5第五讲连续变量的分布与密度(15)

第五讲 连续随机变量的分布函数 x
左0右1三段式的方式定义分布 函数即可。
第五讲 连续随机变量的分布函数 解：因为分布函数 F ( x)在x 1处不连续，所以
由，F ( x) P( X x)
P{ X 1} P( X 1) P( X 1) P( X x 1) P( X x 1) F ( x 1) F ( x 1)

例5-1-2
x 1 0 0.4 1 x 1 设随机变量 X的 分 布 函 数 为 ： F ( x) 0.8 1 x 3 x3 1 试 求X的 概 率 分 布 列 。
第五讲 离散分布的分布函数
解：这是一个有断点（ 断点为 1,1,3)的离散分布，应用 P( X ai ) F (ai ) F (ai 0)来求 P( X 1) F (1) F (1 0) 0.4 P( X 1) F (1) F (1 0) 0.8 0.4 0.4 P( X 3) F (3) F (3 0) 1－0.8 0.2
b X x
X b
a
b
所以，定义在区间 [a, b]上的分布 函数实际上是由三部分 组成的：
0 x a F1 ( x) F ( x) a x b 1 b x
x
X
例5-2-1 如果连续随机变量X的可能值充满区间（ 1 ） ( , ). 2 ( 2)( ,0)。试问F ( x ) 可否是X的分布函数？ x 1 e 解：利用分布函数二等式一不等式即性质进行判断
设X离散， X {a1 , a2 , , an }, 则P( X x)是X的满足 “X x”的所有 X的点的概率的和： F ( x) P( X x) P（x ai） Pi
ai x ai x
第五讲 离散分布的分布函数
x a1 0 p a1 x a 2 1 p1 p2 a 2 x a 3 F ( x) n 1 pi a n 1 x a n i 1 an x 1
第五讲 连续变量的分布函数
本次课讲授第二章的2.2-2.4.1
下次课讲授第二章2.4-2.7。 下周一上课时交作业P19—P22
随机变量是事件，
主要内容:均匀指数分布，
离散与连续变量的数的分布 重点与难点：连续变量的
全体构成样本值， 离散变量点概率， 非负求和等于 1， 泊松近似伯努利， 正数 二np。 分布函数两变量， 负正无穷 0和1.
试验每次事件A(遇到红灯）是否发生两种情况的概型。
2 解：设 X为3个岗遇到红灯的次数， 则X ~ B(3, ).其中 A : 遇红灯 5
第五讲 离散分布的分布函数
2 p P ( A) , 5 k 2 k 3 3 k 其概率函数为： P{X k} C3 ( ) ( ) , k 0,1,2,3.即： 5 5
5. 求解区间[a , b]上的随机变量X的分布函数F(x)的方法 设X的定义区间为 [a, b],则P(a X b) 1
第五讲 连续随机变量的分布函数
当a x b时，设 X的分布函数为 F ( x)， 当 x 时，令 X的分布函数为 F1 ( x) 则当 x a时， F1 ( x) P( X x a ) 0属不可能事件 同理： x b时， P(b X x) 0 即：x b时, F1 ( x) P( X x) P( x b) P(b X x) 1
27 54 0 2 0 3 3 1 2 1 3 2 P ( X 0) C 3 ( ) ( ) , P ( X 1) C 3 ( )( ) , 5 5 125 5 5 125 36 8 P ( X 2) , P ( X 3) . x 0, 0, 125 125
P( x1 X x 2 ) P( X x 2 ) P( X x1 ) F ( x 2 ) F ( x1 )
由于连续随机变量的点概率为零，所以：
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P ( a X b) F ( b) F ( a )
27 , 0 x 1, 分布函数则要求在 (,0), 125 81 [0,1), [1,2), [2,3), [3, )中 F ( x) , 1 x 2, 分别求函数值 125 117 , 2 x 3, F ( x) P( X x) P( xi ) 125 xi x x 3. 1,
P( X x ) 1
i i 1

因此，用概率函数研究连续型随机变量是不可行的，于是， 考虑第二个工具：随机变量的分布函数。
第五讲 连续随机变量的分布函数
2.概率的分布函数的定义：
设X是定义在数轴上的连续 随机变量，若对于实数 域R 上的任意实数 x, F ( x) P( X x), x ;则称F ( x)为 随机变量 X的分布函数。
第五讲 连续随机变量的密度函数
两边积分： dF(t ) f (t）dt,即：
x x
F ( x) F () f (t）dt，

x
F () 0, F ( x) f (t）dt

x
（3）区间概率 Px1 X x2 的密度求法：
第五讲 连续随机变量的分布函数
4.与区间概率的关系：
X x1
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
X x2
x1
x2
因为( X x2 ) ( X x1 ) ( x1 X x2 )
所以P( X x2 ) P( X x1 ) P( x1 X x2 )，依次类推
2 x 0 F ( x ) 1 e x , F ( x)就是随机变量 X的分布 0 x 1 我们已经清楚，连续型随机变量是不用考虑边界点的， 但是，经常地，我们会碰到一个随机变量同时既是连续的 又是离散的的现象，这时，就不能像连续型随机变量那样 不考虑边界点了。看下例： 例题5-2-2（2010,4分） x0 0, 1 设随机变量 X的 分 布 函 数 F ( x) , 0 x 1, 求P{ X 1} 2 x 1 e , x 1.
设X为随机变量，对于任意 的x, P( x X x x) P ( x X x x ) 为X落在区间 ( x，x x)上的概率 , 则称 x 为随机变量 X在点 x的平均密度。若 x 0时，平均密度 的极限存在，则称该极 限为随机变量 X在点 x的密度函数， 简称密度，记作 f ( x)。即：
( p1 p2 pi ) ( p1 p2 pi 1 )
P( X ai ) P( X ai ) F (ai ) F (ai 0)
所以：P( X ai ) F (ai ) F (ai 0) pi
例5-1-1（1997年数学一，7分） 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交 通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4.设X为 途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律和分布函数。 分析：三个岗遇到红灯相互独立，因此，本题是三次独立
第五讲 连续随机变量的分布函数
（2 ）X ( ,0)即 定 义 在 ( ,0)时 ， F ( ) 0, 且 F ( ) P ( X ) P( X 0) P(0 X ) P ( X 0) F (0) 1
2e x 0时F ( x) 0, 单调不减。最后，只要 按照 x 2 (1 e )
函数的分布的求解方法。
第五讲 离散分布函数与连续变量的分布和密度
一、离散随机变量分布函数的求法
设取值于实数域的函数 X X ( w)为样本空间 上的随机 变量，则称： F ( x) P( X x), x 为随机变量 X的 分布函数，且 0 F ( x) 1, 且F () 1, F () 0, x ，F ( x) 0
3.分布函数的性质回顾：
（1） 0 F ( x) 1, 且F () 1, F () 0, x 这一点在前面已经讲过 ，由定义显然 .
(2）概率函数单调不减， 即当x1 x2时F ( x1 ) F ( x2 )。
F ( x2 ) F ( x1 ) P( x1 X x2） 0。 F ( x2 ) F ( x1 )
x
p
1
Байду номын сангаас
1
3
0 .4
0 .4
0 .2
第五讲 连续随机变量的分布函数
二、连续型随机变量的分布函数分布 1.用分布函数描述连续型随机变量的背景 研究离散变量时，我们使用了概率函数（分布律）和分布 函数两个工具。概率函数计算的是离散变量的点概率，第一章 我们已经知道，连续随机变量计算的是长度面积等的度量，而 点的度量为零，由于连续变量的特点之一是点的概率为零。所 以，若像离散变量那样研究连续随机变量，则不满足和为一性：
F x
若设a1 0，则其分布函数的 示意图是左连续的阶梯 曲线 （见图）
1
p1 p2

a2
p1
O a 1

a3
.......
x
已知F ( x),用定义可反向求 P( X ai )，因为：
P( X ai )
k xi
第五讲 离散分布的分布函数
k
p p
k k xi
1 1 x e 2 2 F ( ) lim F ( x ) lim lim 2, 不符合F ( ) 1 x x 1 e x x 1 1 x e 2 F ( x) 在( , )上 不 是 X的 分 布 函 数 x 1 e F ( ) lim 2 lim x x 1 e x 2 0,
第五讲 连续随机变量的密度函数
2.密度与分布和区间概率之间的关系
（1）由 F ( x)求f ( x)： 由定义知：
F ( x) f ( x)，即密度为分布导数
（2）若已知 f ( x),求F ( x)
F ( x) f ( x), dF ( x) f ( x)dx, dF (t ) f (t )dt
1 1 1 1 e 0 e . 2 2
1
概括：连续分布区间 P，正负无穷两端值； 随机变量有区间，间 外 左 0 右取 1。 离散分布函数值，邻点 区间左边闭； 概率累加求分布，向上 相减点概率。
第五讲 连续随机变量的密度函数
三、概率密度函数的概念 1.概率密度函数定义：
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ) f (t )dt f (t )dt
x2 x1
f (t )dt f (t )dt f (t )dt f (t )dt
x1 x1
x1
x2
x1
x2
由此。我们得到概括三 者之间关系的重要的三 等式：