2022年湖南省郴州市第九完全中学高二数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年湖南省郴州市第九完全中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 以表示等差数列的前项和，若，则（）
A、42
B、28
C、21
D、14
参考答案：
A
2. 已知函数f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能为（）
A．f（x）=xsinx B．f（x）=xcosx﹣sinx
C．f（x）=xcosx D．f（x）=xcosx+sinx
参考答案：
B
【考点】3O：函数的图象．
【分析】利用函数的图象的奇偶性排除选项，通过特殊点的函数值的判断即可．
【解答】解：由题意可知函数是奇函数，可知A不正确；
f（x）=xcosx，f（x）=xcosx+sinx，当x∈（0，）时，两个函数值都是正数，与函数的图象不符，
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象与函数的解析式的对应关系，是基础题．
3. 在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
略
4. 已知等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比q为（）
A．2 B．1 C．D．
参考答案：
D
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题；对应思想；定义法；等差数列与等比数列．
【分析】根据等比数列的通项公式，利用a4+a6=（a1+a3）q3，即可求出q的值．
【解答】解：等比数列{a n}中，∵a1+a3=10，∴a4+a6=（a1+a3）q3=，
∴q3=×=
∴该数列的公比q=．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，是基础题目．
5. 设命题：若，则；命题：。

给出下列四个复合命题：①或；②；③；④，其中真命题的个数有（）
A.0个
B.1个
C.2
个 D.3个
参考答案：
C
略
6. 在区间[－1，1]上任取两数s和t，则关于x的方程的两根都是正数的概率为
（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
7. 若、m、n是互不相同的空间直线，,β是不重合的平面，则下列命题中正确的是
（）
A．若∥β，则∥n B．若⊥，∥β，则⊥β
C．若⊥n，m⊥n，则∥m D．若⊥β，，则⊥β
参考答案：
B
8. 对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：
①中位数为83；②众数为83；
③平均数为85；④极差为12.
其中，正确说法的序号是（）
A. ①②
B. ②③
C.
③④ D. ②④
参考答案：
B
9. 在等差数列{a n}中，，且，，成等比数列，则（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
参考答案：C
【分析】
由成等比数列，求得，再由等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
由成等比数列，则，
即，解得或（舍去），
所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10. 已知复数（i为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
根据复数乘法以及除法运算法则求解.
【详解】,选A.
【点睛】本题考查复数乘法以及除法运算，考查基本求解能力，属基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是______。

参考答案：
【分析】
先对函数求导，根据其导函数的范围，求出切线斜率的范围，进而可得倾斜角范围. 【详解】因为，则
所以曲线上的任意一点处切线的斜率为，
记切线的倾斜角为，则，所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查曲线上任一点切线的倾斜角问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.
12. 若在(－1,+∞)上是减函数，则b 的取值范围是
．
参考答案：
(－∞,－1]
试题分析：转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，所以，则的取值范围是(－∞,－1].
13. 过椭圆的右焦点F作一斜率大于0的直线交椭圆于A、B两点，若点F将线段AB分成2:1两段，则直线AB的斜率为▲ .
参考答案：
14. 已知圆C:，则过圆上一点P（1，2）的切线方程是 __________ .
参考答案：
x+2y-5=0
15. 一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_________．
参考答案：
2+
略
16. 椭圆+=1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是．
参考答案：
20
【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质，以及椭圆的定义，转化求解即可．
【解答】解：椭圆+=1的长半轴的长为：5，
AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长为：4a=20．
故答案为：20．
17. 双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为．
参考答案：
6
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得该双曲线的焦点在x轴上，且a=，b=，可得其渐近线方程为y=±x，进而结合题意可得=1，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：，
则其焦点在x轴上，且a=，b=，
故其渐近线方程为y=±x，
又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，
则有=1，解可得m=6；
故答案为：6．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围。

参考答案：
略
19. 的展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，且前三项系数成等差数列.
（1）求a的值；
（2）若，展开式有多少有理项？写出所有有理项.
参考答案：
（1）2或14；（2），，.
【分析】
先由二项式系数的性质求，再根据二项式展开式的通项公式和等差中项公式求；（2）根据二项式展开式的通项公式，令的指数为整数次求解.
【详解】因为奇数项的二项式系数之和为128，
所以，解得，
所以二项式为
第一项：，系数为1，
第二项：，系数为，
第三项：，系数为，
由前三项系数成等差数列得：，解得或.
（2）若，由（1）得二项式为，通项为：
，其中
所以，
令即，此时；
令即，不符题意；
令即，不符题意；
令即，此时；
令即，不符题意；
令即，不符题意；
令即，此时
综上，有3项有理项，分别是：
，，.
【点睛】本题考查二项式定理的系数性质和展开式的通项公式，等差中项公式.注意是第项.
20. 数列{a n}中，a1=﹣，其前n项和S n满足S n=﹣（n≥2），
（1）计算S1，S2，S3，S4；
（2）猜想S n的表达式并用数学归纳法证明．
参考答案：
【考点】RG：数学归纳法．
【分析】（1）利用）∵，其前n项和S n满足（n≥2），代入计算，可求S1，S2，S3，S4；
（2）猜想S n的表达式，利用数学归纳法的证明步骤进行证明．
【解答】解：（1）∵，其前n项和S n满足（n≥2），
∴=﹣， =﹣， =﹣；
（2）猜想S n=﹣．下面用数学归纳法证明．
①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，成立，即可S k=﹣，
则n=k+1时， =﹣，
即n=k+1时，猜想成立，
①②可知S n=﹣．
21. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若点P的极坐标为，求的面积.
参考答案：
解：（1）因为直线的参数方程为，得，故直线的普通方程为，
又曲线的极坐标方程为，即，
因为，，∴，即，
故曲线的直角坐标方程为.
（2）因为点的极坐标为，∴点的直角坐标为，∴点到直线的距离.
将，代入中得，，，
，
∴的面积.
22. （本题14分）已知函数f（x）=x2－lnx,g（x）=lnx－x
（1）求f（x）在（1，）处的切线方程；
（2）若
①讨论函数h（x）的单调性；
②若对于任意∈（0，+），，均有＞－1，求实数a的取值范围．参考答案：。