2021届高考数学二轮复习常考题型大通关(新高考)填空题：计数原理

3
名同学分配
到这两个社团，共有 2222 6种，故恰有 2 个社团没有同学选报的
报法有
6
C
2 4
36
种.
8.答案：16
解析：通解 可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同
的选法有
C12
C
2 4
12
(种)；第二种情况，有
2
位女生入选，不同的选法有
C
2 2
C
1 4
4
(种).根据分类加法计数原理知，至少有
的通项公
x
x
x
x
式为 Tr1
C6r (ax)6r
1 r
x
(1)r
a6r
C6r
6
x
3 2
r
，根据题意，
6
3 2
r
0
，r
4
所
以常数项为
(
1)
4
a
2
C
4 6
60
，a
2
令
x 1，(1 1)(2
1)6
2
，所以展开式中各
项系数之和为 2 .
10.答案：44
解析：解法一 第一步，若 1 号盒子放错，则 1 号盒子有 C14 4 种不 同的放法；第二步，考虑与 1 号盒子中所放小球编号相同的盒子的放
)
2
112
.
6.答案：40；32
解析：二项式 (1
2 x)5
展开式的通项为Tr 1

C
r 5
(
2
x
)
r
，当 r 2时，第三项的
系数为 C
2 5
2
2
40
.
所有的二项式系数之和为 . C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
25
32
7.答案：36
解析：先选出学生选报的社团，共有
C
2 4
种选法，再把这
法，若该盒子中的小球编号恰好为 1，则 5 个小球全部放错的放法有
C12 2 (种)，若该盒子中的小球编号不是 1，则 5 个小球全部放错的放
法有 C13 1 C12 9 (种).由计数原理可知，5 个小球全部放错的放法有
4 2 9 44 (种).
解法二 将 5 个小球分别放入 5 个盒子中，且每个盒子中放一个小
(1
x)9
(1
x )10
，展开式中含
x7
项的系数为
C
7 9
C
7 10
156 .
5.答案：112
解析：由展开式中仅有第
5
项的二项式系数最大得
n
8，则
x
2 x3
8
的
通项为 Tr1
C8r x8r
2 x3
r
C8r (2)r
x84r
.令 8 4r
0 ，得
r
2，则展开式中的常
数项为 C
2 8
(
2
球，共有 A
5 5
120
种不同的放法，其中恰有
1
个小球放对的情况有
C
1 5
C
1 3
3
45
(种)，恰有
2
个小球放对的情况有
C
2 5
C
1 2
20
(种)，恰有
3
个
小球放对的情况有
C
3 5
10
(种)，恰有
4
个小球放对的情况有
0
种，恰
有 5 个小球放对的情况有 1 种，故全部放错的情况有
120 45 20 10 1 44(种).
最小时，展开式中含 x 7 项的系数为________________.
5.设
n
为正整数，
x
2 x3
n
的展开式中仅有第
5
项的二项式系数最大，则展开式中的常数项
为_______________. 6.二项式 (1 2 x)5 展开式中，第三项的系数为____________；所有的二项式系数之和为 __________. 7.某校有 4 个社团向高一学生招收新成员，现有 3 名同学，每人只选报 1 个社团，恰有 2 个 社团没有同学选报的报法有___________________种.(用数字作答) 8.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共 有____________种.(用数字填写答案) 9. (x 1)(ax 1 )6 (a 0) 的二项展开式中的常数项是 60，则展开式中各项系数之和为
x _______.
10.某人将编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个小球随机放入编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个盒子中，每个盒子中放一个小球.若球的编号与盒子的编号相同，则视为放对，否则视为 放错，则全部放错的情况有___________________种.
答案以及解析
1.答案：40
3.4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有___________种.
4.已知 m , n N * , f ( x ) (1 x ) m (1 x ) n 展开式中，含 x 项的系数为 19，则当含 x 2 项的系数
解析：此题分两步完成：第一步，将
4
名同学分成
3
组，有
C
2 4
种分
法；第二步，将所分
3
组进行排列，有
A
3 3
种排法.所以不同的安排方
法共有 C
2 4
A
3 3
36
种.
4.答案：156
解析： Q m , n N * , f ( x ) (1 x )m (1 x )n 展开式中，含 x 项的系数为 19，
解析：
x2
2 x
5
展开式的通项为
Tr 1
C5r
x2
5r
2 x
r
C5r
2r
10
x
5 2
r
令10
5 2
r
5
，则
r
2，
所以
x2
2
5
的展开式中，
x
5
x
的系数为
C
2 5
22
40
故答案为 40.
2.答案：96
解析：先涂五角星中间的正五边形，有 C13 3（种）方法，接着涂五角 星的五个角，各有 C12 2 （种）方法，因此共有 3 25 96 （种）方法. 3.答案：36
m n 19 .
则当 m1或 n 1时，含
x2
项的系数为
C
2 18
153
；当
m
1
，且
n 1时，含
x2
项的系数为
C2m
C2n
m(m 1) 2
n(n
1)
(19
n)(18 n) 2
n(n
1)
n2
19n
171
n
19 2
2
323 4
.
当 n 10或 9 时， x2 的系数最小，为 81.
f
(x)
2021 届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）
填空题：计数原理
1.
x2
2
5 的展开式中，
x5
的系数为_______．
x
2.用红、黄、蓝三种颜色中的两种或三种给如图的正五角星的内部（分割成六个不同部分）
涂色，要求相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案的种数是
_________.
1
位女生入选的不同的
选法有 16 种.
优解
从
6
人中任选
3
人，不同的选法有
C
3 6
20
(种)，从
6
人中任选
3
人都是男生，不同的选法有
C
3 4
4
(种)，所以至少有
1
位女生入选的
不同的选法有 20 4 16(种).
9.答案：2
解析：因为
(x
1)
ax
1
6
x ax
1
6
ax
1
6
，而
ax
1
6