海南省四校(海南中学、海口一中、文昌中学、嘉积中学)2024届高三下学期一模试题数学

海南中学､海口一中､文昌中学､嘉积中学
2024届高三联考试题
数学
时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第I 卷选择题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}
2
670,{31}A x
x x B x x =--≤=->∣∣，则A B ⋂=（ ）
A.[)(]1,24,7-⋃
B.[]1,7-
C.()()1,24,7-⋃
D.()
2,42.若古典概型的样本空间{}1,2,3,4Ω=，事件{}1,2A =，事件,A B 相互独立，则事件B 可以是（ ）
A.{}1,3
B.{}1,2,3
C.{}3,4
D.{}
2,3,43.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ）
A.如果α
∥,n βα⊂，那么n ∥β
B.如果,m n α⊥∥α，那么m n ⊥
C.如果m
∥,n m α⊥，那么n α
⊥D.如果,,m n m n α⊥⊥∥β，那么αβ
⊥4.在锐角ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,60a A ==o ，则b 的取值范围是（ ）
A.()0,6
B.(0,
C.
D.
)
5.已知直线:2310l x y +-=的倾斜角为θ，则()πcos πsin 2θθ⎛⎫
+⋅-= ⎪⎝⎭
（ ）A.
913 B.913- C.613 D.6
13
-
6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件,A B 存在如下关系：
()()()()
P A P B A P A B P B =
∣∣.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.
已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A.
4951000 B.9951000 C.1011 D.21
22
7.已知三棱锥O ABC -,,A B C 是球O 的球面上的三个点，且120ACB ∠=o ，
2AB AC BC =+=，则球O 的表面积为（ ）
A.36π
B.24π
C.12π
D.8π
8.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线交C 于,A B 两点，点,A B 在C 的准线上的射影分别为点11,A B ，线段AB 的垂直平分线l 的倾斜角为120o ，若114A B =，则p =（ ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若1
i 2
z =
+（i 为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）A.1z =
B.2z z z ⋅=
C.3i z =
D.220240
z z +=10.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
，则下列说法正确的是（ ）A.若1ω=，则5π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的图象的对称中心B.若()π6f x f ⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
恒成立，则ω的最小值为2C.若()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2
03ω<≤
D.若()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则
11171212
ω≤≤11.已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2132f x f x -=-，当[]0,1x ∈时，()f x x =，则下列结
论正确的是（ ）
A.函数()f x 的最小正周期为6
B.函数()f x 在[]2024,2025上递增
C.
22
1
()1
k f k ==∑D.方程()5log f x x =有4个根
第II 卷非选择题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量,a b r r 满足||1,||3,a b a b ==-=r r
r r ，则3a b +=r r __________.
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35610,42a a S +=-=-，则10S =__________.
14.在ABC V 中，()()3,0,3,0,A B CD AB -⊥于D ，若H 为ABC V 的垂心，且9CD CH =u u u r u u u r
.则H 到直线
80x ++=距离的最小值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
远程桌面连接是一种常见的远程操作电脑的方法，除了windows 系统中可以使用内置的应用程序，通过输入IP 地址等连接到他人电脑，也可以通过向日葵，anyviewer 等远程桌面软件，双方一起打开软件，通过软件随机产生的对接码，安全的远程访问和控制另一台电脑.某远程桌面软件的对接码是一个由“1,2,3”这3个数字组成的五位数，每个数字至少出现一次.（1）求满足条件的对接码的个数；
（2）若对接码中数字1出现的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.16.（本小题满分15分）
已知函数()2
ln 1,f x x a x a =-+∈R .
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；（2）当0a >时，若函数()f x 有最小值2，求a 的值.17.（本小题满分15分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PCD ⊥平面,ABCD PCD V 是边长为2等边三角形，
BC =E 为CD 的中点，点M 为线段PE 上一点（与点,P E 不重合）.
（1）证明：AM BD ⊥；
（2）当AM 为何值时，直线AM 与平面BDM 所成的角最大？18.（本小题满分17分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点()0,2P 在椭圆C 上，过点P 的两条直线,PA PB
分别与椭圆C 交于另一点A B ､，且直线PA PB AB ､､的斜率满足()40PA PB AB AB k k k k +=≠.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明直线AB 过定点；
（3）椭圆C 的焦点分别为12,F F ，求凸四边形12F AF B 面积的取值范围.19.（本小题满分17分）
若有穷数列12,n a a a ⋯（n 是正整数），满足1i n i a a -+=（N i ∈，且)1i n ≤≤，就称该数列为“S 数列".（1）已知数列{}n b 是项数为7的S 数列，且1234,,,b b b b 成等比数列，132,8b b ==，试写出{}n b 的每一项；
（2）已知{}n c 是项数为()211k k +≥的S 数列，且1221,,k k k c c c +++⋯构成首项为100，公差为-4的等差数列，数列{}n c 的前21k +项和为21k S +，则当k 为何值时，21k S +取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的S 数列，使得211,2,22m -⋯成为数列中的连续项；当1500m >时，试求这些S 数列的前2024项和2024S .
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2024届高三联考题答案
数学
第I 卷选择题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
.
第II 卷非选择题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.13.10
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时，
种数为：
15
35
33
C A 35432160A 321⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯，当对接码中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时，
种数为：25352222C A 354321
90A A 2121
⨯⨯⨯⨯⨯=
=⨯⨯⨯，所有满足条件的对接码的个数为150.
（2）随机变量X 的取值为1,2,3，其分布列为：
()()152515
252525
3222232222
C A C A C A A A A A A 7621,215015150155
P X P X +=======
()2
5A 2
315015
P X ===
故概率分布表为：
X 123
P
71525215
故()7225123155153
E X =⨯
+⨯+⨯=.16.解：（1）当1a =时，()()2
ln 1,f x x x y f x =-+=的定义域为()0,∞+，则()12f x x x =-
'，则()()1
121,11ln1121
f f =-==-+='，由于函数()f x 在点()()
1,1f 处切线方程为21y x -=-，即1y x =+.（2）()2
ln 1,f x x a x a =-+∈R 的定义域为()0,∞+，
()222a x a
f x x x x
-=-=
'，
当0a >时，令()0f x '>，解得：x >
()0f x '<，解得：0x <<，
所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭
上单调递增，
所以，min ()122
a f x f a ==-+=，即ln 10222a a a
--=则令02
a
t =
>，设()()ln 1,ln g t t t t g t t '=--=-，令()0g t '<，解得：1t >；令()0g t '>，解得：01t <<，所以()g t 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()()11ln110g t g ≤=--=，
所以12
a
t =
=，解得：2a =.（不说明唯一性猜a 值扣3分）
17.（1）证明：连接AE ，因为PCD V 是等边三角形，且E 是DC 中点，所以PE CD ⊥，
又因为PE ⊂平面PCD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，所以PE ⊥平面ABCD ，
又因为BD ⊂面ABCD ，所以BD PE ⊥
因为1,2,
DE AD
DE AD AB AD AB
==
==，所以Rt ,EDA Rt DAB DAE ABD ∠∠=V V ∽，所以π
2
BAE ABD ∠∠+=
，即AE BD ⊥，因为,,BD PE AE PE E AE ⊥⋂=⊂平面,PAE PE ⊂平面PAE ，所以BD ⊥平面PAE ，
又因为AM ⊂平面PAE ，所以BD AM
⊥另证：（1）因为三角形PCD 是等边三角形，且E 是DC 中点，所以PE CD ⊥，
又因为PE ⊂平面PCD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，所以PE ⊥平面ABCD
设F 是AB 中点，以E 为原点，EF 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，
由已知得()))()(0,0,0,1,0,,0,1,0,E A
B D P --，
设()0,0,(0M m m <<
，
则()()
,2,0,2200AM m BD AM BD ==-⋅=-+=u u u u r u u u r u u u u r u u u r
，
所以BD AM
⊥
（2）解：设F 是AB 中点，以E 为原点，EF 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由已知得(
)
))(
)(0,0,0,1,0,,0,1,0,E A
B D P --，
设(
)0,0,(0M m m <<
，
则(
)()
()
,2,0,0,1,AM m BD DM m ==-=u u u u r u u u r u u u u r
设平面BDM 的法向量为(),,n a b c =r
，
则20
n BD b n DM b mc ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，令1b =
，有1n m ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭
r
，设直线AM 与平面BDM 所成的角α，
所以
sin cos ,n AM n AM n AM
α⋅===⋅u u u u r r u u u u r r
u u u u r
r 1
2
=≤
（表达式2分，不等式1分）当且仅当1m =时取等号，
当2AM =时，直线AM 与平面BDM 所成角最大.
18.解：（1
）由题设得2222b c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，
解得2
12a =，所以C 的方程为22
1
124
x y +=（2）由题意可设():2AB l y kx m m =+≠，设()()1122,,,A x y B x y ，
由221124
y kx m x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，整理得()
2221363120k x kmx m +++-=，
()()()
222222Δ3641331212124k m k m k m =-+-=-+.
由韦达定理得21212
22
3126,1313m mk
x x x x k k --=+=++，由4PA PB AB k k k +=得
1212
22
4y y k x x --+=，即
1212
22
4kx m kx m k x x +-+-+=，所以()()1212220m x x kx x -+-=整理得()(
)2
2224mk m m k -=-，因为0k ≠，得2
20m
m --=，
解得2m =或1m =-，
2m =时，直线AB 过定点()0,2P 舍去；
1m =-时，满足()
2
Δ36410k =+>，
所以直线AB 过定点()0,1-.（3）由（2
）知
121212121
||2
F AF B S F F y y k x x =
-=
-==
=
因为2AF k =
，所以2
18k >
，所以21
08k
<<，
令(2,t t =
∈，
所以
121F AF B S t
==
，在(2,t ∈上单调递减，所以12F AF B S
的范围是.
19.解：（1）设{}n b 的公比为q ，则2
2
2
3128,4b b q q q ====，
解得2
q =±当2q =时，数列{}n b 为2,4,8,16,8,4,2当2q =-时，数列{}n b 为2,4,8,16,8,4,2---（2）21121221
k k k k k S c c c c c c ++++=+++++L L L L ()12211
2k k k k c c c c ++++=++-L L 21121221
k k k k k S C C C C C C ++++=+++++L L ()()()1210014100
2k k k ⎛⎫+=⨯++⋅-- ⎪⎝⎭()()20020041100
k k k =++-+-222
4944949100
4k k ⎛⎫=--+++ ⎪⎝
⎭2
4942501
2k ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭当24k =或25时，21k S +取得最大值2500.另解：当该S 数列恰为4，8，.96，100，96，.8,4或0,4,8，96，100，96，8,4,0时取得最大值，
所以当24k =或25时，()2149624210025002
k S ++⨯=
⨯+=.
（3）所有可能的“对称数列”是：①221221,2,2,2,2,2,,2,2,1m m m ---⋯⋯；②2211221,2,2,2,2,2,2,2,2,1m m m m ----⋯⋯；③1222212,2,,2,2,1,2,2,,2,2m m m m ----L L ④1222212,2,,2,2,1,1,2,2,,2,2m m m m ----L L （写任意一种情况1分，四种全齐得2分）对于①，
当2024m ≥时，2
2023
202420241222
21
S =++++=-L
当15002023m <≤时，212220252024122222m m m m S ----=+++++++L L 1220252122m m m --=-+-1220252221m m m --+--对于②，
当2024m ≥时，2024202421
S =-当15002023m <≤时，12202420242
21m m S +-=--对于③，
当2024m ≥时，2024202422m m S -=-当15002023m <≤时，20252024223m m S -=+-对于④，
当2024m ≥时，2024202422m m S -=-当15002023m <≤时，20242024222
m m S -=+-（写任意一种情况3分，四种全齐得6分，其他每个1分）。