【美赛尖端培训-数学建模-课件】第27节 战斗机测评模型

1.1 战斗机选择问题研究 1.1.1 问题重述
选择战斗机，代测评或者购买的战斗机具有4种备选型号，分别是A1,A2,A3,A4。

已经确定的属性为：最高速度1X (马赫)、航程()
3210X nmile 、最大载荷()
3310X lb 、价格()
6410X 美元、可靠性5X 、机动性6X 。

四种战斗机对6个属性的定量取值或者定性描述如下表所示。

备选 方案 属性
X1 X2 X3 X4 X5 X6 A1 2 1.5 20 5.5 5中 9很高 A2 2.5 2.7 18 6.5 3低 5中 A3 1.8 2 21 4.5 7高 7高 A4
2.2
1.8
20
5
5中
5中
请分别使用加权和法、加权积法、TOPSIS 法计算方案对目标的权重。

1.1.2 符号规定与基本假设
1. 符号规定
1. D 表示决策矩阵
2. A 表示方案
3. X 表示战斗机的相关属性
4. w 表示权重
2. 基本假设
(1) 战斗机的测评因素为以上6个；
(2) 不考虑其他因素对战斗机使用的影响； (3) 战斗机的排名选取因素仅供参考
1.1.3 模型分析与建立
在正常情况下，区分上述指标最高速度1X (马赫)、航程()
3210X nmile 、最大载荷()
3310X lb 、价格()
6410X 美元、可靠性5X 、机动性6X 。

其中，前四个为费用属性，后两个为效用型的属性。

通过对原属性值取倒数，将全部的属性转化为效益型属性可得决策矩阵D 。

如(1.1)式所示。

1111592 1.520 5.51111352.5 2.718 6.51111771.8221 4.51111552.2 1.8205⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
D (1.1)
再对决策矩阵进行比例尺度变换即决策矩阵标准化。

主要分为以下三种形式，即归一化、最大化、模一化。

归一化：R 列所有向量的分量之和为1。

1
ij
ij m
ij
i d r d
==
∑
(1.2)
最大化：R 列所有的向量的分量之和为1。

1,2,,max ij ij ij
i m
d r d ==
(1.3)
模一化：R 列所有列向量的模为1。

ij d r =
(1.4)
决策矩阵D 在经过上述式(1.2)、式(1.3)、式(1.4)之后，标准化之后分别化为： 1. 归一化
0.26180.31860.24610.23990.25000.34620.20940.17700.27340.20300.15000.19230.29090.23890.23440.29320.35000.26920.23800.26550.24610.26390.25000.1923ij r ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
2.最大化
0.9000 1.00000.90000.81820.7143 1.00000.72000.5556 1.00000.69230.42860.55561.00000.75000.8571 1.0000 1.00000.77780.8182
0.83330.90000.90000.71430.5556ij r ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
3.模一化
0.51980.62430.49140.47570.48110.67080.41580.34680.54600.40250.28870.37270.57760.46820.46800.58140.67360.52170.4725
0.52030.49140.52320.48110.3727ij r ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
完成数据标准化之后，需要确定属性权重。

其中各个属性对决策目标的影响程度称为属性权重，简记为12,,
,n X X X 的权重为12,,
,n w w w 且满足6
1
1i i w ==∑，
()126,,
,T
w w w w =称为权向量。

信息熵法属于典型的较为客观的方法。

大多数决策中将按照归一化式所得到的各个列向量看作信息量的分布，各个方案中关于属性j X 的熵为：
1ln ,1/ln ,1,2,
,m
j ij ij i E k r r k m j n ==-==∑ (1.5)
当各个方案对某个j X 的属性值全部相同，即()1/ln 1,2,,ij r m i m ==时，
1j E =达到最大，这样的j X 对于辨别方案的优劣不起任何作用；当各方案对j X 的
属性值ij r 只存在一个为1其余全部为0时，0j E =达到最小，这样的j X 最能辨别方案的优劣。

一般来说，属性值ij r 相差得越大，j E 越小，j X 辨别方案优劣的作用越大。

可定义
1,01j j j F E F =-≤≤
(1.6)
作为属性j X 的区分度。

且进一步将归一化得区分度取作属性j X 的权重ij w ，则
1
,1,2,
,j
j n
j
j F w j n F
==
=∑ (1.7)
根据上述三种方法可以计算出权重为
[]0.0646,0.1901,0.145,0.0792,0.3681,0.2835w =
综合方法：在得到决策矩阵以及属性权重之后，使用多种方法将他们进行综合，按照决策者的需要确定一个最优化方案，即方案对目标的综合权重。

加权和法：已知标准化决策矩阵()
ij m n
R r ⨯=以及属性权重()12,,,T
n w w w w =,
则方案i A 对于目标得权重i v 是ij r 对j w 得加权和，即
1n
i ij j j v r w ==∑
(1.8)
上述式(1.8)可以简写为
V =Rw (1.9)
需要注意的是，对于决策矩阵采用不同的标准化方法会得到不同的结果。

加权积法：将算术平均改为几何平均即将加权和改为加权积，对应的写法为
1
j n
w i ij j v d ==∏
(1.10)
TOPSIS 法：将n 个属性、m 个方案得多属性决策放到n 维空间种m 个点的集合系统中进行处理。

使用向量模一化对决策矩阵进行标准化再对其取欧式距离，从而每个点的坐标由各方案标准化之后的加权属性值确定。

那么理论上的正理想解由所有可能的加权最优属性值，负理想解由所有可能的加权最劣属性值构成，在确定最优和最劣属性值时应区分效益型和费用型属性。

选择相对接近度李定义距正理想解尽可能近、负理想解尽可能远的数量指标。

一般的步骤为：
1) 将决策矩阵进行模一化之后的ij r 乘以属性权重j w ，可得i ij j v r w =，可得
矩阵
()0.03360.11870.00710.03770.17710.19020.0269
0.06590.00790.03190.10620.10570.03730.08900.00680.04600.24790.14790.03050.09890.00710.04140.17710.1057ij V v ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
2) 可以分别计算出正理想解和负理想解。

[]0.0373,0.1187,0.0079,0.0460,0.2479,0.1902[0.0269,0.0659,0.0068,0.0319,0.1062,0.1057]
v v +-
== (1.11)
3) 方案与正理想解和负理想解的欧式距离都可以计算出来。

[][]
0.0714,0.1741,0.0516,0.11230.1226,0.0011,0.1507,0.0788S S +-
==
4) 定义方案i A 与正理想解的相对接近度为,01i i
i i i
S C C S S -++
+-
=<<+，则可以计算出()
()123,,0.3519,0.0036,0.4148,0.2296i C C C C +++
+==。

1.1.4 模型的求解
通过MATLAB 进行编码计算：
Clc,clear
D=[1/2 1/1.5 1/20 1/5.5 5 9;1/2.5 1/2.7 1/18 1/6.5 3 5;1/1.8 1/2 1/21 1/4.5 7 7;1/2.2 1/1.8 1/20 1/5 5 5]; [m,n]=size(D); %变量初始化 R=zeros(m,n); E=zeros(1,n); F=E;
%求解属性权------------------------------------------------------ %归一化方法 for i=1:n
R(:,i)=D(:,i)/sum(D(:,i)); end
%每一属性的信息熵的确定 for j=1:n
for i=1:m
E(j)=E(j)-1/log(m)*R(i,j)*log(R(i,j)); end end
%属性区分度
F=1-E;
%属性权
W=F/sum(F);
%-----------------------------------------------------------------
%综合方法——————————————————————————
% %R归一化加权和
% V=R*W';
% V=V/sum(V);
% %R最大化加权和
for i=1:n
R(:,i)=D(:,i)/max(D(:,i));
end
V=R*W';
V=V/sum(V);
% %加权积
% V=ones(m,1);
% for i=1:m
% for j=1:n
% V(i)=V(i)*D(i,j)^W(j);
% end
% end
% V=V/sum(V);
TOPSIS
Clc,clear
D=[1/2 1/1.5 1/20 1/5.5 5 9;1/2.5 1/2.7 1/18 1/6.5 3 5;1/1.8 1/2 1/21 1/4.5 7 7;1/2.2 1/1.8 1/20 1/5 5 5];[m,n]=size(D);
%变量初始化
R=zeros(m,n);
%求解属性权------------------------------------------------------
%变量初始化
R=zeros(m,n);
E=zeros(1,n);
F=E;
%求解属性权------------------------------------------------------
%归一化方法
for i=1:n
R(:,i)=D(:,i)/sum(D(:,i));
end
%每一属性的信息熵的确定
for j=1:n
for i=1:m
E(j)=E(j)-1/log(m)*R(i,j)*log(R(i,j));
end
end
%属性区分度
F=1-E;
%属性权
W=F/sum(F);
%综合方法——————————————————————————%R模一化方法
for i=1:n
R(:,i)=D(:,i)/norm(D(:,i));
end
for j=1:n
V(:,j)=R(:,j)*W(j);
v1(j)=max(V(:,j));
v2(j)=min(V(:,j));
end
for i=1:m
S1(i)=norm(v1-V(i,:));
S2(i)=norm(v2-V(i,:));
C(i)=S2(i)/(S1(i)+S2(i));
end
C=C/sum(C);
1.1.5 结果分析
可得最后计算结果为：
表1.1 计算结果
选择方案
选择方法
加权和
(归一化)
加权和
(最大化)
加权积TOPSIS
A1 0.2896 0.2902 0.2899 0.3519
A2 0.1782 0.177 0.1771 0.0036
A3 0.2946 0.296 0.2957 0.4148
A4 0.2377 0.2369 0.2373 0.2296
经过计算，从上表1.1可以看出，使用加权和与加权积所得到的结果相对差别小，TOPSIS方法所得到的差别较大。

最终对于上述四个战斗机优劣顺序排名为A3、A1、A4、A2。