最新-2021学年高一数学人教A版必修2课件：224平面与平面平行的性质 精品
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'
=
又 EH⊄平面 BB'C'C,B'B⊂平面 BB'C'C,
∴EH∥平面 BB'C'C.
又 EH∩FH=H,
∴平面 FHE∥平面 BB'C'C.
又 EF⊂平面 FHE,EF⊄平面 BB'C'C,
∴EF∥平面 BB'C'C.
题型一
题型二
方法二:连接 AF 并延长交 BC 于点 M,连接 B'M.如上图所示.
已知面与面平行,线面平行是必然.
若与第三面相交,则得两条平行线.
题型一
题型二
题型一
证明直线与直线平行
【例1】 如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点,直线PB,PD分别与
α,β相交于点A,B和C,D.
求证:AC∥BD.
证明:因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD可确定一个平面γ,则
α∩γ=AC,β∩γ=BD.
所以四边形ABCD是平行四边形.所以AD=BC.
1
2
1.理解面面平行的性质定理
剖析:(1)面面平行的性质定理的条件有三个:
①α∥β;②α∩γ=a;③β∩γ=b.
三个条件缺一不可.(2)定的实质是由面面平行得线线平行,其应用过程是构造与两
个平行平面都相交的一个平面.
(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义.
2.2.4
平面与平面平行的性质
1.理解并能证明两个平面平行的性质定理.
2.能利用性质定理解决有关的平行问题.
平面与平面平行的性质定理
文字
语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的
交线平行
图形
语言
符号语
言
作用
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
证明两条直线平行
归纳总结平面与平面平行的性质:(1)如果两个平面平行,那么它们
理由:因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1BC1∩平面
A1B1C1D1=A1C1,平面A1BC1∩平面ABCD=l,所以A1C1∥l.又AC∥A1C1,
故l∥AC.
题型一
题型二
题型二
证明直线和平面平行
【例2】 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E在AB'上,点F在BD上,
且B'E=BF.求证:EF∥平面BB'C'C.
1
2
知识拓展空间中各种平行关系相互转化的示意图
1
2
2.记忆口诀
剖析:有关线面、面面平行的判定与性质,可按下面的口诀去记
忆:
空间之中两直线,平行相交和异面.
线线平行同方向,等角定理进空间.
判断线和面平行,面中找条平行线.
已知线和面平行,过线作面找交线.
要证面和面平行,面中找出两交线.
线面平行若成立,面面平行不用看.
题型一
题型二
证明:方法一:作 FH∥AD 交 AB 于点 H,连接 HE.如图所示.
∵AD∥BC,∴FH∥BC.
又 FH⊄平面 BB'C'C,BC⊂平面 BB'C'C,
∴FH∥平面 BB'C'C.
由 FH∥AD,可得
又 BF=B'E,BD=AB',∴
∴EH∥B'B.
.
'
= .
因为P是AE的中点,所以PG∥EB.
又PG⊄平面CBE,EB⊂平面CBE,
所以PG∥平面CBE.
同理可证GQ∥平面CBE.
又PG∩GQ=G,PG⊂平面PGQ,GQ⊂平面PGQ,
所以平面PGQ∥平面CBE.
因为PQ⊂平面PGQ,PQ⊄平面CBE,
所以PQ∥平面CBE.
题型一
题型二
方法二:如图,连接AC,则Q∈AC,且Q是AC的中点.
(2)应用线面平行的判定定理;
(3)应用“两个平面平行时,其中一个平面内的任意一条直线都平
行于另一个平面”.
题型一
题型二
【变式训练2】
已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平
面内,P,Q分别是对角线AE,BD的中点.求证:PQ∥平面CBE.
题型一
题型二
证明:方法一:如图,取AB的中点G,连接PG和GQ.
⋂ =
需有面面平行.
(5)反证法:假设两条直线不平行,然后推出矛盾,进而证明两条
直线应当是平行的.
题型一
题型二
【变式训练1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面A1BC1与
底面ABCD的交线l,并说明理由.
解:
在平面ABCD内,过点B作直线与AC平行,该直线即为所求作直线
l(如图).
∵AD∥BC,
∴△AFD∽△MFB.∴ = .
又 BD=B'A,B'E=BF,
∴DF=AE,∴ = ',
∴EF∥B'M.又 EF⊄平面 BB'C'C,B'M⊂平面 BB'C'C,
∴EF∥平面 BB'C'C.
题型一
题型二
反思证明线面平行的方法主要有三种:
(1)应用线面平行的定义;
因为α∥β,所以AC∥BD.
题型一
题型二
反思证明线线平行的方法
(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.
(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.
∥
(3)线面平行的性质定理: ⊂
⇒a∥b,应用时题目条件中
⋂ =
需有线面平行.
∥
(4)面面平行的性质定理: ⋂ = ⇒a∥b,应用时题目条件中
因为P是AE的中点,所以PQ∥EC.
因为PQ⊄平面CBE,EC⊂平面CBE,
所以PQ∥平面CBE.
2.2.4
平面与平面平行的性质
谢谢观看
-19-
2.2.4
平面与平面平行的性质
下课
-20-
没有公共点;(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一
条直线平行于另一个平面(实质上可以作为直线与平面平行的判定
方法).
【做一做】 如图,已知平面α∥平面
β,A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC.求证:AD=BC.
证明:因为AD∥BC,所以AD与BC确定一个平面γ.因为
α∥β,α∩γ=AB,β∩γ=DC,所以AB∥DC.
=
又 EH⊄平面 BB'C'C,B'B⊂平面 BB'C'C,
∴EH∥平面 BB'C'C.
又 EH∩FH=H,
∴平面 FHE∥平面 BB'C'C.
又 EF⊂平面 FHE,EF⊄平面 BB'C'C,
∴EF∥平面 BB'C'C.
题型一
题型二
方法二:连接 AF 并延长交 BC 于点 M,连接 B'M.如上图所示.
已知面与面平行,线面平行是必然.
若与第三面相交,则得两条平行线.
题型一
题型二
题型一
证明直线与直线平行
【例1】 如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点,直线PB,PD分别与
α,β相交于点A,B和C,D.
求证:AC∥BD.
证明:因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD可确定一个平面γ,则
α∩γ=AC,β∩γ=BD.
所以四边形ABCD是平行四边形.所以AD=BC.
1
2
1.理解面面平行的性质定理
剖析:(1)面面平行的性质定理的条件有三个:
①α∥β;②α∩γ=a;③β∩γ=b.
三个条件缺一不可.(2)定的实质是由面面平行得线线平行,其应用过程是构造与两
个平行平面都相交的一个平面.
(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义.
2.2.4
平面与平面平行的性质
1.理解并能证明两个平面平行的性质定理.
2.能利用性质定理解决有关的平行问题.
平面与平面平行的性质定理
文字
语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的
交线平行
图形
语言
符号语
言
作用
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
证明两条直线平行
归纳总结平面与平面平行的性质:(1)如果两个平面平行,那么它们
理由:因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1BC1∩平面
A1B1C1D1=A1C1,平面A1BC1∩平面ABCD=l,所以A1C1∥l.又AC∥A1C1,
故l∥AC.
题型一
题型二
题型二
证明直线和平面平行
【例2】 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E在AB'上,点F在BD上,
且B'E=BF.求证:EF∥平面BB'C'C.
1
2
知识拓展空间中各种平行关系相互转化的示意图
1
2
2.记忆口诀
剖析:有关线面、面面平行的判定与性质,可按下面的口诀去记
忆:
空间之中两直线,平行相交和异面.
线线平行同方向,等角定理进空间.
判断线和面平行,面中找条平行线.
已知线和面平行,过线作面找交线.
要证面和面平行,面中找出两交线.
线面平行若成立,面面平行不用看.
题型一
题型二
证明:方法一:作 FH∥AD 交 AB 于点 H,连接 HE.如图所示.
∵AD∥BC,∴FH∥BC.
又 FH⊄平面 BB'C'C,BC⊂平面 BB'C'C,
∴FH∥平面 BB'C'C.
由 FH∥AD,可得
又 BF=B'E,BD=AB',∴
∴EH∥B'B.
.
'
= .
因为P是AE的中点,所以PG∥EB.
又PG⊄平面CBE,EB⊂平面CBE,
所以PG∥平面CBE.
同理可证GQ∥平面CBE.
又PG∩GQ=G,PG⊂平面PGQ,GQ⊂平面PGQ,
所以平面PGQ∥平面CBE.
因为PQ⊂平面PGQ,PQ⊄平面CBE,
所以PQ∥平面CBE.
题型一
题型二
方法二:如图,连接AC,则Q∈AC,且Q是AC的中点.
(2)应用线面平行的判定定理;
(3)应用“两个平面平行时,其中一个平面内的任意一条直线都平
行于另一个平面”.
题型一
题型二
【变式训练2】
已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平
面内,P,Q分别是对角线AE,BD的中点.求证:PQ∥平面CBE.
题型一
题型二
证明:方法一:如图,取AB的中点G,连接PG和GQ.
⋂ =
需有面面平行.
(5)反证法:假设两条直线不平行,然后推出矛盾,进而证明两条
直线应当是平行的.
题型一
题型二
【变式训练1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面A1BC1与
底面ABCD的交线l,并说明理由.
解:
在平面ABCD内,过点B作直线与AC平行,该直线即为所求作直线
l(如图).
∵AD∥BC,
∴△AFD∽△MFB.∴ = .
又 BD=B'A,B'E=BF,
∴DF=AE,∴ = ',
∴EF∥B'M.又 EF⊄平面 BB'C'C,B'M⊂平面 BB'C'C,
∴EF∥平面 BB'C'C.
题型一
题型二
反思证明线面平行的方法主要有三种:
(1)应用线面平行的定义;
因为α∥β,所以AC∥BD.
题型一
题型二
反思证明线线平行的方法
(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.
(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.
∥
(3)线面平行的性质定理: ⊂
⇒a∥b,应用时题目条件中
⋂ =
需有线面平行.
∥
(4)面面平行的性质定理: ⋂ = ⇒a∥b,应用时题目条件中
因为P是AE的中点,所以PQ∥EC.
因为PQ⊄平面CBE,EC⊂平面CBE,
所以PQ∥平面CBE.
2.2.4
平面与平面平行的性质
谢谢观看
-19-
2.2.4
平面与平面平行的性质
下课
-20-
没有公共点;(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一
条直线平行于另一个平面(实质上可以作为直线与平面平行的判定
方法).
【做一做】 如图,已知平面α∥平面
β,A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC.求证:AD=BC.
证明:因为AD∥BC,所以AD与BC确定一个平面γ.因为
α∥β,α∩γ=AB,β∩γ=DC,所以AB∥DC.