(赛课)二次函数解析式求法及练习学案

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九年级上数学导学案二次函数三种解析式学生用教案含配套课时作业有答案

二次函数的解析式【教学目标】熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证.【要点呈现】二次函数的解析式有三种基本形式： 1．一般式：y =a x 2+bx +c (a ≠0)．2．顶点式：y =a (x －h )2+k (a ≠0)，其中点(h ,k )为顶点，对称轴为x =h ．3．交点式：y =a (x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标．求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1．若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式．2．若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式．3．若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式．【典例剖析】例1 已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．练：①已知二次函数的图象经过（0，4），（1，4），（-2，2）．求这个二次函数的解析式．②已知二次函数的图象经过（0，0），（1，2），（2，3）．求这个二次函数的解析式． ③（2011甘肃兰州）如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 和D （4，23-）。

求抛物线的表达式。

例2 已知抛物线的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式．练：①已知抛物线的顶点坐标为（2，-1），并且经过点（-1，2），求这条抛物线的解析式②（2011黑龙江绥化）已知：二次函数c bx x y ++=24，其图象对称轴为直线1=x ，且经过点（2，49-）.求此二次函数的解析式.③．（2011福建莆田）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x=2,且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （1，0），C （0，-3）。

人教版九年级数学上用待定系数法求二次函数的解析式(学案)

人教版九年级数学上用待定系数法求二次函数的解析式（学案）学习目的知识目的：经过对用待定系数法求二次函数解析式的探求，掌握求解析式的方法。

数学思索：1、培育观察、剖析效果的才干；2、经过求二次函数解析式浸透转化思想〔解方程〕效果处置：可以依据标题中的条件设不同的二次函数解析式，灵敏运用待定系数法确定二次函数解析式。

情感态度：阅历用待定系数法求二次函数解析式的探求进程，开展探求、交流才干。

教学重点、难点：重点：掌握三种二次函数解析式难点：会依据不同条件，应用待定系数法求二次函数解析式【预习案】创设情境引入新课完成以下各题：〔1〕正比例函数经过点〔2,6〕，求正比例函数解析式？〔2〕一次函数经过点〔0,4〕〔7,10〕，求一次函数的解析式？思索：待定系数法求函数解析式的普通步骤是什么？(1)(2)(3)(4)【探求案】探求新知讲授新课例1：二次函数的图象顶点为〔1，－4〕，且过点〔0，－3〕，求二次函数的解析式.变式：抛物线与x轴只要一个公共点〔2，0〕，并且与y轴交与点〔0，2〕，求其解析式.例2：一个二次函数的图象过点〔0,-3〕〔4,5〕〔－1, 0〕三点，求这个函数的解析式.【检测案】基础检测1、请依据条件说出所设的相应的二次函数解析式：(1)抛物线的顶点坐标是〔1，,2〕，且经过点〔0，,1〕(2)一个二次函数的图象经过〔0,0〕〔－1，1〕〔1,3〕三点(3)二次函数经过〔1,0〕，〔0,3〕对称轴x= —1.(4)当x=2时，y最小=-4，且图象过原点，2、填空：数学课本上，用〝描点法〞画二次函数y=ax2+bx+c的图象时。

列了如下表格，依据表格上的信息回答以下效果：该二次函数y=ax2+bx+c当 x=3时，y的值为。

3、二次函数的图象如下图，求其解析式.【课堂小结】小组一同回忆交流本节课所学的主要内容，并请回答以下效果：1、本节课研讨的主要内容是什么？2、我们是怎样研讨的？3、在研讨进程中你遇到的效果是什么？怎样处置的？知识拓展抛物线抛物线与x轴交点坐标y=2(x-1)(x-3) (____,0),(____,0)y=3(x-2)(x+1) (____,0),(____,0)y=-5(x+4)(x+6) (____,0),(____,0)y=a(x___)(x____)〔a≠0〕(____,0),(____,0)x …-1 0 1 2 …y …-4 -2.5 -2 -2.5 …抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)练习：二次函数的图象与x轴交于A〔—2,0〕B〔4,0〕两点，与y轴交于点C〔0,4〕，求二次函数解析式；知识点梳理：1.求二次函数常用解析式的普通方法：三个点坐标三对对应值，选择普通式 y=ax2+bx+c (a≠0)顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)2.求二次函数解析式的常用思想：转化思想，解方程或方程组【作业布置】1、必做题：课本第42页第10、11题2、选做题：«同步学习»第37页拓展提高。

专题18 二次函数(学案)

专题18 二次函数一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质开口向上开口向下2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ） 2+k ，顶点坐标为（h ，k ）． 2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）． 2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标． 3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．考向一二次函数的相关概念1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+12．若函数y＝（1+m）x是关于x的二次函数，则m的值是（）A．2B．﹣1或3C．3D．﹣1±3．如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是．4．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m 时，y1＝y2＝8，则m的值为．考向二二次函数的图象5．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝ax+b在同一坐标系中的图象不可能是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．7．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，下列命题：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③当y＜0时，﹣3＜x＜1；④a﹣2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．9．如图：是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，则b2a（填“＞”“＝”“＜”）．10．在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝﹣x2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．考向三二次函数的图象与字母系数的关系11．二次函数y＝ax2开口向上，则a可能为（）A．1B．0C．﹣1D．﹣212．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），现有下四个结论：①8a+c＝0；②5a+2b+c＞0；③若抛地物线与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），则﹣＜a＜﹣；④已知m＞0，关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则x1＜﹣2＜4＜x2，其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．如果抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是．14．如果抛物线y＝（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是．15．已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是．16．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）．（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0），N（x2，0）（其中x1＜x2），且满足x1＜6﹣2x2，求a的取值范围．考向四二次函数的性质17．抛物线的y＝x2﹣2x的对称轴为直线（）A．x＝﹣1B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝218．下列关于二次函数y＝4（x﹣3）2﹣5的说法，正确的是（）A．对称轴是直线x＝﹣3B．当x＝3时有最小值﹣5C．顶点坐标是（3，5）D．当x＞3时，y随x的增大而减少19．函数y＝﹣x2+4x﹣3，当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤4C．2≤m≤4D．m＞420．二次函数y＝3（x+2）2﹣1，当x取时，y取得最小值．21．抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为．考向五二次函数的平移22．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（﹣3，2）23．把抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，则b，c的值为（）A．b＝2，c＝﹣3B．b＝4，c＝3C．b＝﹣6，c＝8D．b＝4，c＝﹣724．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于A点，顶点为M，平移该抛物线，若平移后点A的对应点A'恰好落在x 轴的正半轴上，点M的对应点为M'，且MM'＝5，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣10x+24B．y＝x2+10x+24C．y＝x2+10x﹣24D．y＝x2﹣10x﹣2425．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移个单位长度后经过点A（2，2）．26．如果将抛物线y＝﹣x2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是．考向六二次函数与一元二次方程、不等式的综合27．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（）x1234y﹣3﹣139A．1.2B．2.3C．3.4D．4.528．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（）x…﹣1013…y…﹣3131…A．a＜0B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间C．2a+b＞0D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y229．如图所示，y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，则不等式mx+ax2+k＜n的解集为（）A．﹣2＜x＜5B．x＜﹣2或x＞5C．﹣5＜x＜2D．x＜﹣5或x＞230．如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为．31．抛物线y＝（a2+2）x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（5，t）两点，则不等式（a2+2）（x+3）2+bx＞﹣3b﹣c+t 的解集是．考向七二次函数的实际应用32．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（）A．10m B．8m C．6m D．5m33．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（）m．A．3B．6C．8D．934．数学课上，老师提出如下问题：“如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？”小慧设菜园的面积为Sm2，菜园的…为xm，列出S＝x（15﹣）．则自变量x的实际意义是．35．疫情期间，某口罩公司销售一种成本为每盒60元的口罩，规定试销期间销售单价不低于成本价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（万盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当售价为元时，销售利润最大，最大利润为万元；（3）该公司决定每销售一盒口罩，就抽出a（a＞0）元钱捐给“火神山”医院，若除去捐款后，所获得的最大利润为756万元，求a的值．考向八存在性问题与动点问题36．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得∠PEC+∠ACE＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，在y轴右侧的抛物线上存在一点Q，使S△QBC＝2S△QAC，直接写出点Q的坐标．37．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于经过A（﹣3，0），C（4，0）两点，其与y轴的交点为点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，在抛物线的对称轴上求一点M，使MQ+MC的值最小？38．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标（﹣1，0），AB＝4．（1）求二次函数的解析式；（2）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE∥BC交x轴于点E，点P是抛物线的对称轴与线段BC的交点，连接PD、PE，设CD的长为t，△PDE的面积为S．求S与t之间的函数关系式，并求出当S最大时，点D的坐标；（3）在（2）条件下，连接AD，把△AOD绕点O沿逆时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A'OD'，其中边A'D'交坐标轴于点F．在旋转过程中，是否存在一点F，使得∠D'＝∠D'OF？若存在，请直接写出所有满足条件的点D'的坐标；若不存在，请说明理由．一．选择题1．抛物线y＝（x+2）2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝2D．直线x＝﹣22．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣33．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位4．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．46．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t ＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（）A．①②B．②③C．①③④D．①②③8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题9．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．10．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．11．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a ﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是（填写序号）．三．解答题13．某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC 的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．。

用待定系数法求二次函数的解析式教案

用待定系数法求二次函数的解析式教案用待定系数法求二次函数的解析式教案(1)年级九年级课题 26.1 用待定系数法求二次函数的解析式教学媒体多媒体教学目标知识技能会用待定系数法求二次函数解析式.过程方法根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.情感态度体会学习数学知识的价值，提高学生学习的兴趣.教学重点运用待定系数法求二次函数解析式.教学难点根据条件恰当设二次函数解析式形式.教学过程设计教学程序及教学内容一、情境引入已知一次函数图像上的两点的坐标，可以利用待定系数法求出它的解析式，要求二次函数的解析式，需要知道抛物线上几个点的坐标?应该怎样求出二次函数解析式?引出课题：用待定系数法求二次函数的解析式.二、探究新知1.二次函数中有几个待定系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来?抛物线经过点(-1，10)，(1，4)，(2, 7)，求出这个二次函数的解析式。

得到：已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.二次函数中有几个待定系数?需要知道图像上几个点的坐标才能求出来?抛物线的顶点坐标为(1, 2)，点(1，-1)也在图像上，能求出它的函数解析式吗?得到：知道抛物线的顶点坐标，可以设函数解析式是先代入顶点坐标(1, 2)得到，再代入点(1，-1)即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫顶点式.用待定系数法求二次函数的解析式教案(2)《用待定系数法求二次函数解析式》教学案例《用待定系数法求二次函数解析式》，“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中七、八年级学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式;.因此这节课的学习既是前面知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用.另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用.一.教学目标：1、理解二次函数的三种不同形式，并选择恰当的形式用待定系数法确定其解析式。

第二十七章二次函数解析式学案

第二十七章二次函数·第九课时———求二次函数解析式1 怎样求一次函数的解析式？我们首先设一次函数解析式为()0y kx b k =+≠，我们称这样的方法为，由于解析式中()0y kx b k =+≠含有个参数，由此我们需要找到图像上个点的坐标，带入解析式，得到方程组，解出k 、b 的值，再带入解析式为()0y kx b k =+≠中，这样就得到一次函数解析式。

我们可以类比（类比思想），如果我们需要求出二次函数2y ax bx c =++的解析式，则我们应该有什么步骤呢？【探索】已知二次函数的图象过()0,1、()2,4、()3,10三点，求这个二次函数的关系式．分析：二次函数为()20y ax bx c a =++≠解析式中，有参数，因此我们需要知道图像上点的坐标。

解：设所求二次函数为∵函数的二次函数图象过∴所求二次函数的关系式是像这样，求二次函数的解析式，我们也采用代定系数法。

如果题目中的已知条件是三个独立的点坐标，我们就设二次函数解析式为2y ax bx c =++，我们称解析式2y a x b x c =++为一般式。

例题讲解【例1】（河南中考）已知一个二次函数的图象经过如图所示的三个点。

⑴求二次函数的解析式； ⑵求抛物线的对称轴。

对于任何一个二次函数2y a x b x c =++，我们通过配方法都可以将其化为22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，这也就说明，对于一个二次函数解析式，我们可以将其设为()2y a x h k =-+。

我们称()2y a x h k =-+为顶点式。

如果题目告诉顶点坐标（或通过题目已知条件能推算出顶点坐标）我们就用顶点式。

【例1】（梅州中考）已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫⎪⎝⎭，．⑴求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；⑵求证：对任意实数m ，点2M ()m m -，【例2】（山东中考）二次函数2y ax bx c =++的图像上部分店对应值如下表，求二次函数的关系。

求二次函数的解析式学案

求二次函数的解析式（一）【学习目标】1．掌握已知三点，会用一般式求函数的表达式；2．掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求函数的表达式。

3．掌握已知两根及一点，用两根式求函数解析式。

【学习重点】用一般式、顶点式求函数的表达式。

【学习难点】用顶点式和两根式求函数的表达式。

【学习过程】一、学习准备：1．已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为。

2．二次函数的一般式为，二次函数的顶点式，二次函数的两根式（或交点式）为。

二、方法探究（一）——已知三点，用一般式求函数的表达式。

3．例1 二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。

4．即时练习已知抛物线经过A （-1，0），B （1，0），C （0，1）三点，求二次函数的解析式。

三、方法探究（二）——已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。

5．例2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。

解：设抛物线的解析式为2()y a x h k =-+。

把顶点（－2，3）,即h=-2 , k=3 代入表达式为2(2)3y a x =++再把（－1，7）代入上式为27(12)3a =-++ 解得4a =所以函数解析式为24(2)3y x =++ 即241619y x x =++6．即时练习（1）抛物线经过点（0，－8），当1x =-时，函数有最小值为－9，求抛物线的解析式。

（2）已知二次函数2()y a x h k =-+，当2x =时，函数有最大值2，其过点(0，2)，求这个二次函数的解析式。

四、方法探究（三）——已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。

7．例3 已知抛物线经过（－1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。

解：设抛物线的解析式为12()()y a x x x x =--把抛物线经过的（－1，0），（3，0）两点代入上式为：(1)(3)y a x x =+-再把（2，6）带入上式为6(21)(3)a x =+-解得2a =-所以函数的解析式为2(1)(3)y x x =-+- 即2246y x x =-++8．即时练习已知抛物线经过A （-2，0），B （4，0），C(0，3)，求二次函数的解析式。

二次函数解析式教案

教材课题二次函数类型新课教学要求 1、知识与技能：①理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式②会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围③会用待定系数法求二次函数的解析式2、程序性目标：①让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程②使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解次问题的能力3、情感与价值目标：通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点教材重点难点重点：理解二次函数的概念，了解函数解析式难点：有些实际问题较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力教学过程：一、知识回顾（多媒体出示）函数概念自变量的取值范围一次函数正比例函数反比例函数二、合作学习（多媒体出示）请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系（1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm )（2）某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x ，三月份的利润为y（3）拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为x(cm),种植面积为y(m2)1113x（一）教师组织合作学习活动：1、先个体探索，尝试写出 y 与x 之间的函数解析式2、化简三个函数解析式（1）y =πx 2（2）y=2x 2+4x+2（3）y=-x 2+58x-112（二）教师问：上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？让学生充分发挥意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax ²+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式得出二次函数的概念：我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ；称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项（三）考一考函数我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,c 是常数),当a,b,c 满足什么条件时（1）它是二次函数（2）它是一次函数（3）它是正比例函数（四）练一练1、下列函数哪些是二次函数(1)2x y = (2) 21xy -= (3))1(x x y -= （4）()221x x y --= (5))1)(1()1(2-+--=x x x y 2、说出下列二次函数的二次项系数，一次项系数，常数项()1125812-+-=x x y ()22x y π=()()()655413222-=+=---=x y x x y x x y 教师提醒：先化简，后判断（五）展示才智若函数()m m x m y --=212为二次函数时，求m 的值教师提醒:为二次函数一定要保证二次项系数为零和自变量最好次数为两次三、例题示范例1 已知二次函数 q px x y ++=2，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。

九年级数学上册《用待定系数法求二次函数的解析式》教案、教学设计

二、学情分析
九年级的学生已经在之前的学习中掌握了二次函数的基本概念、图像及其性质，具备了一定的数学基础。在此基础上，学生对于用待定系数法求二次函数解析式这一内容，虽然在理论上有一定的认知，但在实际操作中，可能仍存在以下问题：对于待定系数法的理解不够深入，难以灵活运用；在求解过程中，对于参数的选择和方程组的建立可能存在困难。此外，学生对于将实际问题抽象为二次函数模型的能力有待提高。因此，在教学过程中，应注重引导学生理解待定系数法的原理，通过实例分析，培养学生的建模能力和解决问题的策略。同时，关注学生的个体差异，给予不同层次的学生有针对性的指导，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
4.分层教学，关注个体差异
针对不同层次的学生，设置不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，加强对学困生的辅导，帮助他们克服困难，提高自信心。
5.及时反馈，巩固提高
在教学过程中，及时了解学生的学习情况，对学生的疑问进行解答，巩固所学知识。通过课堂练习、课后作业等形式，检验学生的学习效果，促使学生主动复习，提高知识掌握程度。
（二）讲授新知，500字
1.教师讲解待定系数法的原理，通过具体实例解释如何将实际问题抽象为二次函数模型，并引导学生理解待定系数法的基本步骤。
2.分步骤讲解待定系数法的求解过程，强调参数的选择和方程组的建立，让学生掌握求解二次函数解析式的方法。
3.结合课本例题，教师示范解题过程，强调注意事项，提醒学生关注细节。
6.拓展延伸，激发创新
在学生掌握基础知识的基础上，适当拓展延伸，引导学生探索二次函数在其他领域的应用，如物理、几何等，培养学生的创新意识和综合运用能力。
7.总结反思，提升素养
在教学结束时，组织学生进行总结反思，回顾学习过程，总结用待定系数法求二次函数解析式的关键步骤，提升学生的数学素养。

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式(教案)

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式(教案)第2课时用待定系数法求二次函数的解析式教学目标：知识与技能】学会利用已知点的坐标用待定系数法求解二次函数的解析式。

过程与方法】介绍二次函数的三点式、顶点式、交点式，结合已知点，灵活地选择恰当的解析式求法。

情感态度】通过用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性。

教学重点：用待定系数法求二次函数的解析式。

教学难点：选择恰当的解析式求法。

教学内容：一、情境导入，初步认识已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式。

那么，要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？经过交流，明确确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件。

二、思考探究，获取新知求二次函数y=ax²+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值。

由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c，就可以写出二次函数表达式。

在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般可分以下几种情况：1）顶点在原点，可设为y=ax²；2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax²+k；3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)²；4）抛物线过原点，可设为y=ax²+bx；5）已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)²+k；6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax²+bx+c；7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x₁,0）,(x₂,0)时，可设交点式为y=a(x-x₁)(x-x₂)。

三、典例精析，掌握新知根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式。

方法二：根据题意，我们设所求二次函数的解析式为y=a(x-h)²+k(a≠0)，则有h=-1，k=3.代入(2,5)得到5=a×9+3，解得a=2/9.因此，所求二次函数的解析式为y=2/9(x+1)²+3，即y=2/9x²+4/9x+29/9.教学说明：可以让学生先独立思考，完成后交流结果，对出现的问题进行自查并反思，加深印象。

初中数学初三数学下册《二次函数的解析式》教案、教学设计

3.运用信息技术辅助教学，如使用几何画板动态展示二次函数图像的变化，帮助学生直观感受系数变化对图像的影响。
-设想三：利用几何画板，实时调整二次函数的系数，让学生观察图像的相应变化，增强对二次函数性质的直观认识。
4.设计分层练习，针对不同水平的学生提供不同难度的题目，使每个学生都能在练习中得到有效的提升。
-简答题：解释二次函数图像的开口方向与系数a之间的关系。
2.实践应用题：要求学生将二次函数知识应用于解决实际问题，提高学生的应用能力。例如：
-题目：某公园的门票价格为10元，游客在园内消费满50元可以享受8折优惠。假设游客在园内的消费x元（x≥0），求游客实际支付的费用y元与消费x元之间的函数关系式。
3.引导学生从二次函数的解析式中体会数学的简洁美、统一美，培养他们的审美情趣。
4.培养学生严谨、踏实的科学态度，使他们认识到在数学学习中，任何结论都需要经过严密的推理和证明。
本章节教学设计将紧紧围绕上述教学目标，注重理论与实践相结合，使学生在掌握二次函数相关知识的同时，提高解决问题的能力，培养他们积极、严谨、合作的情感态度与价值观。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数解析式的理解和应用，我设计了以下几类作业：
1.基础巩固题：包括填空题、选择题和简答题，主要考察学生对二次函数基本概念和性质的掌握。例如：
-填空题：已知二次函数f(x) = -2x² + 4x + 3，求该函数的顶点坐标、对称轴和开口方向。
-选择题：下列哪个选项是二次函数的解析式？（A）y = 3x + 2（B）y = 2x² + x + 1（C）y = x³ - 2x² + 1
-设想四：布置基础题、提高题和拓展题，让学生根据自己的实际情况选择合适的题目进行练习，同时鼓励学有余力的学生挑战更高难度的题目。

初中数学二次函数复习——求函数解析式(教案)

二次函数专题（一）——求二次函数表达式教学目标会通过待定系数法求二次函数的关系式；教学过程二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－m)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。

探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4)，(3,10)三点,请你用待定系数法求这个函数的解析式。

例2、已知二次函数的图象经过(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个函数的解析式。

练习、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8),求这个函数的解析式。

例3、已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．练习1：根据下列已知条件，求二次函数的解析式：(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)(3)抛物线过原点，且过点(3,－27),(-1,1)(4)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。

例4、已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．练习2：根据下列已知条件，求二次函数的解析式：(1)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

求二次函数关系式教案赛课(2)

教案求二次函数的关系式宛城区汉冢中学陈兆侠课题：求二次函数的关系式教学目标：1.知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数，熟悉各种类型的二次函数表达式2.会根据已知条件设出适当的表达式，用待定系数法求二次函数的关系式3.体会方程思想在求二次函数关系式中的应用4.培养认真勤奋、独立思考、合作交流、勇于质疑等学习习惯及评价与反思的意识教学重点：用待定系数法求二次函数的关系式教学难点：灵活恰当地求出二次函数的关系式教学过程：一.设疑自探（一）创设情境，导入新课二次函数的表达式有几种？如果给出一些点的坐标或相应的条件，你能求出这些函数的关系式吗？这一节我们就来解决这个问题。

板书课题：求二次函数的关系式出示学习目标：1.熟悉二次函数的几种表达式2.选用适当的表达式用待定系数法求二次函数的关系式3.体会方程思想在求二次函数关系式中的应用看了本节课题和学习目标，你有哪些想探究的问题？提问后总结学生的问题出示自探提示：问题预设1.二次函数的关系式有几种类型？2.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．3.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式4.什么条件下用y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c y=a(x-x1)(x-x2)的形式求二次函数的关系式二.解疑合探小组合探：把你在自探过程中有困惑的问题以小组为单位交流学习成果，达成共识。

要求： 1.小组长认真负责，确保人人参与2.本组内若有其他问题，一并解决3.组长集中全组学生对展示和评价的学生进行帮扶4.时间：6分钟展示评价：口头与板书结合展示要求：1、书面展示要板书工整、规范、快速；口头展示要声音洪亮，吐字清晰。

2、非展示同学结合展示仔细观察讨论或认真倾听，随时准备评价，并做好变式编题准备。

点评要求：1.声音洪亮，条理清晰，语言简练。

《22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式》教案、导学案、同步练习

《第2课时用待定系数法求二次函数的解析式》教案【教学目标】1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法． 2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．【教学过程】一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法求二次函数解析式【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得：⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解这个方程组得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y＝ax2＋bx＋c，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值．【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，图象顶点是(－2，3)，∴h＝－2，k＝3，依题意得：5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.顶点坐标为(h，k)，对称轴方程为x＝h，极值为当x＝h时，y＝k来极值求出相应的数．【类型三】根据平移确定二次函数解析式将抛物线y＝2x2－4x＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y＝2x2－4x＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．解：y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2－3.即y＝2x2＋8x＋5.方法总结：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移m(m>0)个单位，向上平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h＋m)2＋k＋n；向右平移m(m>0)个单位，向下平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h－m)2＋k－n.【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式．解析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．解：y ＝2x 2－12x ＋5＝2(x －3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x 轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y ＝－2(x －3)2＋13.方法总结：y ＝a (x －h )2＋k 的图象关于x 轴对称得到的图象的解析式为y ＝－a (x －h )2－k .【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想，推测出l 与t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.解析：设l 与t 之间的函数关系式为l ＝at 2＋bt ＋c ，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49.∴l ＝－t 2－2t ＋49，即l ＝－(t ＋1)2＋50，∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.《第2课时用待定系数法求二次函数的解析式》导学案函数的解析式2.二次函数的图象如图所示，请将A 、B 、C 、D 点的坐标填在图中. 请用不同方法求出该函数的关系式.(1)选择点的坐标，用顶点式求关系式如下：(2)选择点的坐标，用式求关系式如下：《第2课时用待定系数法求二次函数的解析式》同步练习一、选择题 1.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+21C.y =21(x －1)2－3 D.y =21(x +2)2－12.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限 A.一B.二C.三D.四3.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都 A.在y =x 直线上 B.在直线y =－x 上 C.在x 轴上D.在y 轴上c bx ax y ++=24.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中 A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1)6.下列说法错误的是A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是 A.43 B.－43 C.45D.－458.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 1 二、填空题 9.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______. 10.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______. 11.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____. 12.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.13.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.三、解答题14.根据已知条件确定二次函数的表达式（1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）；（2）图象经过点（1，0），（3，0）和（0，9）；（3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x=2。

《求二次函数解析式》的教学设计

求二次函数的解析式教学目标：1.让学生理解二次函数的三种解析式。

2.学生会根据已知条件设简易的二次函数解析式。

3.会做与二次函数解析式有关的应用题目。

教学重点：1.认识每种二次函数解析式的特点2.如何根据条件设出简易的二次函数解析式。

3.能正确地求二次函数的解析式。

教学方法：启发式教学。

教学过程：一、二次函数的表示方法（三种）1、大凡式：y=ax2+bx+c(a≠0)2、顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)条件：若抛物线y=ax+bx+c与x轴交于两点(x10), (x20).二、例题讲解例1.已知：二次函数的图像经过点A(–1，6)、B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。

解：设所求函数解析式为y=ax²+bx+c .由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点得2a b c 69a3b c0c 3解这个方程组得a= 0.5，b=–2.5，c=3∴所求得的函数解析式为y=0.5x²–2.5x+3例2、已知抛物线y=ax²+bx+c .过直线与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解析式。

分析：因为直线与两轴的交点为（2，0），（0，3），则：4a2b c0c 3a b c 1所以2例3.已知：二次函数的图像的对称轴为直线x=–3，并且函数有最大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。

解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（－3，5），所以，设y=a(x+3)²＋5－3=a(－1+3)²＋5∴a=－2∴所求的函数解析式为：y=–2(x+3)²＋5即y=–2x²–12x–13例4.已知：如图,求二次函数解析式y=ax²+bx+c解：如图,由题意得：抛物线与x轴交点的横坐标为－1和3∴设所求函数解析式为y=a(x＋1)(x－3)∵图象过点（0，3）∴3=a(0＋1)(0－3)∴a=－1∴所求的函数解析式为y=－(x＋1)(x－3)即y=–x²+2x+34BC2A-5o-1-2-435三、归纳小结二次函数解析式的确定:求二次函数解析式可用待定系数法.(1)当已知图象上任意三点的坐标或已知三对对应值时，使用大凡式：y=ax2+bx+c(a≠0)来解；(2)当已知顶点坐标或最值时，使用顶点式y=a(x-h)2+k来解，比较简单。

15用待定系数法求二次函数的解析式教案

用待定系数法求二次函数的解析式一、教学目标(一)知识与技能：会用待定系数法求二次函数的解析式，根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.(二)过程与方法：使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解决问题的能力.(三)情感态度与价值观：让学生在学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣.二、教学重点、难点重点：运用待定系数法求二次函数解析式.难点：根据条件恰当设二次函数解析式形式.三、教学过程知识预备1.已知一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)，求这个一次函数的解析式.解：设这个一次函数的解析式为y =kx +b .∵ 一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)∴ 得关于k ，b 的二元一次方程组：⎩⎨⎧-=+-=+1223b k b k ，解得⎩⎨⎧-==25b k ∴ 这个一次函数的解析式为y =5x -2.2.解三元一次方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-③②①6143243c b a c b a c b a解：由①-③与②-③得二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-⑤④82222b a b a解这个方程组，得⎩⎨⎧==32b a 把a =2，b =3代入③得 c =1因此，三元一次方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===132c b a探究我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：(1)由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？(2)如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y =kx +b ，需求出k ，b 的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k ，b 的二元一次方程组就可以求出k ，b 的值.类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y =ax 2+bx +c ，需求出a ，b ，c 的值.由不共线三点(三点不在同一直线上)的坐标，列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组就可以求出a ，b ，c 的值.解：(2)设所求二次函数为y =ax 2+bx +c .由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a ，b ，c 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a因此，所求二次函数的解析式为y =2x 2-3x +5.知识梳理知识点用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数y =ax 2+bx +c 的解析式，关键是求出待定系数a ，b ，c 的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a ，b ，c 的方程组，求出a ，b ，c 的值，就可以写出二次函数的解析式.例已知抛物线的顶点是(1，-3)，且经过点M(2，0)，求抛物线的解析式.解：由抛物线的顶点是(1，-3)，可设抛物线的解析式为：y =a (x -1)2-3∵ 抛物线经过点M(2，0)∴ 0=a ×(2-1)2-3，解得 a =3∴ 抛物线的解析式为：y =3(x -1)2-3，即y =3x 2-6x归纳总结二次函数解析式的类型及适用情况练习1.一个二次函数，当自变量x =0时，函数值y =-1，当x =-2与21时，y =0.求这个二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，依题意得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+--=021410241c b a c b a c 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===1231c b a因此，所求二次函数的解析式为y =x 2+23x -1. 2. 一个二次函数的图象经过(0，0)，(-1，-1)，(1，9) 三点.求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，依题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=910c b a c b a c 解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧===054c b a因此，所求二次函数的解析式为y =4x 2+5x .课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.。

22.1.4求二次函数解析式学案人教版九年级数学上册

第3讲求二次函数解析式【知识点一】二次函数解析式的三种形式(1)一般式（三点式）：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．例1．把二次函数 y=3x 2－4x+1转化为顶点式和交点式变式1．把二次函数y ＝﹣（x +3）2+11变成一般式是（）A ．y ＝﹣x 2+20B ．y ＝﹣x 2+2C ．y ＝﹣x 2+6x +20D ．y ＝﹣x 2﹣6x +2 变式2．将二次函数y ＝2x 2﹣4x +1化为顶点式，正确的是（）A ．y ＝2（x ﹣1）2+1B ．y ＝2（x +1）2﹣1C ．y ＝2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝2（x +1）2+1 变式3．把二次函数y=2(x －3)2+6转化为一般式变式4．把二次函数y=3(x2)(x3)转化为一般式和顶点式【知识点二】用“一般式”求二次函数的解析式若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以设二次函数的标准式y= ax 2 +bx+c.这种形式易得a,b,c 的值，顶点坐标是（a 2b ，ab ac 442-），对称轴是直线x= a 2b . 任何求抛物线解析式的问题，都可以使用一般式.例2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式．变式1．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+4x﹣1B．y＝x2+4x﹣2C．y＝﹣2x2+4x+1D．y＝2x2+4x+1变式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，求这个二次函数的解析式．变式3．已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，求这个二次函数的解析式为．【知识点三】用“顶点式”求二次函数的解析式若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大（小）值，则可以设顶点形式y=a(xh)2+k，这种形式易得顶点坐标和对称轴，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x= h.例3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( ) A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8变式1．抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝﹣2x2+8x+3B．y＝﹣2x2﹣8x+3C．y＝﹣2x2+8x﹣5D．y＝﹣2x2﹣8x+2变式2．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．变式3．二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，求这条抛物线的解析式．【知识点四】用“交点式”求二次函数的解析式若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴，则可以设交点式y=a(xx1)•(xx2)，这种形式易得抛物线与x轴的交点的坐标,抛物线与x轴的两个交点的坐标分别是（x1，0），（x2，0）.例4．如图，抛物线的函数表达式是．变式1．如图，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，﹣3）则此抛物线对此函数的表达式为（）A．y＝x2+2x+3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝x2+2x﹣3变式2．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．变式3 .已知一个二次函数的函数表达式为)4)(2(3+--=x x y ，求该二次函数与坐标轴的所有交点坐标和这个二次函数的对称轴。

待定系数法确定二次函数解析式导学案

22.1.3第五课时用待定系数法求二次函数的解析式【学习目标】1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．实际问题中求二次函数解析式．【学习重点】用待定系数法求二次函数的解析式【学习难点】在实际问题中求二次函数的解析式【学习过程】一、复习导入(一)如何用待定系数法求函数解析式1、若求一次函数解析式y＝kx+b的解析式，需求出和的值，需知道图象上个点的坐标2、若求二次函数解析式y＝ax2+bx+c 的解析式，需求出、和的值，需知道图象上个点的坐标(二)二次函数的解析式有以下两种表达式：一般式：y＝ (a≠0)顶点式：y＝ (a≠0)二、自主学习--仔细阅读课本39-40页探究题的分析解答过程，试着解答下题：已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．解:小结：此题是典型的根据三点坐标用“待定系数法”求二次函数解析式，你能根据自己的自学总结出其基本步骤吗？1、＿＿＿＿，2、＿＿＿＿，3、＿＿＿＿，4、＿＿＿＿。

三、合作探究--小组讨论后完成下题已知抛物线顶点坐标为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．思考：此题需要用待定系数法，但是沿用上例的方法能解出来吗？结合条件特点和已学知识，需要在哪一步上有所变动呢？解：四、归纳：用待定系数法求二次函数的解析式用两种方法：1．已知抛物线过三点，设为＿＿式____________________．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设为＿＿式__________________ ．五、拓展延伸要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在Array水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？分析：由题意可知：池中心是，水管是，点是喷头，线段的长度是1米，线段的长度是3米。

由已知条件可设抛物线的解析式为。

抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定个点的坐标即可，这个点是。

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二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法之一般式、顶点式第8课时（共60分）
班级：姓名：学号：使用日期：分数：
学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．能初步在实际问题中应用二次函数的一般式、顶点式求解析式．
重点：二次函数的一般式、顶点式求其解析式难点：灵活、准确应用
自学指导一：请同学们用6分钟时间，带着以下问题认真阅读课本42---43页内容，不懂的地方用笔勾画出来。

问题探究：
1、回顾一次函数解析式的求解步骤？确定其解析式时需要几个条件？
2、类比一次函数，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，确定其解析式时需几个条件？
3、二次函数y＝ax2＋bx＋c可否化为y＝a(x－h)2＋k形式？这一转化过程称为？此时确定解析式需要知道几个条件？
4、综上，就本节而言，可将二次函数解析式设为哪些形式？各自适用的条件是什么？
自学指导二：同学们用8分钟时间完成以下检测题目（分值：10分×2=20分）
1.已知抛物线过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
2.已知抛物线顶点为（－1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
当堂训练：12分钟完成下面习题（分值：10分×4=40分）
1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．
4、已知二次函数的对称轴是x=1，最低点在直线y=2x+4上且过点（3,14），
组长意见：
次函数y＝ax＋bx＋c解析式专项练习第9课时（共60分）
班级：姓名：学号：使用日期：分数：学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．能在实际问题中应用二次函数的一般式、顶点式、两根式求解析式．
自学指导一：同学们用3分钟时间认真阅读知识点并识记，之后抽查。

用待定系数法求二次函数的解析式有三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．
2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
自学指导二：同学们用8分钟时间完成以下检测题目（分值：10分×3=30分）
1、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点
(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)
(3)、图象x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3）
当堂训练：12分钟完成下面习题（分值：10分×3=30分）
1、已知二次函数2
y ax bx c =++的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，
-6）。

求a 、b 、c 。

2、已知抛物线2y ax bx c =++与37y x x =--+的形状,开口方向相同,顶点在直线x=1上,且顶
点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
3、若a+b+c=0,a ≠0,把抛物线2y ax bx c =++向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的
新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
组长意见：
次函数y ＝ax ＋bx ＋c 解析式专项练习第10课时（共60分）
班级：姓名：学号：使用日期：分数：学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．能在实际问题中应用二次函数的一般式、顶点式、两根式求解析式．
自学指导：请同学们用12分钟时间完成相应练习（分值：10分×3=30分）
1、已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点
C.若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。

2、知抛物线12-+=bx ax y 的对称轴是x=1，最高点在直线y=2x+4上，求抛物线解析式.
3、已知一次函数y=－2x+c 与二次函数y=ax2+bx －4的图象都经过点A(1，－1)，二次函
数的对称轴直线是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式.
A B x
y O C
当堂训练：12分钟完成下面习题（分值：10分×3=30分）
4、已知二次函数c bx ax y ++=2的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经
5、某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在
平面与墙面垂直，）如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403
米，则水流下落点B 离墙距离OB 是（）（A ）2米（B ）3米（C ）4米（D ）5米
4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B
以2mm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动，如果P 、Q 分
别从A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的
组长意见： Q P C
B A。