【100所名校】2019届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试 数学(理)试题(解析版)

好教育云平台 名校精编卷 第1页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共6页） 2019届广东省汕头市金山中学 高三上学期期中考试 数学（理）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．若集合M ={x|x 2−x <0}，N ={y|y =a x (a >0,a ≠1)}，R 表示实数集，则下列选项错误的是 A ．M ∩N =M B ．M ∪N =R C ．M ∩C R N =ϕ D ．∁R M ∪N =R 2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若z 1=1+3i 1−i ，则z 1+z 2等于 A ．4i B ．−4i C ．2 D ．−2 3．已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是 A ．−14 B ．−12 C ．−34 D ．−1 4．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）
A ．,
B ．,
C ．,
D ．, 5．函数f(x)=x 2−2e |x|的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 6．命题：p ：∃x 0∈R ，x 4−x 2+1<0；命题q ：∀α，β∈R ，sinα−sinβ≤sin(α−β)，则下列命题中的假命题为 A ．p ∨(￢q) B ．(￢p)∨(￢q) C ．(￢p)∧(￢q) D ．p ∧q 7．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 若目标函数z =ax +y(a >0)的最大值为18，则a 的值为 A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 8．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为 A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 9．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =， 12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是 此卷只装订不密封
班级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
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A ．
B ．
C ．
D ．
10
1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为
A
．8 B
．4 C
． D
．
11．已知函数()ln f x ax e x =+与()2
ln x g x x e x =-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为
A ．a e <-
B ．1a >
C ．a e >
D ．3a <-或1a >
12．记{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
的最大值是
A
．1 B ．2 C
．2+ D
二、填空题
13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．
14．向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足：|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=4√2，b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为4，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，则b ⃗ ⋅c ⃗ 的最大值是______．
15．数列{a n }且a n ={1
n 2+2n ,n 为奇数sin nπ4
,n 为偶数
，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018=______．
16．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)+f(−x)=6，函数g(x)=2x−3x−1+x x+1，若曲线y =f(x)与y =g(x)图象的交点分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x m ,y m ).则∑(m i=1x i +y i )=______ 三、解答题 17．已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3)， (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n =2(a n +12)+a n ，求数列{b n }前n 项和S n ． 18．如图，在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且2acosC −c =2b ． （1）求角A 的大小； （2）若∠ABC =π6，AC 边上的中线BD 的长为√35，求∆ABC 的面积． 19．已知函数f(x)=|x −1|+|x −3|． （1）解不等式f(x)≤x +1； （2）设函数f(x)的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0,b >0,a +b =c ，求证：a 2a+1+b 2b+1≥1． 20．四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥BC ，AB =2BC =2CD =2，△SAD 为正三角形． (Ⅰ)点M 为棱AB 上一点，若BC//平面SDM ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (Ⅱ)若BC ⊥SD ，求二面角A −SB −C 的余弦值． 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝
4.
(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为
l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
22．已知函数f(x)=(x+b)(e x−a)，(b>0)，在(−1,f(−1))处的切线方程为(e−1)x+ ey+e−1=0.
（1）若n≤0，证明：f(x)≥nx2+x；
（2）若方程f(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2−x1≤1+m(1−2e)
1−e ..
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高三上学期期中考试 数学（理）试题
数学 答 案
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先化简M ，N ，再根据集合的运算和集合的之间的关系即可求出.
【详解】
∵集合M ={x|x 2−x <0}=(0,1)，N ={y|y =a x (a >0,a ≠1)}=(0，+∞)，
∴M ∩N =M ，M ∪N =(0,+∞)，∁R N =(−∞,0]，∁R M =(−∞,0]∪[1,+∞)，
∴ M ∩C R N =ϕ，∁R M ∪N =R 故选：B ．
【点睛】
本题考查集合的运算及包含关系的判断及应用，属于基础题．
2．D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则可得：z 1，再利用几何意义可得z 2．
【详解】
z 1=1+3i 1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i 2=−1+2i ，∵复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，
∴z 2=−1−2i ，则z 1+z 2=−2．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．B
【解析】
试题分析：解：根据题意，不妨设点P 的坐标为(1,0),点M 的坐标为(cosθ,sinθ),点N 的坐标为
,其中0<θ<π
则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,sinθ),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,−sinθ)
所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,sinθ)⋅(cosθ−1,−sinθ)=(cosθ−1)2−sin 2θ =cos 2θ−2cosθ+1−sin 2θ=2cos 2θ−2cosθ=2(cosθ−12)2−12 所以当cosθ=12时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−12 考点：1、单位圆与三角函数的定义；2、向量的数量积；3、一元二次函数的最值问题. 4．A 【解析】由于()2214616,8ππωω=-==， ()13010102A =-=， 20b =， 10sin 208y x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，过点()14,30有： 3010sin 14208πφ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭， 7sin 14πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 7242k ππφπ+=+， 52,4k k Z πφπ=-∈，取31,4k πφ==， 得310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭符合题意，选A. 5．D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和代入特殊点即可选出答案． 【详解】 函数f(x)=x 2−2e |x|，可得f(−x)=f(x)，可知f(x)是偶函数，排除A ； e |x|>0，当x 2−2=0时，即x =±√2时，f(x)有两个零点，x =0时，可得f(0)=−2.；排除B ； 当x >√2或x <−√2时，可得e |x|>x 2−2，图象逐渐走低； 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了函数奇偶性及图象变换，属于中档题． 6．D 【解析】 【分析】 利用配方法求得x 4−x 2+1>0说明p 为假命题，举例说明q 为假命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】
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好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共14页） ∵x 4−x 2+1=(x 2−12)2+34>0，∴命题p 为假命题；
∀α，β∈R ，sin(α−β)=sin α−sin β不正确，比如α=90∘，β=−90∘，
sinα−sinβ=2，而sin(α−β)=0，故命题q 为假命题，
则p ∨(￢q)为真命题；(￢p)∨(￢q)为真命题；(￢p)∧(￢q)为真命题；p ∧q 为假命题． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判断与应用，考查利用配方法求函数的最值，考查三角函数值的大小判断，属于中档题．
7．A
【解析】
【分析】
由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值，求出a 的值．
【详解】
画出约束条件{3x −y −6≤0
x −y +2≥0x ≥0,y ≥0
的可行域，如图：
目标函数z =ax +y(a >0)最大值为18，即目标函数z =ax +y(a >0)
在{x −y +2=03x−y−6=0 的交点M(4,6)处，目标函数z 最大值为18，
所以4a +6=18，所以a =3．故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了线性规划问题，作出可行域是解题的关键，属于中档题.
8．C
【解析】因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，所以172541624244π
πππ
ππωπω+≤⨯+<+⇒≤< ， ω的取值范围为1725,44π
π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，故选C.
【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象、三角函数的周期性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解． 9．C 【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B ，D ，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A ，所以正确答案为C. 点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线. 10．D 【解析】 如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切， 且切点分别在线段11,,AB AC AD 上，设线段1AB 上的切点为E ， 1AC ⋂面12A BD O =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为1O E 记为r
，则2113322O F DF ==⨯=， 21113AO AC ==，由12//O E O F
1111AO AO E =⇒=
，则圆柱的高为1323AO -=-，
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(
)2
423428
r r S r r r π⎛⎫- ⎪
⎛⎫ ⎪=-=-≤⋅==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
侧.应选答案D 。

11．B 【解析】：由2ln (0)ln x ax e x x x e x +=>-，得ln 1ln 1e x
a e x x x
+=
-．令()ln e x
h x x =且
()t h x =，则11a t t +=-，即()2110t a t a +--+= （*）．由()()
21ln 0e x h x x '-==，得
x e =，所以函数()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，且x →+∞时， ()0h x →，图象如图所示．由题意知方程（*）的根有一根1t 必在()0,1内，另一根21t =或20t =或()2,0t ∈-∞．当21t =时，方程（*）无意义；当20t =时， 1a =， 10t =不满足题意，所以()2,0t ∈-∞时，则由二次函数的图象，有()()2201010
{11110a a a a +-⋅-+<+-⋅-+>，解得1a >，故选B ．
点睛：函数图象的应用常与函数零点、方程有关，一般为讨论函数()f x 零点（方程
()0f x =的根）的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围），，此时题中涉及的函数()f x 的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与()f x 有一定关系的函数()F x 和()G x 的图象问题，且()F x 与()G x 的图象易得．
12．D 【解析】设1
1
1
22,,a x b c y y x b a ===+=+ ，不妨设a b ≤，则11
a b ≥ ， 有2
2
1
2
133b a b b a b b b b b -+-≥+-=-= ， 又1
2
12a a b a a a +-≤+- ， 2
1233a a a b a a a -+-≤-= ， 则2233b a c a b a --≤-≤ ，
当a ≥ c a ≤ ，此时c 最小；
当0a <<时， 0c a -≥ ，此时a
最小，则M ≤ .选D. 13． 【解析】 试题分析：根据题意，正方形的面积为 而阴影部分由函数与围成，其面积为， 则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为. 则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为 考点：定积分在求面积中的应用 几何概型 点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积. 14．20+8√2 【解析】 【分析】 由已知可得<a ⃗ ,b ⃗ >=π4，设a ⃗ =(4,0)，则b ⃗ =(4,4)，设c ⃗ =(x,y)，由(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，可得(x −4)2+(y −2)2=4，令x =4+2cosθ，y =2+2sinθ，把b ⃗ ⋅c ⃗ 转化为关于θ的三角函数求最值． 【详解】 ∵|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=4√2，b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为4，∴|b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=4，则cos <a ⃗ ,b ⃗ >=√22． 则<a ⃗ ,b ⃗ >=π4．设a ⃗ =(4,0)，则b ⃗ =(4,4)，设c ⃗ =(x,y)，由(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0， 得(4−x,−y)⋅(4−x,4−y)=0，则(x −4)2+(y −2)2=4． 令x =4+2cosθ，y =2+2sinθ， 则b ⃗ ⋅c ⃗ =(4,4)⋅(x,y)=4x +4y =20+8√2sin(θ+π4)≤20+8√2．故答案为：20+8√2． 【点睛】 本题主要考查了平面向量数量积及其运算，考查向量在向量上投影的概念，是中档题．
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好教育云平台 名校精编卷答案 第8页（共14页） 15．30282019
【解析】
【分析】
根据通项公式为分段函数的特点，将前2018项的和分组，分别计算奇数项的和与偶数项的和，其中奇数项可采用裂项相消法求和，偶数项利用周期求和即可.
【详解】
数列{a n }且a n ={1
n 2+2n ,n 为奇数
sin nπ4,n 为偶数
，
①当n 为奇数时，a n =1n 2+2n =12(1n −1n+2)，
②当n 为偶数时，a n =sin nπ4，
所以：S 2018=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2017)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 2018)，
=12(1−13+13−15+⋯+12017−12019)+(1+0−1+⋯+0)，
=10092019+1=30282019．
故答案为：30282019．
【点睛】
本题主要考查了数列求和中的裂项相消法，分组法，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
16．3m
【解析】
【分析】
通过f(x)+f(−x)=6，可知y =f(x)关于点(0,3)对称，化简可知g(−x)+g(x)=6，进而y =g(x)关于点(0,3)对称，从而曲线y =f(x)与y =g(x)图象的交点关于点(0,3)对称，计算即得结论．
【详解】
因为f(x)+f(−x)=6，所以y =f(x)关于点(0,3)对称，
因为函数g(x)=2x−3x−1+x x+1，所以g(−x)=−2x−3−x−1+−x −x+1=2x+3x+1+x x−1，
所以g(−x)+g(x)=6，所以y =g(x)关于点(0,3)对称，
所以曲线y =f(x)与y =g(x)图象的交点关于点(0,3)对称，
则∑(m i=1x i +y i )=(x 1+x 2+⋯+x m )+(y 1+y 2+⋯+y m )=0+12m ⋅6=3m ，
故答案为：3m ．
【点睛】 本题主要考查了函数的图象的对称性的应用，考查运算能力，属于中档题. 17．（1）a n =1+2(n −1)，即a n =2n −1. （2）S n =2n+1+n 2−2 【解析】 【分析】 （1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，利用分组法求出数列的和． 【详解】 （1）由题知，等差数列{a n }的公差为d ， 且方程的两个根分别为﹣1，3． 则根据韦达定理得到：{d a 1=2,−3a 1=−3, 解得{d =2,a 1=1. ， 故数列{a n }的通项公式为a n =a 1+（n ﹣1）d=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1． （2）据（1）求解知a n =2n −1，所以b n =2(a n +12)+a n =2n +(2n −1)， 所以S n =(2+4+8+⋯+2n )+(1+3+5+⋯+2n −1)=2n+1+n 2−2 【点睛】 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知S n 和a n 的关系，求a n 表达式，一般是写出S n−1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

18．（1）2π3；（2）5√3 【解析】 【分析】 ⑴利用正弦定理化简即可得到答案 ⑵根据角A 和∠ABC =π6，可以求得角C 的值，得到AC =AD ，利用余弦定理即可求出AD 的值，然后根据三角形的面积公式求得结果 【详解】 （1）由2acosC −c =2b ． 正弦定理，可得2sinAcosC −sinC =2sinB
即2sinAcosC−sinC=2sin(A+C)可得：−sinC=2sinCcosA
∵sinC≠0∴cosA=−1
2
A∈(0,π)则A=2π
3
（2）由（1）可知A=2π
3．∠ABC=π
6
C=π
6
则AC=AB．
设AD=x，则AB=2x，
在ΔABD中利用余弦定理：可得．BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcosA 即7x2=35，可得x=√5，
故得ΔABC的面积S=1
2×4x2×sin2
3
π=5√3．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，利用正弦定理完成边角的互化，运用余弦定理给出边长之间的数量关系，需要数量掌握公式来解题。

19．（1）[1,5]；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．通过①当x＜1时，②当1≤x≤3时，③当x＞3时，去掉绝对值符号，求解即可；
（2）由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|=2，推出a+b=2．令
a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．
【详解】
①当时，不等式可化为4−2x≤x+1，x≥1．
又∵x<1，∴x∈∅；
②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，x≥1．
又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3．
③当x>3时，不等式可化为2x−4≤x+1，x≤5．
又∵x>3，∴．
综上所得，．
∴原不等式的解集为．
（2）证明：由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，
∴，即．
令a+1=m，，则，，，m+n=4，
a2
a+1
+b2
b+1
=(m−1)2
m
+(n−1)2
n
=m+n−4+1
m
+1
n
=4
mn
≥4
(m+n
2
)2
=1，
原不等式得证．
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
20．（1）λ=1
2
（2）−√10
5
【解析】
【分析】
(Ⅰ)推导出BC//DM，AB//DC，从而四边形BCDM为平行四边形，由AB=2CD，得M为AB 的中点.由此能求出λ(Ⅱ)在平面SCD内过点S作SE⊥直线CD于点E，以点E为坐标原点，EA方向为x轴，EC方向为y轴，ES方向为z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出二面角A−SB−C 的余弦值．
【详解】
(Ⅰ)∵BC//平面SDM,BC⊂平面ABCD，
平面SDM∩平面ABCD=DM，∴BC//DM，
∵AB//DC，∴四边形BCDM为平行四边形，
又AB=2CD，∴M为AB的中点．
∵AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=1
2
．
(Ⅱ)∵BC⊥SD，BC⊥CD，∴BC⊥平面SCD，
又∵BC⊂平面ABCD，∴平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，
在平面SCD内过点S作SE⊥直线CD于点E，
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好教育云平台 名校精编卷答案 第11页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第12页（共14页） 则SE ⊥平面ABCD ，在Rt △SEA 和Rt △SED 中，
∵SA =SD ，∴AE =√SA 2−SE 2=√SD 2−SE 2=DE ，
又由题知∠EDA =45∘，∴AE ⊥ED ，∴AE =ED =SE =1，
以点E 为坐标原点，EA 方向为x 轴，EC 方向为y 轴，ES 方向为z 轴建立如图所示空间坐标系，
则E(0,0，0)，S(0,0，1)，A(1,0，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，
SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，
设平面SAB 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，
则{n ⃗ ⋅SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0
n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0 ，令x =1，得n ⃗ =(1,0，1)，
同理得m ⃗⃗⃗ =(0,1，2)为平面SBC 的一个法向量，cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√105，
∵二面角A −SB −C 为钝角，∴二面角A −SB −C 的余弦值为−√105．
【点睛】
本题主要考查了二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（1）y ＝0或7x ＋24y －28＝0.（2）3
13,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭或5
1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】(1)设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C 1到直线l
的距离d
1
＝1，化简得24k 2＋7k
＝0，解得k ＝0或k ＝－7
24.
所求直线l 的方程为y ＝0或y ＝－7
24 (x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.
(2)设点P 坐标为(m ，n)，直线l 1、l 2的方程分别为y －n ＝k(x －m)，y －n ＝－1
k (x －m)，即
kx －y ＋n －km ＝0，－ 1
k x －y ＋n ＋1
k m ＝0.
因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2
的距离相等．故有， 化简得(2－m －n)k ＝m －n －3或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5. 因为关于k 的方程有无穷多解，所以有2080{ { 3050m n m n m n m n －－＝，－＋＝，或－－＝＋－＝， 解得点P 坐标为313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 (Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由切线方程可得f(x)的解析式，令g(x)=(x +1)(e x −1)−x ，求得导数和单调性，即可得证； (Ⅱ)设f(x)在(−1,0)处的切线方程为ℎ(x)，可得ℎ(x)=(1e −1)(x +1)，令F(x)=f(x)−ℎ(x)，求得导数和单调性，运用函数方程的转化，以及函数的单调性的运用，即可得证． 【详解】 (Ⅰ)由题意f(−1)=0，所以f(−1)=(−1+b)(1e −a)=0， 又f′(x)=(x +b +1)e x −a ，所以f′(−1)=be −1−a =−1+e −1， 若a =e −1，则b =2−e <0，与b >0矛盾，故a =1，b =1； 可知f(x)=(x +1)(e x −1)，f(0)=0，f(−1)=0，由n ≤0，可得x ≥nx 2+x ， 令g(x)=(x +1)(e x −1)−x ，g′(x)=(x +2)e x −2， 当x ≤−2时，g′(x)=(x +2)e x −2<−2<0， 当x >−2时，设ℎ(x)=g′(x)=(x +2)e x −2，ℎ′(x)=(x +3)e x >0， 故函数g′(x)在(−2,+∞)上单调递增，又g′(0)=0， 所以当x <0时，g′(x)<0，当x >0时，g′(x)>0， 所以函数g(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增， 故g(x)≥g(0)=0，即(x +1)e x ≥x ≥nx 2+x ， 故f(x)≥nx 2+x ； (Ⅱ)设f(x)在(−1,0)处的切线方程为ℎ(x)，
易得，ℎ(x)=(1
e
−1)(x+1)，令F(x)=f(x)−ℎ(x)，
即F(x)=(x+1)(e x−1)−(1
e −1)(x+1)，F′(x)=(x+2)e x−1
e
，
当x≤−2时，F′(x)=(x+2)e x−1
e <−1
e
<0，
当x>−2时，设G(x)=F′(x)=(x+2)e x−e−1，G′(x)=(x+3)e x>0，
故函数F′(x)在(−2,+∞)上单调递增，又F′(−1)=0，
所以当x<−1时，F′(x)<0，当x>−1时，F′(x)>0，
所以函数F(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(−1,+∞)上单调递增，
故F(x)≥F(−1)=0，f(x1)≥ℎ(x1)，
设ℎ(x)=m的根为，则，
又函数ℎ(x)单调递减，故，故，
设y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=t(x)，易得t(x)=x，
由(Ⅰ)得f(x2)≥t(x2)，设t(x)=m的根为，则，
又函数t(x)单调递增，故，故，
又，．
【点睛】
本题主要考查了应用导数求切线的斜率和函数的单调性，考查分类讨论思想方法和构造函数
法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．
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