高中数学 2.3函数的奇偶性与周期性课时提能训练 苏教

【全程复习方略】2013版高中数学 2.3函数的奇偶性与周期性课时提能训练 苏
教版
(45分钟 100分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是_____(只填序号).
(1)y=-x 3,x ∈R
(2)y=sinx,x ∈R
(3)y=x,x ∈R (4)y=x 1()2,x ∈R
2.(2012·南京模拟)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=log 2x ，已知a=f(4)，b=f(-15)，c=f(13
)，则a,b,c 的大小关系为______.(用“<”连接) 3.若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)= ______.
4.(2012·无锡模拟)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数.若当x ∈(0,+∞)时，f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x 的取值范围是______.
5.若函数f(x),g(x)分别是R 上的偶函数、奇函数，且满足f(x)-g(x)=e x ,则g(f(0))=______.
6.若f(x)=x 1a 21
+-是奇函数，则a=______． 7.定义在R 上的偶函数f(x)在区间［0，+∞)上为减函数，则不等式f(1)<f(lgx)的解集为______.
8.设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为______. ①f(4)=0;
②f(x)是以4为周期的函数；
③f(x)的图象关于x=1对称；
④f(x)的图象关于x=2对称.
二、解答题(每小题15分，共45分)
9.(2012·苏州模拟)设定义在［-2,2］上的奇函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(m)+f(m-1)>0,求实数m 的取值范围.
10.(2012·淮安模拟)已知f(x)=x x 12b 2a
+++是R 上的奇函数.
(1)求a,b 的值；
(2)对任意正数x ，不等式f(k(log 3x)2-2log 3x)+f(2(log 3x)2+k)>0恒成立，求实数k 的取值范围.
11.(2012·连云港模拟)已知函数f(x)=1a 2x b -
-是偶函数，a 为实常数. (1)求b 的值；
(2)当a=1时，是否存在n>m>0,使得函数y=f(x)在区间［m,n ］上的函数值组成的集合也是［m,n ］，若存在，求出m,n 的值，否则，说明理由.
【探究创新】
(15分)设函数f(x)的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M(M ⊆D)，有x+l ∈D ，且f(x+l )≥f(x)，则称f(x)为M 上的l 高调函数.
(1)如果定义域为［-1,+∞)的函数f(x)=x 2为［-1,+∞)上的m 高调函数，求实数m 的取值范围.
(2)如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=|x-a 2|-a 2，且f(x)为R 上的4高调函数，求实数a 的取值范围.
答案解析
1.【解析】在定义域内为奇函数的为(1)(2)(3)，又y=sinx 在R 上不单调，y=x 在R 上为增函数，故只有y=-x 3,x ∈R 满足题意.
答案：(1)
2.【解析】∵当x>0时，f(x)=log 2x ，
∴a=f(4)=log 24=2， c=2211f ()log log 3033
==-<, 又∵f(x)是定义在R 上的奇函数, ∴b=2
211
1f ()f ()log log 525
55-=-=-=>， 因此，c<a<b.
答案:c ＜a ＜b
3.【解析】f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,
f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,
∴f(3)-f(4)=-1.
答案：-1
4.【解题指南】可借助图象解决该问题，因为f(x)是定义在R 上的奇函数，故f(x)的图象关于原点对称.确定f(x)=0的点，进而求得满足f(x)>0的x 的取值范围.
【解析】∵x>0时，f(x)=lgx,且f(1)=0,
其图象如图
∴x<0时,其图象如图,f(-1)=0.
∴若f(x)>0,则-1<x<0或x>1.
答案：(-1,0)∪(1,+∞)
5.【解析】∵f(x),g(x)分别是R 上的偶函数、奇函数，
∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e -x .
由()()()()x
x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩得
()()x x
x x e e f x 2
.e e g x 2
--⎧+=
⎪⎪⎨-
⎪=⎪⎩
∴f(0)=00
e e 2+ =1,
∴g(f(0))=g(1)=12
e e 1e 22e ---
=. 答案：2
1e 2e -
6.【解析】∵f(x)=x 1
a 21+-是奇函数，
∴f(-x)=-f(x).
而()x
x x 1
2f x a a 2112--=+=+--, ∴x
x x 21a a 1221+=----, 即x x x 1
22a 11212=-=--.
∴a=1
2.
答案: 1
2
7.【解析】∵f(x)是R 上的偶函数且在区间［0,+∞)上为减函数,
∴f(x)在(-∞,0］上为增函数.
若f(1)<f(lgx),
则-1<lgx<1,解得1
10<x<10.
答案：(1
10,10)
8.【解析】∵f(x+2)=-f(x)，
∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4)，
即f(x)的周期为4，②正确.
∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)为奇函数)，即①正确.
又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),
∴f(x)的图象关于x=1对称,∴③正确,
又∵f(1)=-f(3),当f(1)≠0时，显然f(x)的图象不关于x=2对称，∴④错误.
答案：①②③
9.【解析】由f(m)+f(m-1)>0,
得f(m)>-f(m-1),
即f(1-m)<f(m).
又∵f(x)在［0,2］上单调递减且f(x)在［-2,2］上为奇函数,
∴f(x)在［-2,2］上为减函数，
∴21m 2
2m 21m m
-≤-≤
⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩, 即1m 3
2m 21m 2
⎧⎪-≤≤
⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩,解得-1≤m<1
2.
【误区警示】本题易忽视m,1-m ∈［-2,2］而导致错误.
10.【解析】(1)∵f(0)=0,∴b=-1,
又∵f(-1)=-f(1),
∴a=2,此时f(x)=()x x 21
221-+，经检验确为奇函数.
(2)∵f(x)=x 11
212-+,
∴f(x)在R 上单调递增，原不等式等价于：
k(log 3x)2-2log 3x>-2(log 3x)2-k,令log 3x=t,则(k+2)t 2
-2t+k>0对一切实数t 恒成立.所以
()k 20
44k 2k 0+>⎧⎪⎨∆=-+<⎪⎩,解得
-1.
11.【解析】(1)由已知，可得f(x)=1
a 2x
b --的定义域为D=(-∞,b
2)∪(b
2,+∞).
又y=f(x)是偶函数，故定义域D 关于原点对称.
于是，b=0(否则，当b ≠0时，有-b
2∈D 且b
2∉D,即D 必不关于原点对称).
又对任意x ∈D,有f(x)=f(-x),可得b=0.
因此所求实数b=0.
(2)由(1)，可知f(x)=1
a 2x - (D=(-∞,0)∪(0,+∞)).
考察函数f(x)= 1
a 2x -的图象，可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，
又n>m>0,
∴y=f(x)在区间［m,n ］上是增函数.
因y=f(x)在区间［m,n ］上的函数值组成的集合也是［m,n ］. ∴有11m 2m 11n 2n
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 即方程11x 2x
-=,也就是2x 2-2x+1=0有两个不相等的正根. ∵Δ=4-8<0,∴此方程无解.
故不存在正实数m,n 满足题意.
【变式备选】已知函数f(x)=e x -e -x (x ∈R 且e 为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t ，使不等式f(x-t)+f(x 2-t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.
【解析】(1)∵()x x 1
f x e ()e
=-,且y=e x 是增函数， y=x
1()e -是增函数，所以f(x)是增函数.
由于f(x)的定义域为R ，
且f(-x)=e -x -e x =-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,
∴f(x-t)+f(x 2-t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立
⇔f(x 2-t 2)≥f(t-x)对一切x ∈R 恒成立
⇔x 2-t 2≥t-x 对一切x ∈R 恒成立
⇔t 2+t ≤x 2+x 对一切x ∈R 恒成立 ⇔22
min 11(t )(x )22
+≤+ ⇔211(t )0t 22
+≤⇔=-. 即存在实数t=-12, 使不等式f(x-t)+f(x 2-t 2
)≥0对一切x 都成立.
【探究创新】
【解析】(1)f(x)=x 2(x ≥-1)的图象如图①所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)，有m ≥2；x ≥-1时，恒有f(x+2)
≥f(x)，故m≥2即可.所以实数m的取值范围为［2,
+∞)；
(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图②所示，∵f(3a2)=a2=f(-a2)，
由f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2)，
故-a2+4≥3a2，从而a2≤1，
又a2≤1时，恒有f(x+4)≥f(x)，故a2≤1即可．
所以实数a的取值范围为［-1,1］.。