八年级数学寒假专项训练专题 新人教版

初中八年级数学寒假专项训练专题（二）
因式分解的应用参考答案
知识要点：因式分解时一种代数式的恒等变形，其应用主要体现在简便计算、多项式的化简与求值、等式的证明等方面。

A 卷
一、填空题
1、（第13届江苏省竞赛试题）已知3=+y x ，422=-+xy y x ，则3344xy y x y x +++的值为 .
答案：36
解答：()()()()36432222
333344=⨯=+-+=+++=+++y xy x y x y x y y x x xy y x y x 2、（全国初中数学联赛）已知0≠ab ，0222=-+b ab a ，那么_________22=+-b
a b a . 答案：31或3
5 解答：由0222=-+b ab a 得：()()b a b a b a 202-=⇒=-+或b a =
当b a 2-=时，原式35=；当b a =时，原式3
1= 3、计算：_________2002
2001200119992001220012323=-+-⨯-. 答案：2002
1999 解答：令m =2001，则
原式()()()()()()()()()()
=+-=-+--=+-+---=+-+---=121
112112212222222323m m m m m m m m m m m m m m m m m m 20021999 4、计算：_______20001119991141131121122222=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛- . 答案：40002001 解答：令m =2001，则
原式
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=200011200011199911199911411411311311211211 20002001200019991999200019991998454334322321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 2000200121⨯= 4000
2001=
5、（第15届江苏省竞赛题）已知a 、b 、c 满足5=+b a ，92-+=b ab c ，
则_________=c . 答案：0
解答：由5=+b a 变形得：b a -=5，把b a -=5代入92-+=b ab c 得
()()2
2239695--=-+-=-+-=b b b b b b c 又∵02≥c ，()032
≥-b ∴02=c ，即0=c
6、（2004年第15届“希望杯”初二年级培训题）如果m 是自然数，并且20043+m 能被2+m 整除，那么m 的最大值是 .
答案：1994 解答：()
2
199642199628219968220042333+++-=++++=+++=++m m m m m m m m m m 可知，2+m 是1996的约数，取2+m 得最大约数1996，即1994=m
二、选择题
7、设m 、n 满足016102222=++++mn n m n m ，则（m ，n ）为（ C ） A 、（2，-2）或（-2，2） B 、（2，2）或（2，-2） C 、（2，2）或（-2，2） D 、（-2，-2）或（-2，2） 答案：C
解答：配方得：010********=++++++mn n mn m mn n m
()()4042
2=⇒=+++⇒mn n m mn ，0=+n m 解得：⎩⎨⎧-==22n m 或⎩⎨⎧=-=2
2n m
8、方程322233=-+-xy y x y x 的正整数解的个数为（ B ）
A 、0
B 、1个
C 、2个
D 、不小于3个
答案：B
解答：原式可化简为：()()2222
132284232⨯=⨯=⨯==+-y x y x 由于x 、y 都是正整数，则y x y x +- 0，故符合条件的是⎩⎨⎧=+=-42y x y x ，解得：⎩
⎨⎧==13y x B 卷
一、填空题
9、计算：()()()()()()()()
________220021999285263241220032000296274252=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ . 答案：1001
解答：由()()()2123++=++n n n n ，得：
原式()()()()()()()()10012
20022001200076543220022001876543==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 10、（2004年第15届“希望杯”初二年级培训题）若4=++z y x ，12=-+z y x ，那么yz xz xyz yz xz zy zx z +++++++222223的值等于 .
答案：16
解答：原
式()()
()y x z y xy x z y x z z +++++++=2222()()()y x z y x z y x z z ++++++=22
由⎩⎨⎧==+⇒⎩⎨⎧=-+=++13124z y x z y x z y x 故()()()162
2=++++++y x z y x z y x z z 二、选择题
11、（第12届“希望杯”邀请赛试题）若ABC ∆的三边长为a 、b 、c ，且满足22444c b c b a -+=，22444c a a c b -+=，22444b a b a c -+=，则ABC ∆的是（ D ）
A 、钝角三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等边三角形
答案：D
解答：把三个式子相加，得：022*******=---++a c c b b a c b a
配方得：()()()02
22222222=-+-+-a c c b b a 又∵0 a ，0 b ，0 c
∴c b a ==
12、（全国初中竞赛试题）如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为（ B ）
A 、6
B 、8
C 、10
D 、12
答案：B
解答：设矩形的长为a ，宽为b ，则
()⎩
⎨⎧=+-=a a b b k a 2242，解得：8=k 三、解答题
13、已知a 、b 、c 、d 满足d c b a +=+，3333d c b a +=+，求证：2003200320032003d c b a +=+. 解：()()2233b ab a b a b a +-+=+，()()2233d cd c d c d c +-+=+
又∵3333d c b a +=+
∴()()=+-+22b ab a b a ()()22d cd c d c +-+
（1）若0=+=+d c b a ，则b a -=，d c -=，从而02003200320032003=+=+d c b a ；
（2）若0≠+=+d c b a ，则2
222d cd c b ab a +-=+-，即()()cd d c ab b a 3322-+=-+，从而得到cd ab =，于是()()ab b a cd d c +-=+-22，
()()22b a d c -=-，故()b a d c -±=-
得方程组⎩⎨⎧-=-+=+d c b a d c b a 或⎩
⎨⎧-=-+=+c d b a d c b a 解得：⎩
⎨⎧==d b c a 或⎩⎨⎧==c b d a 故2003200320032003d c b a +=+
C 卷
一、解答题
14、（五城市联赛）若a 是自然数，则9324+-a a 是质数还是合数？给出你的证明。

解：()()()()33333393222
2224+-++=-+=+-a a a a a a a a 由于a 是自然数，显然1332 ++a a
当0=a 时，原式9=，是合数；
当1=a 时，原式7=，是质数；
当2=a 时，原式13=，是质数；
当2 a 时，1332 ++a a ，()()1112332 +--=+-a a a a
所以此时9324+-a a 可以分解成两个大于1的自然数的积，即它为合数，故当1=a 或2=a 时，9324+-a a 是质数；而当0=a 或2 a 时，9324+-a a 是合数。

15、（第14届江苏省竞赛题）已知x 、y 都是正整数，且满足71=++y x xy ，88022=+xy y x ，求22y x +的值。

解：由71=++y x xy 得：()()7211=++y x ①
由88022=+xy y x 得：()11528804⨯⨯==+y x xy ②
由①知x 、y 中至少有一个是奇数，不妨设x ，由②知x 只能为5，11或55 当55=x 时，56≥+y x ，()88056155 ⨯⨯≥+y x xy
故11=x ，知5=y ，此时x 、y 满足②，故1461152222=+=+y x。