相似三角形典型模型及例题

:相似三角形判定的基本模型
（三）母子型
（四）一线三等角型:
1:相似三角形模型
（一）A字
型、
A字型（斜A字型）
C
（二）8字
型、
8字型
（平
行）
（蝴蝶
型）
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
（五）一线三直角型:
三直角相似可以看着是"一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似,
这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

（六）双垂型:
:相似三角形判定的变化模型
/
B E
C
一线三直角的变形
2:相似三角形典型例题
（1）母子型相似三角形
例1:如图，梯形ABCDK AD// BC对角线AC BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于E.
例3 :已知：如图，等腰△ ABC中, AB= AC ADL BC于D, CG/ AB BG分别交AD AC于E、F. 求证：BE2 EF EG .
1、如图，已知AD^^ ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2 FB FC .
DEB
DAC .
ABC .
A
2、已知：AD 是Rt △ ABC 中/A 的平分线，/ C=90 , EF 是AD 的垂直平分线交 AD 于M, EF 、
BC 的延长线 交于一点 M 求证：⑴△ AME^A NMD; (2)ND 2
=NC- NB
5已知：如图，在
Rt △ ABC 中，/ C=90°, B(=2, AC=4, P 是斜边 AB 上的一个动点，PD 丄AB 交边 AC 于
点D (点D 与点A C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EP[=Z A.设A 、P 两点的距离为 x , △ BEP 的 面积为y . (1)求证：AE=2PE (2) 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当厶BEP-与^ABC 相似时，求△ BEP 的面积.
3、已知：如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 , 求
证：EB- DF=AE DB
CDL AB 于D, E 是AC 上一点，CF 丄BE 于F 。

4.在 ABC 中，AB=AC 高 AD 与 BE 交于 H,
EF BC ，垂足为F ,延长AD 到G,使DG=EF M 是AH 的中点。

证：GBM 90 G
(
2)双垂型
1如图，在△ ABC 中，/ A=60 , BD CE 分别是AC AB 上的高 求证：(ABB A ACE (2)△ AD 0A ABC (3)BC=2ED
2、如图，已知锐角厶ABC AD CE 分别是BC AB 边上的高，△ ABC 和厶BDE 的面积分别是 27和3, DE=^'2 ,
〔、△ ABC 是等边三角形， DBCE 在一条直线上，/ DAE=120 ,已知BD=1, CE=3求等边三角形的边长
2、已知：如图，在 Rt △ ABC 中, AB=AC / DAE 45。

(2) BC 2
2BE CD .B
求：点B 到直线AC 的距离。

(3)共享型相似三角形
求证：(1 )△ AB 0A ACD
（2）正方形ABCD 的边长为5 （如下图），点P 、Q 分别在直线CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重
例
3:已知在梯形 ABCDK AD// BC AD< BC 且 AD= 5, AB= DC= 2.
（1） 如图8, P 为AD 上的一点，满足/ BPC=Z A.
① 求证；△ AB MA DPC
② 求AP 的长.
（2） 如果点P 在AD 边上移动（点 P 与点A D 不重合），且满足/ BPE=Z A , PE 交直线BC 于点E ,同时 交直线DC 于点Q,那么
① 当点Q 在 DC 的延长线上时，设 AP= x , CQ= y ,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
② 当CE= 1时，写出AP 的长.
（4） 一线三等角型相似三角形
例1:如图，等边△ ABC 中，边长为6,
（1） 求证：△ （2） 当 BD=1, BD0A CFD
FC=3 时，求 BE
ABC 中，AB AC
点B 重合），且保持 APQ ABC .
① 若点P 在线段CB 上（如图），且BP 6，求线段CQ 的长；
② 若BP x ，CQ y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域;
合），且保持 APQ 90 .当 CQ 1时，求出线段BP 的长.
例
4
:如图，在梯形ABCD中，AD // BC , AB CD BC 6 , AD 3 •点M为边BC的中点，以
M为顶点作
EMF B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF .
(1)求证：△ MEF BEM ；
(2)若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
(3)若EF CD，求BE的长.
ADE C .
(1)求证：△ ABD°^ DCE
⑵ 如果BD x, AE y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域;
⑶ 当点D是BC的中点时，试说明厶ADE是什么三角形，并说明理由.
2、如图，已知在厶ABC中, AB=AC=6, BC=5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结DE并作
DEF B，射线EF交线段AC于F.
(1)求证：△ DBE^A ECF
1、如图，在△ ABC中，AB AC 8 , BC 10, D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且
(2 )当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
(3)联结DF,如果△ DEF与△ DBE相似，求FC的长.
BE C
3、已知在梯形 ABCDK AD// BC ADc BC 且 BC =6 , AE =DO 4,点 E 是 AB 的中点.
(1) 如图，P 为BC 上的一点，且 BP=2.求证：△ BEPo ^ CPD
(2) 如果点P 在BC 边上移动(点 P 与点B C 不重合)，且满足/ EPF=Z C, PF 交直线CD 于点F ,同 时交直线
AD 于点M 那么
① 当点F 在线段CD 的延长线上时，设 BP =x , DF = y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义 域；
9
② 当S DMF 9S BEP 时，求BP 的长. 4、如图，已知边长为3的等边ABC ，点F 在边BC 上, CF 1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ，直线EG, FG 交直线AC 于点M , N ,
(1) 写出图中与 BEF 相似的三角形；
(2) 证明其中一对三角形相似；
(3)
设BE X ,MN y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围;
(4)若AE 1，试求GMN 的面积.
4
A
n
(5) —线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD 中, CD=2 AD=3,点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作PE CP ,
交边AB于点E,设PD x,AE y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

例2、在ABC中，C 90o,AC 4,BC 3,0是AB上的一点，且
AC 2
，点P是AC上的一个动点，PQ CP交线段BC于点Q （不与
AB 5
点B,C重合），设AP x, CQ y，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。

3
1.在直角ABC中，C 900 AB 5 ta nB —，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF DE ' ' 4
交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当EF // BC时，求BE的长。

（3）、连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。

2.在直角三角形ABC中, C 90o,AB BC, D是AB边上的一点, E是在AC边上的一个动点, (与A,C 不重合），DF DE, DF与射线BC相交于点F.
（1）、当点D是边
⑴AD （2）、当——(3)、当AC
AB的中点时，求证：DE
DE右居
，求的值
DF
AD 1 沁
6, ，设AE
DF
BC x,BF y ,求y关于x
B
的函数关系式，并写出定义域
3
3.如图，在ABC中，C 90 , AC 6 , tan B - , D是BC边的中点，E为AB边上的一个动
4
点，作DEF 90 , EF交射线BC于点F •设BE x , BED的面积为y •
(1 )求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积•
4 o
4.如图，在梯形ABCD 中，AB CD , AB 2, AD 4, ta nC , ADC DAB 90 ,P 是腰BC 上一个动点(不含点B、C),作PQ AP交CD于点Q.(图1)
(1)求BC的长与梯形ABCD的面积；
(2)当PQ DQ时，求BP的长；(图2)
(3)设BP x,CQ y ,试求y关于x的函数解析式，并写出定义域.。