级数收敛与子级数收敛的关系

级数与子级数的敛散性关系
王仕堂
（楚雄师范学院数学系2005级1班）
指导老师郎开禄
摘要: 受数列与子数列的敛散性关系的启发，本文引入了子级数，k段子级数
k≥的概念，并讨论获得了级数与子级数的敛散性(2)
k≥子函数级数，k段子函数级数(2)
关系，级数与k段子级数的敛散性关系，函数级数与子函数级数的敛散性关系，函数级数与
k段子函数级数的敛散性关系.
关键词 :级数;子级数;敛散性关系
The relationship of convergence and divergence between
series and sub-series
Wang ShiTan
Abstract: This essay introduces the concepts of sub-series ,k-segment sub-series(2)
k≥, sub-function series, k-segment sub-function series(2)
k≥,which inspired by the relationship of convergence and divergence between sequence and sub-sequence.Thus we acquire the relationship
of convergence and divergence between series and sub-series,between series and k-segment sub-series,between sub-function series and function series,and the relationship of uniform converg ence between function series and sub-function series.
Key words: series ;sub-series ;relationship of convergence and divergence
导师评语：
在文[1]（[1].刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义（上）[M]第四版,北京:高等教育出版社，2003：64-66.）及文[2]（[2].华东师范大学数学系.数学分析（上）[M],第三版,北京：
高等教育出版社,2002：32-33.）中引入数列与子数列的概念,获得了数列与子数列的敛散
性关系.
受文[1]和[2]的启发,王仕堂同学的毕业论文<<级数与子级数的敛散性关系>>进一步研究,获得了级数与子级数的敛散性关系(定理4至定理9), 函数级数与子函数级数的敛散性
关系(定理10至定理15)，函数级数与子函数级数的一致收敛性关系（定理16至定理17）.
王仕堂同学的毕业论文<<级数与子级数的敛散性关系>>选题具有理论与实际意义,通过
深入研究,该论文获得级数与子级数敛散性关系的六个定理,函数级数与子函数级数敛散性
关系的六个定理,函数级数与子函数级数一致收敛关系的两个定理.该论文完成有一定的技
巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,爱钻研,能吃苦,独立性较强.
级数与子级数的敛散性关系
前言
数列与子数列的敛散性之间有紧密的关系，应用子级数的敛散性关系判定数列的敛散性是判定数列敛散性的一个基本方法. 受数列与子数列的敛散性关系的启发，本文引入了子级数，k 段子级数(2)k ≥，子函数级数，k 段子函数级数(2)k ≥)的概念，并讨论获得了级数与子级数的敛散性关系，级数与k 段子级数的敛散性关系，函数级数与子函数级数的敛散性关系，函数级数与k 段子函数级数的敛散性关系.
1数列与子数列的敛散性关系
关于数列与子数列的敛散性，在[1],[2]中，有 定理1[1]
若数列{}n a 收敛于a ，则{}n a 的任意子数列{}k
n a 也收敛于a .
定理2[1] 数列{}n a 收敛于a {}{}212,k k a a -⇔均收敛于a .
定理3[2]
数列{}n a 收敛于a ⇔
{}n a 的任意子列均收敛于a .
2级数与子级数的敛散性关系
2.1级数与子级数的敛散性关系
受[1],[2]的启发，我们引入级数的子级数的有关概念,并讨论级数与子级数的敛散性 关系.
定义1 设有级数1
n n a ∞
=∑，若(1,2,...)k n k =是一列自然数，且12......,k n n n <<<<则
称1
k
n k a ∞
=∑是级数1
n n a ∞
=∑的一个子级数.
关于级数与子级数的敛散性关系，我们有
定理4 若级数31
n n a ∞
=∑,311n n a ∞
-=∑,321
n n a ∞
-=∑收敛，则1
n n a ∞
=∑收敛，且
1
n
n a
∞
=∑331
32
11
1
n
n n n n n a
a
a
∞
∞
∞
--====
+
+
∑∑∑.
证明 设级数1n n a ∞
=∑，31n n a ∞
=∑，311
n n a ∞-=∑，321n n a ∞
-=∑的部分和分别为n S ，n A ，
n B ，n C ，且31
n n a ∞
=∑A =，311
n n a ∞
-=∑B =，321
n n a ∞
-=∑C =，则
3123122132313.........n n n n n n n n
S a a a a a a a a a a ++--=++++++++++++
14322531363(...)(...)(...)n n n a a a a a a a a a --=+++++++++++
=n n n C B A ++；
31n S -=33n n S a -3n n n n C B A a =++-；
323331n n n n S S a a --=--331n n n n n C B A a a -=++--.
于是
3lim n n S A B C →∞
=++，31lim n n S A B C -→∞
=++，32lim n n S A B C -→∞
=++.
故由定理3知，级数1
n n a ∞
=∑收敛，且
1
n
n a
∞
=∑331
32
1
1
1
n
n n n n n a
a
a
∞
∞
∞
--====
+
+
∑∑∑.
对于正项级数，我们有
定理5 若0n a ≥,则1
n n a ∞
=∑收敛⇔
31
n
n a
∞
=∑,311n n a ∞
-=∑,321n n a ∞
-=∑收敛,且
331
32
1
1
1
1
n
n
n n n n n n a
a
a
a
∞
∞
∞
∞
--=====
+
+
∑∑∑∑.
证明 （1）必要性
设级数1
n n a ∞
=∑，31
n n a ∞
=∑，311
n n a ∞
-=∑，321
n n a ∞
-=∑的部分和分别为n S ，n A ，n B ，n C .
因1
n n a ∞
=∑收敛，故存在某正数M ，对于一切正整数n 有n S M <.于是
369312333......n n n n A a a a a a a a a S M =++++<++++=<； 258311233131......n n n n B a a a a a a a a S M ---=++++<++++=<； 147321233232......n n n n C a a a a a a a a S M ---=++++<++++=<，
故正项级数31
n
n a ∞
=∑31
1
n n a
∞
-=∑，321
n n a ∞
-=∑的部分和数列都有上界，因此级数31
n n a ∞
=∑，311
n n a ∞
-=∑，
32
1
n n a
∞
-=∑收敛.
同定理4一样，可证得
331
32
1
1
1
1
n
n
n n n n n n a
a
a
a
∞
∞
∞
∞
--=====
+
+
∑∑∑∑.
(2)充分性可由定理4直接得.
一般地，我们有
定理6 若级数1
kn n a ∞
=∑，11
kn n a ∞
-=∑，21
kn n a ∞
-=∑(1)1
,...,kn k n a ∞
--=∑收敛(2,3,...)k =，则1
n
n a ∞
=∑也收敛，且
1
n
n a
∞
=∑=
1
2
(1)
1
1
1
1
...kn
kn kn kn k n n n n a
a
a
a
∞
∞
∞
∞
----====+
+
++
∑∑∑∑.
证明 设级数1
n n a ∞=∑,1
kn n a ∞
=∑，11
kn n a ∞
-=∑，21
kn n a ∞
-=∑，… ，(1)1
kn k n a ∞
--=∑的部分和分别为n S ，
kn A ,1kn A -，2kn A -，…，(2)kn k A --，(1)kn k A --，且
1
kn
n a
∞
=∑=0A ，111
kn n a A ∞
-==∑，221
kn n a A ∞
-==∑，...，(1)11
kn k k n a A ∞
---==∑.
则
123(2)(1)......kn kn k kn k kn k kn S a a a a a a a -----=++++++++ 112131(1)(...)k k k kn k a a a a a +++--=+++++
222232(2)(...)k k k kn k a a a a a +++--++++++
332333(3)(...)k k k kn k a a a a a +++--++++++
12131411...(...)k k k k kn a a a a a -----+++++++ 234(...)k k k k kn a a a a a ++++++
(1)(2)(3)1...kn k kn k kn k kn kn A A A A A -------=+++++；
1kn kn kn S S a -=-
(1)(2)(3)1...kn k kn k kn k kn kn kn A A A A A a -------=+++++-；
211kn kn kn S S a ---=-
(1)(2)(3)11...kn k kn k kn k kn kn kn kn A A A A A a a --------=+++++--；
……
(1)(2)(2)kn k kn k kn k S S a ------=-
(1)(2)(3)11(2)......kn k kn k kn k kn kn kn kn kn k A A A A A a a a ----------=+++++----.
于是
120lim ...kn k k n S A A A --→∞
=+++；
1120lim ...kn k k n S A A A ---→∞
=+++；
2120lim ...kn k k n S A A A ---→∞
=+++；
……
(1)120lim ...kn k k k n S A A A ----→∞
=+++；
所以
120lim ...n k k n S A A A --→∞
=+++.
故由定理3知级数1n n a ∞
=∑收敛，且
1
n
n a
∞
=∑=
1
2
(1)
1
1
1
1
...kn
kn kn kn k n n n n a
a
a
a
∞
∞
∞
∞
----====+
+
++
∑∑∑∑.
对于正项级数，一般地，我们有
定理7若0n a ≥,则级数1
n n a ∞
=∑收敛⇔
1
kn
n a
∞
=∑，11
kn n a ∞
-=∑，21
kn n a ∞
-=∑(1)1
,...,kn k n a ∞
--=∑收敛
(2,3,...)k =，且
1
2
(1)
1
111
1
n
kn
kn kn kn k n n n n n a
a
a
a
a
∞
∞
∞
∞
∞
----======
+
+
+
∑∑∑∑∑.
证明 （1）必要性
设级数1
n n a ∞
=∑，1
kn n a ∞
=∑，11
kn n a ∞
-=∑，21
kn n a ∞
-=∑，… ，(1)1
kn k n a ∞
--=∑，1
kn k n a ∞
-=∑的部分和分
别为n S ，kn A ，1kn A -，2kn A -，…，(2)kn k A --，(1)kn k A --， 且1
n n a ∞
=∑S =.
因为级数1
n n a ∞
=∑收敛，故存在某正数M ，对于一切正整数n 有n S M <.于是
kn A 23...k k k kn a a a a =++++
123(2)(1)......kn k kn k kn k kn a a a a a a a -----<++++++++M <；
1kn A -=12131411...k k k k kn a a a a a -----+++++
123(2)(1)1......kn k kn k kn k kn a a a a a a a ------<++++++++M <；
……
(2)kn k A --=222232(2)...k k k kn k a a a a a +++--+++++
123(2)(1)(2)......kn k kn k kn k kn k a a a a a a a -------<++++++++M <; (1)kn k A --=112131(1)...k k k kn k a a a a a +++--+++++
123(2)(1)(1)......kn k kn k kn k kn k a a a a a a a -------<++++++++M <.
故正项级数1kn n a ∞
=∑，11kn n a ∞
-=∑，21kn n a ∞
-=∑，… ，(1)1
kn k n a ∞
--=∑，1
kn k n a ∞
-=∑的部分和数列有
上界，因此级数1
kn n a ∞
=∑，11
kn n a ∞
-=∑，21
kn n a ∞
-=∑(1)1
,...,kn k n a ∞
--=∑收敛.
同定理6一样可证得
1
2
(1)
1
1
1
1
1
n
kn
kn kn kn k n n n n n a
a
a
a
a
∞
∞
∞
∞
∞
----======
+
+
+
∑∑∑∑∑.
（2）充分性可由定理6直接得.
2.2 级数与片段子级数的敛散性关系
我们引入k 段子级数(2,3,...)k =的概念，并讨论级数与片段子级数的敛散性关系.
定义2 设有级数1
n n a ∞
=∑，称12(1)1
(...)kn kn kn kn k n a a a a ∞
----=++++∑为级数1
n n a ∞
=∑的k 段子
级数(2,3,...)k =.
关于级数与级数的k 段子级数(2,3,...)k =的敛散性关系，我们有
定理8 1
n n a ∞
=∑收敛⇔级数323131
()n n n n a a a ∞
--=++∑收敛，lim 0n n a →∞
=，且
1
n
n a
∞=∑=
32
3131
()n n n n a
a a ∞
--=++∑.
证明 （1）必要性
设级数1
n n a ∞
=∑，323131
()n n n n a a a ∞
--=++∑的部分和分别为n S ，n A ，且1
n n a ∞
=∑S =,则
12345632313()()...()n n n n A a a a a a a a a a --=+++++++++3n S =.
于是
3lim lim n n n n A S S →∞
→∞==.
故级数323131
()n n n n a a a ∞
--=++∑收敛，lim 0n n a →∞
=，且
32
3131
()n n n n a
a a ∞--=++∑=
1
n
n a
∞
=∑.
（2）充分性
设1
n n a ∞
=∑，323131
()n n n n a a a ∞
--=++∑的部分和分别为n S ，n A ，且
32
3131
()n n n n a
a a ∞
--=++∑A =.
则
312332313...n n n n S a a a a a a --=++++++
12345632313()()...()n n n a a a a a a a a a --=+++++++++ n A =；
3133n n n S S a -=-3n n A a =-；
323331n n n n S S a a --=--=3n n A a -31n a --.
又lim 0n n a →∞
=，所以3lim n n S A →∞
=，31lim n n S A -→∞
=，32lim n n S A -→∞
=.因此lim n n S A →∞
=.
故1
n n a ∞
=∑收敛，且
1
n
n a
∞
=∑=
32
3131
()n n n n a
a a ∞
--=++∑.
一般地，我们有
定理9级数1
n n a ∞
=∑收敛⇔
12(1)1(...)kn
kn kn kn k n a
a a a ∞
----=++++∑(2,3,,...)k =收敛，
lim 0n n a →∞
=，且
12(1)1
1
(...)n
kn
kn kn kn k n n a
a
a a a ∞
∞
----===
++++∑∑.
证明 （1）必要性
设级数1
n n a ∞
=∑，12(1)1
(...)kn kn kn kn k n a a a a ∞
----=++++∑的部分和分别为n S ，n A ，则
12122(1)(2)(...)(...)...(...)n k k k k kn k kn k kn A a a a a a a a a a ++----=++++++++++++ kn S =； 于是
lim lim n kn n n A S S →∞
→∞==.
故级数12(1)1
(...)kn kn kn kn k n a a a a ∞
----=++++∑收敛，lim 0n n a →∞
=，且
12(1)1
1
(...)kn
kn kn kn k n
n n a
a a a a
∞
∞
----==++++=
∑∑.
（2）充分性
设12(1)1
(...)kn kn kn kn k n a a a a ∞
----=++++∑，1
n n a ∞
=∑的部分和分别为n A ，n S ，且
12(1)1
(...)kn
kn kn kn k n a
a a a ∞
----=++++∑A =，
则
123(2)(1)......kn kn k kn k kn k kn S a a a a a a a -----=++++++++
12122(1)1(1)2(...)(...)...(...)k k k k k n k n kn a a a a a a a a a ++-+-+=++++++++++++
n A =.
所以
1kn kn kn S S a -=-n kn A a =-；
211kn kn kn S S a ---=-n kn A a =-1kn a --；
……
(1)(2)(2)kn k kn k kn k S S a ------=-
=12(2)...n kn kn kn kn k A a a a a ---------.
因此lim kn n S A →∞=，12lim ,lim kn kn n n S A S A --→∞→∞== (1),...,lim kn k n S A --→∞=，故l i m n n S A →∞
=.
于是1
n n a ∞
=∑收敛，且
12(1)1
1
(...)n
kn
kn kn kn k n n a
a
a a a ∞
∞
----===
++++∑∑.
3函数级数与子函数级数的关系
3.1 函数级数与子函数级数的敛散性关系
我们引入子函数级数的有关概念，并讨论函数级数与子函数级数的敛散性关系.
定义3 设级数1
()n n u x ∞
=∑，若k n (1,2,...)
k =是一列自然数，且12......k n n n <<<<则
称1
()k
n k u x ∞
=∑是级数1
()n n u x ∞
=∑的一个子函数级数.
由函数收敛的定义和级数与子级数的敛散性关系，我们有
定理10 若31
()n n u x ∞
=∑，311
()n n u x ∞
-=∑，321
()n n u x ∞
-=∑在I 收敛，则1
()n n u x ∞
=∑在I 收敛，
且
331
32
1
1
1
1
()()()()n
n
n n n n n n u
x u
x u
x u
x ∞
∞
∞
∞
--=====
+
+
∑∑∑∑，x I ∈.
定理11 1
()n n u x ∞
=∑(()0,,1,2,...)n u x x I n ≥∈=在I 收敛⇔
31
()n
n u
x ∞
=∑，311
()n n u x ∞
-=∑，
32
1
()n n u
x ∞
-=∑在I 收敛,且
331
32
1
1
1
1
()()()(),.n
n
n n n n n n u
x u
x u
x u
x x I ∞
∞
∞
∞
--=====
+
+
∈∑∑∑∑
定理12 若级数12(1)1
111
(),(),(),...,()kn kn kn kn k n n n n u x u x u x u x ∞∞∞∞
----====∑∑∑∑(2,3,...)k =在I
收敛，则1
()n n u x ∞
=∑在I 收敛,且
1
(1)
1
1
1
1
()()()...(),.n
kn
kn kn k n n n n u
x u
x u
x u
x x I ∞
∞
∞
∞
---=====
+
++
∈∑∑∑∑
定理13 1
()n n u x ∞=∑(()0,,1,2,...)n u x x I n ≥∈=在I 收敛⇔
1
()kn
n u
x ∞
=∑，11
()kn n u x ∞
-=∑，
2
(1)1
1
(),...,()kn kn k n n u
x u x ∞
∞
---==∑∑在I 收敛(2,3,...)k =,且
1
(1)
1
1
1
1
()()()...(),.n
kn
kn kn k n n n n u
x u
x u
x u
x x I ∞
∞
∞
∞
---=====
+
++
∈∑∑∑∑
3.2 函数级数与片段子函数级数的敛散性关系
我们引入片段子函数级数的概念，并讨论函数级数与片段子函数级数的敛散性关系.
定义4 设有函数级数1
()n n u x ∞=∑，称12(1)1
(()()()...())
kn kn kn kn k n u x u x u x u x ∞
----=++++∑为1
()n n u x ∞
=∑的k 段子函数级数(2,3,...)k =.
由函数收敛的定义和级数与子级数的敛散性关系，我们有
定理14
1
()n
n u
x ∞
=∑在I 收敛⇔
32
3
1
31
(()()
())n n n n u
x u x u x ∞
--
=++∑在I 收敛，
lim ()0n n u x →∞
=，且
323131
1
()(()()())n
n n n n n u
x u
x u x u x ∞
∞
--===
++∑∑, x I ∈.
定理15 1
()n n u x ∞=∑在I 收敛⇔
12(1)1
(()()()...())kn
kn kn kn k n u
x u x u x u x ∞
----=++++∑
(2,3,...)k =在I 收敛，lim ()0n n u x →∞
=，且
12(1)1
1
()(()()()...())n
kn
kn kn kn k n n u
x u
x u x u x u x ∞
∞
----===
++++∑∑,x I ∈.
4函数级数与子函数级数一致收敛的关系
关于函数级数与子函数级数的一致收敛关系，我们有
定理16若函数级数31
()n n u x ∞
=∑，311
()n n u x ∞
-=∑，321
()n n u x ∞
-=∑在I 一致收敛，
则1
()n n u x ∞
=∑在I 一致收敛.
证明 （Ⅰ）设函数级数1
()n n u x ∞
=∑，31
()n n u x ∞
=∑，311
()n n u x ∞
-=∑，321
()n n u x ∞
-=∑的部分和分别
为()n S x ，()n A x ，()n B x ，()n C x .
因为31
()n n u x ∞
=∑，311
()n n u x ∞
-=∑， 321
()n n u x ∞
-=∑在I 一致收敛，我们不妨设31
()n n u x ∞
=∑，
31
1
()n n u
x ∞
-=∑， 321
()n n u x ∞
-=∑分别在I 一致收敛于(),(),()A x B x C x .
于是31()n n u x ∞
=∑，311
()n n u x ∞
-=∑， 321
()n n u x ∞
-=∑在I 分别收敛于(),(),()A x B x C x ，由定
理4知，1
()n n u x ∞
=∑在I 收敛于()S x =()()()A x B x C x ++.
（Ⅱ）因为
31
()n
n u
x ∞
=∑，
31
1
()n n u
x ∞
-=∑，
32
1
()n n u
x ∞
-=∑分别在I 一致收敛于
(),(),()A x B x C x ，故0,ε∀>()N ε∃，当()n N ε>时，有
()()n A x A x ε-<,x I ∈; ()()n B x B x ε-<,x I ∈; ()()n C x C x ε-<,x I ∈,
于是，当()n N ε>时，有
()()()()()()3n n n A x A x B x B x C x C x ε-+-+-<，x I ∈.
且
3()n u x ε<，x I ∈； 31()n u x ε-<，x I ∈； 32()n u x ε-<，x I ∈，
而
(()()())(()()())n n n A x B x C x A x B x C x ++-++
()()()()()()n n n A x A x B x B x C x C x <-+-+-
故令()()()()S x A x B x C x =++，则当()n N ε>时，有
3()()35n S x S x εε-<<，x I ∈；
313333()()()()()()()()n n n n n S x S x S x u x S x S x S x u x --=--<-+
345εεεε<+=<，x I ∈；
323331()()()()()()n n n n S x S x S x u x u x S x ---=---
3331()()()()n n n S x S x u x u x -<-++
3εεε<++5ε=，x I ∈.
故0,()N εε∀>∃，当()n N ε>时，有()()5n S x S x ε-<，x I ∈.
于是1
()n n u x ∞
=∑在I 一致收敛于()S x .
一般地，我们有
定理17若级数12(1)1
1
1
1
(),(),(),...,()kn kn kn kn k n n n n u x u x u x u x ∞
∞
∞
∞
----====∑∑∑∑(2,3,...)k =在I 一
致收敛，则1
()n n u x ∞
=∑在I 一致收敛.
证明 （Ⅰ）设级数1
()n n u x ∞
=∑，12(1)1
1
1
1
(),(),(),...,()kn kn kn kn k n n n n u x u x u x u x ∞
∞
∞
∞
----====∑∑∑∑的
部分和分别为()n S x ，12(1)(),(),(),...,()kn kn kn kn k A x A x A x A x ----.
因为级数12(1)1
1
1
1
(),(),(),...,()kn kn kn kn k n n n n u x u x u x u x ∞
∞
∞
∞
----====∑∑∑∑在I 一致收敛，不妨设它
们分别在I 一致收敛于
0121(),(),(),...,()k A x A x A x A x -.
于是级数
12(1)1
1
1
1
(),(),(),...,()kn
kn kn kn k n n n n u
x u x u x u x ∞
∞
∞
∞
----====∑∑∑∑在I 分别收敛于
0121(),(),(),...,()k A x A x A x A x -.由定理6知，级数1
()n n u x ∞
=∑在I 收敛于
()S x 0121()()()...()k A x A x A x A x -=++++.
(Ⅱ) 因为级数12(1)1
1
1
1
(),(),(),...,()kn kn kn kn k n n n n u x u x u x u x ∞
∞
∞
∞
----====∑∑∑∑在I 分别一致收敛
于0121(),(),(),...,()k A x A x A x A x -，故0ε∀>，()N ε∃，当()n N ε>时，有
0()()kn A x A x ε-<,x I ∈; 11()()kn A x A x ε--<,x I ∈;
22()()kn A x A x ε--<,x I ∈;
……
(1)1()kn k k A A x ε----<,x I ∈
于是，当()n N ε>时，有
01122(1)1()()()()()()...(),kn kn kn kn k k A x A x A x A x A x A x A A x k x I
ε------+-+-++-<∈且
()kn u x ε<，x I ∈； 1()kn u x ε-<，x I ∈； 2()kn u x ε-<，x I ∈；
……
(1)()kn k u x ε--<,x I ∈,
而
12(1)0121(()()()...())(()()()...())
kn kn kn kn k k A x A x A x A x A x A x A x A x -----++++-++++ 01122(1)1()()()()()()...()kn kn kn kn k k A x A x A x A x A x A x A A x -----<-+-+-++-， 故令0121()()()()...()k S x A x A x A x A x -=++++，则当()n N ε>时，有
()()kn S x S x k ε-<<(21)k ε-，x I ∈；
1()()()()()kn kn kn S x S x S x u x S x --=--()()()kn kn S x S x u x <-+
(1)k k εεε<+=+<(21)k ε-，x I ∈；
21()()()()()()
kn kn kn kn S x S x S x u x u x S x ---=---
1()()()()kn kn kn S x S x u x u x -<-++
(2)k k εεεε<++=+<(21)k ε-，x I ∈；
……
(1)1(2)()()()()()...()()kn k kn kn kn kn k S x S x S x u x u x u x S x ------=-----
1(2)()()()()...()kn kn kn kn k S x S x u x u x u x ---<-++++
(1)(21)k k k εεε<+-=-，x I ∈.
故0,()N εε∀>∃，当()n N ε>时，有()()(21)n S x S x k ε-<-，x I ∈.
于是1
()n n u x ∞
=∑在I 一致收敛于()S x .
参考文献
[1] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(上)[M]，第四版，北京：高等教育出版社，2003：64-66.
[2] 华东师范大学数学系.数学分析(上)[M]，第三版，北京：高等教育出版社，2002：32-33.
[3] 马雪雅.关于收敛数列定义与几个等价命题关系的探讨.昌吉学院学报[J]，2004 （2）：112-113.
[4] 马雪雅，奇晓波.函数列的收敛与一致收敛.昌吉学院学报[J].2006（3）：98-100.
致谢
本文是在我的导师郎老师的亲切关怀和悉心指导下完成的，在此谨向郎老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！。