江苏省海安中学2021届高三数学上学期阶段测试试题三(含解析)

江苏省海安中学2021届高三数学上学期阶段测试试题三（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1UA =，2，4}，则集合A = ．解：全集{1U =，2，3，4，5}， 若{1UA =，2，4}，则集合{3A =，5}． 故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 解：复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+- 213i i =+-=-，||9110z ∴=+=，故答案为：10． 3．已知一组数据123,,,n a a a a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c ba a =+=，所以3b a =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0])-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，A B∴<，4cos5A=，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S∴=．11.设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足x yxyx y+=-，化为22(1)0xy x y x+-+=，∴22221212(1)40110x xxy yxy y⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩，化为426101x xx⎧-+⎨>⎩，解得21x+．因此实数x 的最小值为21+．故答案为：21+．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D-的体积为27，点E，F 分别为棱1B B，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC，则四棱锥1A AEFD-的体积为．解：连接DE，正四棱柱1111ABCD A B C D-的体积为27，点E，F分别为棱1B B，1C C上的点（异于端点），且//EF BC，∴11A AED A FEDV V--=，∴11113A AED E A AD A ADV V S AB--==111111119662A ADD ABCD A C DS AB V-===，∴四棱锥1A AEFD-的体积19A AEFDV-=．故答案为：9．13．已知向量a，b，c满足0a b c++=，且a与b的夹角的正切为12-，b与c的夹角的正切为13-，||2b=，则a c的值为．解：可设AB a=，BC b =，CA c =， 由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =， 可得5sin B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin1355105==︒， 即有210||5c =，25||5a =， 则2102524||||cos 455a c c a =︒==．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ． 解：对于①()22x g x =-，当1x <时，()0g x <，又①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面则3121mmm<⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m∴-<<即①成立的范围为40m-<<又②(,4)x∈-∞-，()()0f xg x<∴此时()220xg x=-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m∴=-++>在(,4)x∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x，2x中的较小的根大即可，()i当10m-<<时，较小的根为3m--，34m--<-不成立，()ii当1m=-时，两个根同为24->-，不成立，()iii当41m-<<-时，较小的根为2m，24m<-即2m<-成立．综上可得①②成立时42m-<<-．故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本小题满分14分）已知ABC∆的面积为93()18AC AB CB-=，向量(tan tan,sin2)m A B C=+和向量(1,cos cos)n A B=是共线向量．（1）求角C；（2）求ABC∆的边长c．解：（1）//m n，(tan tan)cos cos sin2A B A B C∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C+=，sin()sin2A B C∴+=，sin2sin cosC C C∴=sin0C≠，∴1cos2C=，(0,)C π∈ ∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=得：2()18AC AB BC AC +==， ∴11332sin 329322b S ab C a ==== ∴62a =，2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴36c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且2AB =，1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以//FM CD ，且12FM CD =．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以//EA CD ，且12EA CD =．所以//FM EA ，且FM EA =． 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以//EF AM ．又AM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法二：连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC ， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠．又AE EB =，所以CEB NEA ∆≅∆．所以CE NE =． 又F 为PC 的中点，所以//EF NP ．⋯（5分）又NP ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法三：取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE DQ =，且//AE DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以//EQ AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊂/平面PAD ，所以//EQ 平面PAD ． 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以//FQ PD ． 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ． 又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQEQ Q =，所以平面//EQF 平面PAD ．因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ． （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为2AB BC =，E 为AB 的中点．所以2DA CDAE DA==． 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km 610．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为3(r at a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以182/km h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >． 061010=00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴22(36)992AB =--+即水上旅游线AB 的长为92km ． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则 182AC t =，102t，(618,18)C t t ∴-． 强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724824548g t t t=+--，当且仅当51(0,]2t 时等号成立， 所以，在024548a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点6)，其左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为22．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ()i 求证：OP OM 为定值；()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由． 解：（1）由题意可得22131222ab c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，2b =，即有椭圆方程为22142x y +=； （2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥， 设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， 可得00:42y yMA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+，00011208428y y yy x y ==+=+， 则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++为定值；()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ， 可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =． 则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==；（2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯② ①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k-++==⋯===． ∴41(1)22nn k b k k+-=+；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k =++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞．（2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析11()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e -，则()0a f x lnx x '=-，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点； ③若202a e -<，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e-时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立． 证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由知，(1,1)x a ∈+，(){f x max f <（1），(1)}f a +．又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-， 所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）． 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-． 补充证明(*): 令1()1F x lnx x =+-，1x ．111()022x F x x x x -'=-=， 所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x ．1()10G x x'=-， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2021届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答] A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩ 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=22．已知实数a ，b 满足||2a b +，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++． 证明：由||||||2b a a b -+，可得||||2b a +，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++|||2|2|2|a b a b a b =+-+-+，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++， 即证|2|2(||2)a b a -++， 由于|2|||||2a b a b -+++，即证||||22(||2)a b a +++， 即为||||2b a +，显然成立．故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=，且向量PC 与BD 夹角的余弦值为15． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=， 可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=，2，2)-，(1BD =-，2，0)，向量PC 与BD 15． 215814λ=++，解得10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =，2，2)-，(0PD =，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =，y ，)z ． 则0n PC =且0n PD =，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==， 平面PCD 的法向量(0n =，1，1)．又(1PB =，0，2)．故10cos ,||||n PB n PB n PB <>==-．直线PB 与平面PCD 10．24．已知数列{}n a 的通项公式为1515[(()]5n nn a +--，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+ 122151515()())5nn nn n C C C +++=++⋯+- 122151515(()())]nn nn n C C C ---++⋯+ 1515(1]5n n+-=+-+ 3535[()(]5n n +-=-， 即有1515S ==；23535S ==；（2）3535[((]5n nn S +-=-， 22235353535[()(][((]55n n n n n S ++++-+-=-=- 135353535([((]3n nn n S S ++-+---=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。