福建省龙岩市第二中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题

福建省龙岩市第二中学2021-2022学年九年级上学期第一次
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程的解是（ ）
21000x -=A ．B ．C ．D ．10x =10x =-1210,10x x ==-100x =2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．50x -=241x x --2230x x --=10xy +=3．用配方法解方程，时，原方程应变形为（ ）
2250x x --=A ．B ．C ．D ．()216x +=2(1)6x -=()229x +=2(2)9x -=4．方程2x （x-1）=x-1的解是（ ）
A ．x1=，x2=1
B ．x1=-，x2=1
C ．x1=-，x2=1
D ．x1=，x2=-1121212125．抛物线的顶点坐标是（ ）
()223y x =--A ．B ．C ．D ．()2,3-()2,3--()2,3()2,3-6．关于x 的一元二次方程kx 2-6x +1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )A ．k ≥9
B ．k <9;
C ．k ≤9且k ≠0
D ．k <9且k ≠0
7．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
12,x x 2430x x ++=12x x A ．4B ．3C ．D ．4-3
-8．抛物线 y = ax 2+b （a≠0）与x 轴有两个交点，且开口向上，则a ，b 的取值范围是（ ）
A ．a > 0，b < 0
B ．a > 0，b > 0
C ．a < 0，b < 0
D ．a < 0，b > 09．某种商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A ．8.5%
B ．9%
C ．9.5%
D ．10%
10．已知a ≠0，b ＜0，一次函数是y =ax +b ，二次函数是y =ax 2，则下面图中，可以成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．把方程化成一般式是___________．
()()()31229x x x x -=+-+12．若方程（m +2）x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则m =_____．
13．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为_____．14．二次函数．当时．与的大小关系为___________．
23y x =120x x >>1y 2y 15．已知关于x 一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有一个根为1，则a +b +c ＝_____．
16．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x 人参加同学聚会．列方程得____．
17．若一条抛物线与的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物212
y x =
线的解析式为_____．
18．如果(a2+b2+1)(a2+b2-1)=63,那么a2+b2的值为__.
19．抛物线的图象如图，当________时，．x 0y >
20．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且
2y ax bx c =++(1,2)-(1,0)与轴交于负半轴．给出四个结论：
①，②；③；④；y 0a b c ++=<0abc 20a b +>1a c +=其中正确的结论的序号是______．
三、解答题
21．解方程：
(1)260
x x --=(2)2270
x x -=(3)2410
x x --=(4)()()22
452x x -=-22．已知二次函数．
243y x x =-+(1)用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并写出当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．
(2)求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标，及的面积．
ABC 23．如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求BC 的长．
24．如图，二次函数图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ．
（1）求点C 的坐标；
（2）求二次函数的解析式．
25．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
26．如图所示，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，，，动点P ，Q 16cm AB =6cm AD =分别从点A ，C 同时出发，点P 以的速度向点B 移动，一直到达点B 为止，点Q 3cm /s 以的速度向点D 移动
2cm /s
(1)P ，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
PBCQ 233cm (2)P ，Q 两点从出发开始到几秒时，点和点Q 的距离第一次是？
P 10cm
参考答案：
1．C
【详解】试题分析：根据直接开平方法可知方程的解为x=10或x=-10.
故选C.
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得．
【详解】解：A ．中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，50x -=则此项不符合题意；
B ．是多项式，不是方程，则此项不符合题意；
241x x --C ．是一元二次方程，则此项符合题意；
2230x x --=D ．中含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
10xy +=故选：C ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键．
3．B
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：，
2250x x --=，
225x x -=，
22151x x -+=+，
2(1)6x -=故选：B ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．A
【详解】试题分析：根据一元二次方程的解法—因式分解法，先移项为2x （x-1）-（x-1）=0，然后提公因式为（x-1）（2x-1）=0，解得x 1=
，x 2=1.12
故选A
5．D
【分析】根据抛物线顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ）可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y ＝（x ﹣2）2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），
故选：D ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．D
【分析】根据一元二次方程kx 2﹣6x +1＝0有两个不相等的实数根得出Δ＞0且k ≠0，求出即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣6x +1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k •1＝36﹣4k ＞0且k ≠0，
解得：k ＜9且k ≠0，
故选：D ．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程的应用，能运用知识点进行计算是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2﹣4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当b 2﹣4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，当b 2﹣4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根．
7．B
【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：是一元二次方程的两个根，
12,x x 2430x x ++=，12331
x x ==∴故选：B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
8．A
【分析】由题意易得a > 0，然后由二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线 y = ax 2+b （a≠0）与x 轴有两个交点，且开口向上，可得：
a > 0，
令y=0时，则有，即，20ax b =+20x b a
=->；
∴0b <故选A ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
9．D
【详解】解：设平均每次降价的百分率是x ，
根据题意得：100（1-x ）2=81，
解得：x 1=0.1，x 2=1.9，
经检验x 2=1.9不符合题意，
∴x =0.1=10%，
故答案为：D
10．C
【详解】解：由a ≠0，b ＜0，可知一次函数与y 轴的交点在y 轴的负半轴，可知B 、D 不成立；
当a ＞0时，直线y =ax +b 向上斜，而二次函数y =ax 2的开口向上，A 不成立；
当a ＜0时，直线y =ax +b 向下倾斜，二次函数y =ax 2开口向下， C 成立.
故选C.
【点睛】此题主要考查了一次函数与二次函数的图像与性质，是中考常考题，解题时，要根据直线的性质以及二次函数的性质判断，由系数a 和b 确定其一种图像的位置，然后确定第二个是否符合即可.
11．22350
x x --=【分析】先去括号，再移项、合并同类项，将方程化成一般式即可得．
【详解】解：，
()()()31229x x x x -=+-+去括号，得，
223349x x x -=-+移项，得，
2233490x x x --+-=合并同类项，得，
22350x x --=即一般式为，
22350x x --=
故答案为：．
22350x x --=【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟记一元二次方程的一般式是解题关键．12．2【详解】解：由题意得，，解得，220m m ⎧=⎨+≠⎩
22m m =±⎧⎨≠-⎩∴m =2，
故答案为2．
13．y =（x ﹣3）2－1
【分析】利用二次函数的性质得抛物线y =x 2+1的顶点坐标为（0，1），利用点平移的规律得到，点（0，1）平移后对应点的坐标为（3，－1），然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】抛物线y =x 2+1的顶点坐标为（0，1），把（0，1）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，－1），所以平移后的抛物线为y =（x ﹣3）2－1．
故答案为y =（x ﹣3）2－1．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．##12>y y 21
y y <【分析】由解析式可知对称轴为，开口向上，再根据，在对称轴的位置判断，0x =1x 2x 1y 的大小．
2y 【详解】解：∵中，
23y x =3>0a =∴抛物线开口向上，对称轴为，
0x =∴在y 轴右侧，y 随x 的增大而增大，
∵，
120x x >>∴．
12>y y 故答案为：．
12>y y
【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，y 随x 的>0a 增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；时，在对称轴的左边，y 随x 的a<0增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小．
15．0．
【详解】试题解析：根据题意，一元二次方程ax 2+bx+c="0" 有一个根为1，即x=1时，ax2+bx+c=0成立，
即a+b+c=0，
考点：一元二次方程的解．
16． x （x ﹣1）=45
12【分析】利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x 人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x （x-1）解决问题即可．12【详解】由题意列方程得，
x （x-1）=45．1
2故答案为x （x-1）=45．
12【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟知x 人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x （x-1）这一基本数量关系是解题的关键.
1217．21+22y x =【分析】根据题意设抛物线解析式为，把(0，2)代入利用待定系数法进行求解即21+2y x b =
可.
【详解】根据题意设抛物线解析式为，21+2
y x b =把(0，2)代入得：b=2，
则抛物线解析式为，21+22y x =
故答案为.21+22y x =【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，熟知形状相同且开口方向一样的两个抛物线的二次项系数相等是解题的关键.
18．8
【分析】首先把a 2+b 2看作一个整体为x ，进一步整理方程，开方得出答案即可．
【详解】解：设a 2+b 2=x,
则(x+1)(x-1)=63
整理得: x 2=64,
x=±8,
即a 2+b 2=8或a 2+b 2=-8 (不合题意,舍去)；
故答案为8.
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据直接开平方法解一元二次方程.19．或1<3
x >【分析】根据时抛物线的图象位于x 轴的上方，观察图象即可得x 的取值范围.
0y >【详解】观察图象可知，当x ＜1，或x ＞3时，y ＞0．
故答案为或.
1<3x >【点睛】本题考查了已知函数的取值范围，根据二次函数的图求自变量的取值范围，利用数形结合思想是解决这类题目通用的方法.
20．①③④##①④③##④①③##④③①##③①④##③④①
【分析】①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出(1,0)，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴0a b c ++=y y 交于负半轴，可得出，，，进而可得出，结论②错误；③由二次0a >02b a
->0c <0abc >函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④0a >2a b >-20a b +>由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征2y ax bx c =++(1,2)-(1,0)可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解．
2a b c -+=0a b c ++=1a c +=【详解】解：①点在二次函数图象上，
(1,0)，结论①正确；
0a b c ∴++=②二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， 2y ax bx c =++y y ，，，0a ∴>02b a
-
>0c <，0b ∴<，结论②错误；
0abc ∴>③，，12b a
-< 0a >
，
2a b ∴>-，结论③正确；
20a b ∴+>④二次函数的图象经过点和，
2y ax bx c =++(1,2)-(1,0)，，
2a b c ∴-+=0a b c ++=，结论④正确．
1a c ∴+=综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误．
21．(1)，12x =-23
x =(2)，10x =27
2
x =
(3)12x =+22x =(4)，11x =23
x =【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（3）利用配方法解一元二次方程即可得；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解：，
260x x --=因式分解，得，
()()230+-=x x 所以或，
20x +=30x -=解得或，
2x =-3x =所以方程的解为，．
12x =-23x =（2）解：，
2270x x -=因式分解，得，
()270x x -=所以或，
0x =270x -=
解得或，0x =72
x =所以方程的解为，．10x =272
x =（3）解：变形为，
2410x x --=241x x -=配方，得，即，
24414x x -+=+()2
25x -=
开平方，得，
2x -=
解得2x =
所以方程的解为12x =22x =（4）解：变形为，
()()22452x x -=-()()224520x x ---=因式分解，得，即，
()()4524520x x x x -+---+=()()1390x x -+-=所以或，
10x -+=390x -=解得或，
1x =3x =所以方程的解为，．
11x =23x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．
22．(1)顶点的坐标为；当时，随的增大而减小
C ()2,1-2x ≤y x (2)或，的面积为1()()1,0,3,0A B ()()3,0,1,0A B ABC 【分析】（1）利用配方法将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得顶点的坐标和增减C 性；
（2）令，解方程可得点的坐标，再利用三角形的面积公式即可得．
0y =,A B 【详解】（1）解：二次函数化成顶点式为，
243y x x =-+()221y x =--则顶点的坐标为；当时，随的增大而减小．
C ()2,1-2x ≤y x （2）解：令，则，
0y =()2
210x --=解得或，
1x =3x =则或，
()()1,0,3,0A B ()()3,0,1,0A B
所以的面积为．ABC ()131112
⨯-⨯-=【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．23．BC 的长为10米．
【分析】设BC ＝x 米，则AB ＝米，根据矩形的面积公式得出关于x 的一元二次方1002
x -程，解之即可得出x 的值，即为BC 的长．
【详解】解：设BC ＝x 米（0＜x ≤20），则AB ＝
米，1002x -依题意，得：x • ＝450，1002
x -整理，得：x 2﹣100x +900＝0，
解得：x 1＝10，x 2＝90（不合题意，舍去）．
答：BC 的长为10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（1）C 点的坐标为（0，5）；（2）y ＝﹣x 2+x +5．54154
【分析】（1）先求出AB ，再求出OC ，即可得出C 的坐标；
（2）把A 、B 、C 的坐标代入函数解析式，即可求出a 、b 、c 的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），
∴AB ＝1+4＝5，
∵AB ＝OC ，
∴OC ＝5，
∴C 点的坐标为（0，5）；
（2）设过A 、B 、C 点的二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，
把A 、B 、C 的坐标代入得：，
016405a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
解得：a ＝﹣，b ＝，c ＝5，54154
所以二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +5．54154【点睛】本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式和函数图象上点的坐标特征，能用
待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．
25．（1）月销售量为450千克，月销售利润为6750元；（2）销售单价应为80元．
【分析】（1）根据“销售单价每涨2元，月销售量就减少20千克”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克202
的利润×销售的数量来求出月销售利润；
（2）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40=250kg ．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．
【详解】解：（1）当销售单价定为每千克55时，月销售量为：500-（55-50）×10=450（千克），
所以月销售利润为：（55-40）×450=6750（元）；
（2）由于水产品不超过10000÷40=250kg ，定价为x 元，
则（x -40）[500-10（x -50）]=8000，
解得：x 1=80，x 2=60．
当x 1=80时，进货500-10（80-50）=200kg ＜250kg ，符合题意，
当x 2=60时，进货500-10（60-50）=400kg ＞250kg ，舍去．
答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．26．(1)5秒
(2)秒85
【分析】当运动时间为秒时，cm ，cm ．
t (163)PB t =-2CQ t =（1）利用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于t 的一元一次方PBCQ 233cm 程，解之即可得出结论；
（2）过点Q 作于点，则cm ，cm ，利用勾股定理结合QM AB ⊥M |165|PM t =-6QM =10PQ =cm ，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
t 【详解】（1）解：当运动时间为t 秒时，cm ，cm ．
(163)PB t =-2CQ t =依题意，得：，
1(1632)6332
t t ⨯-+⨯=解得：．
5t =
答：P ，Q 两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．
PBCQ 233cm （2）（2）过点作于点，如图所示．
Q QM AB ⊥M cm ，cm ，
165PM t =- 6QM =，即，
222PQ PM QM ∴=+22210(165)6t =-+解得：，（不合题意，舍去）．18
5t =2245
t =答：P ，Q 两点从出发开始到秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm ．85
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，得出关于t 的一元一次方程；（2）利用勾股定理，得出关于t 的一元二次方程．。