安徽合肥市第八中学2021年高考数学中“三角函数与解三角形多选题”的类型分析及解析

安徽合肥市第八中学2021年高考数学中“三角函数与解三角形多选题”的类
型分析及解析
一、三角函数与解三角形多选题
1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）
A ．()f x 在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
B ．()f x 是周期为2π的函数
C ．()f x 有对称轴
D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点
【答案】BD 【分析】
先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】
因为[][]
()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,
3x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，22
()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,
3
x π⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭
，而cos y u =-在20,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
为增函数，故A 错误.
由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π
⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.
若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，
所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛
⎫=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②，
也有222f f a ππ⎛⎫⎛
⎫-
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20
cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨
+=-⎩
， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π
2
a
或32a π=.
若π2a
，则2
1
116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
而2
71116
2226f f π
π⎛⎛⎛⎫⎛⎫
=-=-+≠-
⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
若32a π=，则2
191116
2222226f f ππ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+--=-+≠- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】
方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.
2．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2
C π
>
，则22sin sin sin C A B >+
【答案】ACD 【分析】
A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；
B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；
C 项，显然2
A π
≠，分02
A π
<<
和2
A π
>
两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判
断；
D 项，根据2
A B π
+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】
解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；
对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔
对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭
，cos y x =在()0,π上递减，
此时：若02
A π
<<，则
2A B π->，则2A B π+<，于是2
C π>； 若2
A π
>
，则cos cos 2A B π⎛⎫
-
< ⎪⎝
⎭，则2
A B π
->， 于是2
A B π
>
+，故C 选项正确；
对于D 选项，由2
C π
>
，则2A B π+<
，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
递
增，于是sin sin 2A B π⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，
22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B
=+=+>⋅+⋅=+
所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.
3．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）
A ．
2
2S a bc +B ．当2a =，sin 2sin B C =时，ABC 不可能是直角三角形
C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+
D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为
【答案】ACD 【分析】
利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；
利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；
由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：
2221
sin 1sin 222
cos 2222cos bc A
S A b c a bc b c bc A bc A
c b
==⨯++-+++- 1sin 4cos 2
A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.
令sin A y =，cos A x =，故21242
S y
a bc x ≤-⨯+-，
因为2
2
1x y +=，且0y >，
故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数2
y
z x =
-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点13,22H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即60A =时，取得最小值33-， 故可得32y
z x ⎡⎫=∈⎪⎢⎪-⎣⎭
， 又21242S y
x bc x ≤-⨯+-，故可得213324312S a bc ⎛≤-⨯-= +⎝⎭
， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得3
3
c =
，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，
由正弦定理得，sin sin b c B C
=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得2
3
cos 4
C =
， 因为2b c =，所以B C >，所以3
cos 2
C =
，则1sin 2C =，
所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6
C =，π
3A =，
因为2a =
，所以c =
，b =，
所以ABC
的周长为2+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =
，π6
C =，π
3A =
，
c =
，b =，所以ABC
的内切圆半径为1212r ⎛=+= ⎝⎭， 所以ABC
的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭
所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定
理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A A
b c a bc A A c b
=⨯≤-⨯
+-++-，再利用三角换
元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.
4．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02π
θ⎛⎤∈
⎥
⎝
⎦
，上恒成立； D ．函数()()22t f g θθ=+
.
【答案】ACD 【分析】
依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B
；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=
+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可
判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=
，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤
+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，cos 2
θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=
又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f g θθ=+，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
5．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说
法中，正确的是（ ）
A ．3
B π
=
B ．AB
C 是等边三角形
C ．若A B C
D 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】
根据等差数列的性质和三角形内角和可得3
B π
=
，根据等比中项和余弦定理可得a c =，
即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得
23
D π
=
，再利用余弦定理可求13AC =211sin sin 223
ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2
222cos AC AD CD AD CD D 可得
3335353
sin cos 3sin()22232
S D D D π=
-+=-+
，从而求出最大面积. 【详解】
由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3
B π
=
，故A 正确；
由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，
两式相减整理得，2
()0a c -=，即a c =，又3
B π
=
，
所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；
若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23
D π=
， ADC 中，根据余弦定理，2
222cos AC AD CD AD CD D ，
解得13AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：
211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=
⋅+233sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，
所以，3sin 3sin()23S D D D π=
=-+
因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13
D π
-=，
此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】
本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.
6．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2
ϕπ
<
），08f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）
A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数
B ．3(0)4
f f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭
C ．ω是奇数
D ．ω的最大值为3
【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】
08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221
T k π
=
+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫
=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，
k Z ∈，
当,1224x ππ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫
+∈++ ⎪⎝⎭
，k Z ∈，
()f x 在区间,1224ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，
024
3
ωπ
π
<
≤
，故
6
2
ωπ
π
≤
，故3ω≤，
综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；
1ω=或3ω=，故8
k ϕπ
π=
+或38
k ϕπ
π=
+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；
当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+
⎪⎝⎭
，33sin sin 4488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 393sin sin 4488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 综上所述：3(0)4
f f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，B 正确； 故选：BCD. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
7．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）
A ．2A =
B ．点7,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 图像的一个对称中心 C ．6
π
=
ϕ D ．直线3
x π
=
是()f x 图像的一条对称轴
【答案】ABD 【分析】
由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.
【详解】
因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得2
1A b =⎧⎨=⎩
，故A 正确；
()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2
ϕ=
.又0ϕπ<<，所以3π
ϕ=，故C 错误；
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
令23
x k π
π+
=，k ∈Z ，解得62πk π
x =-+
，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为6
2
π
k πx =-+， 令1k =，则3
x π
=，D 正确；
令23
2
x k π
π
π+
=
+，k ∈Z ，解得12
2
k x π
π
=
+
，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，
()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系
数法求解.
8．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交
点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）
A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0
B ．该函数图象的对称轴方程是1
32
x k =-
+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
【答案】ABD
【分析】
根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误.
【详解】
因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，
若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，
23
T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭. 0ϕπ<<，5666π
π
πϕ∴-<-<，则62
ππϕ-=，23πϕ∴=， ()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，D 选项正确； 对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+==
⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z ππ
π+=∈，解得()132
x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确； 对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤， 所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误. 故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只
需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
9．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+
>，已知()f x 在[]02π，
有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ） A ．()1y f x =+在()02π，
有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，单调递增 C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭
， D ．将()f x 的图象先右移4
π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2
g x x ω= 【答案】BC
【分析】
首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D.
【详解】
A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；
B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+
∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，
则5264ππωππ≤⋅+<，得
192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确；
D. 函数()f x 的图象先右移4
π个单位后得到
sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，故D 不正确； 故选：BC
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x π
ω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.
10．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为2π
B ．函数()f x
C ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移512
π个单位长度，得到的函数解析式为()()
2g x x =
【答案】BD
【分析】
首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-
的范围，再判断函数的单调
性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式.
【详解】
()12cos 2sin 2222f x x x x π⎛⎫=
--+ ⎪⎝⎭
132cos 2cos 22cos 222
x x x x x =--=-
23x π⎫⎛=- ⎪⎝
⎭，
函数()f x 的周期22
T ππ==，故A 不正确；B.B 正确；
C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣
⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，函数单调递增，故C 不正确；
D. ()23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭向左平移512
π个单位长度，得到()5
2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故D 正确. 故选：BD
【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.。