高中高三数学3月教学质量检测试题 理含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校普通高中2021届高三数学3月教学质量检
测试题理〔含解析〕
一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕
1.i为虚数单位，复数，那么z=〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】,
应选：A．
【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底题．
A={x|-3＜x＜1}，B={x|〔x+1〕〔x-3〕≤0}，那么A∩B=〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合A和B，由此能求出A∩B．
【详解】∵集合A={x|-3＜x＜1}，
B={x|〔x+1〕〔x-3〕≤0}={x|-1≤x≤3}，
∴A∩B={x|-1≤x＜1}=[-1，1〕．
应选：D．
【点睛】此题考察交集的求法，考察交集定义、不等式性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．1所示，在该学期的水、电、交通开支〔单位：万元〕如图2所示，那么该学期的电费开支占总开支的百分比为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=15%，得解．【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=15%，
应选：B．
【点睛】此题考察了识图才能及进展简单的合情推理，属简单题．
{a n}是等比数列，a1=5，a2a3=200，那么a5=〔〕
A.100
B.
C.80
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式即可得出．
【详解】设等比数列{a n}的公比为q，
∵a1=5，a2a3=200，
∴52×q3=200，解得q=2．
那么a5=5×24=80．
应选：C．
【点睛】此题考察了等比数列的通项公式，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．
5.影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁．如图是一面影壁的示意图，该图形是由一个正八边形和一个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等，在该示意图内随机取一点，那么此点取自中间正方形内部的概率是〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设正八边形的边长为a，分别求出正八边形的面积及正方形的面积，由几何概型知概率是面积比得答案．【详解】设正八边形的边长为a，那么其面积为
=．
中间正方形的面积为2a2．
由几何概型知概率为面积比可得，此点取自中间正方形内部的概率是．
应选：A．
【点睛】此题考察几何概型，考察正八边形面积的求法，是根底题．
，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可以看出，从而得出a，b，c的大小关系
【详解】，；
∴b＞c＞a．
应选：B．
【点睛】考察对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式．
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的外表积为〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是半圆锥体，结合图中数据求出该锥体的外表积．
【详解】解：根据三视图知，该几何体是半圆锥体，如下列图；
且底面圆的半径为1，高为2，母线长为；
所以该锥体的外表积为：S=π•12+π•1•+•2•2=π+2．
应选：C．
【点睛】此题考察了利用三视图求几何体外表积的应用问题，是根底题．
D为△ABC所在平面内一点，，假设，那么λ-μ=〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
此题可知B、C、D三点在同一直线上，然后结合图形和向量运算找出λ、μ的值．
【详解】解：由，可知，B、C、D三点在同一直线上，图形如下：
根据题意及图形，可得：
∴λ-μ=．
应选：A．
【点睛】此题主要考察向量一共线的知识以及向量的数乘和线性运算，属根底题．
的一种算法，在空白的“〞中应填的执行语句是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意n的值是多项式的系数，由100，99…直到1，从而得到我们需要输出的结果．
【详解】由题意，n的值为多项式的系数，由100，99…直到1，
由程序框图可知，输出框中“〞处应该填入n=100-i．
应选：C．
【点睛】此题主要考察了当型循环语句，算法在近两年高考中每年都以小题的形式出现，根本上是低起点题．
，F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点．假设，那么双曲线C的离心率为〔〕
A.3
B.2
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用双曲线的简单性质，转化求解推出a、b、c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【详解】
由题意可知：，
解得tan∠MAF=3，
可得：，可得c2+2a2-3ac=0，e2+2-3e=0，e＞1，解得e=2．
应选：B．
【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，考察计算才能．
11.如图，三棱锥D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，那么异面直线CM与BN所成角的余弦值为〔〕
A. B. C. D.0
【答案】A
【解析】
【分析】
取BC中点O，连结OD，OA，那么OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与BN所成角的余弦值．
【详解】取BC中点O，连结OD，OA，
∵三棱锥D-ABC中，，
平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，
∴OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，
以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
C〔，0，0〕，A〔0，，0〕，D〔0，0，〕，M〔0，，〕，
N〔，0，〕，B〔-，0，0〕，
=〔-，,〕，
=〔，0，〕，
设异面直线CM与BN所成角的平面角为θ，
那么cosθ=．
∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为．
应选：A．
【点睛】此题考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．
，假设，且恒成立，那么的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，利用条件列出不等式，然后求解a的范围．
【详解】函数f〔x〕=x2+ax-lnx，可得：f′〔x〕=2x+a-，
假设m，n∈[1，+∞〕，且恒成立，那么有恒成立，即函数在[1，+∞〕上单调递增.
即，x∈[1，+∞〕，恒成立．
即恒成立，
令y=3-2x+，在x∈[1，+∞〕时是减函数，可得．
应选：D．
【点睛】此题考察函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考察转化思想以及计算才能．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕
x，y满足约束条件，假设z=x+y，那么z的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕
由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，
由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，
此时z最大．由解得．
代入目的函数z=x+y得z=．
即目的函数z=x+y的最大值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目的
函数获得最优解的条件是解决此题的关键．
14.两个女生和三个男生站成一排照相，两个女生要求相邻，男生甲不站在两端，不同排法的种数为______【答案】24
【解析】
【分析】
先把2名女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和另外的2名男生全排列形成了2个空〔不包含两端〕，将男生甲插入到其中，问题得以解决．
【详解】先把2名女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和另外的2名男生全排列形成了2个空〔不包含两端〕，将男生甲插入到其中，故有A22A33A21=24种，
应选：24．
【点睛】此题考察分步计数原理的应用，对于受到多个限制条件的排队问题，要关键题意，确定合理的分类或者分步解决方案，做到既满足题意，又不重不漏
{a n}的首项a1=1，假设3a3=7a7，那么数列{a n}的前n项和的最大值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
先求出公差，再求出通项公式，求出数列{a n}的前n项和的最大值的项，根据求和公式即可求出．
【详解】设公差为d，
∵3a3=7a7，a1=1，
∴3〔1+2d〕=7〔1+6d〕，
解得d=-，
∴a n=1-〔n-1〕=，
令a n≥0，解得n=10，
∴数列{a n}的前n项和的最大值为S10=10+，
故答案为：5
【点睛】此题考察了等差数列的求和公式和通项公式，考察了运算才能和转化才能，属于中档题
P〔-1，-1〕，且点F为抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点，过点F且斜率为-2的直线l与该抛物线交于A，B 两点．假设，那么p=______．
【答案】2
【解析】
【分析】
联立直线l的方程与抛物线的方程，利用韦达定理以及向量数量积列式可得．
【详解】∵F〔，0〕，直线l：y=-2〔x-〕=-2x+p，
联立消去y得4x2-6px+p2=0，
设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，
x1+x2=p，x1x2=，
∴=〔-1-x1〕〔-1-x2〕+〔-1-y1〕〔-1-y2〕=1+x1x2+x1+x2+〔p+1〕2+4x1x2-2〔p+1〕〔x1+x2〕
=5x1x2+〔-1-2p〕〔x1+x2〕+1+〔p+1〕2=+〔-1-2p〕×p+1+〔p+1〕2=0，
解得p=2．
故答案为：2
【点睛】此题考察了抛物线的性质，属中档题．
三、解答题〔本大题一一共7小题，一共分〕
中，内角的对边分别为，．
求；
假设，且面积，求的值．
【答案】〔1〕；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简等式可得tanA=，结合范围A∈〔0，π〕，可求A的值．〔2〕由利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值．
【详解】〔1〕∵，
∴b=2a〔cosCcos+sinCsin〕，可得：b=acosC+asinC，
由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，
可得：sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，
可得：cosA=sinA，可得：tanA=，
∵A∈〔0，π〕，
∴A=
〔2〕∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×，
∴解得：c=2，b=4，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2
【点睛】此题主要考察了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．
18.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥DA，DC∥AB，AB=2DC=4，PA=DA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD．
〔1〕证明：平面PCB⊥平面ABP；
〔2〕求二面角D-PC-B的余弦值．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕
【分析】
〔1〕设E，F分别为AP，PB的中点，过C向AB引垂线，垂直足为Q，连结CF，DE，EF，FQ，推导出DE⊥AP，CF⊥AP，从而CD⊥平面PAD，CD⊥PD，CQ⊥AB，进而，CQ=AD,CF⊥PB，CF⊥平面APB，由此能证明平面PCB⊥平面ABP．
〔2〕过P作AD的垂线，垂足为O，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过点O作A原垂线为y轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角D-PC-B的余弦值．
【详解】〔1〕如图，设E，F分别为AP，PB的中点，
过C向AB引垂线，垂直足为Q，连结CF，DE，EF，FQ，
得,，故EF//DC,EF=DC，
∴CF∥DE，
又PA=PD=DA，
∴DE⊥AP，
∴CF⊥AP，
由平面PAD⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，
∴PC2=DC2+DP2=8，
又CQ⊥AB，∴CQ//AD，CQ=AD,
∴BC2=QC2+QB2=8，
∴PC=BC，
又F为PB的中点，
∴CF⊥平面APB，
又CF⊂平面PCB，
∴平面PCB⊥平面ABP．
〔2〕如图，过P作AD的垂线，垂足为O，
由〔1〕知O为AD的中点，故PO⊥AD，
以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过点O作A D的垂线为y轴，
OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
那么D〔-1，0，0〕，C〔-1，2，0〕，B〔1，4，0〕，P〔0，0，〕，
=〔1，-2，〕，=〔2，2，0〕，
设平面PCB的法向量=〔x，y，z〕，
那么，即，取x=1，得=〔1，-1，-〕，
设平面PDC的法向量为=〔x，y，z〕，
那么，，取z=1，得=〔-，0，1〕，
∴cos＜＞==-，
∴二面角D-PC-B的余弦值为-．
【点睛】此题考察面面垂直的证明，考察二面角的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．
19.P〔0，2〕是椭圆的一个顶点，C的离心率．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕过点P的两条直线l1，l2分别与C相交于不同于点P的A，B两点，假设l1与l2的斜率之和为-4，那么
直线AB是否经过定点？假设是，求出定点坐标；假设不过定点，请说明理由．
【答案】〔1〕；〔2〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕由题意可得，解得a=，b=2，c=，即可求出，
〔2〕当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，根据韦达定理和斜率公式，即可求出y=kx-k-2=k 〔x-1〕-2，可得直线过定点，
当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，易求出直线AB经过定点，定点为〔1，-2〕
【详解】〔1〕由题意可得，
解得a=，b=2，c=，
∴椭圆的方程为+=1，
〔2〕当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，联立，消去y并整理，可得
〔3k2+2〕x2+6ktx+3t2-12=0，
∴△=36〔kt〕2-4×〔3k2+2〕〔3t2-12〕=0＞0，即6k2+4-t2＞0，
那么x1+x2=-，x1x2=，
由l1与l2的斜率之和为-4，可得+=-4，
又y1=kx1+t，y2=kx2+t，
∴+=-+=2k+=2k+=-4，
化简可得t=-k-2，
∴y=kx-k-2=k〔x-1〕-2，
∴直线AB经过定点〔1，-2〕，
当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，A〔m，y1〕，B〔m，y2〕，
+=，
又y1，y2互为反函数，
∴y1+y2=0，
故x=1，也过点〔1，-2〕，
综上直线AB经过定点，定点为〔1，-2〕
【点睛】此题考察椭圆方程的求法，考察根的判断式、韦达定理、斜率公式，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．
1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图．
该公司给出了两种日薪方案．
方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元；
方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的局部每件奖励20元．
〔1〕分别求出两种日薪方案中日工资y〔单位：元〕与销售件数n的函数关系式；
〔2〕假设将频率视为概率，答复以下问题：
〔Ⅰ〕根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X〔单位：元〕的数学期望及方差；
〔Ⅱ〕假设你要应聘该公司的销售员，结合〔Ⅰ〕中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较适宜，并说明你的理由．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕分别写出方案1、方案2的日工资y与销售件数n的函数关系式即可；
〔2〕〔Ⅰ〕根据柱状图写出方案1的日薪X1的分布列，计算数学期望和方差；
写出方案2的日薪X2的分布列，计算数学期望和方差；
【详解】〔1〕方案1：日工资y〔单位：元〕与销售件数n的函数关系式为：y=20n，n∈N；
方案2：日工资y〔单位：元〕与销售件数n的函数关系式为y=；
〔2〕〔Ⅰ〕根据柱状图知，日销售量满足如下表格；
日销售〔件〕 3 4 5 6 7
概率
所以方案1的日薪X1的分布列为，
X160 80 100 120 140
P
数学期望为E〔X1〕=60×0.05+80×0.2+100×0.25+120×0.4+140×0.1=106，
方差为D〔X1〕=0.05×〔60-106〕2+0.2×〔80-106〕2+0.25×〔100-106〕2+0.4×〔120-106〕2+0.1×〔140-106〕2=444；
方案2的日薪X2的分布列为，
X290 110 130
P
数学期望为E〔X2〕=90×0.5+110×0.4+130×0.1=102，
方差为D〔X2〕=0.5×〔90-102〕2+0.4×〔110-102〕2+0.1×〔130-102〕2=176；
〔Ⅱ〕答案1：由〔Ⅰ〕的计算结果可知，E〔X1〕＞E〔X2〕，但两者相差不大，
又D〔X1〕＞D〔X2〕，那么方案2的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案2．
答案2：由〔Ⅰ〕的计算结果可知，E〔X1〕＞E〔X2〕，方案1的日薪工资期望大于方案2，所以应选择方案1．
【点睛】此题考察了函数模型的应用问题，也考察了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．
．
〔1〕假设曲线y=f〔x〕在〔0，f〔0〕〕处的切线方程为y=-x-1，求a，b的值；
〔2〕当b=1，a＜0时，证明：函数f〔x〕有两个零点x1，x2，且x1+x2＞2．
【答案】〔1〕1；〔2〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系进展求解即可．
〔2〕求函数的导数，判断函数的单调性，由零点存在性定理，转化为证明f〔x2〕＞f〔2-x1〕即可．
【详解】〔1〕f〔0〕=-b=-1，所以b=1．
又f'〔x〕=2x-2+，
那么f'〔0〕=-2+a，所以-2+a=-1，得a=1．
〔2〕当b=1吋．f〔x〕=x2-2x+-1，
那么f′〔x〕=2x-2+=〔x-1〕〔2-〕
a＜0，所以2-＞0，故f'〔x〕=0得x=1．
当x∈〔-∞，1〕时，f′〔x〕＜0；当x∈〔1，+∞〕时，f′〔x〕＞0．
所以函数f〔x〕在〔-∞，1〕上单调递减．在〔1，+∞〕上单调递增．
又f〔1〕=-2+＜0，f〔-1〕=2-ae＞0，
当-1≤a＜0时，3a≥-3，2e3+3a≥2e3-3＞0，
所以f〔3〕=2+＞0；
当a＜-1，-e3a＞e3⇒ln〔-e3a〕＞ln e3=3＞1．不妨没ln〔-e3a〕=t＞3，
那么f〔t〕=t2-2t+-1=t2-2t+-1=t2-〔2+〕t-1．
二次函数g〔t〕=t2-〔2+〕t-1的对称轴为t=＜3
所以f〔t〕＞g〔3〕=9-6--1=2-＞0，
由零点存在性定理，函数f〔x〕存在两个零点x1，x2，设x1＜1＜x2，
由x1+x2＞2，得x2＞2-x1＞1＞x1，
由函数f〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，只需证f〔x2〕＞f〔2-x1〕即可．又f〔x1〕=f〔x2〕=0，
所以只需证f〔x1〕＞f〔2-x1〕即可．
f〔x1〕=x12-2x1+-1，f〔2-x1〕=〔2-x1〕2-2〔2-x1〕+-1，
只需证x12-2x1+＞〔2-x1〕2-2〔2-x1〕+，
化简得即证，
=
设h〔x〕=xe2-x-〔2-x〕e x，那么h'〔x〕=〔1-x〕〔e2-x-e x〕．
当x∈〔1，+∞〕时，h′〔x〕＞0；
当x∈〔-∞，1〕时，h'〔x〕＞0．而h〔1〕=0，
故当x＜1时，h〔x〕＜0．
而＞0恒成立．
故f〔x1〕＞f〔2-x1〕，
即f〔x2〕＞f〔2-x1〕，那么x2＞2-x1，
即x1+x2＞2，成立．
【点睛】此题主要考察函数与方程的应用，以及导数的几何意义，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决此题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．
xOy中，曲线C1的参数方程为〔t为参数〕，曲线C2的参数方程为〔α为参数〕，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
〔1〕求曲线C1和C2的极坐标方程；
〔2〕直线l的极坐标方程为，直线l与曲线C1和C2分别交于不同于原点的A，B两点，求|AB|的值．【答案】〔1〕，；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进展转换．
〔2〕利用极径的应用求出结果．
【详解】〔1〕曲线C1的参数方程为〔t为参数〕，
转换为直角坐标方程为：y2=8x，
转换为极坐标方程为：ρsin2θ=8cosθ．
曲线C2的参数方程为〔α为参数〕，
转换为直角坐标方程为：x2+y2-2x-2y=0，
转换为极坐标方程为：ρ-2cosθ-2sinθ=0．
〔2〕设A〔〕B〔〕，
所以：，，
所以：．
【点睛】此题考察的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．
23.的最小值为．
求的值；
假设实数满足，求的最小值．
【答案】〔1〕2；〔2〕1
【解析】
【分析】
〔1〕分类讨论将函数f〔x〕化为分段函数，进而求出t的值；
〔2〕根据t的值求得a2+b2的值，进而得到a2+1+b2+2的值再根据根本不等式求最小值．
【详解】〔1〕f〔x〕=|2x+2|+|x-1|=
故当x=-1时，函数f〔x〕有最小值2，所以t=2．
〔2〕由〔1〕可知2a2+2b2=2，故a2+1+b2+2=4，
所以
=
当且仅当a2+1=b2+2=2，即a2=1，b2=0时等号成立，故的最小值为1．
【点睛】此题考察分段函数的性质以及根本不等式在求最值中的应用，属于中档题．。