高考真题理科数学全国卷
2024年高考数学(理科)真题试卷(全国甲卷)
2024年高考数学（理科）真题试卷（全国甲卷）1.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
若，则（ ）A.B.C.10D.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D.3.若满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D.4.记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）A. B. C. D.5.已知双曲线的两个焦点分别为，点B.3（ ）A.4C.在该双曲线上，则该双曲线的离心率为2 D.6.设函数，则曲线在点积为（ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面） A. B. C. D.7.函数在区间的图象大致为（ ）A.B.C. D.8.已知，则（ ）A. B. C. D.9.设向量 A.，则（ ）“”是“”的必要条件B.“”是“ C.”的必要条件“”是“”的充分条件D.“”是“ 10.”的充分条件设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 11. B.②④D.其中所有真命题的编号是（ ）A.①③C.①②③①③④在中,内角所对的边分别为，若，，则）（A. B. C.D.12.已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则B.2的最小值为（ ）A.1C.4D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14.的展开式中，各项系数中的最大值为_______________．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,15.，则圆台甲与乙的体积之比为_______________．已知且，则16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球._______________．记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150的概率为_______________．件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计9652215017.1.17.2.已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设.为升级改造后抽取的n件产品的优级品率如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.记为数列的前项和，已知18.1.．求18.2.的通项公式；设，求数列的前项和19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF ．均为等腰梯形，，，，为的中点．19.1.证明：平面19.2.；求二面角20.的正弦值．已知椭圆的右焦点为，点在上，且20.1.轴．求20.2.的方程；过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：21.轴．已知函数21.1.．当时，求21.2.的极值；当时，，求22.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为22.1..写出22.2.设直线l 的直角坐标方程；：（为参数），若与l相交于两点，若，求23..[选修4-5：不等式选讲]已知实数满足23.1.．证明：；23.2.证明：参考答案1.A 解析：结合共轭复数与复数的基本运算直接求解．.由，则故选：A2.D . 解析：由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.因为，所以，则，故选：D3.D 解析：画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.实数满足，作出可行域如图：由可得，即的几何意义为的截距的，则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，联立，解得，即，则故选：.D.4.B 解析：由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.由，则，则等差数列的公差，故故选：B.5.C 解析：.由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得由题意，，即可得离心率.设、、，则，，，则，则故选：C.6.A 解析：.借助导数的几何意义计算可得其在点其面积处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得.，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积故选：A.7.B 解析：利用函数的奇偶性可排除A、C .，代入可得，可排除D.，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又故可排除D.故选：B.8.B 解析：，先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.因为，所以，，所以对A 故选：B.9.C 解析：根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可，.，当时，则，所以，解得或对C ，即必要性不成立，故A错误；，当时，，故，所以对B ，即充分性成立，故C正确；，当时，则，解得对D ，即必要性不成立，故B错误；，当时，不满足，所以故选：C.10.A 解析：根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③不成立，即充分性不立，故D错误..对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，故②错误；对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故③正确；对④，若与和所成的角相等，如果，则综上只有①③正确，故选：A.11.C 解析：，故④错误；利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.因为，则由正弦定理得由余弦定理可得.:即，:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则故选：C.12.C 解析：.结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，，此时.故选：C13.5 解析：先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出可求解.即由题展开式通项公式为，且，设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为故答案为：5..14.先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得 解析：解.由题可得两个圆台的高分别为，，所以.故答案为：15.64 解析：.将利用换底公式转化成来表示即可求解.由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.16. 解析：根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就值分类讨论后可求随机事件的概率.从6个不同的球中不放回地抽取3的不同取次，共有种，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，故，故，故，若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为：，故有16，种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.故答案为：17.1.答案见详解 解析：略17.2.答案见详解 解析：由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，用频率估计概率可得，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了，.18.1. 解析：当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.18.2. 解析：,所以故所以，.19.1.证明见详解； 解析：因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；19.2. 解析：如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以结合（1，）为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，因为，所以，所以互相垂直，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，令，得，即，则，即，令，得，即，，则，故二面角的正弦值为.20.1. 解析：设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为20.2.证明见解析. 解析：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又，而，故直线，故，所以，故，即21.1.轴.极小值为，无极大值. 解析：当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值. 21.2. 解析：，设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.22.1. 解析：由，将代入，故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.22.2. 解析：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为法1.：直线的斜率为，故倾斜角为，故直线的参数方程可设为，.将其代入中得设两点对应的参数分别为，则，且，故，，解得法2.：联立，得，，解得，设,，则，解得23.1.证明见解析 解析：因为，当时等号成立，则，因为，所以23.2.证明见解析;解析：。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i2、集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 那么m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，那么该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =14 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，那么直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，那么数列的前100项和为(A)100101 (B)99101 (C)99100 (D)101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，那么(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，那么cos2α=(A)5-3〔B〕5-9(C)59(D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，那么cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35(C)34(D)45〔9〕x=lnπ，y=log52，12z=e，那么(A)x＜y＜z 〔B〕z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，那么c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，那么不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
2023年高考全国乙卷数学(理)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得z =2+i 1+i 2+i 5=2+i 1-1+i =i 2+i i2=2i -1-1=1-2i ，则z=1+2i.故选：B .2.设集合U =R ，集合M =x x <1 ，N =x -1<x <2 ，则x x ≥2 =()A.∁U M ∪NB.N ∪∁U MC.∁U M ∩ND.M ∪∁U N【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x |x ≥2 即可.【详解】由题意可得M ∪N =x |x <2 ，则∁U M ∪N =x |x ≥2 ，选项A 正确；∁U M =x |x ≥1 ，则N ∪∁U M =x |x >-1 ，选项B 错误；M ∩N =x |-1<x <1 ，则∁U M ∩N =x |x ≤-1 或x ≥1 ，选项C 错误；∁U N =x |x ≤-1 或x ≥2 ，则M ∪∁U N =x |x <1 或x ≥2 ，选项D 错误；故选：A .3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选：D .4.已知f (x )=xe xe ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为f x =xe x e ax-1为偶函数，则f x -f -x =xexe ax -1--x e-xe -ax -1=x e x -e a -1xe ax -1=0，又因为x 不恒为0，可得e x -e a -1 x=0，即e x =e a -1x，则x =a -1 x ，即1=a -1，解得a =2.故选：D .5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R =2，内圆半径r =1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4，结合对称性可得所求概率P =2×π42π=14.故选：C .6.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3 单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴，则f -5π12 =()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =-5π12即可得到答案.【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3单调递增，所以T 2=2π3-π6=π2，且ω>0，则T =π，w =2πT =2，当x =π6时，f x 取得最小值，则2⋅π6+φ=2k π-π2，k ∈Z ，则φ=2k π-5π6，k ∈Z ，不妨取k =0，则f x =sin 2x -5π6 ，则f -5π12 =sin -5π3 =32，7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有C 16种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A 25种，根据分步乘法公式则共有C 16⋅A 25=120种，故选：C .8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在△AOB 中，∠AOB =120°，而OA =OB =3，取AC 中点C ，连接OC ,PC ，有OC ⊥AB ,PC ⊥AB ，如图，∠ABO =30°，OC =32,AB =2BC =3，由△PAB 的面积为934，得12×3×PC =934，解得PC =332，于是PO =PC 2-OC 2=332 2-32 2=6，所以圆锥的体积V =13π×OA 2×PO =13π×(3)2×6=6π.9.已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接CE ,DE ，因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE ⊥AB ，又△ABD 是等边三角形，则DE ⊥AB ，从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角，即∠CED =150°，显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面ABC =CE ，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，令AB =2，则CE =1,DE =3，在△CDE 中，由余弦定理得：CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7，由正弦定理得DE sin ∠DCE =CDsin ∠CED，即sin ∠DCE =3sin150°7=327，显然∠DCE 是锐角，cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527，所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列a n 的公差为2π3，集合S =cos a n n ∈N * ，若S =a ,b ，则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{a n }中，a n =a 1+(n -1)⋅2π3=2π3n +a 1-2π3，显然函数y =cos 2π3n +a 1-2π3的周期为3，而n ∈N ∗，即cos a n 最多3个不同取值，又{cos a n |n ∈N ∗}={a ,b }，则在cos a 1,cos a 2,cos a 3中，cos a 1=cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2=cos a 3，于是有cos θ=cos θ+2π3 ，即有θ+θ+2π3 =2k π,k ∈Z ，解得θ=k π-π3,k ∈Z ，所以k ∈Z ，ab =cos k π-π3 cos k π-π3 +4π3 =-cos k π-π3 cos k π=-cos 2k πcos π3=-12.故选：B11.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-4【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得k AB ⋅k =9，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则AB 的中点M x 1+x 22,y 1+y 22，可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2，因为A ,B 在双曲线上，则x 21-y 219=1x 22-y 229=1，两式相减得x 21-x 22-y 21-y 229=0，所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22=9.对于选项A ：可得k =1,k AB =9，则AB :y =9x -8，联立方程y =9x -8x 2-y 29=1 ，消去y 得72x 2-2×72x +73=0，此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得k =-2,k AB =-92，则AB :y =-92x -52，联立方程y =-92x -52x 2-y 29=1，消去y 得45x 2+2×45x +61=0，此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得k =3,k AB =3，则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3，则AB :y =3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：k =4,k AB =94，则AB :y =94x -74，联立方程y =94x -74x 2-y 29=1，消去y 得63x 2+126x -193=0，此时Δ=1262+4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D .12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =2，则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA ⋅PD =12-22sin 2α-π4 ，或PA ⋅PD =12+22sin 2α+π4 然后结合三角函数的性质即可确定PA ⋅PD的最大值.【详解】如图所示，OA =1,OP =2，则由题意可知:∠APO =45°，由勾股定理可得PA =OP 2-OA 2=1当点A ,D 位于直线PO 异侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=2cos α22cos α-22sin α =cos 2α-sin αcos α=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin 2α-π4 0≤α≤π4，则-π4≤2α-π4≤π4∴当2α-π4=-π4时，PA ⋅PD 有最大值1.当点A ,D 位于直线PO 同侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α-π4=1×2cos αcos α-π4=2cos α22cos α+22sin α =cos 2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin 2α+π40≤α≤π4，则π4≤2α+π4≤π2∴当2α+π4=π2时，PA ⋅PD 有最大值1+22.综上可得，PA ⋅PD 的最大值为1+22.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点A 1,5 在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x =-54，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：5 2=2p ×1，则2p =5，抛物线的方程为y 2=5x ，准线方程为x =-54，点A 到C 的准线的距离为1--54 =94.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件x -3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x -y 的最大值为.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示：z =2x -y ，移项得y =2x -z ，联立有x -3y =-1x +2y =9，解得x =5y =2，设A 5,2 ，显然平移直线y =2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则z 最大，代入得z =8，故答案为：8.15.已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【解析】【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【详解】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.16.设a ∈0,1 ，若函数f x =a x +1+a x 在0,+∞ 上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】5-12,1 【解析】【分析】原问题等价于f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1+a a x ≥-ln aln 1+a ，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0在区间0,+∞ 上恒成立，则1+a x ln 1+a ≥-a x ln a ，即1+a a x ≥-ln aln 1+a在区间0,+∞ 上恒成立，故1+a a 0=1≥-ln aln 1+a，而a +1∈1,2 ，故ln 1+a >0，故ln a +1 ≥-ln a 0<a <1即a a +1 ≥10<a <1 ，故5-12≤a <1，结合题意可得实数a 的取值范围是5-12,1.故答案为：5-12,1.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i (i =1,2,⋅⋅⋅10)，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率x i545355525754545659545312541868伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i (i =1,2,⋯,10)，记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z，样本方差为s 2，(1)求z ，s 2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)z =11，s 2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x ,y ，再得到所有的z i 值，最后计算出方差即可；(2)根据公式计算出2s 210的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z =x -y=552.3-541.3=11，z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-110=61【小问2详解】由(1)知:z=11，2s 210=2 6.1=24.4，故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC 中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.(1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC 的面积.【答案】(1)21 14；(2)310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cos B=5714，最后由同角三角函数基本关系可得sin B=21 14；(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4，则S△ACD=15S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2-2bc cos A=4+1-2×2×1×cos120°=7，则BC=7，cos B=a2+c2-b22ac=7+4-12×2×7=5714，sin B=1-cos2B=1-2528=2114.【小问2详解】由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4，则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF⎳平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)22.【解析】【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接DE ,OF ，设AF =tAC ，则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ，AO =-BA +12BC ，BF ⊥AO ，则BF ⋅AO =[(1-t )BA +tBC ]⋅-BA +12BC =(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0，解得t =12，则F 为AC 的中点，由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点，于是DE ⎳AB ,DE =12AB ,OF ⎳AB ,OF =12AB ，即DE ⎳OF ,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，EF ⎳DO ,EF =DO ，又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ，所以EF ⎳平面ADO .ABCDEO P【小问2详解】由(1)可知EF ⎳OD ，则AO =6,DO =62，得AD =5DO =302，因此OD 2+AO 2=AD 2=152，则OD ⊥AO ，有EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ,BF ∩EF =F ，BF ,EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .【小问3详解】过点O 作OH ⎳BF 交AC 于点H ，设AD ∩BE =G ，由AO ⊥BF ，得HO ⊥AO ，且FH =13AH ，又由(2)知，OD ⊥AO ，则∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角，因为D ,E 分别为PB ,PA 的中点，因此G 为△PAB 的重心，即有DG =13AD ,GE =13BE ，又FH =13 AH ，即有DH =32GF ，cos ∠ABD =4+32-1522×2×62=4+6-PA 22×2×6，解得PA =14，同理得BE =62，于是BE 2+EF 2=BF 2=3，即有BE ⊥EF ，则GF 2=13×622+622=53，从而GF =153，DH =32×153=152，在△DOH 中，OH =12BF =32,OD =62,DH =152，于是cos ∠DOH =64+34-1542×62×32=-22，sin ∠DOH =1--222=22，所以二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCD EFGH OP20.已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为53，点A -2,0 在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a ,b ,c ，进而可得结果；(2)设直线PQ 的方程，进而可求点M ,N 的坐标，结合韦达定理验证y M +y N2为定值即可.【小问1详解】由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=k x 1+2 +3x 1+2+k x 2+2 +3x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2 x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +316k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段PQ 的中点是定点0,3 .【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．21.已知函数f(x)=1x +aln(1+x).(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若f x 在0,+∞存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)ln2x+y-ln2=0；(2)存在a=12,b=-12满足题意，理由见解析.(3)0,12.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g x =ax2+x-x+1ln x+1，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥12和0<a<12三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时，f x =1x-1ln x+1，则f x =-1x2×ln x+1+1x-1×1x+1，据此可得f1 =0,f 1 =-ln2，函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1，即ln2x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得f1x=x+aln1x+1，函数的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为-∞,-1∪0,+∞，定义域关于直线x=-12对称，由题意可得b=-12，由对称性可知f-12+m=f-12-mm>12，取m=32可得f1 =f-2，即a+1ln2=a-2ln 12，则a+1=2-a，解得a=12，经检验a=12,b=-12满足题意，故a=12,b=-12.即存在a=12,b=-12满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得f x =-1 x2ln x+1+1x+a1x+1，由f x 在区间0,+∞存在极值点，则f x 在区间0,+∞上存在变号零点;令-1 x2ln x+1+1x+a1x+1=0，则-x+1ln x+1+x+ax2=0，令g x =ax2+x-x+1ln x+1，f x 在区间0,+∞存在极值点，等价于g x 在区间0,+∞上存在变号零点，g x =2ax-ln x+1,g x =2a-1 x+1当a≤0时，g x <0，g x 在区间0,+∞上单调递减，此时g x <g0 =0，g x 在区间0,+∞上无零点，不合题意;当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以g x >0,g x 在区间0,+∞上单调递增，所以g x >g 0 =0，g x 在区间0,+∞上单调递增，g x >g0 =0，所以g x 在区间0,+∞上无零点，不符合题意；当0<a<12时，由gx =2a-1x+1=0可得x=12a-1，当x∈0,12a-1时，g x <0，g x 单调递减，当x∈12a-1,+∞时，g x >0，g x 单调递增，故g x 的最小值为g12a-1=1-2a+ln2a，令m x =1-x+ln x0<x<1，则m x =-x+1x>0，函数m x 在定义域内单调递增，m x <m1 =0，据此可得1-x+ln x<0恒成立，则g 12a-1=1-2a +ln2a <0，令h x =ln x -x 2+x x >0 ，则hx =-2x 2+x +1x ，当x ∈0,1 时，h x >0,h x 单调递增，当x ∈1,+∞ 时，h x <0,h x 单调递减，故h x ≤h 1 =0，即ln x ≤x 2-x (取等条件为x =1)，所以g x =2ax -ln x +1 >2ax -x +1 2-x +1 =2ax -x 2+x ，g 2a -1 >2a 2a -1 -2a -1 2+2a -1 =0，且注意到g 0 =0，根据零点存在性定理可知:g x 在区间0,+∞ 上存在唯一零点x 0.当x ∈0,x 0 时，g x <0，g x 单调减，当x ∈x 0,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，所以g x 0 <g 0 =0.令n x =ln x -12x -1x ，则n x =1x -121+1x 2=-x -1 22x2≤0，则n x 单调递减，注意到n 1 =0，故当x ∈1,+∞ 时，ln x -12x -1x <0，从而有ln x <12x -1x，所以g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 >ax 2+x -x +1 ×12x +1 -1x +1=a -12 x 2+12，令a -12 x 2+12=0得x 2=11-2a，所以g 11-2a>0，所以函数g x区间0,+∞ 上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是0,12.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4≤θ≤π2，曲线C 2：x =2cos αy =2sin α (α为参数，π2<α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程；(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围.【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22,+∞ 【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x ,y 的取值范围；(2)根据曲线C 1,C 2的方程，结合图形通过平移直线y =x +m 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρsin θ，可得x 2+y 2=2y ，整理得x 2+y -1 2=1，表示以0,1 为圆心，半径为1的圆，又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ，且π4≤θ≤π2，则π2≤2θ≤π，则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ，故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .【小问2详解】因为C 2:x =2cos αy =2sin α(α为参数，π2<α<π)，整理得x 2+y 2=4，表示圆心为O 0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y =x +m 过1,1 ，则1=1+m ，解得m =0；若直线y =x +m ，即x -y +m =0与C 2相切，则m2=2m >0 ，解得m =22，若直线y=x +m 与C 1,C 2均没有公共点，则m >22或m <0，即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22,+∞ .【选修4-5】(10分)23.已知f x =2x +x -2 .(1)求不等式f x ≤6-x 的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组f (x )≤yx +y -6≤0所确定的平面区域的面积.【答案】(1)[-2,2]；(2)6.【解析】【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0，不等式f (x )≤6-x 化为：x >23x -2≤6-x或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ，解x >23x -2≤6-x，得无解；解0≤x ≤2x +2≤6-x ，得0≤x ≤2，解x <0-3x +2≤6-x ，得-2≤x <0，因此-2≤x ≤2，所以原不等式的解集为：[-2,2]小问2详解】作出不等式组f (x )≤yx +y -6≤0表示的平面区域，如图中阴影△ABC，由y =-3x +2x +y =6，解得A (-2,8)，由y =x +2x +y =6 , 解得C (2,4)，又B (0,2),D (0,6)，所以△ABC 的面积S △ABC =12|BD |×x C -x A =12|6-2|×|2-(-2)|=8.。
2024全国卷理科数学高考真题
2024年一般高等学校招生全国统一考试理科数学留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z=：—+2i,则|z|=1+1A.0B.—C.1D.、/22.已知集合A=(x|x2-x-2>0},贝=A.(x|-l<x<2}B.(x|-l<x<2}C.(x|x<-l}.(x|x>2}D.(x|x<-l}_(x|x>2}3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入削减B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入及第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记&为等差数列｛%｝的前〃项和.若3S.=S2+S4,%=2,贝胞=A.—12B.-10C・10D.125.设函数了⑴=r+(o_1K+"若/*3)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=-2x B・y= C.y=2xD."x6.在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则E8=311331 A.—AB—AC B.—AB—AC C.—AB h—AC44444413一D.-AB+-AC447.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从肱到N的路径中，最短路径的长度为A.2面「B.2^5C.3D.28.设抛物线Q jMx的焦点为R过点(-2,0)且斜率为甘的直线及。
新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)
绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。
2020年高考数学(理科)真题试卷(全国Ⅰ卷)
2020高考数学（理科）真题试卷（全国Ⅰ卷）注意事项：1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 .2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效 .3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若z=1+ i，则|z 2–2 z|=（______）A.0B.1C.D.22.设集合 A={ x| x 2–4≤0}， B={ x|2 x+ a≤0}，且 A∩ B={ x|–2≤ x≤1}，则 a =（______） A.–4B.–2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（______）A. B. C. D.4.已知 A为抛物线 C: y 2=2 px（ p>0）上一点，点 A到 C的焦点的距离为12，到 y轴的距离为9，则 p=（______）A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程类型的是（______）A.B.C.D.6.函数的图像在点处的切线方程为（______）A.B.C.D.7.设函数在的图像大致如下图，则 f( x)的最小正周期为（______）A.B. C. D.8.的展开式中 x 3y3的系数为（______）A.5B.10C.15D.209.已知，且，则（______）A.B.C.D.10.已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（______）A.B.C.D.11.已知⊙ M：，直线：，为上的动点，过点作⊙ M 的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（______）A.B.C.D.12.若，则（______）A.B.C.D.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1. 设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（ ） A. {|3,}x x k k =∈Z B. {31,}x x k k Z =−∈∣ C. {32,}x x k k Z =−∈∣ D. ∅【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z U U ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z U ð． 故选：A ．2. 设()()R,i 1i 2,a a a ∈+−=，则=a （ ） A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a+−=−++=+−=，所以22210a a =⎧⎨−=⎩，解得：1a =． 故选：C.3. 执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=； 当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=； 当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=； 当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =． 故选：B.4. 已知向量,,a b c r r r 满足1,2a b c ===r r r ，且0a b c ++=r r r r ，则cos ,a c b c 〈−−〉=r r r r （ ）A. 45−B. 25−C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为0a b c ++=rrrr,所以a b c +=-rrr,即2222a b a b c ++⋅=rrrr r,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅=rr .如图,设,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ,由题知,1,2,OA OB OC OAB ===V 是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22OD AD ==, 所以232222CD CO OD =+==, 1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=, 2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈−−〉=∠=∠=∠−r r r r2421510=⨯−=. 故选:D.5. 设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =−，则4S =（ ） A.158B.658C. 15D. 40【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S . 【详解】由题知()23421514q q q q q q++++=++−,即34244q q q q +=+,即32440q q q +−−=,即(2)(1)(2)0q q q −++=. 由题知0q >,所以2q =. 所以4124815S =+++=. 故选:C.6. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6C. 0.5D. 0.4【答案】A 【解析】【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4+−=，记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件B ， 则()0.5,()0.4P A P AB ==，所以()0.4()0.8()0.5P AB P BA P A ===∣.故选:A .7. 设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=−+=， 即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y −+−=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A.55B.55C.355D.55【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由5e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=， 所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离25521d ==+， 所以弦长22145||22155AB r d =−=−=. 故选：D9. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60C. 30D. 20【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.10. 函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =−的交点个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =−，再作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =−的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =−，而1122y x =−显然过10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =−==，即3π3π7π,,444x x x =−==处()f x 与1122y x =−的大小关系，当3π4x =−时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫−=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯−−=−<− ⎪⎝⎭； 当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，13π13π412428y −=⨯−=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，17π17π412428y −=⨯−=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =−的交点个数为3. 故选：C.11. 已知四棱锥P ABCD −的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC V 的面积为（ ）A. 22B. 32C. 2D. 2【答案】C 【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ≅V V ，PDB PCA ≅V V ，从而得到PA PB =，再在PAC △中利用余弦定理求得17PA =，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在PAC △中利用余弦定理求得17PA =1cos 3PCB ∠=，从而求得3PA PC ⋅=−u u u r u u u r ，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于,PB BPD ∠的方程组，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD ==22DO CO ==， 又3PC PD ==，PO OP =，所以PDO PCO ≅V V ，则PDO PCO ∠=∠， 又3PC PD ==，42AC BD ==PDB PCA ≅V V ，则PA PB =， 在PAC △中，3,42,45PC AC PCA ==∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=， 故17PA =，则17PB故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD == 在PAC △中，3,45PC PCA =∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=，故17PA =，所以22217cos 2172173PA PC AC APC PA PC +−∠===−⋅⨯⨯，则17cos 173317PA PC PA PC APC ⎛⋅=∠=⨯−=− ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以()()22PA PC PB PD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则()217923923cos m m θ++⨯−=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+−=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+−⋅∠，即23296cos m m θ=+−，则26cos 230m m θ−−=②，两式相加得22340m −=，故17PB m ==故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 故选：C.12. 设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=两个焦点，点 P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（ ）A.135B.302C.145D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP 的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PF PF PF PF +，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PF PF +，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tantan 2PF F F PF S b b θ∠==V ， 由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ−−∠====+，解得：1tan 2θ=， 由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===−=， 所以，1212111236222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯V ，解得：23p y =， 即2399162p x ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭，因此22930322p p OP x y =+=+=． 的故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=，即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②， 解得：22121215,212PF PF PF PF =+=， 而()1212PO PF PF =+u u u r u u u r u u u u r ，所以1212OP PO PF PF ==+u u u r u u u r u u u u r， 即22121122111315302212222522PO PF PF PF PF PF PF =+=+⋅+=+⨯⨯=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ． 故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=， 即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②，解得：221221PF PF +=， 由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知1223F F =302OP =．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13. 若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=−+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________． 【答案】2 【解析】【分析】利用偶函数性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解. 【详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==−+++=−++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ， 所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−+ ⎪ −⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⎝+⎭，的则22πππ2π1212a −⎛⎫⎛⎫=+− ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =−++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x −=−++++−==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.14. 若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y −≤⎧⎪−+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．【答案】15 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可. 【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x =−+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y −+=⎧⎨−=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=. 故答案为：1515. 在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 【答案】12 【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，22222222EF FG EG =+=+=即2R =，则球心O 到1CC 的距离为2222112OM ON MN =+=+=，所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱1CC 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为：1216. 在ABC V 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________． 【答案】2 【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由ABC ABD ACD S S S =+V V V 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯o o o ， 解得：2313323312b AD b +===++． 故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==o，解得：62sin 4B =，2sin 2C =， 因为1362+>>45C =o ，180604575B =−−=o o o o ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠=o ，即2AD AB ==． 故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n =−（2）()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n −=⎧=⎨−≥⎩即可求出；（2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】因为2n n S na =，当1n =时，112a a =，即10a =； 当3n =时，()33213a a +=，即32a =，当2n ≥时，()1121n n S n a −−=−，所以()()11221n n n n n S S a na n a −−−==−−， 化简得：()()121n n n a n a −−=−，当3n ≥时，131122n n a a an n −====−−L ，即1n a n =−， 当1,2,3n =时都满足上式，所以()*1N n a n n =−∈．【小问2详解】因为122n n n a n +=，所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++−⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+−⎝=−⎭⨯−⨯L ， 11122n n ⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，*N n ∈．18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）证明：1AC AC =； （2）已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）1313【解析】【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得1AO ⊥平面11BCC B ，再由勾股定理求出O 为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出1AB 的长及点A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【小问1详解】 如图，1A C ⊥Q 底面ABC ，BC ⊂面ABC ，1AC BC ∴⊥，又BC AC ⊥，1,AC AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=, BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11AO CC ⊥交1CC 于O ，又平面11ACC A I 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ， 1A O ∴⊥平面11BCC B1A Q 到平面11BCC B 的距离为1，11∴=AO ， 在11Rt ACC △中，111112,AC AC CC AA ⊥==，设CO x =，则12C O x =−，11111,,AOC AOC ACC Q △△△为直角三角形，且12CC =，22211CO AO AC +=，2221111AO OC C A +=，2221111AC AC C C +=，2211(2)4x x ∴+++−=，解得1x =，1112AC AC AC ∴=== 1A C AC ∴=小问2详解】111,,AC AC BC AC BC AC =⊥⊥Q ， 1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△ 1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点， 由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD =11A D =Q ，2BD =，15A B AB ∴==，在Rt ABC △，223BC AB AC ∴=−=，延长AC ，使AC CM =，连接1C M ，由1111,CM AC CM AC =∥知四边形11ACMC 为平行四边形， 11C M A C ∴∥，1C M ∴⊥平面ABC ，又AM ⊂平面ABC ，1C M AM ∴⊥则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M AC ==，2211(2)AC AC AC ∴=+ 在11Rt AB C △中，2211(2)AC AC AC =+，113B C BC == 2221(22)(2)(3)13AB ∴=++=又A 到平面11BCC B 距离也为1， 所以1AB 与平面11BCC B 131313=. 19. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；【（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m <m ≥对照组 实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d −=++++ 0k0.100 0.050 0.010()20P k k ≥2.7063.841 6.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X = （2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能 【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望； （2）（i ）根据中位数的定义即可求得23.4m =，从而求得列联表； （ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ===，120224010C C 20(1)C 39P X ===，202020240C C 19(2)C 78P X ===， 所以X 分布列为：X12P1978 20391978故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=. 【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2，第21位数据为23.6， 所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m <m ≥合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯−⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 20. 已知直线210x y −+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||415AB =（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，求MFN △面积的最小值． 【答案】（1）2p = （2）1282−【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；的（2）设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,,M x y N x y 利用0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，找到,m n 的关系，以及MFN △的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px−+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p −+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==， 所以()()()222554415A B A B A B A B A B AB x x y y y y y y y =−+−=−=+−=即2260p p −−=，因为0p >，解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零， 设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n −−=，所以，12124,4y y m y y n +==−， 22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，所以()()1212110x x y y −−+=， 即()()1212110my n my n y y +−+−+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++−++−=，将12124,4y y m y y n +==−代入得，22461m n n =−+，()()22410m n n +=−>，所以1n ≠，且2610n n −+≥，解得322n ≥+或322n ≤−． 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以211n d m−=+()()22222121212111616MN x x y y m y y m m n =−+−=+−=++()2222146116211m n n n m =+−++=+−，所以MFN △的面积()2221112111221n S MN d m n m −=⨯⨯=+−=−+，而322n ≥+322n ≤−，所以，当322n =−MFN △的面积(2min 2221282S =−=−．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 21. 已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭（1）当8a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析. （2）(,3]−∞ 【解析】【分析】（1）求导,然后令2cos t x =,讨论导数的符号即可;（2）构造()()sin 2g x f x x =−,计算()g x '的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可. 【小问1详解】326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=− 22244cos 3sin 32cos cos cos x x xa a x x+−=−=−令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t'−+−==−= 当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t'+−−+==== 当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭. 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭.所以()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 【小问2详解】设()()sin 2g x f x x =−()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t ''+−=−=−−=−−=+−+−设223()24t a t t t ϕ=+−+− 322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'−−+−+=−−+==−> 所以()(1)3t a ϕϕ<=−. 1︒若(,3]a ∈−∞,()()30g x t a ϕ'=<−≤即()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=. 所以当(,3],()sin 2a f x x ∈−∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞ 当22231110,333t t t t ⎛⎫→−=−−+→−∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→−∞. (1)30a ϕ=−>.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=. 当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3]−∞.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性cos t x =在定义域内是减函数,若00cos t x =,当()0,1,()0t t t ϕ∈>,对应当()00,,()0x x g x '∈>. 四、选做题在22. 已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ρθρθ+−=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<， 令0x =，12cos t α=−，令0y =，21sin t α=−， 所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±， 即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ， 因为ππ2α<<，所以3π4α=． 【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=−，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x −=−−，即30x y +−=，由cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+−=． 23. 设0a >，函数()2f x x a a =−−．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2【解析】【分析】（1）分x a ≤和x a >讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =−−<,即3x a >,解得3a x >,即3a x a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =−−<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【小问2详解】 2,()23,x a x a f x x a x a −+≤⎧=⎨−>⎩. 画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC V ,ABC V 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a , 所以211||222ABC S AB a a =⋅==V ,解得2a =.。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（全国II 卷）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．1212i i +=-（）（A ）4355i --（B ）4355i -+（C ）3455i --（D ）3455i -+ 2．已知集合(){}22,|3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）（A ）9 （B ）8 （C ）5（D ）43．函数()2x xe ef x x--=的图像大致为（） 4．已知向量,a b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（）（A ）4（B ）3（C ）2（D ）05．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（） （A ）2y x =±（B ）3y x =±（C ）22y x =±（D ）32y x =± 6．在ABC ∆中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =（） （A ）42（B ）30（C ）29（D ）257．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）（A ）1i i =+（B ）2i i =+（C ）3i i =+（D ）4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+。
在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）（A ）112（B ）114（C ）115（D ）1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）（A ）15（B）CD）210．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（）（A ）4π（B ）2π（C ）34π（D ）π 11．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+。
若()12f =，则()()()()12350f f f f ++++=（）（A ）50-（B ）0（C ）2（D ）5012．已知12,F F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F ∆为等腰三角形，012120F F P ∠=，则C 的离心率为（） （A ）23（B ）12（C ）13（D ）14二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线()2ln 1y x =+在点()0,0处的切线方程为____________。
14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_________。
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=。
16．已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为045，若SAB ∆的面积为__________。
三．解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分。
17．（本小题12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-。
⑴求{}n a 的通项公式；⑵求n S ，并求n S 的最小值。
18．（本小题12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图。
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型。
根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：9917.5y t =+。
⑴分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；⑵你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。
19．（本小题12分）设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB =。
⑴求l 的方程；⑵求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。
20．（本小题12分）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点。
⑴证明：PO ⊥平面ABC ；⑵若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为030，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值。
21．（本小题12分）已知函数()2x f x e ax =-。
⑴若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；⑵若()f x 在()0,+∞只有一个零点，求a 。
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）。
⑴求C 和l 的直角坐标方程；⑵若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率。
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）设函数()5|||2|f x x a x =-+--。
⑴当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；⑵若()1f x ≤，求a 的取值范围。
2018年普通高等学校招生全国统一考试（II 卷）解答一．选择题DABBAABCCACD二．填空题13．2y x =；14．9；15．12-；16． 17．解：⑴设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-。
由17a =-得2d =。
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-；⑵由⑴得()228416n S n n n =-=--，所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-。
18．解：⑴利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1y =-+⨯=（亿元）。
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5y =+⨯=（亿元）；⑵利用模型②得到的预测值更可靠。
理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。
2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5y t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠；（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠。
（以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）19．解：⑴由题意得()1,0F ，l ：()()10y k x k =->。
设()()1122,,,A x y B x y ，由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()2222240k x k x k -++=，故212224k x x k ++=。
而2122448||2k AB x x k +==++=，解得1k =-（舍）或1k =，因此l ：10x y --=； ⑵由⑴得AB 的中点坐标为()3,2，所以AB 的中垂线方程为()23y x -=--，即50x y +-=。
设所求圆的圆心坐标为()00,x y ，则0000050142x y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩。
因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=。
20．解：⑴因4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点，故OP AC ⊥，且23OP =。
连OB ，因22AB BC AC ==，故ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，22AC OB ==。
故222OP OB PB +=，因此PO OB ⊥。
又OP AC ⊥，故PO ⊥平面ABC ；⑵如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -。
由题知()0,0,0O ，()2,0,0B ，()0,2,0A -，()0,2,0C ，()0,0,23P ，()0,2,23AP =。
取平面PAC 的法向量()2,0,0OB =，设()(),2,002M a a a -<≤，则(),4,0AM a a =-。
设平面PAM 的法向量为(),,n x y z =，则00AP n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()223040y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取()()34,3,n a a a =--，所以()()222234cos ,||||2343a OB n OB n OB n a a a -⋅==-++。
由题得()22233|4||cos ,|2343a OB n a a a-==-++，解得4a =-（舍）或43a =，所以834,333n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭。
又(0,2,PC =-，故3cos ,PC n =，所以PC 与平面PAM。
21．解：⑴当1a =时，()()21110x f x x e -≥⇔+-≤。
设函数()()211x g x x e -=+-，则()()()22211x x g x x x e x e --'=--+=--。
当1x ≠时()0g x '<，故()g x 在()0,+∞单调递减。
而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥；⑵设函数()21x h x ax e -=-，()f x 在()0,+∞只有一个零点当且仅当()h x 在()0,+∞只有一个零点。