┃试卷合集3套┃内蒙古巴彦淖尔市2023届高二数学下学期期末预测试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数f （x ）＝2
x －1
，()2cos 2,0?
2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩
（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，
使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．[]1,
1,22⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．371,,22
4⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
2．抛物线24y x =的焦点为F ，点(5,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为 A ．6
B ．8
C ．11
D ．13
3．求函数21y x x =--的值域（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[
17
8
，+∞） C ．[
5
4
，+∞） D ．[
15
8
，+∞） 4．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为8π、高为h ,则该容器外接球的表面积为（ ） A ．12π
B ．18π
C ．36π
D ．48π
5．函数3()x x
x f x e e
-=+ 在[6,6]-的图像大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．已知高为 H 的正三棱锥 P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角 P AB C --的正切值为 4 ，则
R
H
=（ ） A ．
37 B ．
35
C ．
59
D ．
58
7．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x 增加一个单位时（ ）
A ．y 平均增加2.5个单位
B ．y 平均增加2个单位
C ．y 平均减少2.5个单位
D ．y 平均减少2个单位
8．已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是（ ） A ．(1,－4,2)
B ．11(,1,)42
-
C ．11(,1,)42
--
D ．(0,－1,1)
9．已知ABC 中，1a =，3b =，30A =︒，则B 等于（ ）
A ．30
B ．30或150︒
C ．60︒
D ．60︒或120︒
10．函数(
)
3
2ln
1y x x x =++-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．若复数(32)z i i =-，则z =（ ） A ．32i -
B ．32i +
C ．23i +
D ．23i -
12．已知函数2log ,0
()22,0
x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则()4f x ≥的解集为（）
A ．(,1][2,)-∞-+∞
B ．[1,0][2,)-+∞
C ．(,1][16,)
-∞-⋃+∞
D ．[1,0][16,)-⋃+∞
二、填空题：本题共4小题
13．已知等比数列{}26,n a a a ，是函数()32
9123f x x x x =+++的两个极值点，则4a =____
14．在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且1MN =，若，
()
3
2
MN AD BC ⋅-=
，则AB CD ⋅的值为________. 15．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆焦距与长轴之比的比值是______. 16．已知2(2,)N ξ
σ，且(4)0.9P ξ<=，则(02)P ξ<<=__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数()52f x x a x =-+--.
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 18．设函数()x f x e =，()ln g x x =． （Ⅰ）证明：()2e g x x
≥-
； （Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有()()f x f x ax --≥，求实数a 的取值范围．
19．（6分）为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取51人，从乙校抽取41人进行分析.
（1）根据题目条件完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；
（2）现已知甲校A ，B ，C 三人在某大学自主招生中通过的概率分别为
111
,,233
，用随机变量X 表示A ，B ，C 三人在该大学自主招生中通过的人数，求X 的分布列及期望E （X ）．
参考公式：2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++. 参考数据：
20．（6分）已知函数2()2f x x ax =++，()(2)x
g x e bx =+，若曲线()y f x =和曲线()y g x =在0
x =处的切线都垂直于直线04=+y x ． （Ⅰ）求a ，b 的值．
（Ⅱ）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围． 21．（6分）（选修4-4.坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是1,x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin cos 0m θρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值. 22．（8分）已知函数()1f x m x x =++-（其中m R ∈）． （1）当3m =时，求不等式()6f x ≥的解集；
（2）若不等式()8f x ≥对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】
当a=0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y=2
2(0)x a x +<的值域为（2a,+∞）, y=()cos 20a x x +≥的值域为[a+2,-a+2],
因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a, 所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜
1
2
，即a ＜0. 当a ＞0时，y=2
2(0)x a x +<的值域为（2a,+∞）,y=()cos 20a x x +≥的值域为[-a+2,a+2], 当a≥
2
3时，-a+2≤2a,由题得21,1222a a a a
-+≤⎧∴≤≤⎨
+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a+2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜1
2
. 综合得a 的范围为a ＜1
2
或1≤a≤2，
故选C . 【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．C
【解析】
【分析】
【详解】
求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，
根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，
因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.
根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，
因此最小值为x A﹣（﹣1）=5+1=6，
∵，
∴△MAF周长的最小值为11，
故答案为：C．
3．D
【解析】
【分析】
=t，t≥0，则x＝t2+1，y＝2t2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y＝2x
【详解】
=t，t≥0，
则x＝t2+1，
∴y＝2t2﹣t+2＝2（t
1
4
-）2
1515
88
+≥，
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用．4．C
【解析】
【分析】
首先求出外接球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果
【详解】
根据已知条件，圆锥的底面积为8π，所以π•r2＝8π，解得圆锥的底面半径为r=
由题外接球球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球半径为R,则1322R h h h ==+=，解得3
2,32
h R h =∴=
= 所以表面积2
4(3)36S ππ=⋅⋅=．
故选C ． 【点睛】
本题考查的知识要点：组合体的外接球的半径的求法及应用，球的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 5．C 【解析】 【分析】
利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及()2f 与1的大小关系辨别函数()y f x =的图象． 【详解】
()()
()3
3
x x x x x x f x f x e e e e
----==-=-++，所以，函数()y f x =为奇函数，排除D 选项；
当0x >时，30x >，则()0f x >，排除A 选项；
又()32222
28
21f e e e e
--==>++，排除B 选项．故选C ． 【点睛】
本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题． 6．D 【解析】 【分析】
过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .证明面角 P AB C --的平面角为PDC ∠,计算得到2
H
CM =,通过勾股定理计算得到答案. 【详解】
如图：正三棱锥 P ABC -，过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .
易知：,M CD O PM ∈∈
D 为AB 中点,PD AB CD AB ⇒⊥⊥⇒二面角
P AB C --的平面角为PDC ∠ 正切值为442
H H
DM CM ⇒=
⇒= 在Rt OMC ∆中，根据勾股定理：2
2
25
()()28
H R R H R H =-+⇒= 故答案选D 【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 7．C 【解析】
试题分析：根据题意，对于回归方程为2 2.5ˆy
x =-，当x 增加一个单位时，则y 的平均变化为()()2.51 2.5 2.5y x y x -+--=-，故可知y 平均减少2.5个单位，故选C.
考点：线性回归方程的应用. 8．D 【解析】
试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a =，和向量PM ， 而PM =（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），
选项A ，（2，1，1）⋅（1，-4，2）=0，（0，2，4）⋅（1，-4，2）=0满足垂直，故正确； 选项B ，（2，1，1）⋅（
14，-1，12）=0，（0，2，4）⋅（14，-1，1
2）=0满足垂直，故正确； 选项C ，（2，1，1）⋅（-
14，1，−12）=0，（0，2，4）⋅（-14，1，−12
）=0满足垂直，故正确； 选项D ，（2，1，1）⋅（0，-1，1）=0，但（0，2，4）⋅（0，-1，1）≠0，故错误． 考点：平面的法向量
9．D 【解析】 【分析】
根据题意和正弦定理求出sinB 的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B ． 【详解】
由题意得，△ABC 中，a ＝1
，b =
A ＝30°，
由a b sinA sinB
=得，
sinB 1
212
b sinA a ⋅===， 又b ＞a ，0°＜B ＜180°， 则B ＝60°或B ＝120°， 故选：D ． 【点睛】
本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题． 10．C 【解析】 【分析】
根据奇偶性以及特殊值即可排除。

【详解】
因为()()
)
)
3
3ln ln
f x x x x x -=-+=-+
=
)
)
()1
3
3ln
ln
x x
x x f x ---=--=-，所以()f x 为奇函数图像关于原点对称，排
除BD,因为)
(1)1ln 10f =+->，所以排除A 答案，选择D
【点睛】
本题主要考查了函数图像的判断方法，常利用函数的奇偶性质，特殊值法进行排除，属于中等题。

11．C 【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则可得：
()2323223z i i i i i =-=-=+.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．C 【解析】
【分析】
根据分段函数的表达式，讨论当0x >和0x ≤时，不等式的解，从而得到答案。

【详解】
因为2log ,0()22,0x
x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，由()4f x ≥，得：2
0log 4x x >⎧⎨≥⎩① 或0
224x x -≤⎧⎨+≥⎩②； 解①得;16x ≥；解②得：1x ≤- ；
所以()4f x ≥的解集为(,1][16,)-∞-⋃+∞； 故答案选C 【点睛】
本题考查指数不等式与对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

二、填空题：本题共4小题 13．2-或2 【解析】 【分析】
求导后根据26,a a 是方程2318120x x ++=的两根，由韦达定理，列出两根的关系式，再利用等比数列的性质求4a . 【详解】
因为()2
31812f x x x =++'，又26,a a 是函数f(x)的两个极值点，
则26,a a 是方程2318120x x ++=的根，
所以2
2644a a a ==，所以解得42a =-或2.
故答案为-2或2. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值点的问题，考查了韦达定理和等比数列的性质的运用，属于基础题. 14．
12
【解析】 【分析】 通过表示1()2MN AB DC =+，再利用3()2
MN AD BC ⋅-=可计算出2
1CD =，再计算出()
2AB CD -可得答案. 【详解】
由于M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，故1
()2
MN AB DC =
+，AD BC AD CB CD AB -=+=+，所以
()()
13
()22
MN AD BC AB CD AB CD ⋅-=
-⋅+=，所以223AB CD -=，所以21CD =，而2MN AB CD =-，所以()()
222MN AB CD =-，即4412AB CD
=+-⋅，故1
2
AB CD ⋅=，故答案为12
【点睛】
本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大. 15．
35
【解析】 【分析】
根据椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,列出关于,,a b c 的关系式再求解即可. 【详解】
设椭圆长轴长2a ,短轴的长2b ,焦距为2c ,则有2222b a c ⨯=+,故2b a c =+,所以
2
2
2
2
2
4244b a c ac a c =++=-,故2
2
2
2
244a c ac a c ++=-,化简得22523c c
a a
+=,即
5(
3)(1)0c c a a -+=,故35c a =,故椭圆焦距与长轴之比的比值是3
5
.
故答案为：3
5
【点睛】
本题主要考查了椭圆的基本量的基本关系与离心率的计算,属于基础题型. 16．0.4 【解析】
分析：先根据正态分布曲线得(4)0.1P ξ>=，再求(0)0.1P ξ<=，最后求(02)P ξ<<. 详解：根据正态分布曲线得(4)10.90.1P ξ>=-=,
所以(0)0.1P ξ<=,所以(02)P ξ<<=0.5-0.1=0.4.故答案为：0.4.
点睛：本题主要考查正态分布图，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)[2,3]-；(2) ][()
,62,-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等
式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，
()24,1,
2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．
而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][()
,62,-∞-⋃+∞．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2a ≤. 【解析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）令()()e
2F x g x x
=-+
，求导得单调性，进而得()()min e 0F x F ==，从而得证； （Ⅱ）记()()()x
x
h x f x f x ax e e ax -=---=--求两次导得()h x '在[)0,+∞递增， 又()02h a '=-，
进而讨论2a -的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值. 试题解析：
（Ⅰ）令()()e e 2ln 2F x g x x x x =-+
=-+，()221e e
x F x x x x
-∴=-=' 由()0e F x x >'⇒> ∴()F x 在(0,e]递减，在[
)e,+∞递增， ∴ ()()min e e lne 20e F x F ==-+
= ∴()0F x ≥ 即()e
2g x x
≥-成立． （Ⅱ） 记()()()x
x
h x f x f x ax e e
ax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[)0,+∞恒成立，
()e x x h x e a -=+-'， ∵ ()()e 00x x h x e x -=≥''-≥，
∴ ()h x '在[)0,+∞递增， 又()02h a '=-，
∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[)0,+∞递增， 则()()00h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立；
② 当2a >时，∵()h x '在[)0,+∞递增，且()min 20h x a =-<'， ∴ 必存在()0,t ∈+∞使得()0h t '=．则()0,x t ∈时，()0h t '<，
即 ()0,x t ∈时，()()00h t h <=与()0h x ≥在[)0,+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；
（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x > .
19．（1）填表见解析，有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表找出犯错误的概率，于此可对题中的结论正误进行判断；
（2）列出随机变量X 的可能取值，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X 在每个可能值处的概率，可列出随机变量X 的概率分布列，并由此计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】
（1）22⨯列联表如下：
由22
n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)
-=++++算得：
2
2
110(20204030)7.8 6.63560506050
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关； （2）设,,A B C 自主招生通过分别记为事件M N R ，，，
则11(),()()23
P M P N P R =
==. ∴随机变量X 的可能取值为1，1，2，3.
1222
(0)()2339
P X P MNR ===⨯⨯=，
1221121214
(1)()2332332339P X P MNR MR MNR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
1121111215
(2)()23323323318
P X P MNR MNR M NR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
1111
(3)()23318
P X P MNR ===⨯⨯=.
所以随机变量X 的分布列为：
()01239918186
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查独立性检验的基本思想，考查随机变量分布列及其数学期望的求解，解题时要判断出随机变量所服从的分布列，结合分布列类型利用相关公式计算出相应的概率，考查计算能力，属于中等题．
20．（Ⅰ）4a =，2b =（Ⅱ）k 的取值范围是2
1,e ⎡⎤⎣⎦．
【解析】 试题分析：
（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）设()()()()22142x
F x kg x f x ke
x x x =-=+---，
则()()()
22e 1x
F x x k =+-'，故只需证()0F x ≥即可．由题意得()00F ≥，即1k ≥，又由()0F x '=，
得1ln x k =-，22x =-，分21e k ≤<，2e k =，2e k >三种情况分别讨论判断()0F x ≥是否恒成立即可得到结论． 试题解析：
（I ）∵()2
2f x x ax =++，()()2x
g x e bx =+
∴()2f x x a '=+，()()2e x
x g x e
bx b ++'=⋅，
由题意得 ()04f a '==，()024g b ='+=， 解得4a =，2b =． ∴ 4a =，2b =．
（II ）由（I ）知()2
42f x x x =++，()()2e
1x
g x x =+，
设()()()()22142x
F x kg x f x ke x x x =-=+---，
则()()()()2e
22422e 1x
x F x k x x x k -+'=+-=-，
由题设可得()00F ≥，即1k ≥， 令()0F x '=，得1ln x k =-，22x =-． （i ）若21e k ≤<，则120x -<≤，
从而当()12,x x ∈-时，()0F x '<，() F x 单调递减， 当()1,x x ∈+∞时，()0F x '>，() F x 单调递增， 故()F x 在[]
2,-+∞的最小值为()1F x ，
而()()2
111111224220F x x x x x x =+---=-+≥，
故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． （ii ）若2e k =， 则()()()2
222x F x e
x e e -=+-'，
从而当2x ≥-时，()0F x '≥，即()F x 在()2,-+∞单调递增， 而()20F -=，
故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． （iii ）若2e k >，()0F x '≥， 则()F x 在()2,-+∞上单调递增， 而()()
2
222222e e 0F ke
k ---=-+=--<，
从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立，
综上可得k 的取值范围是2
1,e ⎡⎤⎣⎦．
21．（1）()2
212x y -+=，)3
y x m =-（2）1m =0m =或2m =. 【解析】
试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线C 的普通方程为
()
2
212x y -+=.直线l )x m y x m -+⇒=
-.（2）由题可知
12PA PB t t =,
所以联立,12x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
和()2212x y -+=得
2
22
1122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
)()21120m t m -+--=，代入韦达定理即得答案 解析：
（1
）()221,
12x x y y αα
⎧=+⎪⇒-+=⎨
=⎪⎩， 故曲线C 的普通方程为()2
212x y -+=. 直线l
)x m y x m -+⇒=
-. （2）直线l
的参数方程可以写为,212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）.
设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2
212x y -+=可以得
到2
2211222m t t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
)()21120m t m -+--=， 所以()2
12121PA PB t t m ==--= 2
211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，
解得1m =±0m =或2m =.
22．（1）{|2x x ≤-或}4x ≥；（2）(][),97,-∞-+∞.
【解析】 【分析】
（1）当3m =时，对x 分成三段，讨论绝对值内数的正负； （2）不等式恒成立问题，转化成解不等式min ()8f x ≥问题. 【详解】
（1）当3m =时，()6f x ≥即116x x ++-≥． ①当1x <-时，得：136x x ---+，解得：2x -； ②当13x 时，得：136x x +-+，不成立，此时x ∈∅； ③当3x >时，得：136x x ++-成立，此时4x ． 综上所述，不等式()6f x 的解集为{|2x x ≤-或}4x ≥．
（2）∵111x m x x m x m ++-++-=+，
由题意18m +，即：18m +-或18m +，
解得：9m ≤-或7m ≥，即：m 的取值范围是(,9][7,)-∞-+∞． 【点睛】
考查用零点分段法解绝对值不等式、三角不等式求绝对值函数的最小值.
基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
13
2．若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截
得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）
A ．2
B C
D 3．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（ ）
A ．
1e
B ．0
C ．
4
4e D ．
2
2e 4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,αβm
αn β，则//m n
B ．//,//m m n α，则//n α
C ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n β
D ．,//m m n α⊥，则n α⊥
5．已知30.2a =，0.2log 3b =，0.23c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
6．过点(2,0)-且斜率为
23
的直线与抛物线C ：2
4y x =交于M ，N 两点，若C 的焦点为F ，则FM FN ⋅=（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．已知命题:,25x P x R ∀∈>，则p ⌝为 A ．,25x x R ∀∉> B ．,25x x R ∀∈≤ C ．0
0,2
5x x R ∃∈≤ D ．0
0,2
5x x R ∃∈>
8．设向量a 与向量b 垂直，且(2,)a k =，(6,4)b =，则下列向量与向量a b +共线的是（ ） A ．(1,8)
B ．(16,2)--
C ．(1,8)-
D ．(16,2)-
9．若二次函数2f x ax bx c =++（）图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f x '（）的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
10．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次不放回地抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A ．
1
4
B ．
12
C ．
13
D ．
23
11．已知函数()cos sin 4f x x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则函数()f x 满足（ ） A ．最小正周期为2T π=
B ．图像关于点2,84π⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
对称
C ．在区间0,8π⎛⎫
⎪⎝⎭
上为减函数
D ．图像关于直线8
x π
=
对称
12．设
(2<a<3),
,则M 、N 的大小关系是( )
A ．M>N
B ．M=N
C ．M<N
D ．不确定
二、填空题：本题共4小题
13．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲每次通过科目二的概率均为
3
4
，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为__________． 14．在半径为1的球面上，若A ，B 两点的球面距离为
23
π
，则线段AB 的长|AB|＝_____． 15．若复数22(2)(2)i a a a a -+--(R a ∈)为纯虚数，则a =____.
16．已知()21f =，()22f '=，设()()
()1
f x
g x f x =+，则()2g '=_______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===.
（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小.
18．为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索,学校将髙一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制）为优秀，
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
(I)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”
〔Ⅱ）从乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈， 从中选三位同学发言,记来自[80，90)发言的人数为随机变量x ，求x 的分布列和期望. 19．（6分）（1）已知复数z 满足22z =，2z 的虚部为8，求复数z ；
（2）求曲线()x
f x e =、直线2x =及两坐标轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得几何体的体积.
20．（6分）已知函数()12f x x a a x =--+- （Ⅰ）若()13f <，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若2,3
a x R ≥∈，判断()f x 与1的大小关系并证明. 21．（6分）如图1，等边ABC ∆中，4AC =，D 是边AC 上的点（不与,A C 重合），过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，沿DE 将ADE ∆向上折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，如图2所示．
（1）若异面直线BE 与AC 垂直，确定图1中点D 的位置；
（2）证明：无论点D 的位置如何，二面角D AE B --的余弦值都为定值，并求出这个定值．
22．（8分）选修4-5：不等式选讲
设()311f x x x =-++的最小值为k .
（1）求实数k 的值；
（2）设m ，n R ∈，224m n k +=，求证：2211312
m n +≥+.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式()
P B A = ()()
P AB P A 可计算出结果。

【详解】
事件:AB 甲的骰子的点数大于3，且甲、乙两骰子的点数之和等于7，则事件AB 包含的基本事件为()4,3、()5,2、()6,1，由古典概型的概率公式可得()316612P AB =
=⨯， 由古典概型的概率公式可得()3162P A =
=， 由条件概率公式得()()()112126
P AB P B A P A =
=⨯=，故选：C. 【点睛】 本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题。

2．A
【解析】 由几何关系可得，双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距
离为d =，则点()2,0到直线0bx ay +=
的距离为2b d c
=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =
，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a
=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
3．A
【解析】
【分析】 先算出1()x x f x e
-'=，然后求出()f x 的单调性即可 【详解】
由()x f x xe -=可得1()x x f x e
-'= 当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增
当(]1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减
所以函数()x f x xe
-=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e
= 故选：A
【点睛】
本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单.
4．D
【解析】
【分析】
根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.
【详解】
两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；
//m α且//m n ，此时//n α或n α⊂，可知B 错误；
αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β⊂，可知C 错误；
两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确.
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题. 5．C
【解析】
30.2a =，300.21∴<<
0.230b log =<
0.231c =>
b a
c ∴<<
故答案选C
6．D
【解析】
分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由点斜式求出直线方程，与抛物线方程联立求出,M N 的坐标，利用数量积的坐标表示可得结果.
详解：抛物线2
:4C y x =的焦点为()1,0F ， 过点()2,0-且斜率为23
的直线为324y x =+， 联立直线与抛物线2:4C y x =，
消去x 可得，y y -+=2680，
解得122,4y y ==，不仿()()1,2,4,4M N ，
()()0,2,3,4FM FN ==，
则()()0,23,48FM FN ⋅=⋅=，故选D.
点睛：本题考查抛物线的简单性质的应用，平面向量的数量积的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
7．C
【解析】
分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。

详解：00,25x x R ∃∈≤，故选C
点睛：带全称、特称量词的否定，
命题“x M ∀∈，则p 成立”的否定：0x M ∃∈，则p ⌝成立
命题“0x M ∃∈，则p 成立”的否定：x M ∀∈，则p ⌝成立
8．B
【解析】
【分析】
先根据向量a b ⊥计算出k 的值，然后写出a b +的坐标表示，最后判断选项中的向量哪一个与其共线.
【详解】
因为向量a 与向量b 垂直，所以2640k ⨯+=，解得3k =-，所以()8,1a b +=，则向量()16,2--与向量a b +共线，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的垂直与共线问题，难度较易.当()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则12120x x y y +=，若a b ，则12210x y x y -=.
9．A
【解析】
分析：先根据二次函数的判断出a b ，的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．
详解：∵函数2f x ax bx c （
）=++的图象开口向上且顶点在第四象限，0002b a b a
＞，＞，＜，∴-∴ 2f x ax b （），'=+
∴函数f x '（）的图象经过一，三，四象限，
∴选项A 符合，
点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题． 10．B 【解析】 由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A ，记“第二次抽到偶数”为事件B ，则()131535C P A C ==，()11321154310
C C P AB C C =⨯=，所以()()()12P AB P A B P A ==.故选B. 11．D
【解析】
∵函数f （x ）=cos （x +4π）sinx =（22cosx ﹣22sinx ）•sinx =24sin2x ﹣22
•122cos x - =24（sin2x +cos2x ）﹣24=12sin （2x +4π）+24
， 故它的最小正周期为
2π2π=，故A 不正确； 令x =8π，求得f （x ）=12+24=224
+，为函数f （x ）的最大值，故函数f （x ）的图象关于直线x=8π对称，
且f （x ）的图象不关于点（8π，2）对称，故B 不正确、D 正确； 在区间（0，
8π）上，2x +4π∈（4π，2π），f （x ）=12sin （2x +4π）+24
为增函数，故C 不正确， 故选D ．
12．A
【解析】 ∵x 2+≥，
∴N=(x 2+)≤4.
又∵M=a+=a-2++2,2<a<3,
∴0<a-2<1.
∴a+>4.
∴M>N.
答案:A
点睛：这个题目考查了比较函数值的大小关系；比较大小的常用方法有：做差，如果数值均为正，还可以考虑做商；还可以构造函数应用单调性比较大小；还可以放缩比较大小，常用的放缩方式有：不等式的应用．
二、填空题：本题共4小题
13．364
【解析】
甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为233314464⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭
.填364。

143【解析】
【分析】
根据球面距离的概念得弦AB 所对的球心角，再根据余弦定理可求得结果.
【详解】
设球心为O ，根据球面距离的概念可得23AOB π∠=
， 在三角形AOB 中，由余弦定理可得2222||||||2||||cos 3
AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅ 111211()32
=+-⨯⨯⨯-=， 所以||3AB =3.
【点睛】
本题考查了球面距离的概念，考查了余弦定理，关键是根据球面距离求得球心角，属于基础题.
15．0
【解析】
试题分析：由题意得，复数()()22
22z a a a a i =-+--为纯虚数，则2220{20a a a a -=--≠，解得0a =或2a =，
当2a =时，220a a --=（舍去），所以0a =.
考点：复数的概念.
16．12
【解析】
【分析】
对()()()1
f x
g x f x =+求导，代值计算可得. 【详解】
()()()1f x g x f x =+，2()[()1]()()()[()1]f x f x f x f x g x f x 又()21f =，()22f '= 2(2)[(2)1](2)(2)21(2)==[(2)1]42
f f f f
g f 故答案为：
12 【点睛】
本题考查导数运算.
导数运算法则
(1)()()()()[]f x g x f x g x ＝； (2)[]()?()()()()()f x g x f x g x f x g x ＝＋； (3)2()()()()()[]()()
f x f x
g x f x g x g x g x (()0g x ≠) 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析（2）
6π 【解析】
【分析】
（1）由//BC AD ，//EC PD ，结合面面平行判定定理可证得平面//BEC 平面PDA ，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可证得AO ⊥平面PBD ，从而可知所求角为APO ∠，在Rt APO ∆中利用正弦求得结果.
【详解】
（1）四边形ABCD 为正方形 //BC AD ∴
又AD ⊂平面PDA //BC ∴平面PDA
又//EC PD ，PD ⊂平面PDA //EC ∴平面PDA
,EC BC ⊂平面BEC ，EC BC C = ∴平面//BEC 平面PDA
BE ⊂平面BEC //BE ∴平面PDA
（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO
PD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD AO PD ∴⊥ 又四边形ABCD 为正方形 AO BD ∴⊥
,BD PD ⊂平面PBD ，BD PD D = AO ∴⊥平面PBD
APO ∴∠即为PA 与平面PBD 所成角
2PD AD ==且PD AD ⊥ 22PA ∴=又221122222
AO AC =
=+=1sin 2AO APO PA ∴∠== 6APO π∴∠= 即PA 与平面PBD 所成角为：
6π 【点睛】
本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解. 18． (1)列联表见解析，有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.
(2)分布列见解析，()9.7
E x =
【解析】
分析：（1）先根据数据填表，再代入卡方公式求2K ，最后与参考数据作比较得结论，（2）先根据分层抽样得抽取人数，再确定随机变量取法，利用组合数确定对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.
详解：
（1)
依题意得()
228012202820 3.333 2.706.40403248K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.
（2）从乙班[)[)[]
70,80,80,90,90,100分数段中抽人数分别为2、3、2.
依题意随机变量X 的所有可能取值为0123.，，，
()()21343433774180,1,3535
C C C P X P X C C ====== ()()12343333771212,3.3535C C C P X P X C C ======
()41812190123.353535357
E x =⨯+⨯+⨯+⨯= 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
19．（1）22z i =+或22z i =--；（2）
4(1)2e π-．
【解析】
分析：（1）设(),z a bi a b R =+∈，由已知条件得228a b +=，2222z a b abi =-+，再结合2z 的虚部为8，即可求出；
（2）本题要求的是一个旋转体的体积，看清组成图形的最主要的曲线，和组成图形的两个端点处的数据，用定积分写出体积的表示形式，得到结果.
详解：（1）设(),z a bi a b R =+∈，由已知条件得228a b +=，2222z a b abi =-+，
∵2z 的虚部为8，∴28ab =，∴2a b ==或2a b ==-，即22z i =+或22z i =--.
（2）()()2224021022
x
x V e dx e e πππ===-⎰. 点睛：本题考查了复数的运算，考查了用定积分求几何体的体积.
20．（Ⅰ）24,33⎛⎫-
⎪⎝⎭
；（Ⅱ）()1f x ≥，证明见解析. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）通过讨论a 的范围，去掉绝对值，解不等式，确定a 的范围即可；
（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质判断即可．
【详解】
（I ）因为()13f <，所以123a a +-<. ① 当0a ≤时，得()123a a -+-<，解得23a >-，所以203
a -<≤; ② 当102a <<时，得()123a a +-<，解得2a >-，所以102
a <<; ③ 当12a ≥时，得()123a a --<，解得43a <，所以1423a ≤<; 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫-
⎪⎝⎭ （II ）()1f x ≥ ，因为2,3
a x R ≥∈, 所以()12f x x a a x =--+- ()()1213311x a a x a a ≥----=-=-≥
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．
21．（1）见解析；（2
）5-
【解析】
【分析】
（1）取DE 中点O ，BC 中点F ，连结,OA OF ，以O 为原点，,,OE OF OA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D 在靠近点A 的三等分点处；
（2）求出平面ADE 的法向量和平面ABE 的法向量，利用向量法能证明无论点D 的位置如何，二面角D AE B --
的余弦值都为定值。