模拟）已知关于x ，y 的二元一次方程组
的解互为相反数，求k 的值．
考点四：加减法解二元一次方程组
例7．先变25214323x y x y -=-⎧⎨
+=⎩①②系数后加减：
考点四：鸡兔同笼问题
例8．（茂名）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【真题演练】
一、选择题
1．（桐乡市校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（）
A ．=y+5x B．3x+1=2xy C ．x=y2+1 D．x+y=1
2．下列方程组是二元一次方程组的是（）
A．
5
3
x y
z x
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
1
1
1
3
x
x
y
x
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪-=
⎪⎩
C．
4
34
x y xy
x y
-+=
⎧
⎨
-=
⎩
D．
1
213
2
11
2(2)
32
x y
x y x y
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪-=-
⎪⎩
3. （荔城区期末）是方程ax﹣y=3的解，则a的取值是（）
A．5 B．﹣5 C．2 D．1
4. 方程组
23
3
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是（）
A．
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
B．
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
C．
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
D．
2
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
5.已知二元一次方程组
6511
327,
x y
y x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
①
②
，下列说法正确的是（）
A.适合②的,x y的值是方程组的解①②
B.适合①的,x y的值是方程组的解
C.同时适合①和②的,x y的值不一定是方程组的解
D.同时适合①和②的,x y 的值是方程组的解
6. 关于,m n 的两个方程23321m n m n -=+=与的公共解是（ ）
A. 03m n =⎧⎨=-⎩
B. 11m n =⎧⎨=-⎩
C. 012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩
D. 122m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 二、填空题
7．（江都市模拟）已知方程2x+y ﹣5=0用含y 的代数式表示x 为：x= ．
8.在二元一次方程组423x y x m y -=⎧⎨=-⎩
中，有6x =，则_____,______.y m == 9.（南昌期末）若（a ﹣3）x+y
|a|﹣2=1是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值是 ． 10.若
是二元一次方程的一个解，则的值是__________.
11.已知，且，则___________. 12.若方程ax-2y ＝4的一个解是21x y =⎧⎨=⎩
，则a 的值是 . 三、解答题
13．（中江期末）若方程组
是二元一次方程组，求a 的值．
14.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组．
（1）甲数的13
比乙数的2倍少7；
（2）摩托车的时速是货车的32
倍，它们的速度之和是200km/h ； （3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元．
15．已知满足二元一次方程517x y +=的x 值也是方程23(1)12x x +-=的解，求该二元一次方程的解．
【过关检测】
一、选择题
1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg ，则剩余40 kg 无处装；若每只装30 kg ，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .
A ．12只
B ．6只
C ．112只
D ．128只
2. （临沂）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x 人，女生有y 人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树4周，则绳子还多1尺；若环绕大树5周，则绳子又少3尺．设这根绳子有x 尺，环绕大树一周需要y 尺，则下列所列方程组正确的是（ ） A ．4153y x y x =+⎧⎨=-⎩ B ．4153y x y x +=⎧⎨-=⎩ C ．4153x y x y +=⎧⎨-=⎩
D ．4153x y x y -=⎧⎨+=⎩ 4.（台湾）已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3．若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差（ ）.
A．6 B．9 C．12 D．18
5. m表示一个两位数，n表示一个三位数，把m放在n的左边组成一个五位数，那么这个五位数可以表示成（）
A．m n B．1000m+n C．100m+1000n D．100m+n
6. 小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻12：00 13：00 14：30
碑上的数是一个两位数，数字
之和为6
十位与个位数字与12：00时所看到
的正好颠倒了
比12：00时看到的两位数中
间多了个0
则12：00时看到的两位数是（）
A．24 B．42 C．51 D．15
二、填空题
7．（宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组．
8．（南昌一模）足球比赛中胜场积3分，平场积1分，负场积0分．中天队第12轮比赛战罢，输了3场，共积19分，若设其胜了x场，平了y场，可列方程组：．
9．某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口？设城镇人口是x万，农村人口是y万，得到的方程组为_________.
10. 现有两种溶液，甲种溶液由酒精1升，水3升配制而成，乙种溶液由酒精3升，水2升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升，问甲乙两种溶液各需升和升.
11．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．
12. 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我
三、解答题
13．某厂第二车间人数比第一车间人数的4
5
少30人，如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间
的人数就是第一车间人数的3
4
，这两个车间各有多少人？
14. 2021年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，如图所示是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?
15.（义乌市）某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB 平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮．
（1）如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM：AN=8：9，问通道的宽是多少？
（2）为了建造花坛，要修改（1）中的方案，如图2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8m，这样能在这些草坪建造花坛．如图3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于点E，CF⊥PQ于点F，求花坛RECF的面积．。