高二数学上学期期末考试试题实验班理 试题

育才2021-2021学年度上学期期末考试
创作单位：*ＸＸＸ
创作时间：2022年4月12日 创作编者：聂明景
高二〔实验班〕理科数学
〔考试时间是是：120分钟 ，满分是：150分〕
一、选择题(一共12小题,每一小题5分,一共60分) 1.命题21:p x x ∀>， 2122x x >，那么p ⌝是〔 〕． A. 21x x ∀>， 2122x x < B. 21x x ∃>， 2122x x ≤ C. 21x x ∀≤， 2122x x ≤ D. 21x x ∃≤， 2122x x < 2.m 为正数，那么“1m >〞是“
11
lg 1m m
+< 〞的 〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.向量()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，使a ⊥ b 成立的x 与使//a b 成立的x 分别为〔 〕
A. B. C. D.
4.以下说法中正确的选项是
A. “()00f =〞是“函数()f x 是奇函数〞的必要条件
B. 假设2000:,10p x R x x ∃∈-->，那么2
:,10p x R x x ⌝∀∈--<
C. 假设p q ∧为假命题，那么p ， q 均为假命题
D. 命题“假设6
π
α=，那么1sin 2α=
〞的否命题是“假设6πα≠，那么1sin 2
α≠〞 5.两点均在焦点为的抛物线
上，假设
，线段
的中点到
直线
的间隔 为1，那么的值是 〔 〕
A. 1
B. 1或者3
C. 2
D. 2或者6
6.设点P 为双曲线22
221x y a b -=〔0a >， 0b >〕上一点， 12,F F 分别是左右焦点， I 是
12PF F ∆的内心，假设1IPF ∆， 2IPF ∆， 12IF F ∆的面积123,,S S S 满足()1232S S S -=，
那么双曲线的离心率为〔 〕
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2
7.直线40x y m ++=交椭圆2
2116
x y +=于A B 、两点，假设线段AB 中点的横坐标为1，
那么m =〔 〕
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
8.如图，60°的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．4,6,8AB AC BD ===，那么CD 的长为〔 〕
17 B. 7 C. 17 D. 9
9.在空间直角坐标系O xyz -， ()0,1,0A ， ()1,1,1B ， ()0,2,1C 确定的平面记为α，
不经过点A 的平面β的一个法向量为()2,2,2n =-，那么〔 〕
A. //αβ
B. αβ⊥
C. ,αβ相交但不垂直
D. ,αβ所成的锐二面角为060 10.抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，假设3FA FB =，那么AF =〔 〕
A. 3
B. 4
C. 6
D. 7
11.如图，面ACD α⊥,B 为AC 的中点， 2,60,AC CBD P α=∠=为内的动点，且P 到直线BD 的间隔 为3那么APC ∠的最大值为〔 〕
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
12.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点 A.关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，假设
AF BF ⊥，设,ABF α∠=且,124ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦，那么该椭圆离心率的取值范围为 〔 〕 A. 2⎫⎪⎪⎣⎭ B. 26⎣⎦ C. 6⎫
⎪⎪⎣⎭ D. 2322⎣⎦
二、填空题(一共4小题,每一小题5分,一共20分) 13.条件:25p x -<<，条件2
:0x q x a
+<-，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是______________．
14.过双曲线22
11625
x y -=的左焦点1F 引圆2216x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲
线右支于P M 为线段1F P 的中点， O 为坐标原点，那么MO MT -=__________．
l 的方向向量(1,1,1)a =，平面α的一个法向量(2,1,1)n =-，那么直线l 与平面α所成角
的正弦值等于_________。

16.P 为椭圆22
11615
x y +=上任意一点， EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，那
么•PE PF 的取值范围是__________． 三、解答题(一共6小题,一共70分)
17.〔10分〕命题:p 方程： 22129x y
m m
+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 双曲线
22
15y x m -=的离心率6,22e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
，假设“p q ∧〞为假命题，“p q ∨〞为真命题，求m 的取值范围.
18.〔12分〕圆2
2
:4O x y +=恰好经过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点和两个
顶点.
〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕经过原点的直线l (不与坐标轴重合)交椭圆C 于,A B 两点， AM x ⊥轴，垂足为M ，连接BM 并延长BM 交椭圆C 于N ，证明：以线段BN 为直径的圆经过点A .
19. 〔12分〕双曲线的右焦点为．
〔1〕假设双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；
〔2〕以原点
为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作
圆的切线，斜率为3，求双曲线的离心率．
20. 〔12分〕()
2cos 23sin 1a x x =+，
， ()cos b y x =，且a b . 〔1〕将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期.
〔2〕记()f x 的最大值为M ， a ， b ， c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的边长，假设2A f M ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
且2a =，求bc 的最大值. 21. 〔12分〕过点(4,0)A -的动直线l 与抛物线G ：2
2(0)x py p =>相交于,B C 两点．当直线l 的斜率是
1
2
时，4AC AB =. (1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
22. 〔12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA=PD ，AB ⊥AD ，AB=1，AD=2， 5AC CD ==. 〔1〕求证：PD⊥平面PAB ；
〔2〕求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.
参考答案与解析
【解析】命题p 是全称命题，其否认为特称命题，所以:p ⌝ “21x x ∃>， 2122x x ≤〞．应
选B ．
【解析】2.设()111
lg lg (0)f x x x x x x
=+=->，那么()f x 在()0,+∞上单调递减。

假设1m >，那么()()1lg 11f m m f m =-<=，即11
lg 1m m
+<；
假设11lg 1m m +<，即()()1
lg 11f m m f m
=-<=，那么有1m >。

综上可得“1m >〞是“11
lg 1m m
+< 〞的充要条件。

选C 。

【解析】向量()()2,1,3,4,2,a b x =-=-,
假设a ⊥ b ,那么823?1030a b x x =--+=-+=，解得10
3
x =. 假设//a b ，那么42213
x -==-，解得6x =-.应选A.
【解析】对于A 中，如函数()1
f x x x
=+
是奇函数，但()00f ≠，所以不正确；B 中，命题2000:,10p x R x x ∃∈-->，那么2
:,10p x R x x ⌝∀∈--≤，所以不正确；C 中，假设
p q ∧为假命题，那么p ， q 应至少有一个假命题，所以不正确；D 中，命题“假设6
πα=，那么1sin 2α=〞的否命题是“假设6πα≠，那么1
sin 2
α≠〞是正确的，应选D ．
【解析】
因为线段的中点到直线
的间隔 为1，所以
，选
B.
【解析】
如图,设圆I 与12PF F ∆的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点.E F G ，，，连接
IE IF IG 、、，
那么1212,,IE F F IF PF IG PF ⊥⊥⊥， 它们分别是12IF F ∆, 1IPF ∆, 2IPF ∆的高， ∴11111
22
S PF IF PF r =
⋅=， 22211
22S PF IG PF r =
⋅=， 3121211
22
S F F IE F F r =
⋅=， 其中r 是12IF F ∆的内切圆的半径。

∵()1232S S S -=，
∴1PF r −
2PF r = 121
2
F F r ， 两边约去r 得： 12121
2
PF PF F F -=，
根据双曲线定义,得12122,2PF PF a F F c -==， ∴2a c =⇒离心率为2c
e a
==.应选：A. 【解析】
40x y m ++=， 144
m
y x ∴=--
设()11A x y ，， ()22B x y ，
2
211222
2116{ 116
x y x y +=+=，两式相减， ()121212121
164
y y x x x x y y -+=-=--+
AB 中点的横坐标为1
那么纵坐标为
1
4
将114⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入直线144m y x =--，解得2m =-
【解析】∵CA AB ⊥， BD AB ⊥，∴00CA AB DB AB ⋅=⋅=，，∵CD CA AB BD =++，∴
2222
222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅
222648268cos12068=+++⨯⨯︒=
，∴CD = C.
【解析】∵()0,1,0A ， ()1,1,1B ， ()0,2,1C )确定的平面记为α， ∴()()1,0,1,0,1,1AB AC ==， 设平面α的法向量(),,m x y z =， 那么0{
m AB x z m AC y z =+==+=，不妨令x =1,得()1,1,1m =-，
∵不经过点A 的平面β的一个法向量为n →=(2,2,−2)，
()2,2,22n m =-=，
∴α∥β.。

应选：A.
【解析】
由B 为AF 的三等分，作BH l ⊥于H ，如图，那么244
,333
BH FK BF BH =
=∴==， 34AF BF ∴==，应选B.
【解析】∵P 到直线BD 的间隔 3∴空间中到直线BD 的间隔 3它和面α相交得一椭圆，即点P 在
α内的轨迹为一个椭圆， B 为椭圆中心， 3b = 3
2a =
=，那么1c =
∴A B ，为椭圆的焦点
∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点获得最大值 ∴APC ∠的最大值为60︒。

应选B
【解析】椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>焦点在x 轴上，
椭圆上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为F 1， 那么：连接AF ，AF 1，AF ，BF 所以：四边形AFF 1B 为长方形． 根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ， ∠ABF=α，那么：∠AF 1F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα，即a=〔cosα+sinα〕c ，
由椭圆的离心率e=c
a =1
sin αcos α+=1
4πα⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭， 由,124ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，, ,432πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
sin 〔α+
4π〕∈1]，
4πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭∈，]，
1
4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭∈⎣⎦，应选：B ．
13.5a > 【解析】
p 是q 的充分不必要条件，
25x ∴-<<是不等式
2
0x x a
+<-的解集的真子集 故5a > 14.1
【解析】设F '是双曲线的右焦点，连接PF '
M O ，分别为1F P ， 1F F '的中点
1
2
MO PF ∴=
'
15FT ==
由双曲线定义得， 18F P PF '-=
故()111111
45122
MO MT PF MF FT PF F P FT ''-=
-+=-+=-+=
15.
3
【解析】设直线l 与平面α所成的角为θ．
所以2112sin cos ,336a n a n a n θ⋅-+====
⨯⋅． 16.[5,21]
【解析】因为()()()2•PE PF NE NP NF NP NE NF NP NE NF NP =-⋅-=⋅-⋅++ 220|4|NE NF cos NP NP π=-⋅⋅-+=-+.
又因为椭圆22
11615
x y +=的4,151a b c ===，， N (1,0)为椭圆的右焦点，
∴[][],3,5NP a c a c ∈-+=
∴[]•5,21PE PF ∈.
故答案为：[5,21].
17.实m 的取值范围是502
m <≤ 或者35m ≤<. 【解析】假设p 真，那么有9-m>2m>0即0<m<3
假设真，那么有m>0且，解得
因为“p q ∧〞为假命题，“p q ∨〞为真命题，那么p ，q 一真一假。

①假设P 真q 假，那么0<m<3,且m
即0<m ②假设P 假q 真，那么m 3或者m 0且
即3m<5 综上，实m 的取值范围是 502
m <≤ 或者35m ≤< . 18.〔1〕22
184
x y +=；〔2〕见解析
【解析】〔1〕由题意可知， 2b c ==， 2222a b c =+=，
所以椭圆C 的方程为22
184
x y +=.
〔2〕证明：设直线l 的斜率为()0k k ≠， ()()000,0A x y x ≠，在直线l 的方程为y kx =， ()()000,,,0B x y M x --.
直线BM 的斜率为0000222y kx k x x --==--，所以直线BM 的方程为()02
k y x x =-， 联立()22
0184{ 2x y k y x x +==-得()
222220022160k x k x x k x +-+-=， 记,B N 横坐标分別为()(),,,B B N N x y x y .由韦达定理知: 200222
B N N k x x x x x k +=-+=+, 所以200222N k x x x k =++，于是2022
N k x y k =+， 所以直线AN 的斜率为2002020021222
N N k x kx y y k k x x x k
k --+==--+， 因为11k k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
.所以AN BN ⊥， 所以以线段BN 为直径的圆一定经过点A .
19.〔1〕222x y -=；〔2
．
【解析】〔1〕由题意， 222221,2,2b c a b c a b a
==+=∴==， ∴所求双曲线方程为 222x y -=
〔2〕由题意，设(),A m n ，那
么OA k =，从
而n =， 222m n c +=， ∴
,2c A ⎫⎪⎪⎝⎭
将,22c A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线22221x y a b -=得： 22223144c c a b -= ()
2222234c b a a b ∴-= 且222c a b =+ ()()
222222422434320a b b a a b b a b a ∴+-=∴--=
从而
20.(1) ()2sin 216f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
，函数()f x 的最小正周期为π.(2)4. 【解析】〔1〕由a b 得22cos 23sin cos 0x x x y +-= 即22cos 23sin cos cos23sin212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭ 所以()2sin 216f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，又222
T πππω=== 所以函数()f x 的最小正周期为π.
〔2〕由〔1〕易得3M = 于是由32A f M ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2sin 13sin 166A A ππ⎛⎫⎛⎫++=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为A 为三角形的内角，故3A π
=
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2242b c bc bc bc bc =+-≥-= 解得4bc ≤，于是当且仅当2b c ==时， bc 的最大值为4.
21.〔1〕x 2＝4y ；〔2〕b ∈(2，＋∞)．
【解析】 (1)设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.
由2224
x py x y ⎧=⎨=-⎩得2y 2－(8＋p)y ＋8＝0，
∴124y y =①, 1282
p y y ++=② 又∵4AC AB =，∴y 2＝4y 1，③
由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 的方程为x 2＝4y.
(2)设l ：y ＝k(x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，
由24(4)
x y y k x ⎧=⎨=+⎩得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴022
C B x x x k +=
=，y 0＝k(x 0＋4)＝2k 2＋4k. ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k)， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或者k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．
22.(1)见解析；〔2〕sin 3
θ= 【解析】〔1〕∵平面PAD ⊥平面ABCD, 平面PAD ⋂平面ABCD=AD, AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面PAD ，
∵PD ⊂平面PAD ，
∴AB PD ⊥,
又,PD PA PA AB A ⊥⋂=，
∴ PD⊥平面PAB 。

〔2〕取AD 的中点O ，连PO ，CO 。

∵AC CD ==
∴CO⊥AD，
∵PA=PD ，
∴PO⊥AD，
∴OP,OA,OC 两两垂直，
以O 为原点建立如下图的空间直角坐标系O-xyz ，
那么()()()()0,0,1,1,1,0,2,0,0,0,1,0P B C D -。

∴()1,1,1PB =-。

设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，
由()()()(),,0,1,10
{ ,,2,0,120n PD x y z y z n PC x y z x z ⋅=⋅--=--=⋅=⋅-=-= ，得2{ 2y x
z x =-=。

令1x =，那么()1,2,2n =-。

设直线PB 与平面PCD 所成角为θ， 那么33sin cos ,33
n PB
n PB n PB θ⋅====⨯∴直线PB 与平面PCD 3。