华二附中高一下期末详解(2019.6)

华二附中高一下期末数学试卷
2019.6
一、填空题
1．函数1arcsin 2⎛⎫
⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭
y x x 的值域是 ．
2．数列{}n a 的前n 项和21=++n S n n ，则数列{}n a 的通项公式为=n a ．
3．()cos =+f x x x 的值域是 ．
4．“1423+=+a a a a ”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的 条件（填“充要”， “充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）．
5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010=S ，2030=S ，则30=S ．
6．△A BC 三条边的长度是,,a b c ，面积是222
4
+-a b c ，则=C ．
7．已知数列{}n a ，其中199
199=a ，()11-=a
n n a a ，那么99100log =a ．
8．等比数列{}n a 中首项12=a ，公比3=q ，()1720,,*++++=∈<N L n n m a a a n m n m ，则
+=n m ．
9．在△A BC 中，2
2
2
sin sin 2018sin
+=A C B ，则
()2tan tan tan tan tan tan +=++A C B A B C
．
10．已知数列{}n a 的通项公式为22lg 13⎛
⎫=+ ⎪+⎝⎭n a n n ，1,2,3,=L n ，n S 是数列的前n 项和，
则lim →∞
=n n S ．
二、选择题
11．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单
音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）
A B C ． D ．
12．已知函数()222cos sin 2=-+f x x x ，则（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3
D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4
13．将函数sin 25π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭y x 向右平移10π个单位长度，那么新函数（ ）
A ．在53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增
B ．在区间3,4ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减
C ．在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增
D ．在区间3,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
14．已知函数21
5cos 3
6ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭k y x （其中∈N k ），对任意实数a ，在区间[],3+a a 上要
使函数值5
4
出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ）
A ．2或3
B ．4或3
C ．5或6
D ．8或7
三、解答题
15．在△A BC 中，7=a ，8=b ，1
cos 7
=-B ．
（1）求A ；
（2）求AC 边上的高．
16．已知()1221,,0n n n n n n u a a b a b ab b n a b ---*=+++++∈>N L ． （1）当=a b 时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示） （2）求1
lim →∞-n
n n u u ．
17．已知方程()arctan arctan 22
+-=x
x a ． （1）若4
π
=
a ，求arccos
2
x
的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；
（3）若方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值．
18．（1）证明：()3cos 34cos 3cos =-x x x ；
（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos =n nx f x 对所有实数x 均成立，其中()11112---=++++L n n n n n n f x x a x a x a ，1,,L n a a 均为整数，当n 为奇数时，
0=n a ，当n 为偶数时，()2
1=-n
n a ；
（3）利用（2）的结论判断()cos 16,7
π
*∈N ≤≤m m m 是否为有理数？
参考答案
一、填空题
1．,36ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦ 2．3,12,2
n n n =⎧⎨⎩≥ 3．[]2,2- 4．必要非充分 5．60 6．4π
7．1 8．9 9．
2
2017
10．lg3 【第7题解析】()1
199
1991991991log log 99log a n n n n n a a a a a a ---=⇒==⋅，
∴{}99log n a 是以199
为首项，1
99
99为公比的等比数列，∴199991log 9999n n a -=⋅，
从而1001
9999100
1
log 99199
a -=⋅=． 【第8题解析】由题意，得1
23
n n a -=⋅，∴()
111123133313
n m n m n n n m a a a --+-+⋅-+++=
=--L ，
而62720729933=-=-，∴6,3m n ==，9n m +=．
【第9题解析】222222sin sin 2018sin 2018A C B a c b +=⇒+=， 在△A BC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=， ∴
()()22tan tan tan tan tan tan tan tan 1
1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan A C B A C B
A C
B B A B C
A B C
A C A C +++⎛⎫⎛⎫=
==+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
()22222
sin cos cos sin sin sin 122sin sin cos sin sin cos sin sin cos 2017A C A C B B
B b ac A
C B A C B A C B ac a c b
+⎛⎫=+=⋅=⋅=⋅= ⎪+-⎝⎭． 【第10题解析】()()()212213lg 1lg lg lg 332n n n n n a n n n n n n ++++⎛
⎫=+==- ⎪
+++⎝⎭
（裂项）， ∴323lg2lg lg lg
212n n n S n n ++=+--++，从而3
lim lg 2lg lg32
n n S →∞=+=．
二、选择题
11．D 12．B 13．C 14．A 【第12题解析】()1cos21cos235
2
2cos22222
x x f x x +-=-+=+，∴T π=，()max 4f x =．
【第13题解析】新函数为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤
⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
其单调递增区间为,44k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为3,44k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），
当1k =时，可得单调递增区间为35,44ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，即C 正确．
【第14题解析】函数21
5cos 3
6ππ+⎛⎫=-
⎪⎝⎭k y x 的值域为[]5,5-，其在长度为一个周期的区间内，函数值5
4出现的次数为2次，∴区间[],3+a a 至少包含2个周期，至多包含4个周期，
即234T T ≤≤，于是3263
2142123
T k k ππ==++≤≤，由于∈N k ，∴2k =或3．
三、解答题
15．（1
）sin B ==
sin sin a b A B =
，可得sin A =，∴3
A π
=； （2）方法一：(
)sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， ∴AC
边上的高为sin a C =
方法二：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得3c =，∴AC
边上的高为sin c A =
． 方法三：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得3c =，
∴1
sin 2
A BC S ac
B ==△
∴AC
边上的高为2A BC S b △．
16．（1）当=a b 时，n n u na =， ①当1a =时，()12
n n n S +=
，
②当0a >且1a ≠时，2323n n S a a a na =++++L ，
()23121n n n aS a a n a na +=
+++-+L ，
错位相减，得()2
1
1n
n n a S a a a na
+-=+++-L ，得()
()
1
2
111n n n a a na S a
a +-=
---，
综上，()
()()121,121,0111n n n n n a S a a na a a a a ++⎧=⎪⎪
=⎨-⎪->≠⎪--⎩且；
（2）11n n n n na a b
b a u a a b
b a
⎧=⎪
⎡⎤⎪⎛⎫⎪-⎢⎥ ⎪=⎨⎝⎭⎢⎥⎣
⎦⎪≠⎪-
⎪⎩， ①当a b =时，()11lim
lim lim 11n n n n n n n u na na
a u n a n -→∞→∞→∞-===--， ②当a
b ≠时，111lim lim ,n n
n n n n n n a a b u a b b a b u a b --→∞→∞->⎧-==⎨<-⎩,，
综上，111
lim lim ,n n n n n n n n a a b u a b b a b u a b --→∞→∞-⎧-==⎨<-⎩,≥． 【说明】当a b >时，111
110lim
lim lim 11110n
n n
n n n n n n n n n b u a b a a a u a b b a b a b a --→∞→∞→∞-⎛⎫
- ⎪--÷⎝⎭=−−−→==-⎛⎫-⋅-⋅ ⎪⎝⎭
， 当a b <时，情况类似，不再赘述．
17．（1）()()()222tan arctan arctan 2tan 11202122x
x x x a x x x x +-⎡⎤+-==⇒
=⇒--=⎢⎥⎣⎦-⋅-， ∴2x =或1x =-，当2x =时，arccos 02x =，当1x =-时，2arccos 23
x π
=
， 综上，arccos
2x 的值为0或23
π； （2）先证明，()arctan
arctan 22
22
x x π
π
-
<+-<恒成立， ①当0x <时，()arctan 022
0arctan 2arctan 22
x x π
π
⎧-<<⎪⎪⎨⎪<<-<⎪⎩，∴()arctan arctan 2222x x ππ-<+-<，
②当01x <≤时，()10arctan arctan 22
arctan1arctan 2arctan 2
4
x x π⎧
<⎪⎪⎨⎪=<-⎪⎩≤≤，注意到1arctan arctan 222π+=，
∴
()arctan
arctan 24
22
x x π
π<+-<， ③当12x <≤时，()10arctan arctan arctan1224
0arctan 2arctan14x x ππ⎧
<<=⎪⎪⎨⎪<-=
⎪⎩≤≤，∴()0arctan arctan 222x x π<+-<，
④当2x ≥时，()arctan1arctan 422
arctan 20
2
x x πππ⎧=<⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩≤≤，∴()arctan arctan 2422x x ππ-<+-<，
综上，()arctan
+arctan 22
22
x x π
π
-
<-<恒成立， 记()()()2242tan tan arctan arctan 2222
122x
x x x y a x x x x x +--⎡⎤==+-==⎢⎥-+⎣⎦-⋅-，
由判别式法，可得2
422x
y x x -=
-+
的值域为⎣⎦
， ∵()arctan
arctan 22
22x x π
π
-
<+-<，∴实数a
的取值范围为⎡⎢⎣⎦
， （3）即2
4tan 22
x
y a x x -==
-+在[]5,15x ∈内有两个相异的解， 令4x t -=，[]1,11t ∈，则21
106106t y t t t t
=-
=-++++，
由对称性可知，t 是方程的根时，10t 也是方程的根，∴[]1,11t ∈且[]101,11t ∈且10t t
≠，
∴
t ⎡
⎤∈⎣⎦
U
，∴1010
448t t t t
αβ+=+++=++， 由耐克函数的单调性可知，当且仅当1t =或10t =时，αβ+取得最大值19．
18．（1）()()cos 3cos 2cos2cos sin 2sin x x x x x x x =+=⋅-⋅
()()()2222cos 1cos 2sin cos sin 2cos 1cos 2cos 1cos x x x x x x x x x =-⋅-⋅=-⋅-⋅-
34cos 3cos x x =-；
（2）分奇偶利用数学归纳法和()()()()cos 22cos 2cos cos 2n x x nx n x +=⋅--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦进行证明， [情况一：n 为奇数时]
①当1n =时，()1f x x =及3n =时，()3343f x x x =-，命题成立， ②假设当n k =及()221,1,n k k m m m *=+=-∈N ≥时，命题成立， 则4n k =+时，()()()()cos 42cos 2cos 2cos k x x k x kx +=⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()212122cos 12cos 02cos 0k k k k
x x x ++-⎡⎤⎡⎤=-⋅++-++⎣⎦⎣⎦L L
342cos 0k k x ++=++L ，命题也成立，
由①、②可知，对任意的奇数n ，原命题都成立， [情况二：n 为偶数时]
①当2n =时，()2221f x x =-及4n =时，()424881f x x x =-+，命题成立， ②假设当n k =及()22,1,n k k m m m *=+=∈N ≥时，命题成立， 则4n k =+时，()()()()cos 42cos 2cos 2cos k x x k x kx +=⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()22
1212222cos 12cos 12cos 1k k
k k k k
x x x +++-⎡⎤⎡⎤=-⋅++--++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
L L
()()23
4
222
cos
211k k
k k x +++⎡⎤=++-⋅---⎢⎥⎣⎦
L ()()
4343422
2cos 12cos 1k
k k k k k x x +++++=++-=++-L L ，命题也成立，
由①、②可知，对任意的偶数n ，原命题都成立， 综上，对任意的正整数n ，所证命题成立； （3）记7
m mx
x =
，则有()()71cos 7cos m m x f x -==， 当7n =时，()776640f x x a x =+++L ， 【定理：如果既约分数
q
p
是整系数一元n 次方程10110n n n n a x a x a x a --++++=L 的根，那么p 一定是0a 的约数，q 一定是n a 的约数．】 由上述定理，可知方程()71f x =-，
也即方程766410x a x +++=L 有理根只能形如1
2k
±
（0,1,2,,6k =L ），
借助计算器及余弦函数的单调性可知，1cos cos 1267ππ<<<，12cos cos cos 12374πππ
<<<<，
131cos 874π<<，∴23cos ,cos ,cos
777πππ不符合1
2
k ±（0,1,2,,6k =L ）的形式， 又∵43cos
cos 77ππ=-，52cos cos 77ππ=-，6cos cos 77ππ=-，∴()cos 16,7
π
*∈N ≤≤m m m 都不是有理数．。