有关极值点的几个题目

关于极值点与零点的几个题

一．解答题（共7小题）

1．已知函数．

（1）若y=f（x）在（0，+∞）恒单调递减，求a的取值范围；

（2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围并证明x1+x2＞2．

2．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；

（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．

3．已知函数f（x）=ln﹣ax2+x，

（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；

（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2．

4．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．

（1）若a=，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

5．已知函数f（x）=lnx﹣ax．

（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．

6．已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若m＞0，g（x）=f（x）+存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值范围．

7．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）．

（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，求实数a的值；

（2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f （x2）﹣1＜f（x1）

关于极值点的几个题目------有点难

参考答案与试题解析

一．解答题（共7小题）

1．（2017•达州模拟）已知函数．

（1）若y=f（x）在（0，+∞）恒单调递减，求a的取值范围；

（2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围并证明x1+x2＞2．

【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为，令

，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；

（2）求出函数f（x）的导数，令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，求出函数F（x）的导数，通过讨论a的范围求出a的范围，证明即可．

【解答】解：（1）因为f'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

所以由f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得，令，易知g（x）在（0，1）单调递增（1，+∞）单调递减，

所以a≥g（1）=1，

即得：a≥1…（5分）

（2）函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），

即y=f'（x）有两个不同的零点，且均为正，f'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，由可知

1）a≤0时，函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点．2）a＞0时，y=F（x）在是增函数在是减函数，

此时为函数的极大值，也是最大值．

当时，最多有一个零点，所以才可能有两个零点，得：0＜a＜1…（7分）

此时又因为，，，令，φ（a）在（0，1）上单调递增，

所以φ（a）＜φ（1）=3﹣e2，即

综上，所以a的取值范围是（0，1）…（8分）

下面证明x1+x2＞2

由于y=F（x）在是增函数在是减函数，，可构造出

构造函数

则，故m（x）在区间上单调减．又由于，

则，即有m（x1）＞0在上恒成立，即有

成立．

由于，，y=F（x）在是减函数，所以

所以成立…（12分）

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

2．（2017•天心区校级一模）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点

（1）求a的取值范围；

（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．

【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；

（2）原式等价于＞，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），

根据函数的单调性求出即可．

【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；

转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，

如图示：

，

可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），

故k=y′|x=x0=，又k=，

故=，解得，x0=e，

故k=，故0＜a＜；

（2）因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．

由（1）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，

即lnx1=ax1，lnx2=ax2

所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于a＞，

又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln =a（x1﹣x2），

所以原式等价于＞，

因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立．

令t=，t∈（0，1），