新教材高中数学第三章分段函数课件新人教B版必修第一册ppt

)
A．10 B．11 C．12 D．13
【解析】选 B.因为 f(x)＝xf（－f2（（xx＋≥160））），（x<10）， 所以 f(5)＝f(f(11))＝f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.
2．(2021·六安高一检测)已知函数 f(x)＝2x＋x，1x，>0x≤0 ，且 f(a)＋f(0)＝0，则实数 a 的
1．已知函数
f(x)的图像是两条线段(如图)，不含端点，则
1 ff3
＝(
)
A．－13
B．13
C．－23
D．23
【解析】选 B.可求得 f(x)＝xx＋－11
（－1<x<0）， （0<x<1），
所以
1 f3
＝31
－1＝－32
，
所以
1 ff3
＝f－23
＝－32
＋1＝13
.
x，x≤－2， 2．函数 f(x)＝x＋1，－2<x<4， 若 f(a)<－3，则 a 的取值范围是________．
【解析】结合函数图像和一次函数解析式的求法可得 f(x)＝x－＋x，1，0－ ≤x≤1≤1.x<0， 答案：f(x)＝x－＋x，1，x∈x∈[0[－ ，11，] 0），
1．分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外 依次求值． 2．分段函数求自变量值的方法 分段令 f(x)等于已知的函数值，解方程求根，验证求出的根是否在该段的自变量范围 内，不在范围内的舍去．
【拓展训练】 讨论关于 x 的方程|x2－4x＋3|＝a 的实数解的个数．
【解析】作出函数 y＝|x2－4x＋3|和函数 y＝a 的图像，如图所示．方程|x2－4x＋3|＝a 的实数解就是两个函数图像的交点(纵坐标相等)的横坐标 x 的值．因此原方程的解的 个数就是两个函数图像的交点个数．
(1)当 a∈(－∞，0)时，原方程没有实数解； (2)当 a＝0 或 a∈(1，＋∞)时，原方程有两个实数解； (3)当 a＝1 时，原方程有三个实数解； (4)当 0<a<1 时，原方程有四个实数解．
2．已知函数 f(x)＝1x，x<0. 如果 f(m)＝－2，那么实数 m 的值是(
)
A．－8 B．－2 C．－21
D．1
【解析】选 C.当 m≥0 时，f(m)＝m＝－2，不满足条件．当 m<0 时，f(m)＝m1 ＝－
2，m＝－12 .
2x，0≤x≤1， 3．(教材例题改编)函数 f(x)＝2，1<x<2， 的值域是________.
3．求分段函数的解析式的方法 首先确定每一段上函数的类型，利用待定系数法求每一段上的解析式，其次写函数 的解析式时，要注意图像中连接点的虚实，以确定自变量范围中端点的取舍．
【补偿训练】
已知函数 f(x)＝x－2＋2x1，，xx>≤00，， 若 f(x)＝5，则 x 的值是(
)
A．－2
B．2 或－25
因为23
＝1，所以32
3 ·2
＝32
×1＝32
，
则<23
3 ·2
>＝<32
>＝2，则
3 f2
＝2.
(2)当 x＝－1 时，[－1]＝－1，<－1>＝－1， 此时 y＝[x]＋<x>＝－1－1＝－2， 当－1<x<0 时，[x]＝－1，<x>＝0， 此时 y＝[x]＋<x>＝－1＋0＝－1， 当 x＝0 时，[0]＝0，<0>＝0， 此时 y＝[x]＋<x>＝0， 当 0<x<1 时，[x]＝0，<x>＝1， 此时 y＝[x]＋<x>＝0＋1＝1， 当 x＝1 时，[1]＝1，<1>＝1，
类型三 分段函数的综合问题(逻辑推理、直观想象) 范围问题
【典例】已知 f(x)＝1－，1x，≥0x<，0， 则不等式 x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5 的解集是(
)
A．[－2，1] B．(－∞，－2]
C．－2，32
D．－∞，32
【思路导引】分 x＋2≥0，x＋2<0 两种情况解不等式．
【解析】选 D.(1)当 x＋2≥0，即 x≥－2 时， f(x＋2)＝1， 由 x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5，可得 x＋x＋2≤5， 所以 x≤32 ，即－2≤x≤32 . (2)当 x＋2<0，即 x<－2 时，f(x＋2)＝－1， 由 x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5，可得 x－(x＋2)≤5， 即－2≤5 成立，所以 x<－2. 综上，不等式的解集为x|x≤32 .
C．2 或－2 D．2 或－2 或－52
【解析】选 A.由题意，当 x≤0 时，f(x)＝x2＋1＝5，得 x＝±2，又 x≤0，所以 x＝－2；
当 x>0 时，f(x)＝－2x＝5，得 x＝－25 ，舍去．
类型二 分段函数的图像(直观想象)
【典例】高斯取整函数 y＝[x]又称“下取整函数”，其中[x]表示不大于 x 的最大整数；
(2)图像如图所示，
(3)当 x∈(－∞，1)时，有 f(x)＝－2x＋1＝3，解得 x＝－1；当 x∈[1，＋∞)时，有 f(x) ＝x2－2x＝3，解得 x＝3 或 x＝－1，但 x＝－1∉[1，＋∞)，故舍去，所以 x 的值为 3， 综上所述：x 的值为－1 或 3.
【拓展延伸】画函数图像的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)化简函数的解析式． (3)讨论函数图像的性质(如截距、图像上特殊点的位置等)以缩小描点的范围． (4)采用描点法或利用基本函数图像作出函数的图像．
(2)观察函数图像可知，函数 f(x)的定义域为 R，值域为[0，1].
学情诊断·课堂测评
1．(2021·长沙高一检测)已知函数 f(x)＝x＋x，2，x>x0≤0 ，若 f(0)＝a，则 f2 D．0
【解析】选 C.因为 f(0)＝a，代入分段函数中可得 0＋2＝a，则 a＝2，所以 f(a)＝f(2)
2．分段函数的图像
在同一坐标系中，根据分段函数每段的__定__义__区__间__和_表__达__式__依次画出图像，要注
意确定每段图像的端点是空心圈还是实心点，各段函数图像组合到一起就可得到 整个分段函数的图像．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)分段函数 y＝x－，xx，≤x1>，1 的定义域为(－∞，1].( × )
值为( )
A．－2 B．－21
C．0 D．21
【解析】选 A.f(0)＝1，f(a)＋f(0)＝0⇒ f(a)＝－1，
当 a>0 时，f(a)＝2a＝－1，
解得 a＝－21 ，不成立．
当 a≤0 时，f(a)＝a＋1＝－1，解得 a＝－2.
3．已知函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)的解析式是________．
值域问题 【典例】(2021·太湖高一检测)已知函数 f(x)＝2＋x－32|x| (－2<x≤3).
(1)用分段函数的形式表示函数 f(x)； (2)画出函数 f(x)的图像； (3)写出函数 f(x)的值域．
【思路导引】(1)分－2<x≤0 和 0<x≤3 两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式； (2)根据(1)的解析式画出函数的图像； (3)根据函数图像可求出函数的值域．
(2021·昆山高一检测)已知函数 f(x)＝－ x2－2x2＋x，1，x≥x1<1 . (1)试比较 f(f(－3))与 f(f(3))的大小； (2)画出函数的图像； (3)若 f(x)＝3，求 x 的值．
【解析】(1)因为－3<1， 所以 f(－3)＝－2×(－3)＋1＝7， 又因为 7>1，所以 f(f(－3))＝f(7)＝72－2×7＝35， 因为 3>1，所以 f(3)＝32－2×3＝3， 所以 f(f(3))＝f(3)＝3， 所以 f(f(－3))>f(f(3)).
＝ 2.
2．(教材练习改编)已知函数 f(x)＝xx＋2＋11，，xx∈∈[(－0，1，1]0，]，
则函数 f(x)的图像是( )
【解析】选 A.当 x＝－1 时，y＝0，即图像过点(－1，0)，D 错；当 x＝0 时，y＝1， 即图像过点(0，1)，C 错； 当 x＝1 时，y＝2，即图像过点(1，2)，B 错．
称函数 y＝<x>为“上取整函数”，其中<x>表示不小于 x 的最小整数；例如根据定义可
得：[1.3]＝1，[－1.3]＝－2，<－2.3>＝－2，<2.3>＝3.
(1)函数 f(x)＝<x·[x]>，x∈[－2，2]，
求 f－32
和
3 f2
.
(2)试作出函数 y＝[x]＋<x>的图像，其中－1≤x≤1.
提示：分段函数 y＝x－，xx，≤x1>，1 的定义域为(－∞，1]∪(1，＋∞)＝R.
(2)函数 y＝|x|不是分段函数．( × )
提示：函数 y＝|x|＝x－，xx，≥0x<，0 是分段函数．
(3)常数函数的图像是垂直于 x 轴的直线． ( × )
提示：常数函数的图像是垂直于 y 轴的直线．
x，x≥0，
基础认知·自主学习
1.什么是分段函数？ 导思
2.怎样求分段函数的定义域和值域？ 1.分段函数 (1)定义．
一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的_对__应__方__式__，
则称其为分段函数．
(2)分段函数的常见类型：①含绝对值符号的函数；②自定义函数．
分成两段的分段函数是两个函数吗？ 提示：不是，分段函数是一个函数，只是在不同的取值范围上对应方式不一样．
若将本例中的条件改为“已知 f(x)＝1－，1x，≥x1<，1， ”试求不等式的解集．
【解析】(1)当 x＋2≥1，即 x≥－1 时，f(x＋2)＝1， 由 x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5，可得 x＋x＋2≤5， 所以 x≤23 ，即－1≤x≤32 . (2)当 x＋2<1，即 x<－1 时，f(x＋2)＝－1， 由 x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5，可得 x－(x＋2)≤5， 即－2≤5，所以 x<－1. 综上，不等式的解集为x|x≤32 .
【思路导引】(1)分别求出－32
与<－32
·－32
>⇒ f－32
⇒
同理可得
3 f2
；
(2)将函数解析式分段表示⇒ 作出图像．
【解析】(1)函数 f(x)＝<x·[x]>，x∈[－2，2]，
因为－32 ＝－2，所以－32 ·－32 ＝－32 ×(－2)＝3，
则<－32 ·－32 >＝<3>＝3，则 f－32 ＝3；
3，x≥2
【解析】当 0≤x≤1 时，0≤2x≤2，即 0≤f(x)≤2；
当 1<x<2 时，f(x)＝2；当 x≥2 时，f(x)＝3.
综上可知 f(x)的值域为[0，2]∪{3}．
答案：[0，2]∪{3}
能力形成·合作探究 类型一 分段函数解析式及应用(数学抽象、直观想象)
1．设 f(x)＝xf（－f2（（xx＋≥160））），（x<10）， 则 f(5)的值为(
x＋2，－2<x≤0 【解析】(1)f(x)＝－13x＋2，0<x≤3 .
(2)函数 f(x)的图像如图所示．
(3)由图得函数 f(x)的值域为(0，2] .
1．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 2．分段函数的值域 (1)利用不等式的性质分段求出值域，再取各段上值域的并集，即为函数的值域． (2)作出分段函数的图像，由图像观察函数值的取值范围．
3x，x≥4，
【解析】当 a≤－2 时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2<a<4 时，
f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解；
当 a≥4 时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解．
所以 a 的取值范围是(－∞，－3).
答案：(－∞，－3)
3．已知 f(x)＝x12，，x－<－1≤1x或≤1x，>1. (1)画出函数 f(x)的图像． (2)求 f(x)的定义域和值域． 【解析】(1)作出 f(x)的图像，如图所示．
此时 y＝[x]＋<x>＝1＋1＝2，
－2，x＝－1， －1，－1<x<0， 则 y＝[x]＋<x>＝ 0，x＝0， 1，0<x<1， 2，x＝1，
作图：
分段函数图像的作法 (1)若函数的解析式中含有如取整、取绝对值等运算符号，则分情况去掉，分段表示 解析式． (2)分段描点作图． (3)检查图像接点处点的虚实，做到不重不漏．
3．设 f(x)＝x1＋，2x，<0x，≥0， 则 f(f(－1))＝(