数列的函数特性

A．第4项
B．第5项
C．第6项
D．第7项
答案： B
3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是________数 列(填“递增”或“递减”)
答案： 递增
第二十一页，共26页。
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2＋1，证明数列 {an}为递增数列．
证明： ∵an＝ n2＋1，∴an＋1＝ n＋12＋1，
数列（6）的函数图像值不变化
第八页，共26页。
例4：作出数列的 性.
1 , 1 , 1 , 1 ,..., ( 1的)n图,.像.. ，并分析数列的增减
2 43
5
2
4
1 4
1 2
解:观察知,数列各项的值正负相间,表示数列的各点相对于横轴上下
摆动,所以它既不是递增的，也不是递减的，称摆动数列
数列的表示方法有哪些？
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实例分析
我国1952—1994年间部分年份进出口贸易总额数据排成一列数： 19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1154.4,42367.3
此数列也可用图直观表示如下:
第三页，共26页。
(亿美元)
2600.0 2400.0 2200.0 2000.0 1800.0 1600.0 1400.0 1200.0 1000.0
数列是特殊的函数从函数的观点看数列对于定义域为正整数集n或它的有限子集1n的函数来说数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值其图象是无限个或有限个孤立的点
数列的函数特性
第一页，共26页。
数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的 有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从 小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值 就构成一个数列．
800.0 600.0 400.0 200.0
0.0
2367.3
1154.4 696.0 381.4 19.431.042.545.9147.5
1952 1957 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1994 (年)
中国进出口贸易总额的变化
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实例分析
数列（1）3,4,5,6,7,8,9的图像
注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.
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实例分析中数列（1），(5)，（6）的函数图像各有什么特点？
a9 n
8
an
an
7
6 5
1100
4
1
3
2
1
1
3
0
0 12 3 4 56 7
n
0
1
2
3
4
n n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
数列（1）的函数图像上升 数列(5) 的函数图像下降
是不是所有的数 列都有增减性？
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方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，
则
ak≥ak－1 ak≥ak＋1
对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
即k＋11110k≥k1110k－1
，
k＋11110k≥k＋21110k＋1
∴k11＋10k1＋≥11110≥kk＋2
，解得 9≤k≤10.
又 k∈N＋，∴数列{an }中存在的最大项是第 9 项和第 10 项． 且 a9＝a10＝1101190.
求数列的最大（小）项
已知数列{an}的通项公式为 an＝(n＋1)1110n(n∈N＋)，试 问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明 理由．
第十六页，共26页。
[策略点睛]
第十七页，共26页。
[规范作答] 方法一：因为 an＋1－an ＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n ＝1110n·9－11n， 当 n＜9 时，an＋1－an＞0，即 an＋1＞an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n＞9 时，an＋1－an＜0，即 an＋1＜an； 所以 a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项， 即 a9＝a10＝1101190.
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数列{an}的通项公式如下，请写出数列前4项，判断数列 {an}的增减性
an n2 10n 8
数列的单调性
＞ ①递增数列：对任意的n，都有an+1 an； ②递减数列：对任意的n，都有an+1＜ an； = ③常数数列：对任意的n，都有an+1 an；
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例3：判断下列无穷数列的增减性.
又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝ a3＝－2.
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小结
一、数列的概念
1.定义 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2.数列是特殊的函数 从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集N*(或它的有限子 集{1, 2, 3, …, n})的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到大 依次取值时对应的一系列函数值, 其图象是无限个或有限个孤立的 点.
第十九页，共26页。
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，12，13，14，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－12，－14，－18，…
答D案．：1， 2C， 3，…， n
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2．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an} 各项中最小的项是( )
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例1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪 些是常数列？
（1）1, 0.84, 0.842, 0.843，… ； （2）2, 4, 6, 8, 10，…； （3）7， 7， 7, 7, 7，…； （4）1/3，1/9，1/27，1/81，…； （5）0,10,20,30，…，1000； （6）0，-1,2，-3,4，-5，…； （7）0，0, 0，0, 0；
数列 -2n2 9n 3 中数值最大的项为a2 13.
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3.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
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解：(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4. ∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项a2，a3是负数. (2)∵an＝n2－5n＋4＝n(n- )2- 的对称轴方程为n＝
an
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 12 3 4 56 7
n
第五页，共26页。
实例分析
数列（5）1, 1 , 1 , 1 ,... 的图像 357
an
1
1 3
0
1
2
3
4
n
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实例分析
数列(6) 1100,1100,1100,…,1100的图像
an
1100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
(1)2,1, 0, 1,...,3 n,... (2) 1 , 2 , 3 ,..., n ,... 2 3 4 n1
解:(1) 设an=3-n,那么
an1 3 (n 1) 2 n an1 an (2 n) (3 n) 1 所以,an1 an ,因此这个数列是递减数列.
第十三页，共26页。
5
6
78
an
作图
an
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
7 12
123
15 16 15
12
70
an-1≤an
an-1≥an
an ≥ an+1 或 an ≤ an+1
是分别找出数列最大项和最
小项的常用方法。
45678
n
它在{1,2,3,4}上是递增的,{5,6,7,8}上是递减的.
第十五页，共26页。
（2）设 b n ,那么 n 1
bn1
n 1 (n 1) 1
n 1 n2
n 1 n
1
bn1 bn n 2 n 1 (n 1)(n 2) 0
所以,bn1 bn ,因此这个数列是递增数列.
第十四页，共26页。
某数列为 7,12,15,16,15,12,7,0
用表格来表示
n
12 3
4
第九页，共26页。
抽象概括
递增数列：如果一个数列从第2项起，每一项都大于它的前一项， 那么这个数列就叫做递增数列. 递减数列：如果一个数列从第2项起，每一项都小于它的前一项， 那么这个数列就叫做递减数列.
常数列：如果一个数列各项相等，那么这个数列就叫做常数列.
摆动数列：如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小 于它的前一项，这样的数列叫摆动数列．
∴an＋1－an＝ n＋12－1－ n2＋1
＝
2n＋1 n＋12＋1＋
n2＋1＞0.
∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．
第二十二页，共26页。
例4：求数列 项.
an
2n2 9n 中3 的数值最大的
解:
an
2(n
9)2 4
105 , 8
又2 9 3, n N * 4
n 2时an取最大值13.