广东高考数学(理)一轮题库：4.7-解三角形应用举例(含答案)

第7讲解三角形应用举例一、选择题1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为( )A.16B.17C.18D.19解析因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.∴BC＝19.答案 D2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是( )．A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，b解析选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.答案 A3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()．A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．答案 A4. 如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD的张角为()．A．30°B．45°C．60°D．75°解析依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案 B5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为( )A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m解析由题意，得B＝30°.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝ACsin B，∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．答案 A6. 如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) ()．A．2.7 m B．17.3 mC．37.3 m D．373 m解析在△ACE中，tan 30°＝CEAE＝CM－10AE.∴AE＝CM－10tan 30°(m)．在△AED中，tan 45°＝DEAE＝CM＋10AE，∴AE＝CM＋10tan 45°(m)，∴CM－10tan 30°＝CM＋10tan 45°，∴CM＝10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．答案 C二、填空题7．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCsin 45°＝CDsin 30°，BC＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt△ABC中，tan 60°＝ABBC，AB＝BC tan 60°＝106(米)．答案10 68．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m 到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin 45°＝10sin 60°.∴x＝1063m.答案1063m9. 在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得ANsin 45°＝106sin 30°，解得AN＝203(米)，在Rt△AMN中，MN＝20 3 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案3010. 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．解析由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得BMsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM＝m cos αsin(α－β)，要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin(α－β)＞n，所以当α与β的关系满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案 m cos αcos β＞n sin(α－β) 三、解答题11．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 2 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＝12的方向作匀速直线航行，速度为m nmile/h.(1)若两船能相遇，求m .(2)当m ＝105时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少nmile?解 (1)设t 小时后，两船在M 处相遇， 由tan θ＝12，得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin ∠AMB ＝s in(45°－θ)＝1010. 由正弦定理，AM sin θ＝ABsin ∠AMB，∴AM ＝402， 同理得BM ＝40 5.∴t ＝402152＝83，m ＝40583＝15 5.(2)以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)处，则|AP |＝152t ，|BQ |＝105t .由任意角三角函数的定义，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝152t cos45°＝15t ，y 1＝152t sin45°＝15t ，即点P 的坐标是(15t,15t )， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40，即点Q 的坐标是(10t,20t －40)， ∴|PQ |＝－5t2＋5t －402＝50t 2－400t ＋1600＝50t －42＋800≥202，当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值202，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 2 n mile.12．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解 如题图所示，在△ABC 中，AB ＝40海里，AC ＝20海里，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，故BC ＝207(海里)． 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，所以sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 易知θ＝∠ACB ＋30°，故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.13．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1百米． (1)求△CDE 的面积； (2)求A ，B 之间的距离．解 (1)在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △CDE ＝12DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14(平方百米)． (2)连接AB ，依题意知，在Rt △ACD 中， AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan 60°＝3(百米)，在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理BC sin ∠CEB ＝CE sin ∠CBE ，得BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝2(百米)．∵cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ， 可得AB 2＝(3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3，∴AB ＝2－3百米．14．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇． 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103(海里)， 此时v ＝10313＝303(海里/时)．即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23. 又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.。