2015年北京夏季高中会考数学试卷(含答案)

2015年北京市夏季普通高中会考
数 学 试 卷
考生须知
1. 考生要认真填写考场号和座位序号。

2. 本试卷共5页，分为两个部分，第一部分为选择题，25个小题（共75分）；第二部分为解答题，5个小题（共25分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

第一部分 选择题（每小题3分，共75分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1．已知全集{1,2,3}U =，集合{1,2}A =，那么
U
A 等于
A ．{1}
B ．{2}
C ．{3}
D ．{1,2}
2．已知某几何体的三视图如图所示，那么该几何体是
A ．三棱锥
B ．四棱锥
C ．圆台
D ．圆锥
3．点(1,1)-到直线10x y +-=的距离是
A ．
12
B ．
32
C ．
22
D ．
32
2
4．lg 2lg5+等于 A ．0
B ．lg 3
C ．lg 7
D ．1
5．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，如果(1)2f =-，那么(1)f -等于 A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．
2
6．如果幂函数y x α
=的图象经过点1
(2,
)4
，那么α等于 A ．2-
B ．2
C ．12
-
D ．
12
7．中国人民抗日战争纪念馆为了做好“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利大型主题展览”活动，准备进行一次大规模统计调查活动，其中涉及到以下一些步骤： ①处理和分析数据；②发放问卷并收集问卷的数据；③确定抽样方法；④编制调查问卷；⑤依据数据提出调整建议．执行这些步骤的正确顺序是 A ．③①②④⑤
B ．①②③④⑤
C ．⑤④③②①
D ．③④②①⑤
8．在区间[1,2]-内随机选一个实数x ，该实数恰好在区间[0,1]内的概率是 A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
9．如果向量(2,)a m =-，(1,5)b =，且13a b ⋅=，那么实数m 等于 A ．9-
B ．3-
C ．3
D ．9
10．已知函数()sin f x a x =⋅，如果()f x 在区间π
[0,
]2上的最大值为3，那么a 的值为 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
11．π
sin (
)2
θ+等于 A ．sin θ
B ．sin θ-
C ．cos θ
D ．cos θ-
12．圆心为(1,1)，且经过原点的圆的方程是
A ．22
(1)(1)2x y -+-= B ．22
(1)(1)4x y -+-= C ．22
(1)(1)2x y +++=
D ．22
(1)(1)4x y +++=
13．在△ABC 中，30A ∠=︒，2AC =，BC =sin B 等于
A ．
2
B ．
4 C ．
2
D ．
4
14．函数2
()(0)2x f x x x
=
+>的最小值是 A ．1
B ．2
C ．
52
D ．4
15．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π
16．已知等比数列{}n a 中，32a =-，那么12345a a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为
A ．32-
B ．8-
C ．16
D ．64
17．已知数列{}n a 的前n 项和21n
n S =-，那么4a 的值为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
18．首都博物馆是一座建筑宏大、展览丰富、技术先进、功能完善的大型现代化博物馆．为
迎接某校高一年级全体同学的参观，该馆准备从甲、乙、丙、丁这4名优秀讲解员中随机选取2名承担讲解任务，那么选取的2人中含有甲的概率是 A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
19．给出下列四个命题：
① 垂直于同一平面的两个平面互相垂直； ② 平行于同一平面的两个平面互相平行； ③ 垂直于同一直线的两个平面互相垂直； ④ 平行于同一直线的两个平面互相平行， 其中正确命题的序号是 A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
20．给定函数：①()2f x x =；②()2x
f x =；③2
()f x x =；④2()log f x x =．对于()f x
定义域中任意的1x ，2x ，满足等式“1212()()()f x x f x f x +=⋅”的函数的序号是 A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
21．执行如图所示的程序框图．如果输出15S =，那么框图中
①处关于k 的不等式应为
A ．2k <
B ．3k <
C ．4k <
D ．5k <
22．建筑工程中，将房屋的窗户面积与地面面积之比称为“窗地面积比”．某办公室的窗户
面积为n 平方米，地面面积为m 平方米，窗地面积比为1λ．将窗户面积和地面面积同时减少a 平方米后，窗地面积比为2λ．如果a n m <<，那么 A ．12λλ≤
B ．12λλ≥
C ．12<λλ
D ．12>λλ 23．如果两点(1,1)-，(0,1)-在直线 0kx y -=的同一侧，那么实数k 的取值范围是
A ．(,1)-∞-
B ．(1,1)-
C ．(0,2]
D ．(1,)+∞
24．在直角坐标平面内，与点(0,3)A 距离为2，且与点(4,0)B 距离为3的直线共有
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
25．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，定义变换σ：将点(,)P x y 变换为点(,)P x y '''，
其中x ax by
y ax by
'=+⎧⎨
'=-⎩ （,a b 为常数）. 如果变换σ将直线2y x =上的各点均变换为该
点自身，那么a b +等于 A ．
34
B ．
54
C ．
94
D ．
114
第二部分 解答题（每小题5分，共25分）
26.（本小题满分5分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形， F 为对角线AC 与BD 的交点，E 为棱PD 的中点． （Ⅰ）证明：EF // 平面PBC ； （Ⅱ）证明：AC ⊥平面PBD ．
27.（本小题满分5分）
已知函数()sin cos f x x x =+，x ∈R ． （Ⅰ）π(
)4f = ；π
()12
f = ； （将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期．
28.（本小题满分5分）
已知{}n a 是等差数列，且210a =-，44a =-.
（Ⅰ）数列{}n a 的前5项和5S = ； （将结果直接填写在答题卡．．．
的相应位置上） （Ⅱ）数列{}n b 满足||
1
()
2
n a n b =
，*
n ∈N ，求n b 的最大值.
29.（本小题满分5分）
已知直线l 过点(0,8)P ，与圆C ：22
80x y x +-=交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）AB 的最大值为_ _； （将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）当点A 为PB 中点时，求直线l 的方程.
30.（本小题满分5分）
已知函数2
()(21)2f x ax b x a =++--，其中,a b ∈R ，且0a ≠．
（Ⅰ）当1a =-时，不等式(2)2()f x f x >的解集为 __；（将结果直接填写在答题卡．．．
的相应位置上） （Ⅱ）如果对于任意x ∈R ，都有()0f x ≤.证明：31
22
b -
≤≤； （Ⅲ）当函数()f x 在区间[3,4]上至少存在一个零点时，求2
2
a b +的最小值．
2015年北京市夏季普通高中会考
数学试卷答案及评分参考
[说明]
1．第一部分选择题，机读阅卷.
2．第二部分解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
第一部分选择题(每小题3分，共75分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D C D A A D B C
题号10 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 D C A A B B A D C
题号19 20 21 22 23 24 25
------- 答案 B B C D A C B
第二部分解答题(每题5分，共25分)
26．
27．28．
29．
30．。