工程力学第七、八章

P
k k
p


k
x
p cos cos
2
P
p sin cos sin

2
p
1 cos 2
sin 2



2
应力符号规定: 正应力以拉为正；切应力 以绕研究对象顺时针转为正。 41
k


k
讨论：
1. 0 o
材料力学
研究对象：变形体
1
2
§7.1
材料力学的任务
材料力学从宏观的角度，研究构件(主要 是杆件)在外力(及温度变化)作用下的变形、 受力和失效的规律，为构件的合理设计提供必 要的理论基础和计算方法。
3
变形体及其受力状态
刚化原理：变形体在某一力系作用下处于 平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡 状态保持不变。
7
3、各向同性假设 isotropic assumption
含义：认为无论沿任何方向，物体的力 学性能都是相同的。 作用：使分析和计算过程变得简单。
沿不同方向力学性能不同的材料， 称为各向异性材料。
anisotropic material
8
4、小变形条件
P
M
L
P M
L

R M=PL
R M=P(L-)
17
y
二、单向应力和纯剪切
z
x
1、单向受力 （单向应力）

2、纯剪切

微体
'


18
y
三、切应力互等定理
dz
dy O z
dx
M
z
0
得
dxdz dy dydz dx 0


x

切应力互等定理：
在微体的互垂截面上，垂直 于截面交线的切应力数值相等， 而方向则均指向或离开该交线。
轴力 FN P2 弯矩 M P1b
15
§7.4
应力
M R
一、应力的概念
P
A C
P 平均应力 p A P p lim 应力 A 0 A

C
p

16
正应力
normal stress

A C
p
切应力(剪应力)
shear stress

应力的单位：帕斯卡 Pa ( N／m2 ) １MPa=106 N／m2 １GPa =109 N／m2 （兆帕） （吉帕）
材料力学中的杆件，如果没说明，通常不计自重。
偏心拉伸 P P
35
二、轴向拉压时横截面上的内力
求内力的方法--截面法 一截为二，弃一留一； 内力代替，平衡求力。
m
P
m m
P N
m
轴力--横截面上内力合力 的法向分量
由平衡方程
P
X
得：
0
N P 0
N P (拉)
轴力的符号规定: 拉为正，压为负。
23
§7.6
胡克定律
构件受力后会发生变形，对于不 同的材料，其变形大小不同。但是对 于同一种材料，受力与变形之间存在 确定的关系，称为物理关系。
P P
在构件内部各点，物理关系体 现为应力应变的关系。
28
１、单向受力实验

E , p
上述关系称为胡克定律， 比例常数Ｅ称为弹性模量。
9
综上所述，在材料力学 中，一般将实际构件看作是 由连续、均匀和各向同性材 料构成的可变形固体。且其 变形很小，以至于不影响外 力的作用。
10
§7.3
一、内力
内力、截面法
由于外力作用而引起的，构件内部 各部分之间的相互作用力的改变量，称 为“附加内力”，通常简称为内力。
P1 P2
m
Ⅰ Ⅱ
P3 P4 P3
P
P
P/2 P/2
P/2
P/2
P
P
46
表述方式三： 如果物体一小部分边界 上的面力是一个平衡力系（主矢量和 主矩都等于零），那么，这个面力就 只会使得近处产生显著的应力，远处 的应力可以不计。
P
P
47
请思考： 对于图示 承受轴向拉伸 的锥形杆上的 点A，试用平 衡概念分述下 列四种应力状 态中哪一种是 正确的。 作业：
一、轴向拉压的实例与概念
F
A
A
B
B F
32
缝纫机脚踏驱动机构连杆
A
B C
F A 集装箱运载桥
D
P
二力杆 F
C
33
P
p1
p2
P
P1
P2
双压手铆机的活塞机构示意图
34
拉伸
P
P
P
压缩
P
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。
概念：轴向载荷；轴向拉伸或轴向压缩；拉压 杆或轴向承载杆。



19
§7.5
变形与应变
变形——构件形状或尺寸的改变。 但变形不能反映变形程度的本质。
P
100m长，1cm2粗的钢索，在100N的力作用下，
伸长了0.5mm。
P
P
P
0.04m长，1cm2粗的橡皮杆，在100N的力作用下， 也伸长了0.5mm。
20
一、应变的概念
L′
y
N′
M′ L
M′ y
M
M
42
例2 试画出从Ａ、 Ｂ两点取出的微分 单元体各个面上的 应力。

P
Ａ
B


P
2 sin 2 2
o
1 cos 2
A

2

2
45
45
45

2
B
max 2

2

2
43
三、圣维南原理
P P
44
三、圣维南原理
P1
P2
m
Ⅰ
m
内力
m
m
Ⅱ
P4
11
m
在任一截面上，内力是连续分布的分布 力系，各点的方向和大小一般不相同。通常 将该截面上的分布内力向截面上的某一指定 坐标系简化，将简化后所得的主矢和主矩作 为该截面处的内力。
y
P1 P2
Ⅰ
m
m
P1 P2
M
R
x
m Ⅰ o m z
12
六个内力分量： 轴力-- FN 剪力-- FSy、 FSz 扭矩-- T 弯矩-- My 、 Mz
( y, z )dA A
A
N A
39
非均匀拉伸时横截面上的应力
l
l F A B A B
N=N(x)
N x A
A=A(x)


N A x
40
k
n


二、斜截面上的应力
横截面：
N P A A
P
A
k
P
x
A
k
P Pcos p cos A A
N ( y , z )dA
A
P
y dA
P
P
z
(0
A
38
2、变形几何关系
平面假设： 横截面保持平面且仍 垂直于轴线（τ=0）。
y , z const
Ｐ
y
Ｐ
P
z

N
x
(2)
３、物理关系
Ｐ
(3)

N
x
E
N
由(2).(3)式得: const
２、纯剪切实验



G , p
上述关系称为剪切胡克定律， 比例常数Ｇ称为切变模量。
29
请思考： 在求解材料力学的问题中，静力学里力的可 传性原理什么时候可以用，什么时候不能用？ 图中力Ｐ的作用点从C处移到E处，对支反力有 影响吗？对哪一段杆的内力和变形有影响？
30
31
§8.1 轴向拉压的概念和内力
含义：认为组成物体的物质不留空隙的充满了物体
的体积。 作用：可将物体内的一些物理量（如各点的位移等） 表示为坐标的连续函数，用微积分等数学工具进行 分析。
(a)
(b)
(c)
6
2、均匀性假设 homogeneous assumption
含义：认为物体内各点的力学性能相同， 不随坐标位置变化。 作用：可取物体的任意一微小部分来分 析或进行材料实验，其结果可以 适用于物体的其它各部分。
P1=20KN 2
R
N
A
B
N3
P1=20KN P2=50KN 3 30KN
得
N 1 40 KN (压)
N 2 20 KN (压)
N 3 30 KN(拉)
+ x
20KN
40KN
37
3.作轴力图
§8.2 拉压杆的应力与圣维南原理
一、横截面上的应力
A
解决： 有何应力？ 如何分布？ 怎样计算？ 1、静力平衡关系
100 0.05
0.1 100
2
100
4.99 10 4
或
v BG AD 0.05 y 5.00 10 4 100 AD AD
C G 0.10 tan 1.00 10 3 rad BG 100 0.05
22
例：如图所示边长为100mm的 正方体板件ABCD，其变形如 图 中 虚 线 所 示 。 已 知 CG ＝ 0.05mm， C'G＝0.1mm。试求 棱边AB与AD的平均正应变以 及A点处直角BAD的切应变。
y D D' C
G
C'

A
2

B x
解： x 0
v AD AD y AD AD
max
0
P
p

2. 45 o


2
1 cos 2 2 sin 2
2
max 2
3. 90 o
0
0
轴向拉伸或压缩 时，最大正应力在横 截面上；最大剪应力 在45°斜截面上。
x
N
x
o
z x (a)
o (b)
21
平均正应变
M ' N ' MN u x MN
L′
y
N′ M′
L
正应变(线应变)
u lim x 0 x
y x
M
N
o
x
切应变(剪应变、角应变)
lim LM N x 0 2 y 0
My y P1 FSy o z F Sz Mz FN x T
P2
可用六个平衡方程全部求出:
F
x
0 0
m
x
F m
y
0 0
y
F m
z
0 0
z
?平面问题有几个内力分量
13
二、截面法
1
P
1 1
P
一截为二 弃一留一 内力代替 平衡求力
P
P
1
FN FN′
1
1
由平衡方程
X
0
得：
FN P 0
36
轴力图--轴力沿轴线方 向变化的图线。
例1 试求图示杆件的轴 力，并作轴力图。 解：1.求支反力R
R P1 P2 P3 40 KN
A
R
R R
1
B
2
C
3 D
1 P1=20KN 2 P2=50KN 3 P3=30KN
A 1
1
N1
x
B
2
A
N2
C
3
2.求轴力 由
N1 R 0
N 2 P1 R 0 N 3 P2 P1 R 0
刚体及其平衡规律
4
§7.2
变形固体的基本假设
力学性能：材料在外力作用下所表现的性能。
1、连续性假设 continuous assumption 2、均匀性假设 homogeneous assumption 3、各向同性假设 isotropic assumption
5
1、连续性假设(continuous assumption)
48

FN P
14
例1: 求图 示折杆m-m 横截面上的 内力。
解：从m-m 处截 开，取上半部分 为研究对象。
P1
b
a
P2
P1
a
P2
b m c m m
M
m FS y c
FN
x
X 0 Y 0 m 0
c
FS P1 0 剪力
FN P2 0
M P1b 0
FS P1
P
b/4
P
b/2
m
P
P
法国力学家 Saint-Venant (1797-1886)
m
1.387 m
b
m
1.027 m
b
2.575 m
P m A
表述方式一：力作用于杆端的分 布方式，只影响杆端局部范围的 应力分布，影响区的轴向范围约 离杆端1～2杆的横向尺寸。
45
表述方式二： 如果把 物体的一小部分边界 上的面力，变换为分 布不同但静力等效的 面力（主矢量相同， 对于同一点的主矩也 相同），那么，近处 的应力分布将有显著 的改变，但是远处所 受的影响可以不计。