2015年4月福建省普通高中毕业班质量检查文科数学
厦门市2014-2015学年第一学期高一质量检测-数学试题参考答案以及评分标准
厦门市2014-2015学年第一学期高一质量检测数学试题参考答案以及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBCBDDCCB10.解: (1)2f -=28=+--⇔c b a ----①设m c b a m f =++⇔=38)3(----②① +②得：m c b +=+222,又Z c b ∈,，所以m 一定是偶数. 二、填空题11. 36 （题目引导有误，答案46也对） 12.19 13.5614.23π 15.0 16.(2,0)-16.解：如图，根据xy 2=与x y 2log =关于y x =对称，而2+-=x y 与y x =垂直所以，两交点的中点为y x =与2y x =--的交点（-1，-1）， 即12-=+qp 所以，函数()()()f x x p x q =++的对称轴为12=+-=qp x 所以2(22)(0)f x x f ++<⇔<++⇔)2()22(2f x x f …⇔02<<-x . 三、解答题17.解：（Ⅰ）}2|{≥=x x B -----------------------------------------------------------------2分{|23}A B x x =≤< ---------------------------------------------------4分()U C A B 3}x 2|{≥<=或x x ---------------------------------------------------6分（Ⅱ）}|{a x x C >= ---------------------------------------------------8分∵B C C =，∴C B ⊆ ---------------------------------------------------10分所以2<a ---------------------------------------------------12分18.解：记甲选动车、汽车、飞机来厦门分别为事件,,A B C ．则事件,,A B C 是互斥的．---------------------------------------------------1分（Ⅰ）()()()0.6P A B P A P B +=+= ---------------------------------------------------3分又()0.3P B =∴()0.3P A = ---------------------------------------------------5分 ∴不乘动车来的概率1()0.7P P A =-= ---------------------------------------------------7分 （Ⅱ）又()()()1P A P B P C ++= ---------------------------------------------------9分∴()0.4P C = ---------------------------------------------------11分 所以()(),()()P C P A P C P B >>所以他乘飞机来的可能性最大 ---------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为4，所以全班人数为4500.08=（人），--2分 则分数落在[80,90)的学生共有50(414204)8-+++=（人）， ----------------------3分 所以分数落在[80,90)的频率为80.1650= 答：分数落在[80,90)的频率为0.16. ---------------------------------------------------4分 （Ⅱ）分数在[50,70) 的试卷共有18份，其中[)50,60 的有4份， ------------------6分现需抽取容量为9的样本，根据分层抽样原理，在[)50,60中应抽取的份数为49218⨯= 答：在[)50,60中，应抽取2份； --------------------------------------------------8分 （Ⅲ）分数分布在[]90,100的学生一共有4人，现从中抽取2人，可能的分数的组合为{}{}{}{}{}{}95,96,95,97,95,99,96,97,96,99,97,99故基本事件总数为6n = -------------------------------------------------10分 设事件A 表示“成绩99分的同学被选中”，则事件A 包含的基本事件为{}{}{}95,99,96,99,97,99 ，3A n =-------------------------------------------------11分根据古典概型概率公式有：31()62A n P A n ===. 答：成绩为99分的同学被选中的概率为12-------------------------------------------------12分20.（Ⅰ）证明：连结1EDM 是1DD 的中点，114DD AA ==12BE MD ∴==又1//BE MD ---------------------------------------------2分∴四边形1D MBE 是平行四边形 --------------------------------------------3分1//BM ED ∴-----------------------------4分 又1ED ⊂平面11A EFD ，BM ⊄平面11A EFD ----------------------------------------5分∴BM ∥平面11A EFD -------------6分（Ⅱ）解：依题意，得此多面体11ABEA DCFD -是一个四棱柱， 底面1ABEA 是梯形 ---------------------9分底面积1(24)6182S =+⋅=高4h AD ==118472ABEA V Sh ==⋅=四棱柱 -----------12分21.解：（Ⅰ）依题意，得25(1415%)10⨯-⨯=此人得到的卖车款是10万元 --------------------------------------4分（Ⅱ）421.25,(01)17.5,(12)13.75,(23)10,(34)210(),(410,)3x x x y x x x x N -⎧⎪<≤⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪⎪⋅<≤∈⎪⎩-------------------------------------9分（Ⅲ）依题意，得4210()43x -⋅≥2344log ()10x ∴-≤ 234lg 4120.31log ()210lg 2lg 30.30.5-⋅-=≈=--6x ∴≤ -------------------------------------12分2014+6=2020因为，超过n 年不到1n +年的按1n +年计算所以，最迟应该在2020年元旦前（或2019年）卖车 --------------------------------14分D 1MA 1EDFC BA22.解：（Ⅰ）函数2()1x nf x x +=+为定义在R 上的奇函数，(0)0f n ∴==--------------2分2(),1x f x x ∴=+22(),11x xf x x x --==-++满足()()0,f x f x +-=故当且仅当0.n =时2()1xf x x =+为奇函数 -------------------------------------3分（Ⅱ）依题意，即满足对任意]1,0[1∈x ，“21()()g x f x >在]1,0[2∈x 上有解”即满足2max 1()()g x f x >在]1,0[1∈x 上恒成立 即满足2max 1max()()g x f x >-------------------------------------5分对于函数2()1xf x x =+， 不妨设1201x x ≤<≤1212211222221212(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ ∵1201x x ≤<，210x x ->， ∴12()()0f x f x -<，∴2()1xf x x =+在[0,1]x ∈上单调递增，1max 1()(1)2f x f == ------------------------------------7分对于二次函数2()22g x x x λλ=--，对称轴为x λ= ⑴当12λ≥时，2max ()(0)2g x g λ==- 令122λ->得14λ<-，与12λ≥不合，舍去； ⑵当12λ<时，2max ()(1)14g x g λ==- 令1142λ->得18λ<.综上所述，符合要求的λ范围是18λ<------------------------------------9分（Ⅲ）方程12|()|log ||f x x = 只有1个实数解。
厦门市2015—2016学年度第一学期高二年级质量检测数学(
厦门市2015—2016学年度第一学期高二年级质量检测数学（文科）参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）12.设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=.又211222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴21212()1y y x x ⋅=⋅=即121y y ⋅=-，∴12120x x y y ⋅+⋅=， 即OA OB ⊥.设33(,)C x y 、44(,)D x y ，直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-.由21y x y k x ⎧=⎨=⎩得00x y =⎧⎨=⎩或21111x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k .由221(2)4x y yk x ⎧-+=⎨=⎩得00x y =⎧⎨=⎩或211214141x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩即1221144(,)11k D k k ++， 同理2222244(,)11k E k k ++.∴OA =，OB = OD =OE =∴221122221211111(1)(1)2(1)(1)12116161642OABODEk k OA OB S k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．,x R ∀∈21xx ≠+； 14．815y x =- ； 15．3λ<； 16．20． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，或演算步骤）． 17．本题考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力.考查化归与转化思想、方程思想．满分10分. 【解析】(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .364,32a a ==，解得12,1q a ==， ··································· 3分 1112n n n a a q --∴==. ······················································· 4分(Ⅱ)设等差数列{}n b 的首项为1b ，公差为d .4145b =+=，21b =，∴4224,d b b =-=即2d =，11=-b ， ·········· 6分∴23n b n =-， ··································································· 7分 ∴数列{}+n n a b 的前n 项和为11()(1)12n n n n b b a q T q +-=+-12(123)122n n n --+-=+- ···························································· 9分 2221n n n =+-- . ···································································· 10分18．本题考查正弦、余弦定理和解三角形等基础知识，考查运算能力、思维分析能力，考查化归与转化思想、方程思想、分类讨论思想．本题满分12分．【解析】(Ⅰ) 由正弦定理，结合条件：sin (sin sin c C a A b B ⋅⋅⋅＝＋(可得，2(a c b a b -⋅=⋅＋( ································· 2分22a b =＋22b b a =＋．222b a c ∴＋-， ··········································································· 4分2222a c ab b ==＋-，即 cos C =，0C π<<，6C π∴=． ········· 6分(Ⅱ)法一：由余弦定理，结合条件：32=a ，2c =, 又由(Ⅰ)知6C π=，可得 2222cos c a b ab C =+-，∴24122b =+-⋅，即2680b b -+=， ··········· 8分 解得2b =或4b =，经检验，两解均有意义． ··········· 11分综上，ABC ∆周长为4+6+ ··· 12分法二：由正弦定理，结合条件：32=a ，2c =,又由(Ⅰ)知6C π=，可得1sin 2sin 2a C A c === ············································ 7分 a c > A C ∴> 3A π∴=或23π，从而2B π=或6π. ······························· 8分当2B π=时，ABC ∆为直角三角形，4b ∴=，ABC ∴∆周长为6+ 当6B π=时，ABC ∆为等腰三角形，2b c ∴==，ABC ∴∆周长为4+ 11分综上，ABC ∆周长为4+6+ ··· 12分 19．本题考查抛物线定义，直线与抛物线关系，考查运算求解能力．考查化归与转化思想、数形结合思想、分类讨论思想．本题满分12分．【解析】(Ⅰ)由题意得，M 到点（3,0）的距离与到直线3x =-的距离都等于半径，由抛物线的定义可知， C 的轨迹是抛物线，设其方程为22y px =，32p=， ∴M 的轨迹方程为212y x =． ··································· 3分 (Ⅱ)法一：显然斜率不为0，设直线l ：6x ty =+，11(,)A x y 、22(,)B x y2AP PB =，∴1122(6,)2(6,)x y x y --=-，∴122y y =-， ···················· 6分 由2126y x x ty ⎧=⎨=+⎩得212720y ty --=∴12121272y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ································ 8分又122y y =-，∴ 121260.5y y t =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或121260.5y y t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ， ······································ 10分∴ 直线l 的方程是212y x =-或212y x =-+． ·································· 12分法二：①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =6，显然不成立． ················ 4分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(6)y k x =-，11(,)A x y 、22(,)B x y ，2AP PB =， ∴1122(6,)2(6,)x y x y --=-，∴12218x x +=， ··············· 7分由212(6)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222212(1)360k x k x k -++=，∴21221212(1)36k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩， ·· 9分 ∴121232x x k =⎧⎪=⎨⎪=±⎩······················································································ 11分 ∴直线l 的方程是212y x =-或212y x =-+． ·············· 12分20.本题考查等差等比数列的定义、性质，等差等比数列的综合运用，及求数列的前n 项和，考查运算求解能力．考查化归与转化思想、方程思想．本题满分12分. 【解析】（I ）13,,n n a a +成等差数列，1123,32(3),n n n n a a a a ++∴=+∴-=- ··· 2分 即11323n n n n b a b a ++-==-，又131a -=，······································· 4分 ∴{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列. ··································· 5分（II ）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列,∴132n n n b a -=-=，即123n n a -=+. ··················································· 7分 又22log (26)log 2n n n c a n =-==, ··············································· 8分212111111()(21)(21)22121n n c c n n n n -+∴==--+-+, ······································· 9分 13352121111n n n T c c c c c c -+∴=+++111111(1)23352121n n =-+-++--+ ················································· 10分 111(1)2212n =-<+.······························································ 12分 21．本题考查解二次不等式、利用二次函数和基本不等式求最值，考查数学建模能力，信息处理能力和运算能力，考查化归转化思想、数形结合思想、函数方程思想和分类讨论思想．本题满分12分． 【解析】（Ⅰ）设该企业计划在A 国投入的总成本为()Q x （亿元）， 则当010x ≤≤时，25()1644x x Q x =++，依题意：25()51644x x Q x =++≤, ············································· 1分 即24600x x +-≤，解得106x -≤≤, ··················· 3分 结合条件010x ≤≤，06x ∴≤≤.················· 4分 （Ⅱ）依题意，该企业计划在A 国投入的总成本为25,010,1644()42,10.5x x x Q x x x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩5分 则平均处理成本为251,010,()1644421,10.5x x Q x x x x x x⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩ ·········· 6分(i) 当010x ≤≤时，()51116444Q x x x x =++≥=5164x x =，即x =min()Q x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ·············· 8分 (ii) 当10x >时， 22()42119914()520100Q x x x x x =-+=-+, ∴当1120x =即x =20时，min ()99100Q x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. ············· 10分 ∴当x =min()Q x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ···················· 11分 答：（Ⅰ）该工艺处理量x 的取值范围是06x ≤≤.（Ⅱ）该企业处理量为亿元. ······························································································· 12分 22．本题考查曲线的轨迹方程、直线和椭圆的位置关系、弦长公式、定点定值问题等知识，考查运算求解能力，探究论证能力．考查化归与转化思想、数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想．本题满分12分． 【解析】（I ）设M 的坐标为(,)x y ，则1A M k x =≠，2A M k x =≠，12=-(x ≠， ········································· 1分化简得点M的轨迹方程是221(2x y x +=≠． ····································· 3分 （Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，PQ = ···································· 4分②当直线l 的斜率存在时，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为：(1)y k x =-，则2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(21)4220k x k x k +-+-=，∴212221224212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， · 6分222)1)2121k PQ k k +===+>++ ·· 7分综上所述，PQ． ··············· 8分（Ⅲ）假设点N 存在，由椭圆的对称性得，则点N 一定在x 轴上，不妨设点(,0)N n ，当直线l 的斜率存在时，由（Ⅱ）得212221224212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∴22121212122(1)(1)[()1]21k y y k x k x k x x x x k ⋅=--=⋅-++=-+，11(,)NP x n y =-，22(,)NQ x n y =-，∴21212121212()()()NP NQ x n x n y y x x n x x n y y ⋅=-⋅-+⋅=⋅-+++⋅∴22222222222224(241)221212121k k k n n k n NP NQ n n k k k k --++-⋅=-+-=++++ ·· 10分 对于任意的k ，0NP NQ ⋅=，∴22241020n n n ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， ······························· 11分方程组无解，∴点N 不存在．综上所述，不存在符合条件的点N ． ············································· 12分。
2015年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年福建，文1，5分】若()()1i 23i i a b ++-=+（,a b R ∈，i 是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）（A ）3,-2 （B ）3,2 （C ）3,-3 （D ）-1,4 【答案】A【解析】由已知得32i i a b -=+，故3a =，2b =-，故选A ． （2）【2015年福建，文2，5分】若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ）（A ）{}0 （B ）{}1 （C ）{}0,1,2 （D ）{}0,1 【答案】D【解析】由交集定义得{}0,1MN =，故选D ．（3）【2015年福建，文3，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A ）y x = （B ）x y e = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=-【答案】D【解析】函数y x =和x y e =是非奇非偶函数；cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．（4）【2015年福建，文4，5分】阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）（A ）2 （B ）7 （C ）8 （D ）128 【答案】C【解析】该程序表示分段函数2292x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则()1918f =-=，故选C ．（5）【2015年福建，文5，5分】若直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1，则a b +的最小值等于（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【解析】由已知得111a b +=，则()112b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因此0,0a b >>，所以2b a b a a b a b +≥⋅=，故4a b +≥，当b aa b=，即2a b ==时取等号，故选C ．（6）【2015年福建，文6，5分】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）（A ）125 （B ）125- （C ）512 （D ）512-【答案】D【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin 5tan cos 12ααα==-，故选D ． （7）【2015年福建，文7，5分】设()1,2a =，()1,1b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） （A ）32- （B ）53- （C ）53（D ）32【答案】A【解析】由已知得()()()1,21,11,2c k k k =+=++，因为b c ⊥，则0b c ⋅=，因此120k k +++=，解得32k =-，（8）【2015年福建，文8，5分】如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为()1,0．且点C与点D 在函数()101102x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ）（A ）16（B ）14 （C ）38（D ）12【答案】B【解析】由已知得()1,0B ，()1,2C ，()2,2D -，()0,1F ，则矩形ABCD 面积为326⨯=，阴影部分面积为133122⨯⨯=， 故该点取自阴影部分的概率等于31264=故选B ．（9）【2015年福建，文9，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）（A ）822+ （B ）1122+ （C ）1422+ （D ）15 【答案】C【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1,2，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为22422822+++=+，所以该几何体的表面积为1122+，故选C ．（10）【2015年福建，文10，5分】变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y=-的 最大值为2，则实数m 等于（ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 【答案】C 【解析】将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22,2121m B m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭．显然()0,0O 不是最优解，故只能22,2121m B m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭是最优解，代入目标函数得4222121m m m -=--，解得1m =，故选C ． （11）【2015年福建，文11，5分】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）（A ）30,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ （B ）30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭（D ）3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ，则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设()0,M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，03c <≤，所以椭x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC心率的取值范围是⎛ ⎝⎦，故选A ． （12）【2015年福建，文12，5分】“对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1k <，sin cos sin 22k k x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则()cos 210f x k x '=-<．故()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，故()022f x f ππ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，则sin cos k x x x =；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数()1sin 22g x x x =-，则()cos 210g x x =-<，故()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭递增，故()022g x g ππ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2015年福建，文13，5分】某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 ． 【答案】25【解析】由题意得抽样比例为45190020=，故应抽取的男生人数为15002520⨯=．（14）【2015年福建，文14，5分】若ABC ∆中，AB 45A ∠=︒，75C ∠=︒，则BC 等于 ．【解析】由题意得18060B A C ∠=︒-∠-∠=︒．由正弦定理得sin sin AC BC B A =∠∠，则sin sin AC ABC B∠=∠，所以BC ==（15）【2015年福建，文15，5分】若函数()()2x af x a R -=∈满足()()11f x f x +=-，且()f x 在[),m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于 ． 【答案】1【解析】由()()11f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则()12x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[)1,+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1．（16）【2015年福建，文16，5分】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 ． 【答案】9【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=，当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年福建，文17，12分】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++的值．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．（2）由（1）可得2n n b n =+．所以()()()()()()2310231012310212223210222212310b b b b +++=++++++++=+++++++++()()()1011112121101022552532101122-+⨯=+=-+=+=-．（18）【2015年福建，文18，12分】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号 分组 频数1 [)4,5 22 [)5,6 83 [)6,7 7 4[]7,83（1）现从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 解：解法一：（1）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共9个．所以所求的概率910P =． （2）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.55.56.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：（1）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为 1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,B B ，共1个．所以所求的概率1911010P =-=． （2）同解法一． （19）【2015年福建，文19，12分】已知点F 为抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点()2,A m在抛物线E 上，且3AF =．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点()1,0G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相 切的圆，必与直线GB 相切．解：解法一：（1）由抛物线的定义得22p AF =+．因为3AF =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =．（2）因为点()2,A m 在抛物线2:2E y px =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ． 由()2,22A ，()1,0F 可得直线AF 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又()1,0G -，所以()22022213GA k -==--，()20221312GB k --==---， 所以0GA GB k k +=，从而AGF BGF ∠=∠，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法二：（1）同解法一．（2）设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ．因为点()2,A m 在抛物线2:4E y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ．由()2,22A ，()1,0F 可得直线AF 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又()1,0G -，故直线GA 的方程为223220x y -+=，从而2222428917r +==+．又直线GB 的方程为223220x y ++=，所以点F 到直线GB 的距离2222428917r r +===+．这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．（20）【2015年福建，文20，12分】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==． （1）若D 为线段AC 的中点，求证AC ⊥平面PDO ； （2）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （3）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值． 解：解法一：（1）在AOC ∆中，因为OA OC =，D 为AC 的中点，所以AC OD ⊥．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO AC ⊥．因为DO PO O =，所以AC ⊥平面PDO ．（2）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=．又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为111133⨯⨯=．（3）在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=．同理2PC =， 所以PB PC BC ==．在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值． 又因为OP OB =，C P C B ''=，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而2626222OC OE EC +''=+=+=，亦即CE OE +的最小值为262+． 解法二： （1）（2）同解法一．（3）在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以45OPB ∠=︒，22112PB =+=．同理2PC =． 所以PB PC BC ==，所以60CPB ∠=︒．在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值．所以在OC P'∆中，由余弦定理得：()2212312212cos 45601222232222OC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯︒+︒=+-⨯-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭． 从而26232OC +'=+=．所以CE OE +的最小值为262+． （21）【2015年福建，文21，12分】已知函数()2103sin cos 10cos 222x x xf x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （i ）求函数()g x 的解析式；（ii ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．解：（1）()2103sin cos 10cos 53sin 5cos 510sin 52226x x x f x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期2T π=． （2）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由4352<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-()k Z ∈时，均有4sin 5x >．因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．（22）【2015年福建，文22，14分】已知函数()()21ln 2x f x x -=-．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）证明：当1x >时，()1f x x <-；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．解：（1）()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得0x <<．故()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝⎭．（2）令()()()1F x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21x F x x -'=．当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()10F x F <=，即当1x >时，()1f x x <-．（3）由（2）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()1G x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()21111x k x G x x k x x-+-+'=-+-=．由()0G x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()0G x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增．从而当()21,x x ∈时，()()10G x G >=，即()()1f x k x >-，综上，k 的取值范围是(),1-∞．。
2015年福建省高考语文试卷
2015年福建省高考语文试卷一、古代诗文阅读（27分）1．（6分）默写常见的名句名篇中的空缺部分。
（1）入则无法家拂士，，国恒亡。
（孟子《生于忧患，死于安乐》）（2）师者，。
（韩愈《师说》）（3）宁溘死以流亡兮，。
（屈原《离骚》）（4），长河落日圆。
（王维《使至塞上》）（5），家书抵万金。
（杜甫《春望》）（6）夕阳西下，。
（马致远《天净沙•秋思》）二、文言文阅读2．（15分）阅读下面的文言文，完成下列各题。
与王昆绳书①[清]方苞苞顿首：自斋中交手，未得再见。
接手书，义笃而辞质。
虽古之为交者，岂有过哉！苞从事朋游间近十年，心事臭味相同，知其深处，有如吾兄者乎！出都门，运舟南浮，去离风沙尘埃之苦，耳目开涤；又违膝下色养②久，得归省视，颇忘其身之贱贫。
独念二三友朋，乖隔异地，会合不可以期，梦中时时见兄与褐甫③辈抵掌今故，酣嬉笑呼，觉而怛然增离索之恨。
苞以十月下旬至家，留八日，便饥驱宣、歙，间入泾河。
路见左右高峰刺天，水清泠见底，崖岩参差万叠，风云往还，古木、奇藤、修篁郁盘有生气。
聚落居人，貌甚闲暇。
因念古者庄周、陶潜之徒，逍遥纵脱，岩居而川观，无一事系其心。
天地日月山川之精，浸灌胸臆，以郁其奇，故其文章皆肖以出。
使苞于此间得一亩之宫、数顷之田，耕且养，穷经而著书，胸中豁然，不为外物侵乱，其所成就，未必遂后于古人。
乃终岁仆仆，向人索衣食，或山行水宿，颠顿怵迫，或胥易技系④，束缚于尘事，不能一日宽闲其身心。
君子固穷，不畏其身辛苦憔悴，诚恐神智滑昏，学殖荒落，抱无穷之志而卒事不成也。
苞之生二十六年矣。
使蹉跎昏忽，常如既往，则由此而四十、五十，岂有难哉！无所得于身，无所得于后，是将与众人同其蔑蔑⑤也。
每念兹事，如沉疴之附其身，中夜起立，绕屋彷徨。
仆夫童奴怪诧不知所谓。
苞之心事，谁可告语哉？吾兄其安以为苞策哉！吾兄得举。
士友间鲜不相庆，而苞窃有惧焉。
退之⑥云：“众人之进，未始不为退。
”愿时自觉也。
苞迩者欲穷治诸经，破旧说之藩篱，而求其所以云之意。
2015年福建高考数学含答案(word版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工类） 第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则AB 等于A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.φ 2、下列函数为奇函数的是 A.y x =B.sin y x =C.cos y x =D.x x y e e -=-3、若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于A.11B.9C.5D.34、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元） 8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归本线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5、若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于A.52-B.2-C.32- D.2 6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D.1-7、若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8、若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.99、已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4A B A C AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于 A.13 B.15 C.19 D.2110、若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是 A.11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B.111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C.1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 .（用数字作答）12、若锐角ABC ∆ 的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于 .13、如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .14、若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 .15、一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n =称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕= .现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 .16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望.17.如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEG ，BE ^EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.(1)求证：GF 平面ADE (2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.18. 已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点(0,2），且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程； (2)设直线1x my m R =- ，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0) 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.(1)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b 1)求实数m 的取值范围；2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(20.已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R = (1)证明：当0x x x ><时，f()；(2)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(3)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<.21.本题设有三个选考题，请考生任选2题作答. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵2111,.4301A B 骣骣琪琪==琪琪-桫桫(1)求A 的逆矩阵1A -； (2)求矩阵C ，使得AC=B.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为2sin()m,(m R).4pr q -= (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.选修4-5：不等式选讲已知函数()||||f x x a x b c =++++的最小值为4.(1)求a b c ++的值; (2)求2221149a b c ++的最小值为.数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。
19 抛物线-最新高考文科数学备考学习资料复习
考点1 抛物线的定义及方程题组一 抛物线的定义的应用 调研1 已知抛物线的焦点为,其上有两点满足,则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由抛物线的定义可知()221212122AF BF y y x x -=-=-=,则,所以==.☆技巧点拨☆抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF px =+或2PF py =+，使问题简化． 抛物线的定义常在高考中作为转为问题的工具，需熟练掌握.题组二 求抛物线的方程调研 2 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离与椭圆22194x y +=的长轴长相等,则抛物线的标准方程为__________. 【答案】212y x =【解析】在椭圆22194x y +=中，3a =，2b =，故长轴长为6，由抛物线的焦点F 到准线的距离与椭圆的长轴长相等可得6p =，故抛物线的标准方程为212y x =.调研3 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b -=的一个焦点，抛物线与双曲线的交点为32P ⎛ ⎝，求抛物线方程和双曲线方程. 【解析】依题意设抛物线方程为()220y px p =>，∵点32P ⎛⎝在抛物线上，∴3622p =⨯，解得2p =，∴所求抛物线方程为24y x =. 故抛物线的准线方程为1x =-，∵双曲线的左焦点在抛物线的准线上，∴1c =，故221a b +=，又点32⎛⎝在双曲线上，∴229614a b -=，2213,44a b ==. ∴所求双曲线方程为224413x y -=.☆技巧点拨☆高考中常求抛物线的方程，一般会与其他知识相结合，求抛物线方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.考点2 抛物线的性质题组一 焦点弦问题调研1 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为________． 【答案】8【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 题组二 最值问题 调研 2已知抛物线的焦点为,准线为,且过点在抛物线上,若点,则的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由题可得,.由抛物线的定义可知,,所以=.故选B ．调研3 已知定点()3,4A ，点P 是抛物线24y x =上一动点，点P 到直线1x =-的距离为d ，则PA d +的最小值是_______ .【答案】【解析】点A 是抛物线24y x =外一点，所以PA d +PF PA AF =+≥==仅当点P 为线段AF 与抛物线的交点时取等号，故PA d +的最小值是☆技巧点拨☆有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E （E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.1．（2017-2018学年重庆市九校联盟高三上学期第一次联合考试）已知抛物线=经过点,则该抛物线的焦点到准线的距离等于 A ． B ． C ．D ．12．（北京市丰台区2018年高三年级一模数学）已知抛物线C 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则C 的标准方程为 A ．28y x = B ．28x y =-C ．2y =D ．2x =3．（吉林省吉林市2018届高三第三次调研考试数学）以抛物线28y x =上的任意一点为圆心作圆与直线2x =-相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是A ．()0,2B ．()2,0C ．()4,0D ．()0,44．(2017河南八市联考)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是 A ．72B ．3C ．52D ．25．（2018届河北省武邑中学高三上学期第五次调研考试）已知抛物线的焦点为,其准线与双曲线223=1y x -相交于两点,若MNF △为直角三角形,其中为直角顶点,则A ．B ．C ．D ．66．（2017-2018学年湖南省长沙市第一中学高三高考模拟卷）已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点在抛物线上,且,则AFK △的面积为A ．4B ．6C ．8D ．127．（上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）数学）抛物线212x y =的准线方程为__________. 8．（河北省保定市2018届高三第一次模拟考试数学）抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则a =__________．9．（河南省2018届普通高中毕业班4月高考适应性考试数学）已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则线段的中点的横坐标为__________．10．（2018届安徽省安庆市高三二模考试）设抛物线的焦点为点在抛物线上,且满足若32AF =uuu r ，则的值为__________.11．（云南省保山市2018届普通高中毕业生第二次市级统测）已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，点A 的坐标为()2,6，点P 是C 上的任意一点，当P 在点1P 时，PF PA -取得最大值；当P 在点2P 时，PF PA -取得最小值，则1P ，2P 两点间的距离为__________．12．（2017-2018学年福建省高三毕业班第三次质量检查）已知抛物线上的点到点距离的最小值为.(1)求抛物线的方程; (2)若,圆,过作圆的两条切线分别交轴于两点,求MAB △面积的最小值.1．（2016新课标全国II 文科）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =A ．12 B ．1 C ．32D ．22．（2015新课标全国I 文科）已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|= A ．3 B ．6 C ．9D ．123．（2016新课标全国III 文科）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.。
福建省福州市2015届高三上学期教学质量检查数学文试题 Word版含答案
第4题图福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查文科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差s =其中x 为样本平均数.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． lg3lg 2+的值是（ ）．A ．3lg 2B ．lg 5C ．lg 6D ．lg 92． 在复平面内，两共轭复数所对应的点（ ）．A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称3． 已知集合{}A x x =≤1．若B A ⊆，则集合B 可以是（ ）．A ．{}2x x ≤B ．{}1x x >C ．{}0x x ≤D ．R4． 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A ．8 B ．15 C ．29D ．365． “0,0a b >>”是“2b aa b+≥”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6． 若ABC ∆中60B =︒，点D 为BC 边中点，且2AD =,120ADC ∠=︒，则ABC ∆的面积等于（ ）．A ．2B ．3CD ．7． 甲、乙两人在一次射击测试中各射靶10次，如图分别是这两人命中环数的直方图，若他们的成绩平均数分别为1x 和2x ，成绩的标准差分别为1s 和2s ，则（ ）．A ．12x x =，12s s >B ．12x x =，12s s <C ．12x x >，12s s =D ．12x x <，12s s =8． 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30 B ．0.35 C ．0.40 D ．0.65 9． 已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为（ ）．A ．1B ．3C ．3+D ．6+10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S 的值为（ ）．A ．2015B ．2013C ．1008D ．100711．已知平面内,A B 两点的坐标分别为()2,2,()0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1BP =，则OA OP +的最小值是（ ）．A ．3B ．1CD ．012．已知函数()ln xf x x=，有下列四个命题： 1p ：0x +∀∈R ,x +∀∈R ,()()0022f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭； 2p ：0x ∃∈+R ,x +∃∈R ,()()0022f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭； 3p ：0x +∀∈R ,x +∃∈R ，()()()000f x x f x f x x+-'<；4p ：0x ∃∈+R ,x +∀∈R ，()()()000f x x f x f x x+-'>．其中的真命题是（ ）． A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p第II 卷（非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，满分 16 分．请把答案填在下面横线上．13． 已知点()1,0A -,()1,2B ,()3,1C -，点(),P x y 为ABC ∆边界及内部（如图阴影部分）的任意一点，则2z x y =-的最小值为 ★★★ ．14．若函数()3213f x mx x m =+-在1x =处取得极值，则实数m 的值是 ★★★ ． 15． 如图所示，1OA =，在以O 为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B ，则AOB ∆的面积小于14的概率为 ★★★ ． 16． 已知,,αβγ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据： ①sin ,sin ,sin αβγ； ②222sin ,sin ,sin αβγ； ③222cos,cos ,cos 222αβγ； ④tan,tan,tan222αβγ．分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ★★ ★ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，1a ,2a 是方程2320x x -+=的两根． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18． （本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下22⨯列联表：别有关”？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++第15题图第13题图19．（本小题满分12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作一条直线l 与抛物线交于(1,A x 点．（Ⅰ）求以点F 为圆心，且与直线y x =相切的圆的方程；（Ⅱ）从1212,,,,1,2x x y y 中取出三个量，使其构成等比数列，20． （本小题满分12分）函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值记为()g m ． （Ⅰ）若04m <≤，求函数()g m 的解析式； （Ⅱ）定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()h x ()()4h t h >，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数π()2sin 4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点.（Ⅰ）求证：OPQ ∆为等腰直角三角形.（Ⅱ）将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角π04αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，得到OP Q ''∆，若点P '恰好落在曲线2y x=()0x >上（如图所示），试判断点Q '是否也落在曲线2y x =()0x >上，并说明理由．22． （本小题满分14分）已知函数()()e cos ,sin x f x x g x x x =⋅=⋅，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()f x g x m +≥恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）试探究当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=解的个数，并说明理由．第21题图福州市2014―2015学年度第一学期高三质量检查文科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分． 1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D 7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．13．3- 14．2- 15．1316．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本题主要考查一元二次方程的根、等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根为1,2，由题意得11a =,22a =． ··························· 2分 设数列{}n a 的公差为d ，则211d a a =-=， ······································································ 4分 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ··················································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1111111n n a a n n n n +==-++， ······························································· 8分 所以12231111...n n n S a a a a a a +=++111111...2231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭······························ 10分 1111nn n =-=++． ······························································ 12分 18．本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战． 这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ··································································· 2分 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种. ·································································································································· 4分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==. ······················································ 6分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C , (),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， ·································································· 7分根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为： k ()()()()()()2210045152515251.796040703014n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯． ······················· 10分 （说明：k 表示成2K 不扣分）．因为1.79 2.706<，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． ····························································································································· 12分 19．本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，点F 的坐标为()1,0． ······································································ 2分点F 到直线y x =的距离d =， ···································································· 4分 所以所求圆的方程为()22112x y -+=． ·············································································· 6分（Ⅱ）解答一：12,2,y y 成等比数列，（或21,2,y y 成等比数列）理由如下： ·········· 7分设直线l 的方程为1x my =+． ····························································································· 8分由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得，2440y my --=． ···································································· 10分 所以124y y =-，即2122y y ⋅=， ······················································································ 11分 所以12,2,y y 成等比数列（或21,2,y y 成等比数列）． ················································ 12分 解答二：12,1,x x 成等比数列，（或21,1,x x 成等比数列）理由如下： ································ 7分 设直线l 的方程为1x my =+． ····························································································· 8分由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y 得，()222410x m x -++=． ························································· 10分所以21211x x ==， ················································································································ 11分所以12,1,x x 成等比数列（或21,1,x x 成等比数列）． ·························································· 12分 20．本题主要考查二次函数、一元二次函数的最值、分段函数的单调性、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（Ⅰ）因为()()20f x x mx m =->，所以()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ························· 2分所以()f x 在区间[]0,2上的最小值记为()g m ，所以当04m <≤时，022m<≤，故()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ······································ 4分 （Ⅱ）当4m >时，函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-； ······························································································ 5分 结合（Ⅰ）可知，()2,04,442, 4.m m g m m m ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ······································································ 6分因为0x >时，()()h x g x =，所以0x >时，()2,04,442, 4.x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ····························· 7分易知函数()h x 在()0,+∞上单调递减， ··········································································· 8分 因为定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h >，所以()()4h t h >，所以04t <<， ··············································································· 10分 所以0,||4,t t ≠⎧⎨<⎩即044t t ≠⎧⎨-<<⎩，从而404t t -<<<<或0． 综上所述，所求的实数t 的取值范围为()()4,00,4-． ···································· 12分 21．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解：（Ⅰ）因为函数()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期2π8π4T ==， ··································· 1分所以函数()f x 的半周期为4，故4OQ =． ··························································································································· 2分 又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P 坐标为()22,，故OP = ············································································· 3分又因为Q 坐标为(4,0)，所以PQ所以222OP PQ OQ +=且OP PQ =，所以OPQ ∆为等腰直角三角形. ···················· 5分 （Ⅱ）点Q '不落在曲线2y x=()0x >上.············································································ 6分 理由如下：由（Ⅰ）知，OP =4OQ =所以点P ',Q '的坐标分别为44αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,， ···· 8分因为点P '在曲线2y x =()0x >上，所以π28cos sin 4sin 24cos 2442ααααππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1cos22α=，又02απ<<，所以sin 2α=. ····························································· 10分又4cos 4sin 8sin 282ααα⋅===. 所以点Q '不落在曲线2y x=()0x >上．············································································ 12分22．本题主要考查函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，()00e cos01f ==， ········································································· 1分()()e cos e sin ,01x x f x x x f ''=-=． ···················································································· 2分 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． ··········································· 3分 （Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，min [()()]m f x g x -≤． ··············································· 4分设()()()h x f x g x =-，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤， ············································· 5分所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， ···································································· 6分 因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ················································· 7分所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ························································ 8分（Ⅲ）设()()()H x f x g x =-，ππ[,]22x ∈-．①当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，由（Ⅱ）知，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又()010,022H H ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭ππ，而且函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ······················································· 10分②当π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()f x g x >恒成立．证明如下：设π()e ,[0,]4x x x x ϕ=-∈，则()e 10x x '=-ϕ≥，所以()x ϕ在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()(0)1x ϕϕ>=，所以e 0x x >>，又π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0x x >≥，所以e cos sin x x x x ⋅>，即()()f x g x >．故函数()H x 在π0,4⎛⎤⎥⎝⎦上没有零点． ·················································································· 12分③当ππ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H =->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的， 因此，函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有一个零点．综上所述，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=有两个解． ········································· 14分。
福建省福州市2015届高三上学期教学质量检查数学文试题 扫描版含答案
福州市2014―2015学年度第一学期高三质量检查文科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分．1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．13．3- 14．2- 15．1316．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本题主要考查一元二次方程的根、等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根为1,2，由题意得11a =,22a =． ··························· 2分 设数列{}n a 的公差为d ，则211d a a =-=， ······································································ 4分 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ··················································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1111111n n a a n n n n +==-++， ······························································· 8分 所以12231111...n n n S a a a a a a +=++111111...2231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭······························ 10分 1111nn n =-=++． ······························································ 12分 18．本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战． 这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ··································································· 2分 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种. ·································································································································· 4分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==. ······················································ 6分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C , (),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， ·································································· 7分根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为： k ()()()()()()2210045152515251.796040703014n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯． ······················· 10分 （说明：k 表示成2K 不扣分）．因为1.79 2.706<，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． ····························································································································· 12分 19．本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，点F 的坐标为()1,0． ······································································ 2分 点F 到直线y x =的距离d =， ···································································· 4分 所以所求圆的方程为()22112x y -+=． ·············································································· 6分（Ⅱ）解答一：12,2,y y 成等比数列，（或21,2,y y 成等比数列）理由如下： ·········· 7分设直线l 的方程为1x my =+． ····························································································· 8分由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得，2440y my --=． ···································································· 10分所以124y y =-，即2122y y ⋅=， ······················································································ 11分 所以12,2,y y 成等比数列（或21,2,y y 成等比数列）． ················································ 12分 解答二：12,1,x x 成等比数列，（或21,1,x x 成等比数列）理由如下： ································ 7分 设直线l 的方程为1x my =+． ····························································································· 8分 由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y 得，()222410x m x -++=． ························································· 10分 所以21211x x ==， ················································································································ 11分所以12,1,x x 成等比数列（或21,1,x x 成等比数列）． ·························································· 12分 20．本题主要考查二次函数、一元二次函数的最值、分段函数的单调性、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（Ⅰ）因为()()20f x x mx m =->，所以()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ························· 2分所以()f x 在区间[]0,2上的最小值记为()g m ，所以当04m <≤时，022m <≤，故()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ······································ 4分（Ⅱ）当4m >时，函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-； ······························································································ 5分 结合（Ⅰ）可知，()2,04,442, 4.m m g m m m ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ······································································ 6分因为0x >时，()()h x g x =，所以0x >时，()2,04,442, 4.x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ····························· 7分易知函数()h x 在()0,+∞上单调递减， ··········································································· 8分 因为定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h >，所以()()4h t h >，所以04t <<， ··············································································· 10分 所以0,||4,t t ≠⎧⎨<⎩即044t t ≠⎧⎨-<<⎩，从而404t t -<<<<或0． 综上所述，所求的实数t 的取值范围为()()4,00,4-． ···································· 12分 21．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解：（Ⅰ）因为函数()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期2π8π4T ==， ··································· 1分 所以函数()f x 的半周期为4，故4OQ =． ··························································································································· 2分 又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P 坐标为()22,，故OP = ············································································· 3分又因为Q 坐标为(4,0)，所以PQ所以222OP PQ OQ +=且OP PQ =，所以OPQ ∆为等腰直角三角形. ···················· 5分 （Ⅱ）点Q '不落在曲线2y x=()0x >上.············································································ 6分 理由如下：由（Ⅰ）知，OP =4OQ =所以点P ',Q '的坐标分别为44αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,， ···· 8分因为点P '在曲线2y x =()0x >上，所以π28cos sin 4sin 24cos 2442ααααππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1cos22α=，又02απ<<，所以sin 2α=. ····························································· 10分又4cos 4sin 8sin 282ααα⋅===. 所以点Q '不落在曲线2y x=()0x >上．············································································ 12分22．本题主要考查函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，()00e cos01f ==， ········································································· 1分()()e cos e sin ,01x x f x x x f ''=-=． ···················································································· 2分 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． ··········································· 3分 （Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，min [()()]m f x g x -≤． ··············································· 4分设()()()h x f x g x =-，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤， ············································· 5分所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， ···································································· 6分 因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ················································· 7分所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ························································ 8分（Ⅲ）设()()()H x f x g x =-，ππ[,]22x ∈-．①当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，由（Ⅱ）知，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又()010,022H H ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭ππ，而且函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ·······················································10分②当π0,4x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()f xg x>恒成立．证明如下：设π()e,[0,]4xx x xϕ=-∈，则()e10xx'=-ϕ≥，所以()xϕ在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以π0,4x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()(0)1xϕϕ>=，所以e0x x>>，又π0,4x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin0x x>≥，所以e cos sinx x x x⋅>，即()()f xg x>．故函数()H x在π0,4⎛⎤⎥⎝⎦上没有零点． ··················································································12分③当ππ,42x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()e(cos sin)sin cos0xH x x x x x x'=---<，所以函数()H x在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故函数()H x在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H=->=-<，而且函数()H x在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有一个零点．综上所述，ππ,22x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f xg x-=有两个解．·········································14分。
福建省龙岩市一级达标校2014-2015学年高二上学期期末质量检查数学(文)试题
福建省龙岩市一级达标校2014-2015学年高二上学期期末质量检查文科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．已知集合2{|20},{|13}A x x x B x x =-<=<<，那么A B =A ．{|02}x x <<B ．{|12}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|13}x x <<2．命题“任意x R ∈，2x ≤0”的否定是 A ．不存在x R ∈, 2x>0 B ．存在x R ∈, 2x>0 C ．对任意的x R ∈, 2x≤0 D ．对任意的x R ∈, 2x>03．抛物线214x y =-的焦点坐标为 A ．1(,0)8- B ．1(0,)8- C ．1(0,)16- D ．1(,0)16-4．已知等比数列{}n a 中，31316a a =，则8a 的值等于 A ．4 B ．8 C ．4± D ．8±5．过抛物线28y x =焦点F 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若125x x +=，则||AB =A ．6B ．7C ．8D ．96．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C ->，则ABC ∆的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形7．已知等差数列{}n a 的公差为3，若134a a a ,,成等比数列，则2a 等于 A ．18-B ．15-C ．12-D ．9-8．“9k >”是“22194x y k k+=-+表示双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．实数,x y 满足2001x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值是A ．4-B ．2-C ．0D ．4 10．已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是下图中的（第10题图）11．双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的两个焦点为1F ,2F ，若P 为其图象上一点，且12||3||PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围为 A ．(1,2] B ．(1,2) C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞12. 定义方程()'()f x f x =的实数根0x 为函数()f x 的“和谐点”.如果函数2()((0,))g x x x =∈+∞，()sin 2cos ((0,))h x x x x π=+∈，()x x e x ϕ=+ 的“和谐点”分别为a b c ,,，则a b c ,,的大小关系是 A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置．） 13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a b c ,,，若2,3b c ==，ABC ∆的面积为2，则sin A = .14．若数列{}n a 的前n 项和为2231n S n n =++，则该数列的通项公式n a = . 15．已知32()f x x ax x =++在R 上单调递增，那么a 的取值范围是 . 16．已知(5,0)M -，(5,0)N 是平面上的两点，若曲线C 上至少存在一点P ，使|P |||6M PN =+，则称曲线C 为“黄金曲线”．下列五条曲线： ①221169y x -=； ②22149x y +=； ③22149x y -=； ④24y x =； ⑤22230x y x +--=其中为“黄金曲线”的是 .（写出所有．．“黄金曲线”的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足287,5a a ==-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a b c ,,，且sin cos a B A =.A B C D（Ⅰ）求角A 的大小;（Ⅱ）若3a b ==，求c 的值． 19．（本小题满分12分）已知函数32()3125f x ax x x =+-+（a 为实数）在1x =处取得极值．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[3,2]-上的最值．20．（本小题满分12分）第一届全国青年运动会将于2015年10月18日在福州举行. 主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年. 已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为C （万元），隔热层厚度为x （厘米），两者满足关系式：()(010,)25kC x x k x =≤≤+为常数. 若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元. 15年的总维修费用为10万元．记()f x 为15年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用）（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用()f x 最小，并求出最小值． 21．（本小题满分12分） 如图，中心在原点的椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在过(0,2)M 的直线与椭圆交于A ，B 两个不同点，使以AB 为直径的圆22．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x mx n =-+，m ,n R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为21y x =-，求m ,n 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若0n =，不等式()0f x m +<在(1,)x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围．龙岩市一级达标校2014～2015学年第一学期期末高二教学质量检查数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.23 14.6,(1)41,(2)n n a n n =⎧=⎨+≥⎩15.[ 16.④⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共74分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）sin cos a B A =，由正弦定理可知：2sin ,2sin a R A b R B ==sin sin sin A B A B ∴ ……………………………………2分(0,),sin 0B B π∈∴≠sin A A ∴cos 0,tan A A ≠∴=…………………………………………4分(0,),3A A ππ∈∴= …………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+-3a b =,3A π=2793c c ∴=+-，即2320c c -+= ………………………………………9分 1c ∴=或2c =经检验：1c =或2c =均符合题意1c ∴=或2c = ……………………………………………12分（注：第（Ⅱ）小题未检验不扣分；若用正弦定理作答，酌情给分）19．（本小题满分12分）解：2'()3612f x ax x =+- ……………………………………2分 （Ⅰ）依题意可知：'(1)0f =36120a ∴+-=，解得2a = ..........................................4分 经检验：2a =符合题意 ..........................................5分 （Ⅱ）令'()0f x =，得：122,1x x =-= (7)分x 3- (3,2)-- 2-(2,1)- 1 (1,2) 2 '()f x +-+()f x 14极大值 25 极小值2-9 (11)分()f x ∴的最大值为(2)25f -=，最小值为(1)2f =- (12)分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，当0x =时，6C =65k∴=，30k ∴= 故30()25C x x =+ (3)分()304151025f x x x =+⋅++ 450410,(010)25x x x =++≤≤+ ……………………………………6分（Ⅱ）450()41025f x x x =+++ 450(410)25x x =+++4502(25)25x x =+++60≥=……………………………………10分当且仅当4502(25)25x x +=+，即当5x =时取得最小值∴隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元. (12)分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，242a a =∴= (1)分223c c = (2)分2221b a c ∴=-= (3)分所以，椭圆的方程为：2214x y += …………………………………4分（Ⅱ）法一：假设存在过(0,2)M 的直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，使以AB 为直径的圆过原点，依题意可知OA OB ⊥.①当直线l 的斜率不存在时，A 、B 分别为椭圆短轴的端点，不符合题意 (5)分②当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的方程为：2y kx =+由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(41)16120k x kx +++= ………………………6分令0∆>，得：222(16)4(41)12430k k k -⋅+⋅=->234k ∴>…………………………………7分设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212221612,4141k x x x x k k +=-=++ ………………8分又112y kx =+，222y kx =+∴212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++222123244141k k k =-+++ 2222204444141k k k k --=+=++ …………………………………9分OA OB ⊥ 12120x x y y ∴+= (10)分2222124404141k k k k -∴+=++ 2344k ∴=>2k ∴=± (11)分∴直线l 的方程为：22y x =±+，即220x y -+=或220x y +-=所以，存在过(0,2)M 的直线与椭圆交于A 、B 两个不同点，使以AB 为直径的圆过原点，其方程为：220x y -+=或220x y +-= (12)分（Ⅱ）法二：假设存在过(0,2)M 的直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，使以AB 为直径的圆过原点，依题意可知OA OB ⊥，设直线l 的方程为：(2)x m y =- ………5分由22(2)14x m y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(4)4440m y m y m +-+-= …………………6分令0∆>，得：4222164(4)(44)64480m m m m -⋅+⋅-=->2403m ∴≤<……………………………………7分设1122(,),(,)A x y B x y ，则22121222444,44m m y y y y m m -+==++ (8)分又212121212(2)(2)[2()4]x x m y m y m y y y y =-⋅-=-++ 22124m m =+ (9)分OA OB ⊥ 12120x x y y ∴+= (10)分22221244044m m m m -∴+=++ 21443m ∴=<12m ∴=± (11)分∴所求直线的方程为：1(2)2x y =±-，即220x y -+=或220x y +-=所以，存在过(0,2)M 的直线与椭圆交于A 、B 两个不同点，使以AB 为直径的圆过原点，其方程为：220x y -+=或220x y +-= (12)分 22．（本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为：(0,)+∞ …………………………………1分（Ⅰ）∵1()f x m x'=- ∴函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)12k f m '==-=∴1m =- (3)分又∵(1)1f =∴1m n -+=∴0n = (5)分（Ⅱ）∵1()f x m x'=- …………………………6分当0m ≤时，()0f x '>恒成立，则单调递增区间为(0,)+∞，无单调减区间当0m >时，由()0f x '>得 10x m <<，由()0f x '<，得1x m> 综上所述：当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调减区间当0m >时，()f x 的单调递增区间是1(0,)m ，单调递减区间是1(,)m+∞ (8)分。
福建省三明市2024届普通高中高三毕业班质量检测数学试题(解析版)
三明市2024年普通高中高三毕业班质量检测数学试题（本试卷总分150分，考试时间120分钟.）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线:2l y x =+与圆224x y +=相交于,A B 两点，则AB =（）A.B. C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】根据圆的相关知识即可求得AB 弦长.【详解】由已知圆224x y +=，圆心为()0,0，半径2r =所以圆心到直线:2l y x =+距离d ==所以AB ==故选：B2.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B，C 的对边，37a b c ===，，则A C +的值为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理求出角B 即可得解.【详解】在ABC中，由余弦定理得222222371cos 22372a cb B ac +-+-===⨯⨯，而0πB <<，则π3B =，所以2π3A C +=.故选：C3.随机变量2~(,)N ξμσ，函数()²4f x x x ξ=-+没有零点的概率是12，则μ的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】根据函数()²4f x x x ξ=-+没有零点，求得4ξ>，结合题意可得出142()P ξ>=，继而由正态分布的对称性，可得答案.【详解】由函数()²4f x x x ξ=-+没有零点，得1640,4ξξ∆=-<∴>，函数()²4f x x x ξ=-+没有零点的概率是12，即142()P ξ>=,结合2~(,)N ξμσ，可知4μ=，故选：D 4.若223323211log 333,,a b c ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.c a b >> B.c b a>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的单调性可判断,a b 的大小，利用对数函数的单调性判断a 的范围，即可得答案.【详解】由题意得22223333,22113333a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝==⎭⎝⎭⎭，由于23y x =在(0,)+∞上单调递增，故222333211133a b ⎛⎫⎛⎫=>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>；而23log y x =在(0,)+∞上单调递减，故223312log log 133c =>=，故c a b >>，故选：A5.各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数8(3750)转换为十进制数的算法为3210387858082024⨯+⨯+⨯+⨯=．若将八进制数67777 个转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】换算后由等比数列求和得681-，改写成()61021--，利用二项式定理展开即可求解．【详解】543210678777787878787878⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 个5432107(888888)=⨯+++++()66618781102118-=⨯=-=---061515156066666C 10C 10(2)C 10(2)C 10(2)1=⋅+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅⋅-- 05141505606666610[C 10C 10(2)C 10(2)]C 10(2)1=⨯⋅+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅⋅-- 因为0514150566610[C 10C 10(2)C 10(2)]⨯⋅+⋅⋅-++⋅⋅- 是10的倍数，所以换算后这个数的末位数字即为666C 10(2)1⋅⋅--的末位数字，由666C 10(2)164163⋅⋅--=-=，末位数字为3，故选：A ．6.函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，其中,A B 两点为图象与x 轴的交点，C 为图象的最高点，且ABC 是等腰直角三角形，若3OB OA =- ，则向量AO 在向量AC上的投影向量的坐标为（）A.11(,)44-- B.11(,44C .11(,)22-- D.11(,22【答案】B【解析】【分析】首先求出πAB ω= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由ABC 是等腰直角三角形，表示出,,,A B C D的坐标，由()f x 最大值为1，即可求出ω，根据投影向量计算公式计算即可．【详解】112ππ22T ωω=⨯=，则πAB ω= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，因为ABC 是等腰直角三角形，所以π,4AD BD CD CAD ==∠=，因为3OB OA =- ，所以π3ππππ(,0),(,0),(,0),(,44442A B D C ωωωωω=-，因为()f x 最大值为1，所以π12ω=，解得π2=ω，所以111(,0),(,0),(,1)222A D C =-，则1(,0),(1,1)2AO AC == ，则AO 在AC上的投影向量的坐标为：12211cos (1,1)(,)22244AC AO CAD AC∠⋅=⨯=，故选：B ．7.已知抛物线(220x py p =>）的焦点为F ，第一象限的两点A ，B 在抛物线上，且满足||||3,||AF BF AB -==.若线段AB 中点的横坐标为3，则p 的值为（）A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，由||||3AF BF -=可得123y y -=，结合弦长以及已知求出1AB k =，利用212AB x x k p+=，即可求得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由||||3AF BF -=得12322p p y y ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得123y y -=；又1221||1||2ABAB y y k =+⨯-=，解得21AB k =，由于A ，B 在第一象限内，故1AB k =，则2221212121212212ABx y y x x p p k x x x x x p-=+-===--，而线段AB 中点的横坐标为3，则126x x +=，故61,32p p=∴=，故选：B8.已知函数()1132e e 33x x f x x x x --=-+-+，若实数,x y 满足()()223242f x f y +-=，则x y +的最大值为（）A.1B.52C.5D.303【答案】C 【解析】【分析】先证明()()223242f xf y+-=，进而可得223242x y +-=，设x y t +=，则直线x y t +=与椭圆22326x y +=有交点，联立方程，则0∆≥，即可得解.【详解】()()()()3231e e 13131e e 1x x x x f x x x x x --+=-++-+++=-++，()()()()3231e e 13131e e 1x x x x f x x x x x ---+=-+-+--++-+=--+，则()()112f x f x ++-+=，又因为()()223242f xf y+-=，所以223242x y +-=，即22326x y +=，设x y t +=，则直线x y t +=与椭圆22326x y +=有交点，联立22326x y t x y +=⎧⎨+=⎩，得2254260x tx t -+-=，则()221620260t t ∆=--≥，解得t ≤≤，所以x y +的最大值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：证明()()223242f xf y+-=，可得223242x y +-=，是解决本题的关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.2024i 1=-B.若1i 22ω=--，则2ωω=C.若1,C z z =∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程()²0,R x px q p q ++=∈的根，则7q =【答案】BC 【解析】【分析】根据复数的乘方即可判断A ；根据复数的乘法运算及共轭复数的定义即可判断B ；设()i ,R z x y x y =+∈，再根据1z =，求出,x y 的关系，再结合复数的模的公式即可判断C ；根据方程的复数根互为共轭复数即可判断D .【详解】对于A ，()()1012101220242i i 11==-=，故A 错误；对于B ，若13i 22ω=--，则221313i 2222ωω⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，设()i ,R z x y x y =+∈，由1z =1=，即2210y x =-≥，所以11x -≤≤，则[]21,3z -===，所以2z -的最小值为1，故C 正确；对于D ，若43i -+是关于x 的方程()²0,R x px q p q ++=∈的根，则43i --也是关于x 的方程()²0,R x px q p q ++=∈的根，所以()()43i 43i 25q -+--==，故D 错误.故选：BC .10.假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（）A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为35B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为120C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为37150D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为1837【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，结合古典概率公式、条件概率公式及全概率公式逐项计算判断得解.【详解】从甲袋中取出2个球有i 个红球的事件为,0,1,2i A i =，从乙袋中取出2个球红球的事件为B ，22025C 1()C 10P A ==，1132125C C 3()C 5P A ==，23225C 3()C 10P A ==，22026C 1(|C 15)P B A ==，()23126C 1|C 5P B A ==，24226C 2(|C 5)P B A ==，对于A ，从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为13()5P A =，A 正确；对于B ，从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为22323()(|)10525P A P B A =⨯=，B 错误；对于C ，从乙袋中取出的2个球是红球的概率211313237101555105150()()(|)i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+=⨯=∑，C 正确；对于D ，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率222232()(|)()18105(|)37()()37150P A B P B A P A P A B P B P B ⨯====，D 正确.故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为11AB BC C D ，，的中点，则下列说法正确的是（）A.若点P 在正方体的表面上，且0PE PG ⋅=，则点P 的轨迹长度为24πB.若三棱锥1F C CE -的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为14πC.过点1,,E F D 的平面截正方体1111ABCD A B C D -+D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最小值为32【答案】BCD 【解析】【分析】由0PE PG ⋅=得到点P 一定在球面上，又因为点P 在正方体的表面上，可以得到P 的轨迹为6个半径为1的圆，进而得到轨迹长度；求有一条侧棱垂直于底面的三棱锥1F C CE -的外接球表面积，即求半径，根据CEF △外接圆半径结合勾股定理即可求得；利用平行找到过1,,E F D 三点的截面，进而求的截面周长；利用正方形的对角线长度求得正方形面积.【详解】A 选项，因为0PE PG ⋅=，所以P 在以EG 为直径的球面上，又因为E 、G 分别是AB 和11C D 的中点，结合棱切球与各个面的交点为各条棱的中点，得到该球是正方体的棱切球，又由P 在正方体的表面上，所以P 的轨迹为6个半径为1的圆，所以P 的轨迹长度为6212ππ⨯=，故A 错误；B 选项，即求三棱锥1FC CE -即1C CEF -的外接球，在CEF △中，由余弦定理得222cos 210EC EF CF CEF EC EF +-∠==⋅⋅，所以sin 10CEF ∠=，由正弦定理得2sin 1010CF r CEF ==∠r 是CEF △外接圆半径，所以102r =，因为侧棱1CC ⊥面CEF ，所以外接球半径2221571222CC R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为2742142R π=π⨯=π，故B 正确；C选项，如图延长FE 交DA 的延长线于点P ，可得到EFB EPA ≅ ，所以1AP BF ==，连接1PD 交1AA 于点Q ，由11PAQ D A Q 得11112AQ AP QA D A ==，所以Q 是1AA 上靠近A 的三等分点，连接1D Q ，作1FR D Q 交1CC 于点R ，则R 是靠近C 的三等分点，连接1D R ，则五边形1EFRD Q 即为所求截面，FE ===，133EQ ====，12133QD ====，12133D R ====，3RF ====，所以周长为1113213213133333FE EQ QD D R RF ++++=+++=C 正确；D 选项，由正方体的侧面展开图，结合上图可以看出五个正方形及上下左右四个三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形PSQT 即为所求正方形，对角线长为1+2+2+2+1=8，所以面积为188322⨯⨯=，故D 正确；故选：BCD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a ，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a 的值为_____.【答案】6【解析】【分析】确定极差，求出第30百分位数的表达式，结合题意列式求解，即得答案.【详解】由题意知这组数据的极差是57156-=，由于1030%3⨯=，故第30百分位数为102a +，故10567,62a a +=⨯∴=，故答案为：613.已知关于x 的不等式()()2e 390xx k x k x ⎡⎤--++≤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞均成立，则实数k 的取值范围为_____.【答案】1,3e⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分当e 0x x k -≤且()2390x k x -++≥对任意()0,x ∈+∞均成立时，和当e 0x x k -≥且()2390x k x -++≤对任意()0,x ∈+∞均成立时，两种情况讨论，分离参数，进而可得出答案.【详解】当e 0x x k -≤对任意()0,x ∈+∞均成立时，则e xxk ≥对任意()0,x ∈+∞均成立，令()()0e x x f x x =>，则()1ex xf x -'=，当01x <<时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11ef x f ==，所以1ek ≥，当()2390x k x -++≥对任意()0,x ∈+∞均成立时，则2993x k x x x++≤=+对任意()0,x ∈+∞均成立时，因为96x x +≥=，当且仅当9x x =，即3x =时取等号，所以min 96x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以36k +≤，所以3k ≤，所以，当e 0x x k -≤且()2390x k x -++≥对任意()0,x ∈+∞均成立时，1e k ≥且3k ≤，即1,3e k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当e 0x x k -≥且()2390x k x -++≤对任意()0,x ∈+∞均成立时，即e xx k ≤且93k x x+≥+对任意()0,x ∈+∞均成立时，因为9x x+在()0,x ∈+∞上无最大值，所以此时没有k 满足，综上，实数k 的取值范围为1,3e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.记{}()**1,2,3,,N ,m k N m m A =∈ 表示k 个元素的有限集，()S E 表示非空数集E 中所有元素的和，若集合(){}*,|m k k k m M S A A N =⊆，则4,3M =_____，若(),2817m S M ≥，则m 的最小值为_____.【答案】①.{6,7,8,9}②.21【解析】【分析】第一空，根据集合新定义可写出3A 的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出,2{3,4,5,,21}m M m =- ，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m 的范围，即可求得答案.【详解】当4,3m k ==时，{}43*1,2,3,4,N A =表示3个元素的有限集，由*k m A N ⊆可知3{1,2,3}A =或3{1,2,4}A =或3{1,3,4}A =或3{2,3,4}A =，故4,3{6,7,8,9}M =；由题意知,2{3,4,5,,21}m M m =- ，故由(),2817m S M ≥可得()(212)3218172m m --+-≥，即()(23)1817m m -+≥，解得16561214m +≥=或165614m -≤（舍去），结合*N m ∈，故m 的最小值为21，故答案为：{6,7,8,9}；21【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，多面体PABCD 中，PBD △和CBD △均为等边三角形，平面ABD ⊥平面,2,3PBD BD PC ==.（1）求证：BD PC ⊥;（2）求平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3913【解析】【分析】（1）取BD 的中点M ，连接,PM MC ，证明BD ⊥平面CPM ，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABD 与平面PBC 的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】证明：取BD 的中点M ，连接,PM MC ，因为PBD △和CBD △均为等边三角形，故,BD PM BD CM ⊥⊥，而,,PM CM M PM CM =⊂ 平面CPM ，故BD ⊥平面CPM ，PC ⊂平面CPM ，故BD PC ⊥；【小问2详解】以M 为坐标原点，以,MB MC所在直线为,x y 轴，过点M 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，平面ABD ⊥平面PBD ，平面ABD ⋂平面PBD BD =，PM ⊂平面PBD ，BD PM ⊥，故PM ⊥平面ABD ，PBD △和CBD △均为等边三角形，2,BD PC ==，60PM MC PC PMC ︒∴===∠=()()330,,,,1,0,022P C B ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，()33331,,,,0,,2222BP BC MP ⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，00m BP m BC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即330220x y z x ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩，令y =m = ，平面ABD 的法向量可取为330,,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面ABD 与平面PBC 夹角为θ，39cos cos ,|13MP m MP m MP mθ⋅∴=〈〉=== ，故平面ABD 与平面PBC夹角的余弦值为13.16.已知函数()sin cos(f x x x ωω=+)6π+（其中0ω>）其中图象的两条相邻对称轴间的距离为2π.（1）若()f x 在(0,)m 上有最大值无最小值，求实数m 的取值范围；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()g x 的图象，设1()()2h x g x x =+，求()h x 在(2,)-ππ的极大值点.【答案】（1）7,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦（2）43π-和23π【解析】【分析】（1）化简函数()f x ，利用周期求出()f x 解析式，再结合正弦函数图象求解即可.（2）先根据图象的平移伸缩变换得到()h x 的解析式，再求导求其极大值点即可.【小问1详解】13()sin 22f x x xωω=+sin(x ω=)3π+(0)>ω因为图象相邻对称轴间的距离为2π，所以周期22T ππ=⨯=，即ω22T π==，因此()sin(2)3f x x π=+，当(0,)x m ∈时，2(,2)333x m πππ+∈+若()f x 在(0,)m 有最大值无最小值，由正弦函数图象得只需32232m πππ<+≤，解得71212m ππ<≤，即m 的取值范围为7(,]1212ππ.【小问2详解】将()f x 的图象向右平移6π个单位得sin[2()]sin 263y x x ππ=-+=再将图象所有点横坐标变为原来2倍得()sin g x x =，所以()()sin 22x xh x g x x =+=+1()cos 2h x x '=+，(2,)x ∈-ππ令()0h x '=得1cos 2x =-，解得43x π=-或23x π=-或23x π=，当4(2,)3x π∈-π-时，()0h x '>，()h x 单调递增，当42(,33x ππ∈--时，()0h x '<，()h x 单调递减，当22(,33x ππ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2(,)3x ππ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()h x '的极大值点为43π-和23π.17.某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为224555，，，选手乙答对这三类题目的概率均为1.2（1）求随机任选1题，甲答对的概率；（2）现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得1-分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.【答案】（1）35（2）4411000【解析】【分析】（1）利用全概率公式，即可求得答案；（2）求出乙答对的概率，设每一轮比赛中甲得分为X ，求出X 的每个值对应的概率，即可求得三轮比赛后，甲总得分为Y 的每个值相应的概率，即可得答案.【小问1详解】记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件()1,2,3i A i =,记随机任选1题，甲答对为事件B ，则()()()()()()123123111224,,,|,|,|442555P A P A P A P B A P B A P B A ======，则()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++12121434545255=⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】设乙答对记为事件C ，则()()()()()()()112233|||P C P A P C A P A P C A P A P C A =++11111114242222=⨯+⨯+⨯=，设每一轮比赛中甲得分为X ，则()()()()313115210P X P BC P B P C ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，()()()()3131101152522P X P BC BC P BC P CB ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()311(1)1525P X P BC ⎛⎫=-==-⨯= ⎪⎝⎭，三轮比赛后，设甲总得分为Y ，则()33273101000P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22331272C 102200P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()22123331312791C C 1021051000P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲最终获得奖品的概率为()()()2727279441321100020010001000P P Y P Y P Y ==+=+==++=.18.已知数列{}n a满足2*121N n nn n a a a a n +-⋅⋅=∈ ，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式()2114nn n tS S --≤对任意的*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（3）记221log n nb a =)*N n +<∈ ．【答案】（1）2n n a =（2）25[9,3-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当1n =时求出1a ，2n ≥时，用121121n nn n a a a a a a a a --⋅⋅⋅=，即可求解；（2）由2n n a =得出n S ，由()2114n nn tS S --≤得()2114nnnS t S +-≤，根据对勾函数的单调性及n S 的值，即可求出t 得范围；（3）由（1）得12n b n==，根据放缩法得<即可证明．【小问1详解】当1n =时，212a ==，当2n ≥时，212112212n n n nn n n n a a a a a a a a -+-==⋅⋅⋅== ，1n =时成立，所以2n n a =．【小问2详解】由2nn a =得，12(12)2212n n n S +-==--，显然*N n ∈时，n S 单调递增，12n S S ≥=，由()2114n nn tS S --≤得，()2114nnn S t S +-≤，又21414n n n n S S S S +=+≥，当且仅当14n nS S =时，即n S =时等号成立，因为1232,6,14S S S ===，12S S <<，且11149S S +=，2214253S S +=，3131141415S S S S +=>+，所以当1n =时，()1119114S S t +≤=-，解得9t ≥-，当2n =时，()222142531S S t +≤=-，解得253t ≤，所以25[9,3t ∈-．【小问3详解】证明：由（1）得2222111log log 22n n n b a n===11222n n -==，=====++<+++=+=-<．19.已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x=+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．（1）求双曲线1y x=的离心率；（2）已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；（3）已知函数3332y x x=+的图象为Γ，直线:30l x +-=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．【答案】（1（2）是定值2（3）312【解析】【分析】（1）设双曲线的实轴长为20a >，虚轴长为20b >，由双曲线1y x=的两条渐近线为x 轴和y 轴得出a b =，根据离心率公式计算即可；（2）不妨设(,)P m n 是双曲线22:2E x y -=在第一象限的点，则m n >>，222m n -=，n =，y '=，得出过点P 的切线方程，与两渐近线方程联立，得出点,A B 得坐标，由OA OB ⊥即可得出AOB S ；（3）由题意将函数3332y x x=+，:30l x +-=，点F ，,M N ，,C D ，H 绕原点O 顺时针旋转π3，得到双曲线2213x y -=，3:2l x '=，(2,0),,,,,F M N C D H ''''''，再得出直线M D ''与N C ''的交点为7(,0)4H '，结合韦达定理及对勾函数的单调性，即可求出MNH △面积的最小值．【小问1详解】设双曲线1y x=的实轴长为20a >，虚轴长为20b >，因为双曲线1y x=的两条渐近线为x 轴和y 轴，所以两渐近线之间的夹角为π2，所以a b =，所以c e a ===．【小问2详解】不妨设(,)P m n 是双曲线22:2E x y -=在第一象限的点，则m n >>，222m n -=，n =，y '=，则过点P的切线方程为：)()m y n x m x m n -=-=-，即2m m y x n n n=-+，与双曲线渐近线y x =±联立，即2m m y x n n n y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，2m m y x n n n y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得2x m n =-或2x m n =+，设2222(,),(,)A B m n m n m n m n---++，则OA m n ==-,OB m n==+，因为OA OB ⊥，所以22114222AOB S OA OB m n m n m n=⋅=⨯⨯==-+- ，所以AOB 面积是定值2．【小问3详解】由3332y x x =+的图象是双曲线，渐近线为y轴与直线3y x =，则两渐近线的夹角为π3，故b a =，两渐近线夹角的平分线所在直线方程为y =，联立32y y x x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得，3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则双曲线的a =，所以1b =，则将3332y x x=+图象绕原点O 顺时针旋转π3得到双曲线2213x y -=的图象，直线:30l x -=与x 轴夹角为π6，故直线l 的图象绕原点O 顺时针旋转π3得到直线3:2l x '=，同理可得点F ，,,,,M N C D H 绕原点O 顺时针旋转π3得到(2,0),,,,,F M N C D H ''''''，且点,M N ''为2213x y -=右支上的点，设1122(,),(,)M x y N x y ''，则1233(,),(,)22C yD y ''，由题知，过(2,0)F '的直线斜率不为0，设该直线M N ''方程2x my =+，因为点,M N ''为2213x y -=右支上的点，所以33M N k ''>且33M N k ''<-，所以m <<，由22213x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，22(3)410m y my -++=，212(1)0m ∆=+>，12122241,33m y y y y m m -+==--，则12124y y m y y +=-，即12124y y my y +=-，因为由图象知直线M D ''的斜率存在，所以12132M D y y k x ''-=-，故直线M D ''的方程为：12213(322y y y y x x --=--，令0y =，2121122121212311(()333222222y x y my my y y x y y y y y y ---+--=+=+=---，由12124y y my y +-=得，121222121213313744222424y y y y y x y y y y -+-=+=+=+=--，所以直线M D ''过定点7(,0)4，同理可得直线N C ''也过定点7(,0)4，所以直线M D ''与N C ''的交点为7(,0)4H '，则12111224M N H S H F y y '''=⨯⨯-=⨯''==21m t +=，14t ≤<则22221116(3)(4)8m t m t t t+==--+-，因为函数168y t t =+-在[1,4)上单调递减，(0,9]y ∈，则111698t t≥+-，即22211(3)9m m +≥-所以33412M N H S '''≥= ，故MNH △面积的最小值为12．【点睛】方法点睛：当三角形三个顶点均为动点时，求面积比较困难，此时可以将其中一个或两个点转化为定点（或证明为顶点），再研究三角形面积的最值．。
2024-2025学年福建省漳州市高三(上)第一次质检数学试卷(含答案)
2024-2025学年福建省漳州市高三（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=R，集合A={x|x2−3x−4>0}，则∁U A=( )A. {x|−1<x<4}B. {x|−4<x<1}C. {x|−1≤x≤4}D. {x|−4≤x≤1}2.复数z=3−i1+i的虚部为( )A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.已知a,b为单位向量，若|a+b|−|a−b|=0，则|a−b|=( )A. 2B. 2C. 1D. 04.若tanα=2tanβ，sin(α−β)=t，则sin(α+β)=( )A. 2tB. −2tC. 3tD. −3t5.已知点M为双曲线C：x2−y2=4上任意一点，过点M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAMB(O为原点)的面积为( )A. 4B. 2C. 1D. 126.在正四棱锥P−A1B1C1D1中，PB1⊥PD1.用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体ABCD−A1B1C1D1，AB=1，A1B1=2，则几何体ABCD−A1B1C1D1的体积为( )A. 26B. 423C. 726D. 17297.已知函数f(x)=tan(ωx+π4)(ω>0)，若方程f(x)=1在区间(0,π)上恰有3个实数根，则ω的取值范围是( )A. (2,3]B. [2,3)C. (3,4]D. [3,4)8.已知函数f(x)=2x+2−x+cosx+x2，若a=f(−3)，b=f(e)，c=f(π)，则( )A. b<a<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知X∼N(μ,σ2)，则( )A. E(X)=μB. D(X)=σC. P(X≤μ+σ)+P(X≤μ−σ)=1D. P(X≥μ+2σ)>P(X≤μ−σ)10.已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x−y)，则( )A. f(0)=1B. f(x)是偶函数C. f(x)的图象关于点(π,0)中心对称D. 2π是f(x)的一个周期11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所得三条曲线与C围成的(如图阴影区域)，A，B为C与其中两条曲线的交点，若p=1，则( )A. 开口向上的抛物线的方程为y=12x2B. |AB|=4C. 直线x+y=t截第一象限花瓣的弦长最大值为34D. 阴影区域的面积大于4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高考数学教学工作计划模板(4篇)
高考数学教学工作计划模板一、指导思想高三数学教学要以《全日制普通高级中学教科书》、____年普通高等学校招生全国统一考试《北京卷考试说明》为依据，以学生的发展为本，全面复习并落实基础知识、基本技能、基本数学思想和方法，为学生进一步学习打下坚实的基础。
要坚持以人为本，强化质量的意识，务实规范求创新，科学合作求发展。
二、教学建议1、认真学习《考试说明》，研究高考试题，把握高考新动向，有的放矢，提高复习课的效率。
《考试说明》是命题的依据，备考的依据。
高考试题是《考试说明》的具体体现。
因此要认真研究近年来的考试试题，从而加深对《考试说明》的理解，及时把握高考新动向，理解高考对教学的导向，以利于我们准确地把握教学的重、难点，有针对性地选配例题，优化教学设计，提高我们的复习质量。
注意____年高考的导向：注重能力考查，反对题海战术。
《考试说明》中对分析问题和解决问题的能力要求是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述;能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，使问题得到解决。
____年的高考试题无论是小题还是大题，都从不同的角度，不同的层次体现出这种能力的要求和对教学的导向。
这就要求我们在日常教学的每一个环节都要有目的地关注学生能力培养，真正提高学生的数学素养。
2、充分调动学生学习积极性，增强学生学习的自信心。
尊重学生的身心发展规律，做好高三复习的动员工作，调动学生学习积极性，因材施教，帮助学生树立学习的自信性。
3、注重学法指导，提高学生学习效率。
教师要针对学生的具体情况，进行复习的学法指导，使学生养成良好的学习习惯，提高复习的效率。
如：要求学生建立错题本，让学生养成反思的习惯;养成学生善于结合图形直观思维的习惯;养成学生表述规范，按照解答题的必要步骤和书写格式答题的习惯等。
2015年福建省高考数学试卷及解析(文科)
2015年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分、1、（5分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A、3，﹣2B、3，2C、3，﹣3D、﹣1，42、（5分）若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A、{0}B、{1}C、{0，1，2}D、{0，1}3、（5分）下列函数为奇函数的是（）A、y=B、y=e xC、y=cosxD、y=e x﹣e﹣x4、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（）A、2B、7C、8D、1285、（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A、2B、3C、4D、56、（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A、B、﹣C、D、﹣7、（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A、﹣B、﹣C、D、8、（5分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A、B、C、D、9、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A、8+2B、11+2C、14+2D、1510、（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A、﹣2B、﹣1C、1D、211、（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A、（0，]B、（0，]C、[，1）D、[，1）12、（5分）“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分、13、（4分）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为、14、（4分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是、15、（4分）若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于、16、（4分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于、三、解答题：本大题共6小题，共74分、17、（12分）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值、18、（12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：组号分组频数1[4，5）22[5，6）83[6，7）74[7，8]3（1）现从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数、19、（12分）已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、20、（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；（Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值、21、（12分）已知函数f（x）=10sin cos+10cos2、（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为2、（i）求函数g（x）的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0、22、（14分）已知函数f（x）=lnx﹣、（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分、1、（5分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A、3，﹣2B、3，2C、3，﹣3D、﹣1，4题目分析：由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值、试题解答解：由（1+i）+（2﹣3i）=3﹣2i=a+bi，得a=3，b=﹣2、故选：A、点评：本题考查复数的加法运算及复数相等的条件，是基础题、2、（5分）若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A、{0}B、{1}C、{0，1，2}D、{0，1}题目分析：直接利用交集及其运算得答案、试题解答解：由M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，得M∩N={x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}、故选：D、点评：本题考查了交集及其运算，是基础题、3、（5分）下列函数为奇函数的是（）A、y=B、y=e xC、y=cosxD、y=e x﹣e﹣x题目分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可、试题解答解：A、函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数、B、函数y=e x单调递增，为非奇非偶函数、C、y=cosx为偶函数、D、f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D、点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键、4、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（）A、2B、7C、8D、128题目分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，从而得解、试题解答解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，若x=1不满足条件x≥2，y=8输出y的值为8、故选：C、点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题、5、（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A、2B、3C、4D、5题目分析：将（1，1）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可、试题解答解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C、点评：本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到a+b=（+）（a+b）是解题的关键、6、（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A、B、﹣C、D、﹣题目分析：利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可、试题解答解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，tanα==﹣、故选：D、点评：本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力、7、（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A、﹣B、﹣C、D、题目分析：由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得、试题解答解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴•=0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A、点评：本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题、8、（5分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C 与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A、B、C、D、题目分析：由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得、试题解答解：由题意可得B（1，0），把x=1代入y=x+1可得y=2，即C（1，2），把x=0代入y=x+1可得y=1，即图中阴影三角形的第3个定点为（0，1），令=2可解得x=﹣2，即D（﹣2，2），∴矩形的面积S=3×2=6，阴影三角形的面积S′=×3×1=，∴所求概率P==故选：B、点评：本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题、9、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A、8+2B、11+2C、14+2D、15题目分析：判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可、试题解答解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，∴侧面为（4）×2=8，底面为（2+1）×1=，故几何体的表面积为8=11，故选：B、点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状、10、（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A、﹣2B、﹣1C、1D、2题目分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值、试题解答解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1、故选：C、点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题、11、（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A、（0，]B、（0，]C、[，1）D、[，1）题目分析：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a、取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，可得，解得b≥1、再利用离心率计算公式e==即可得出、试题解答解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2、取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1、∴e==≤=、∴椭圆E的离心率的取值范围是、故选：A、点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、12、（5分）“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件题目分析：利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可、试题解答解：对任意x，ksinxcosx＜x，即对任意x，ksin2x ＜2x，当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立（sinx＜x在x恒成立），但是对任意x，ksinxcosx＜x”，可得k=1也成立，所以“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件、故选：B、点评：本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力、二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分、13、（4分）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为25、题目分析：根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数、试题解答解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则应抽取的男生人数是500×=25人，故答案为：25、点评：本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目、14、（4分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是、题目分析：根据∠A和∠C求得∠B，进而根据正弦定理求得求得BC、试题解答解：∠B=180°﹣45°﹣75°=60°由正弦定理可知ACsinB=BCsinA∴BC==故答案为点评：本题主要考查了正弦定理的应用、属基础题、15、（4分）若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1、题目分析：先由f（1+x）=f（1﹣x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区间，求出m≥1、试题解答解：因为f（1+x）=f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称，而f（x）=2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称，因此，a=1，f（x）=2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1、故答案为：1、点评：本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质，涉及该函数图象的对称性和单调区间，体现了数形结合的解题思想，属于中档题、16、（4分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于9、题目分析：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案、试题解答解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②、解①得：；解②得：、∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9、故答案为：9、点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题、三、解答题：本大题共6小题，共74分、17、（12分）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值、题目分析：（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+…+b10的值、试题解答解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101、点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键、18、（12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：组号分组频数1[4，5）22[5，6）83[6，7）74[7，8]3（1）现从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数、题目分析：（1）利用列举法列出基本事件，结合古典概型的概率公式进行求解即可、（2）根据平均数的定义和公式进行计算即可、试题解答解：（1）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3，融合指数在[4，5）内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研的事件为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个、至少有1家的融合指数在[7，8]内的事件有；{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个，则至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率为；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数为：=6.05、点评：本题主要考查古典概型，频率分布表，平均数等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查必然与或然思想等、19、（12分）已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、题目分析：解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p、即可得出抛物线E的方程、（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B、又G（﹣1，0），计算k GA，k GB，可得k GA+k GB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F 为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、解法二：（I）同解法一、（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B、又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F （1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB相切、试题解答解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p=2、∴抛物线E的方程为y2=4x；（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B、又G（﹣1，0），∴k GA=、k GB==﹣，∴k GA+k GB=0，∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，因此点F到直线GA，GB的距离相等，∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、解法二：（I）同解法一、（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B、又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：x﹣3y+2=0，=0，点F（1，0）到直线GA的距离d==，同理可得点F（1，0）到直线GB的距离=、因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切、点评：本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题、20、（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；（Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值、题目分析：（Ⅰ）由题意可证AC⊥DO，又PO⊥AC，即可证明AC⊥平面PDO、（Ⅱ）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大且最大值为1，又AB=2，即可求△ABC 面积的最大值，又三棱锥P﹣ABC的高PO=1，即可求得三棱锥P﹣ABC体积的最大值、（Ⅲ）可求PB===PC，即有PB=PC=BC，由OP=OB，C′P=C′B，可证E 为PB中点，从而可求OC′=OE+EC′==，从而得解、试题解答解：（Ⅰ）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO，又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC，因为DO∩PO=O，所以AC⊥平面PDO、（Ⅱ）因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，又AB=2，所以△ABC面积的最大值为，又因为三棱锥P﹣ABC的高PO=1，故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：、（Ⅲ）在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，所以PB==，同理PC=，所以PB=PC=BC，在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示，当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值，又因为OP=OB，C′P=C′B，所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点、从而OC′=OE+EC′==、亦即CE+OE的最小值为：、点评：本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题、21、（12分）已知函数f（x）=10sin cos+10cos2、（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为2、（i）求函数g（x）的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0、题目分析：（Ⅰ）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；（Ⅱ）（i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据g（x）的最大值为2，容易求出a的值，然后进而写出g（x）的解析式；（ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0 ，由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0=由正弦函数的性质当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0）（k∈Z）时，均有sinx，即可证明、试题解答解：（Ⅰ）∵f（x）=10sin cos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin （x+）+5，∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π；（Ⅱ）（i）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5﹣a的图象，∵函数g（x）的最大值为2，∴10+5﹣a=2，解得a=13，∴函数g（x）=10sinx﹣8、（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0 ，由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0=，由正弦函数的性质可知，当x∈（α0，π﹣α0）时，均有sinx，因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），（k∈Z）时，均有sinx、因为对任意的整数k，（2kπ+π﹣α0）﹣（2kπ+α0）=π﹣2α0＞＞1，所以对任意的正整数k，都存在正整数x k∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），使得sinx k，即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0、点评：本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题、22、（14分）已知函数f（x）=lnx﹣、（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）、题目分析：（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值、试题解答解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键。
2020年福州市高中毕业班质量检测参考答案(文科数学)详解
地理三个科目的优势更明显，故 D 不一定错误．
7. 如图来自古希腊数学家阿基米德所研究的几何图形．此图形由三个半圆构成，两个小
半圆外切，又同时内切于大半圆，三个半圆弧围成曲边三角形（黑色部分），由于其
形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，又称此图形为“皮匠刀”图形．若 AC 2CB ，在
整个图形中随机取一点，则此点取自曲边三角形（黑色部分）的概率为
作出阳马 P ABCD 的直观图，如图正方体中的粗线部分，
易知该阳马的外接球即为该正方体的外接球，
A
D
则该球的直径 2R
12 12 12 ，即 R
3． 2
B
C
11. 已知两条抛物线 C : y2 2x ，E : y2 2 px（ p ＞ 0 且 p 1 ），M 为 C 上一点（异于原
算等数学核心素养．
【答案】D．
【解答】
zz i
1 i1 i
i
2 i
2i ．
2. 已知集合 M x x2 ≤ 4 ，N x 2 x ＞0 ，则 M N
A．x 2 ≤ x ＜ 2
B．x 0 ＜ x ＜ 2
C．x 2 ≤ x ≤ 2
D．x x ≤ 2
【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算、解不等式等基础知识，意在考查逻辑 推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】A．
D．
y
ln x,
ln
x
,
x ＞ 0, x＜0
【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理等数学
核心素养． 【答案】D． 【解答】函数 f (x) x sin x 定义域为 R ，且 f (x) (x)sin(x) x sin x ，所以 f (x)
专题02 选填题解法——数形结合法-高考数学选择填空必备解题技巧
高中数学选填题解法——数形结合法邓小平说过，不管黑猫白猫能抓老鼠的就是好猫。
在数学选择题里，不是每道题都要正面去解，有时正面解反而易错，本专题介绍选择题的方法。
数形结合法在选择题如果运用好的话，往往会有出其不意的效果。
1、已知函数f(x)=()⎩⎨⎧≥++< 0x 2x ln 0x x 4x 2若方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，则a 的取值范围是（ ） A 、（0,4） B 、[)4,0 C 、[)4,ln2 D 、(]4,2ln【答案】C【解析】本题是2019莆田高三第二学期质检文科第10题，本题可采用数形结合法。
在坐标轴中分别画出|f(x)|与y=a 图像。
从图像中易知当方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，当y=a 这条直线为y=ln2时刚好有四个交点，当y=a 这条直线为y=4时最多只有三个交点，所以a 取值范围为[)4,ln2，即答案为C 。
2、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤+++0,22x 0x 1,|2-2|2x x x > 若方程f(x)=kx+2k 有四个不同的解，则实数k 取值范围为（ ）A 、（-∞，-2-22）∪（31，1） B 、（22-2，1） C 、（31，1） D 、（31，22-2） 【答案】B【解析】本题是华大新高考联盟2019届1月教学质量监测文科数学第11题，在直角坐标系中画出y 1=f(x)图像（蓝色部分），再做出y 2=kx+2k=k （x+2）图像，恒过定点（-2,0）。
从图像上可发现当y 2=kx+2k=k （x+2）过（0,2）时即图中m 直线，y 1与y 2图像有三个交点，此时k=1；当y 2=kx+2k=k （x+2）与22x 2++x 相切时即图中n 直线，此时k=22-2或k=22--2，而当k=22--2时即图中q 直线，显然y 1与y 2只有一个交点，舍去。
当y 2直线在直线n 与直线m 直线质检移动时，y 1与y 2有四个交点，所以k 取值范围为（22-2，1），答案为B 。
2015年度厦门中考数学试卷及标准答案
-/2015 年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学（试卷满分：150 分考试时间：120分钟）准考证号姓名座位号注意事项：1．全卷三大题，27 小题，试卷共 4 页，另有答题卡．2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．3．可直接用2B 铅笔画图．一、选择题（本大题有10 小题，每小题 4 分，共40 分. 每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1. 反比例函数y＝1x的图象是A．线段B．直线C．抛物线D．双曲线2. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到6 的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有A . 1 种 B. 2 种 C. 3 种D．6 种3. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是2 B. 3x2 C. 2xy3 D.2x3 A . －2xy4. 如图1，△ABC 是锐角三角形，过点 C 作CD⊥AB，垂足为D，则点 C 到直线AB 的距离是图1A . 线段CA 的长 B. 线段CD 的长C. 线段AD 的长D.线段AB 的长—3 可以表示为5.2A ．22÷25 B．25÷22 C．22×25 D．（－2）×（－2）×（－2）6．如图2，在△ABC 中，∠C＝90°，点D，E 分别在边AC，AB 上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的是A ．∠A 和∠B 互为补角B．∠B 和∠ADE 互为补角C．∠A 和∠ADE 互为余角D．∠AED 和∠DEB 互为余角图247. 某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x 元的衣服以( x－10) 元出售，则下列说法中，能正确表达5该商店促销方法的是A.原价减去10 元后再打8 折B.原价打8 折后再减去10 元C. 原价减去10 元后再打 2 折D.原价打 2 折后再减去10 元8. 已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin2 6°＝2 B. 2a C. b2 D． b A . a9．如图3，某个函数的图象由线段AB 和BC 组成，其中点4 1），B（1，），C（2，3 2A（0，53），则此函数的最小值是A ．0 B．1 52 C．1 D．3图3-/10．如图4，在△ABC 中，AB＝AC，D 是边BC 的中点，一个圆过点A，交边AB 于点E，且与BC 相切于点D，则该圆的圆心是A ．线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点B．线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点C．线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点D．线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点图4二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共24 分）11．不透明的袋子里装有 1 个红球、1 个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是．12．方程x2＋x＝0 的解是．13．已知A，B，C 三地位置如图 5 所示，∠C＝90°，A，C 两地的距离是 4 km，B，C 两地的距离是 3 km，则A，B 两地的距离是km；若 A 地在C 地的正东方向，则Ｂ地在 C 地的方向．14．如图6，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，E 是边AD 的中点，图5 若AC＝10，DC＝2 5，则BO＝，∠EBD 的大小约为度分．（参考数据：tan26°34′≈1 2）8 915．已知(39＋)×(40＋)＝a＋b，若a 是整数，1＜b＜2，则a＝．图613 1316．已知一组数据1，2，3，⋯，n（从左往右数，第 1 个数是1，第 2 个数是2，第3 个数是3，依此类推，第n 个数是n）．设这组数据的各数之和是s，中位数是k，则s＝（用只含有k 的代数式表示）．三、解答题（本大题有11 小题，共86 分）17．（本题满分7 分）计算：1－2＋2×(－3)2 ．18．（本题满分7 分）在平面直角坐标系中，已知点A（－3, 1），B（－2, 0），C（0, 1）, 请在图7 中画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O 对称的图形．图719．（本题满分7 分）计算：x x＋2＋．x＋1 x＋120．（本题满分7 分）如图8，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，若DE∥BC，AD＝3 ，AB＝5，求D EBC的值．图8-/21．（本题满分7 分）2x＞2，解不等式组x＋2≤6＋3x.22. （本题满分7 分）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表所示．应聘者面试笔试甲87 90乙91 82若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩 6 和4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？23．（本题满分7 分）如图9，在△ABC 中，AB＝AC，点E，F 分别是边AB，AC 的中点，点 D 在边BC 上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF 的周长．图924．（本题满分7 分）已知实数a，b 满足a－b＝1，a2－ab＋2＞0，当1≤x≤2 时，函数y＝ax（a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a 的值．25. （本题满分7 分）如图10，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）( q＜n），点B，D 在直线y＝12x＋1 上．四边形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD 是矩形．图1026．（本题满分11 分）已知点A（－2，n）在抛物线y＝x2＋bx＋c 上．（1）若b＝1，c＝3，求n 的值；2＋bx＋c 的最小值是－4，请画出点（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y＝xP（x－1，x2＋bx＋c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．27．（本题满分12 分）已知四边形ABCD 内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC 平分∠DCB ，延长DA，CB 相交于点E．（1）如图11，EB＝AD ，求证：△ABE 是等腰直角三角形；（2）如图12，连接OE，过点 E 作直线EF ，使得∠OEF＝30°．当∠ACE≥30°时，判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由．图11 图122015 年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分表的要求相应评分.一、选择题（本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项 D C D B A C B A B C二、填空题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共24 分）11. 12 12. 0，－1 13. 5；正北14. 5，18, 26 15. 1611 16. 2k2－k三、解答题（本大题共9 小题，共86 分）17．（本题满分7 分）解：1－2＋2×(－3)2＝－1＋2× 9＝17. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分18．（本题满分7 分）解： Ay1C B-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4-1x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分19．（本题满分7 分）解：x＋x＋1x＋2x＋1＝2x＋ 2x＋1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分＝2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分20．（本题满分7 分）解：∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴D E＝AD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分BC AB∵A DA B＝35，∴D EB C＝35. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分21．（本题满分7 分）解：解不等式2x＞2，得x＞1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分解不等式x＋2≤6＋3x，得x≥－2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分不等式组2x＞2，的解集是x＞1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x＋2≤6＋3x-/22. （本题满分7 分）解：由题意得，甲应聘者的加权平均数是6×87＋4×906＋4＝88.2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分乙应聘者的加权平均数是6×91＋4×826＋4＝87.4. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵88.2＞87.4，∴甲应聘者被录取. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分23．（本题满分7 分）解：∵AB＝AC，E，F 分别是边AB，AC 的中点，∴AE＝AF＝1AB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分2又∵DE＝DF ，AD＝AD，∴△AED≌△AFD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴∠EAD＝∠FAD .∴AD⊥BC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分且D 是BC 的中点.在Rt △ABD 中，∵E 是斜边AB 的中点，∴DE＝AE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分同理，DF＝AF .∴四边形AEDF 的周长是2AB.∵BC＝6，∴BD ＝3.又AD＝2，∴AB＝13.∴四边形AEDF 的周长是 2 13. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分24．（本题满分7 分）解1：由a－b＝1，a2－ab＋2＞0 得，a＞－2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵a≠0，（1）当－2＜a＜0 时，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分在1≤x≤2 范围内y 随x 的增大而增大，∴a2－a＝1.∴a＝－2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分不合题意，舍去.（2）当a＞0 时，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分在1≤x≤2 范围内y 随x 的增大而减小，∴a－a2＝1.∴a＝2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分综上所述a＝2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分解2：（1）当a＜0 时，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分在1≤x≤2 范围内y 随x 的增大而增大，-/∴a2－a＝1.∴a＝－2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴b＝－3.而a2－ab＋2＝0，不合题意，∴a≠－2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）当a＞0 时，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分在1≤x≤2 范围内y 随x 的增大而减小，∴a－a2＝1.∴a＝2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∴b＝1. 而a2－ab＋2＝4＞0，符合题意，∴a＝2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分综上所述，a＝2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分25. （本题满分7 分）解1：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECD ，∠EBA＝∠EDC .∵BE＝DE，∴△AEB≌△CED . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴AB＝CD＝4.∵AB∥CD，∴四边形ABCD 是平行四边形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分A（2，n），B（m，n）（m＞2），∴AB∥x 轴，且CD∥x 轴.∵m＞2，∴m＝6. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴n＝12×6＋1＝4.∴B（6，4） .∵△AEB 的面积是2，∴△AEB 的高是 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴平行四边形ABCD 的高是 2.∵q＜n，∴q＝2.∴p＝2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分即D（2，2）.∵点A（2，n），∴DA∥y 轴. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴AD⊥CD，即∠ADC ＝90°.∴四边形ABCD 是矩形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分解2：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECD ，∠EBA＝∠EDC .∵BE＝DE，∴△AEB≌△CED . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴AB＝CD＝4.∵AB∥CD，∴四边形ABCD 是平行四边形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分-/∵A（2，n），B（m，n）（m＞2），∴AB∥x 轴，且CD∥x 轴.∵m＞2，∴m＝6. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴n＝12×6＋1＝4.∴B（6，4）.过点E 作EF⊥AB，垂足为F，∵△AEB 的面积是2，∴EF＝1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∵q＜n，∴点E 的纵坐标是 3.∴点E 的横坐标是 4.∴点F 的横坐标是 4. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∴点F 是线段AB 的中点.∴直线EF 是线段AB 的中垂线.∴EA＝EB . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE＝EC，BE＝ED.∴AC＝BD.∴四边形ABCD 是矩形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分26．（本题满分11 分）（1）解：∵b＝1，c＝3，∴y＝x2＋x＋3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵点A（－2，n）在抛物线y＝x2＋x＋3 上，∴n＝4－2＋3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分＝5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）解：∵点A（－2，n），B（4，n）在抛物线y＝x2＋bx＋c 上，4－2b＋c＝n，∴∴b＝－2.16＋4b＋c＝n.∴顶点的横坐标是－b2＝1.即顶点为（1，－4）.∴－4＝1－2＋c.∴c＝－3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分∴P（x－1，x2－2x－3）.∵将点（x，x2－2x－3）向左平移一个单位得点P（x－1，x2－2x－3），∴将点（x，x2－2x－3）的纵坐标随横坐标变化的函数的图象向左平移一个单位后可得点P（x－1，x2－2x－3）的纵坐标随横坐标变化的函数的图象. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分设p＝x－1，q＝x2－2x－3，则q＝p2－4.画出抛物线q＝p2－4 的图象. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分-/27．（本题满分12 分）（1）证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∠ADC＝90°，∴∠ABC＝90°.∴∠ABE＝90°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵AC 平分∠DCB，∴∠ACB＝∠ACD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分DO ∴AB＝AD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分A C∵EB＝AD，E B∴EB＝AB . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴△ABE 是等腰直角三角形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（2）直线EF 与⊙O 相离.证明：过O 作OG⊥EF，垂足为G.在Rt△OEG 中，∵∠OEG＝30°，∴OE＝2OG . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分D∵∠ADC＝90° ,∴AC 是直径.设∠ACE＝，AC＝2r.OA C由（1）得∠DCE＝2 ，BG 又∠ADC＝90°，F ∴∠AEC＝90°－2 .E∵≥30°，∴（90°－2 ）－≤0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴∠AEC≤∠ACE .∴AC≤AE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分在△AEO 中，∠EAO＝90°＋，∴∠EAO＞∠AOE .∴EO＞AE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴EO－AE＞0.由AC≤AE 得AE－AC≥0.∴EO－AC＝EO＋AE－AE－AC＝（EO－AE）＋（AE－AC）＞0.∴EO＞AC.即2OG≥2r.∴OG＞r.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴直线EF 与⊙O 相离. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分。
福建省福州市2023-2024学年高三下学期4月末质量检测数学试卷(解析版)
2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合101M x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则R M =ð（）A.{}1x x <- B.{}1x x ≤- C.{}1x x >- D.{}1x x ≥-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式再利用补集运算即可求解.【详解】由101x ≤+得10x +<，即1x <-，所以{}1M x x =<-，于是{}R 1M x x =≥-ð.故选：D.2.设a ，b ∈R ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充要条件的概念即可求解.【详解】当0ab <时，00a b >⎧⎨<⎩或0a b <⎧⎨>⎩，则0a b a b +=，即充分性成立；当0a b a b +=时，0b ba a =->，则0ab <，即必要性成立；综上可知，“0ab <”是“0a ba b+=”的充要条件.故选：C.3.等轴双曲线经过点()3,1-，则其焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】因为该曲线为等轴双曲线，不妨设该双曲线的方程为22221(0)x y a a a-=>，因为等轴双曲线经过点(3,1)-，所以22911a a-=，解得28a =，则22216c a a =+=，所以该双曲线的一个焦点坐标为(4,0)F ，易知该双曲线的一条渐近线方程为y x =，则点(4,0)F 到直线y x =的距离d ==．故选：A ．4.已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A.78B.158C.158-D.78-【答案】D【解析】【分析】先利用和角公式展开1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，平方可求sin 2α.【详解】1sin cos 4224πααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭平方可得11(1sin 2)216α+=，所以7sin 28α=-,故选D.【点睛】本题主要考查倍角公式，熟记公式是求解关键，题目较为简单,侧重考查数学运算的核心素养.5.已知非零复数z 满足1i z z -=-，则zz=（）A.1 B.1- C.iD.i-【答案】D 【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，利用条件证明a b =，再代入zz化简即可.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由1i z z -=-知()1i 1i a b a b -+=+-.从而()()222211a b a b -+=+-，展开即得a b =.由z 非零，知0a b =≠，故()()()2i 1i i 1i 2i i i 1i 1i 1i 2i a z a b b a z a b b-----======-+++-+.故选：D.6.()()54112x x -+的展开式中2x 的系数为（）A.14- B.6- C.34D.74【答案】B 【解析】【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【详解】5(1)x -的展开式为15C (1)(0rrrr T x r +=⋅-⋅=，1，2，3，4，5)，4(12)x +的展开式14C 2(0k k k k T x k +=⋅⋅=，1，2，3，4)，当0r =，2k =时，2x 的系数为224C 224⋅=；当1r =，1k =时，2x 的系数为54240-⨯⨯=-；当2r =，0k =时，2x 的系数为25C 10=，故2x 的系数为2410406+-=-．故选：B ．7.数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q ．若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d q -=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】结合等差、等比数列的概念利用第二项写出剩下四个项，进而列方程组即可求解.【详解】由根据题意得，该数列的项为()()22,2,2,2,2d d d q d q -+++，又()()222102230d d q d d q ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩，即26213021d q d q ⎧+=⎪-⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得24q d =⎧⎨=⎩或31q d =⎧⎨=⎩.于是2d q -=.故选：B.8.四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，平面BEC ⊥平面ABCD，BC =，1CD CE ==，2BE =，则O 到平面ADE 的距离为（）A.13B.14C.24D.58【答案】A 【解析】【分析】根据线面关系可证得AB ⊥平面BEC ，BE CE ⊥，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，确定球心的位置，再建立空间直角坐标系，求解平面ADE 的法向量，利用空间向量的坐标运算计算O 到平面ADE 的距离即可.【详解】因为平面BEC ⊥平面ABCD ，交线为BC ，又底面ABCD 为矩形，则AB BC ⊥，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BEC ，则,AB CE AB EB ⊥⊥，又BC =，1CD CE ==，2BE =，所以222BE CE BC +=，则BE CE ⊥,如图，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，若四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则长方体111AD DA BECB -的顶点均在球O 的球面上，O 为体对角线11D B 中点，如图，以E 为原点，1,,EC EB ED 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,1,1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,2,0A D E D B ，故11,1,22O ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，又()()0,2,1,1,0,1EA ED == ，12020n EA y z y z n ED x z x z⎧⎧⋅=+==-⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩ ，令2z =，所以()2,1,2n =-- ，又11,1,22EO ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则O 到平面ADE的距离为13EO n n ⋅==.故选：A.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.或者采用补形法，利用规则图形的外接球位置确定所求外接球球心的位置.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（）甲乙87909691869086928795A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数【答案】ABC 【解析】【分析】通过极差、平均数、方差、第75百分位数的计算即可求解.【详解】甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：极差等于968610-=；平均数等于()18687909196905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909190969012.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于91.乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：极差等于95869-=；平均数等于()18687909295905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909290959010.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于92.综上可知，ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.1sin 2ϕ=B.1sin 2ϕ=-C.()y f x =的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，所以()f x 的图象关于π3x =对称，则2πππ32k ϕ+=+，Z k ∈，则6πkπϕ=-，Z k ∈，所以π()sin(2)6f x x =-或5π()sin(2)6f x x =+，因为π((π)2f f >，所以π2π6n ϕ=-，Z n ∈，1sin 2ϕ=-，A 错误，B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，13π(sin 2π012f ==，即()f x 的图象关于点13(π,0)12对称，C 正确；当ππ2x <<时，5ππ11π2666x <-<，因为sin y t =在5π(6,11π6上不单调，D 错误．故选：BC ．11.已知函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+恰有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A.1230x x x ++=B.实数a 的取值范围为(]0,1C.110ax +>D.31ax a +>【答案】ACD 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性可判断A 选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数a 的取值范围，即可判断B 选项；由112122e1e 1x xax +=+来可判断C 选项；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，进而31ax a +>等价于323e 210x x -->，令()()2=e210xh x x x -->，用导数证明()0h x >，即可判断D 选项.【详解】函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+定义域为R ，()()()()()e e e e e e e e x x x x x x x xf x a x ax f x ----⎡⎤-=-+-+=-+-+=-⎣⎦，所以()f x 是奇函数，则()00f =，又因为()f x 有三个零点且123x x x <<，()()()1230f x f x f x ===，所以13x x =-，20x =，即1230x x x ++=，故A 选项正确；()()e eee0xxxxf x ax --=+-+=，得222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xax --=--==-+++，令()221e 1xg x =-+，则()()2224e 0e 1xxg x =>+'，所以()f x 在R 上增函数，要使函数()f x 有3个零点，y ax =与()y g x =的图象有3个交点，如图：又()()()2222222224e 4e 411e 1e 2e 1e 2e xxx xx x x g x ===≤=+++++'，当且仅当0x =时取等号，即()01g x <'≤，所以01a <<，故B 错误；111212222e 1110e 1e 1x x x ax ⎛⎫+=-+=> ⎪++⎝⎭，故C 选项正确；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，又30x >，要使333223212111e 1e 1x x ax a x ⎛⎫+=-+-> ⎪++⎝⎭成立，则323e 210x x -->成立，令()()2=e210xh x x x -->，()()()2=2e 100x h x x -'>>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()0=0h x h >，于是323e210x x -->，则31ax a +>，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量()3,4a =- 在向量()2,1b =- 上的投影向量为b λ，则λ等于______．【答案】2-【解析】【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为2a b b b⋅ ，所以()()()223,42,164252,1a b b λ-⋅-⋅--====--.故答案为：2-.13.倾斜角为π3的直线经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，P 为C 上一点，则PF PQ +的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由题意，根据给定条件，求出点Q 的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答．【详解】易知抛物线2:12C y x =的焦点(3,0)F ，准线3x =-，直线AB的方程为3)y x =-，联立23)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理得21090x x -+=，不妨设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，由韦达定理得1210x x +=，此时线段AB 的中点Q 的横坐标5Q x =，过P 作准线3x =-的垂线，垂足为D '，过Q 作准线3x =-的垂线，垂足为D ，由抛物线的定义可得5382Q pPF PQ PD PQ QD QD x +=+≥≥+='+'==||||PF PQ +取得的最小值为8．故答案为：8．14.如图，六面体111ABCDA C D 的一个面ABCD 是边长为2的正方形，1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，且11AA =，12CC =，则该六面体的体积等于________，表面积等于______．【答案】①.6②.22【解析】【分析】根据1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，从而根据线线平行可得故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，根据柱体体积公式即可得该六面体的体积，根据几何体外表面的线线关系结合勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、梯形面积公式、正方形面积公式，即可得几何体的表面积.【详解】如图，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，因为1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，则11,AA AD AA DC ⊥⊥，因为正方形ABCD ，所以AD DC ⊥，又,,AD DC D AD DC =⊂ 平面11A ADD ，所以DC ⊥平面11A ADD ，由1DM AA =可得四边形1AA MD 为平行四边形，所以11//,AD A M AD A M =，因为面ABCD 为正方形，则//,AD BC AD BC =，所以11//,BC A M BC A M =，则四边形1A MCB 为平行四边形，所以11//,A B MC A B MC =，又1A B ⊄平面11DCC D ，MC ⊂平面11DCC D ，所以1//A B 平面11DCC D ，因为平面11DCC D 平面11111A BC D C D =，则111//A B C D ，所以四边形11MD C C 为平行四边形，所以112MD C C ==，故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，则该六面体的体积1111ABA CDM BCC A MD V V V --=+=1111212222622ABA BCC S BC S DC ⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ；如图，连接1,BD D B ，又1A B ===，11A D ===，BD ==所以1BD ==，则在四边形111A BC D中，由余弦定理得22211111111110cos 210A B A D BD D A B A B A D +-∠===-⋅，所以11sin 10D A B ∠==，则11111111sin 610A BC D S AB A D D A B =⋅⋅∠== ，该六面体的表面积111111111ABA BCC A BCD ABCDA ADD DCC D S S S S S S S =+++++ 四边形四边形()()11112122132232622222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=.故答案为：6；22.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定六面体的线线关系.关于求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．【答案】（1）2n a n n =+，*n ∈N ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【小问1详解】数列{}n a 中，当2n ≥时，12n n a a n -=+，即12n n a a n --=，则12112312()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=--⋅⋅⋅+--++++()()2222462222n n n a n n n n +=+++⋅⋅⋅+-+==+，而12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+，*n ∈N ．【小问2详解】由（1）知()21n a n n n n =+=+，*n ∈N ，则()111111n a n n n n ==-++，因此()()1111122311n S n n n n =++⋅⋅⋅++⨯⨯-+1111111111223111n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+-=--++，而1n ≥，则1111n -<+，所以1n S <．16.甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布()20,0.2N ，规定()0.2,0.2X ∈-的零件为优等品，()0.6,0.6X ∈-的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）．（附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=）【答案】（1）约31个（2）约为0.61【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求解；（2）利用条件概率求解即可．【小问1详解】依题意得，0μ=，0.2σ=，所以零件为合格品的概率为()()0.60.6330.9973P X P X μσμσ-<<=-<<+=，零件为优等品的概率为()()0.20.20.6827P X P X μσμσ-<<=-<<+=，所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =-=，所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631⨯≈．【小问2详解】设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，则D A BC =+，且A 与BC 互斥，所以()()()()()()P D P A P BC P A P B P C B=+=+221222C 0.6827C 0.68270.31460.6827 1.62920.6827=⨯+⨯⨯⨯=⨯，所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为22()0.68271(|)0.61() 1.62920.6827 1.6292P AD P A D P D ===≈⨯．答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61．17.如图，以正方形ABCD 的边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF BCE -．设P 是CE 上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点．（1）证明：//GH 平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ，通过证明Rt Rt AFH KEH ≌△△可得GH PK ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，通过证明四边形GQEH 是平行四边形可得GH QE ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ，利用面面平行的判定定理证明平面//GIH 平面BCE ，从而即可得证//GH 平面BCE .（2）首先通过线面垂直的判定定理证明BP ⊥平面ABEF 可得BP BE ⊥，然后建立空间直角坐标系，利用向量法可求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值.【小问1详解】证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 中点，所以HF HE =，所以Rt Rt AFH KEH ≌△△，所以AH KH =，所以GH PK ∥．又因为GH ⊄平面BCE ，PK ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以//GQ AB ，12GQ AB =，又因为//AB EF ，AB EF =，所以GQ HE ∥，GQ HE =，所以四边形GQEH 是平行四边形，所以GH QE ∥，又因为GH ⊄平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以GI BP ∥，HI EB ∥，又因为GI ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，所以//GI 平面BCE ．因为HI ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//HI 平面BCE ．又因为GI HI I ⋂=，GI ⊂平面GIH ，HI ⊂平面GIH ，所以平面//GIH 平面BCE ，又因为GH Ì平面GIH ，所以//GH 平面BCE ．【小问2详解】依题意得，AB ⊥平面BCE ，又因为BP ⊂平面BCE ，所以AB BP ⊥．又因为BP AE ⊥，AB AE A = ，AB ，AE ⊂平面ABEF ，所以BP ⊥平面ABEF ，又BE ⊂平面ABEF ，所以BP BE ⊥，所以BP ，BE ，BA 两两垂直．以B 为原点，BP ，BE ，BA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设1AB =，30BCP ∠= ，则()1,0,0P ，31,,122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BP =，31,,122BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BPD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,BP m BD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即031022x x y z =⎧-+=⎩，取2y =，得0x =，1z =，所以平面BPD 的一个法向量是()0,2,1m =，又平面BPA 的一个法向量为()0,1,0n =．设平面BPD 与平面BPA 的夹角为θ，则25cos cos ,5m n m n m n θ⋅====．所以平面DBP 与平面BPA．18.点P 是椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.（1）设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF 为定值，并求出这个定值；（2）12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.【答案】（1）证明见解析，定值为ca（2）（ⅰ）13；（ⅱ）45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由两点间距离公式（结合点P 在椭圆上）、点到直线距离公式表示出2,PF d ，两式相比即可得解；（2）（ⅰ）解法一：一方面由（1）得20cPF a x a =-，另一方面结合已知以及椭圆定义得023x PF a =-，对比两式即可得解；解法二：利用已知以及椭圆定义得12,PF PF 的一种表达式，另外结合两点间距离公式也可以分别表示12,PF PF ，从而平方后作差即可得解；解法三：表示出12,PF PF 方程，根据题意设出内心坐标，结合点到直线距离公式以及内切圆性质即可得解；（ⅱ）先求出椭圆方程，然后求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式结合导数即可求出其范围，进一步即可得解.【小问1详解】依题意，222b c a +=.设()00,P x y ，则2200221x y a b+=，0a x a -<<，所以2PF =所以20c PF x a a==-，又a c >，所以0c a x a >，20ax c >，所以20c PF a x a =-，20a d x c=-所以0220ca x PF c a a d a x c-==-，即2PF 为定值，且这个定值为c a .【小问2详解】（ⅰ）解法一：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，解得023x PF a =-由（1）得20cPF a x a =-，所以003x c a x a a -=-，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法二：依题意，00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，得0102,3,3x PF a x PF a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以0,3,3x a x a =+=-两式平方后作差，得00443cx ax =对任意0x 成立，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法三：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为IG x ⊥轴，设点I 坐标为0,3x t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求直线1PF 方程为()00y y x c x c=++，则点I 到直线1PFt =，即()()()2222000003x y c t x c t y x c ⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①同理，由点I 到直线2PF 的距离等于t ，可得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②将式①－②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.将04y t =代入式①，得()2200001016233y x x c x c c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220022198x y c c+=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.（ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =-=，所以椭圆E的方程为221 98x y+=.根楛椭圆对称性，不妨设点P在第一象限或y轴正半轴上，即0003,0x y≤<<≤又()11,0F-，()21,0F，所以直线1PF的方程为()11yy xx=++，设直线IG与1PF交于点D，因为03Dxx=，所以()()00331Dy xyx+=+，1FCD的面积1S与12PF F△的面积S之比为()()()()00200131123313118122y xxx xSS xy+⎛⎫+⨯⎪++⎝⎭==+⨯⨯，令()()()23181xf xx+=+（03x≤<），则()()()()231181x xf xx+-+'=，当[)0,1x∈，()0f x'<，当()1,3x∈，()0f x'>，所以函数()f x在[)0,1单调递减，在()1,3单调递增.又因为()12f=，()419f=，()132f=，所以()f x的值域是41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以14192SS≤≤，所以11415SS S≤≤-，根据对称性，12PF F△被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：第二问（ⅱ）的关键在于求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式，由此即可顺利得解.19.记集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D L l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≤∃∈=且，集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D T l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≥∃∈=且，若()(),f x x D l x L ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳上界线”；若()(),f x x D l x T ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳下界线”．（1）已知函数()2f x x x =-+，()01l x kx =+．若()()0,R f x x l x L ∈∈，求k 的值；（2）已知()e 1xg x =+．（ⅰ）证明：直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”；（ⅱ）若()()ln 1h x x =-，直接写出集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂中元素的个数（无需证明）．【答案】（1）3k =或1-（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2个【解析】【分析】（1）由题意可得R x ∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，再由△0=求解即可；（2）（ⅰ）结合“最佳下界线”及充要条件的定义证明即可；（ⅱ）由定义直接写出结果即可．【小问1详解】依题意，()()0,R f x x l x L ∈∈ ，R x ∴∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，令2()(1)1x x k x ϕ=-+--，2Δ(1)4k =--，则()0x ϕ≤，且0()0x ϕ=，∴Δ0,Δ0,≤⎧⎨≥⎩，∴Δ0=，即2(1)40k --=，12k -=或12k -=-，解得3k =或1-；【小问2详解】（ⅰ）先证必要性．若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +，因为()e x g x '=，所以切线方程为()()000e 1e x x y x x -+=-，即()()000e 1e 1x xl x x x =+-+（*）一方面，()()00g x l x =，所以0x ∃∈R ，()()00g x l x =，另一方面，令()()()()000e e 1e x xx G x g x l x x x =-=---，则()00G x =，因为()0e e xx G x '=-，所以当0x x <时，()0G x '<，()G x 在()0,x ∞-单调递减，当0x x >时，()0G x '>，()G x 在()0,x ∞+单调递增，所以()()00G x G x ≥=，所以()()g x l x ≥．即x ∀∈R ，()()g x l x ≥，所以()(),R g x x l x T ∈∈，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．再证充分性．若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l x kx b =+，由“最佳下界线”的定义，x ∀∈R ，()()g x l x ≥，且0x ∃∈R ，()()00g x l x =，令()()()e 1xH x g x l x kx b =-=+--，则()0H x ≥且()00H x =，所以()min 0H x =．因为()e xH x k '=-，①若0k ≤，则()0H x '≥，所以()H x 在R 上单调递增，所以10x x ∃<，使得()()100H x H x <=，故0k ≤不符合题意．②若0k >，令()0H x '=，得ln x k =，当(),ln x k ∞∈-时，()0H x '<，得()H x 在(),ln k ∞-单调递减，当()ln ,x k ∞∈+时，()0H x >，得()H x 在()ln ,k ∞+单调递增，所以，当且仅当ln x k =时，()H x 取得最小值()ln H k ．又由()H x 在0x 处取得最小值，()min 0H x =，所以()0,ln 0,x lnk H k =⎧⎨=⎩即000e ,e 10,x x k kx b ⎧=⎪⎨+--=⎪⎩解得0e x k =，()001e 1x b x =-+，所以()()000e 1e 1x xl x x x =+-+，由（*）式知直线()y l x =是曲线()y g x =在点()00,e 1x x +处的切线．综上所述，直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．（ⅱ）集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂元素个数为2个．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。
2009年福建省普通高中毕业班质量检查数学(文)试题
2009年福建省普通高中毕业班质量检查数学 (文科) 试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)． 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=k n kk n )p (p C --1．球的表面积公式 S =4πR 2，其中R 表示球的半径． 球的体积公式 V =34πR 3，其中R 表示球的半径．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确答案填在题目后面的括号内． 1．已知集合A={x |-2，-1，0,1，2}，B={2，3}，则A ∪B 为( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{-2，-1，0,1，2}D ．{-2，-1，0,1，2，3} 2．不等式032>+-x x 的解集是( ) A ．(-3,2) B ．(2，+∞)C ．(-∞，-3)∪(2，+∞)D ． (-∞，-2)∪(3, +∞) 3．双曲线4x 2-y 2=1的渐近线方程是( ) A ．4x ±y =0 B ．x ±4y =0 C ．x ±2y =0 D ．2x ±y =0 4．已知函数),x (),x (x )x (f x0203>≤+=则f ( f (-2))的值为( )A ．-1B ．41C ．2D ．4 5．已知A 、B 为球面上的两点，O 为球心，且AB =3，∠AOB =120°，则球的体积为( ) A ．29π B ． π34 C ．36π D ． π3326．已知二次函数y=x 2-2ax+1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2或a ≥3 B ．2≤a ≤3 C ． a ≤-3或a ≥-2 D ．-3≤a ≤-27．已知条件p : k =3，条件q ：直线y=kx +2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S n 是a n 与1的等差中项，则a n 等于( ) A ．1 B ．-1 C ．(-1)n D ．(-1)n-19．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( ) A ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ∥n B ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若α∩β =m ，m ⊥n ，则n ⊥α 10．函数y=A sin(ωx+φ)图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成( ) A ．y =sin(x +8π)B ．y =sin(2x +8π)C ．y =sin(2x +4π)D ．y =sin(2x-4π)11．某小组有12名学生，其中男生8名，女生4名，从中随机抽取3名学生组成一兴趣小组，则这3 名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为 ( ) A ．3122418C C C B ．3121428C C C C ．3121428A A A D ．3121428A A A12．若函数f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (2)=0，则x)x (f )x (f --＜0的解集为( ) A ．(-2,0)∪(0,2) B ．(-∞，-2)∪(0,2) C ．(-∞，-2)∪(2，+∞) D ．(-2,0)∪(2，+∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。
2014年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试卷
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。
湖南省怀化市2014届高三3月第一次模拟考试数学（理科）试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1. 复数2izi+=（为虚数单位）在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,将支出分区间[20,30)、[30,40)、[40,50)、[50,60)进行统计，现抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有24人,则n的值为A．80 B．800C．72 D．7203. 在锐角ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c. 若cos cos2cosc B b C a A+=，则角A为A．12πB．6πC．4πD．3π4. 若变量,x y满足约束条件101010x yyx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x-y的最大值是A．3-B．2-C．D．25. 函数()lnf x x=的图像与函数()1g x x=-的图像的交点个数为A．3 B．2 C．1 D．06. 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点(2,0)A,将向量OA绕点O按逆时针方向旋转3π后得向量OB,若向量a满足1a OA OB--=，则a的最大值是A．1-B．C．3D7.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V为A ．323B ．403C ．163D ． 408. 在等腰Rt ABC ∆中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异 于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 反射后又回 到原来的点P . 若43AP =，则PQR ∆的周长等于 ABCD第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. （一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分） 9. 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为cos 2ρθ=,它与抛物线⎩⎨⎧==ty t x 882(为参数)相交于两点A 和B10. 如图,⊙o 的直径6AB =,P 是AB 延长线上的一点,过P 作⊙o 的 切线PC ,连接AC ,若30CPA ∠= ,则点O 到AC 的距离等于. 11. 已知函数()f x R ，则a 的取值范围是 .（二）必作题（12~16题） 12. 若二项式61()2x x+的展开式的常数项为T, 则02T xdx =⎰ .13.右边程序运行的结果是 .14．设12,F F 是双曲线222:1(0)16x y C b b-=>的两个焦点， P 是双曲线C 上一点，若1290F PF ∠= 且12PF F ∆的面积为9，则C 的离心率为 .15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n a 满足a 1＝1，a 2＝1，且23(1)22(1)1n n n n a a +⎡⎤⎡⎤+-=---⎣⎦⎣⎦ (n ＝1,2,3，…)． 则100S =___________.16. 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中12{,,...,}n A a a a =，12{,,...,}n B b b b =，12{,,...,}n C c c c =，若A 、B 、C 中的元素满足条件：12...n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.正视图（1）若{2,,3,5,6,7}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可） （2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，则集合C 的个数是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a x x = ，向量(cos ,sin )b x x =- ，()f x a b =⋅(Ⅰ)求函数 ()()sin 2g x f x x =+ 的最小正周期和对称轴方程； (Ⅱ)若x 是第一象限角且3()2'()f x f x =-,求tan()4x π+的值.18．（本小题满分12分）为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖． （Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）已知三棱锥0,90P ABC PAC ABC -∠=∠=,2PA AC BC ==,PAC ABC ⊥平面平面，D E 、分别是PB PC 、的中点.(Ⅰ)求证: BC ⊥平面PAB ； (Ⅱ) 求二面角P ED A --的余弦值.20．（本小题满分13分）已知函数()(2)ln g x b x =-，2()ln ()h x x bx b R =+∈,令()()'()f x g x h x =+.(Ⅰ) 当0b <时，求()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当32b -<<-时，若存在12,[1,3]λλ∈， 使得12()()(ln 3)2ln 3f f m b λλ->+-成立，求m 的取值范围.21．（本小题满分13分）已知12(,0)(,0)F c F c -、是椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，点M 在椭圆E 上.（Ⅰ）若12F MF ∠的最大值是2π，求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）设直线x my c =+与椭圆E 交于P 、Q 两点，过P 、Q 两点分别作椭圆E 的切线1l ，2l ，且1l 与2l 交于点R ， 试问：当m 变化时，点R 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由.22. （本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i T X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n n B b b b T =∈ ，定义；1122(,,,)n n AB b a b a b a =---,1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）证明：若,,n A B C T ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=； （Ⅲ）记(1,1,,1)n I T =∈ ．若A ，n B T ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．2014年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷高三数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（//5840⨯=）8题提示：以AB 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立坐标系， 则点4,03P ⎛⎫⎪⎝⎭关于直线BC 的对称点为8'4,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点4,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线AC 的对称点为4'',03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则PQR ∆的周长等于'P =二、填空题（//3065=⨯）选做：9．8； 10．32； 11．(,1]-∞-；必做：12．254； 13．21； 14．54； 15．4925022--； 16．（1）9，13中任一个，（2）3． 16题提示：（2） 解：因为1234...1278+++++= 而12...n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，所以123439c c c c +++=，且412c =，1c 的最小值为 6所以{6,10,11,12}C =或{8,9,10,12}C =或{7,9,11,12}C =三解答题：17解:(Ⅰ)∵22()cos sin sin 2cos 2sin 2)4g x x x x x x x π=-+=+=+ …4分∴最小正周期22T ππ== ; 对称轴方程为()28k x k Z ππ=+∈…………6分 (Ⅱ)由3()2'()f x f x =-,得3cos 24sin 2x x =……………………8分 又x 是第一象限角∴cos 3sin x x =,故1tan 3x =…………………10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--…………………12分 18解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ．则()P A =111114444256⨯⨯⨯=（列式正确，计算错误，扣1分）………2分 33415()4256p B A -==（列式正确，计算错误，扣1分）………4分 三等奖的情况有：“马，马，上，有”；“ 马，上，上，有”；“ 马，上，有，有”三种情况． ()P C 222444111*********()()()444444444444A A A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯964=……6分 （Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ的可能取值为1、2、3、4.1(1)4P ξ==， 313(2)4416P ξ==⨯=， 3319(3)44464P ξ==⨯⨯=，27(4)1(1)(2)(3)64P P P P ξξξξ==-=-=-==………………10分 故取球次数ξ的分布列为1234416646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分 19证明： (Ⅰ) 面PAC ⊥面ABC ，且面PAC 面ABC AC =，90PAC ∠=PA ABC ∴⊥面， 而CB ABC ⊂面，故CB PA ⊥.又90ABC CB AB ∠=⇒⊥ ， 由此得BC PAB ⊥面……………6分(Ⅱ) 因D 、E 分别是PB 、PC 的中点，//DE BC ∴ 又BC ⊥平面PAB ，DE ∴⊥平面PABPDA A ED P ∴∠--是二面角的平面角 ………9分令2=2PA AC BC a ==，则,,AB PB PD AD ====在PDA ∆中，2221cos 27PD AD PA ADP PD AD +-∠==-⨯所以二面角P-ED-A 的余弦值17- ………12分 20解：(Ⅰ)依题意，1'()2h x bx x=+ ……………1分 所以()()'()f x g x h x =+=1(2)ln 2b x bx x-++，定义域为(0,)+∞………2分又22221(21)()212(2)1'()2(0)b x x b bx b x b f x b x x x x x-+-+--=-+==>……4分 当20b -<<时，112b ->，令'()0f x <，得102x <<或1x b >-；令'()0f x >，得112x b<<- ；当2b =-时，22(21)'()0x f x x -=-≤； 当2b <-时，112b -<，令'()0f x <，得10x b <<-或12x >； 令'()0f x >，得112x b -<< ；综上所述：当20b -<<时，()f x 的单调递减区间为1(0,)2，1(,)b-+∞ ()f x 的单调递增区间为11(,)2b- 当2b =-时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞当2b <-时，()f x 的单调递减区间为1(0,)b -，1(,)2+∞ ()f x 的单调递增区间为11(,)2b -………8分(Ⅱ) 由(1)可知，当32b -<<-时，()f x 在区间[1,3]单调递减 所以max min 1()(1)21;()(3)(2)ln 363f x f b f x f b b ==+==-++. 所以12max 2()()(1)(3)4(2)ln 33f f f f b b λλ-=-=-+-. ……10分 因为存在12,[1,3]λλ∈， 使得12()()(ln 3)2ln 3f f m b λλ->+-成立， 所以2(ln 3)2ln 34(2)ln 33m b b b +-<-+- 整理得243mb b <-. 又0b <，所以243m b >-，又因为32b -<<-，得122339b -<<-，所以132384,339b -<-<-所以389m ≥-…………………13分21解:（Ⅰ）221212122,()2MF MF MF MF a MF MF a ++=∴⨯≤= 2221212124cos 2MF MF c F MF MF MF +-∴∠=⨯21212422b MF MF MF MF -⨯=⨯2221b a≥- ………3分 因为12F MF ∠的最大值是2π，所以22210b a -= ………4分因此椭圆E的离心率c e a === ………5分（Ⅱ）当m 变化时，点R 恒在一条定直线2a x c=上证明:先证明：椭圆E: 2200221(0)(,)x y a b M x y a b+=>>上一点的切线方程是00221x x y y a b+=方法一：当000x y ≠时，设00切线方程为：y-y =k(x-x )与椭圆E 方程联立得：2222222220000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++-+--=由22200002201)0x y ay bx k a b b a ∆=+=+=及得：（ 所以2020b x k a y =-，因此切线方程是00221x x y ya b += ………9分方法二：不妨设00(,)M x y 点在第一象限，则由y =得'y =，所以02020'x x b x k y a y ===-因此切线方程是00221x x y ya b+= ………9分 设1122(,)(,)x y x y P 、Q ， 则 1l 的方程是11221x x y y a b += 2l 的方程是22221x x y ya b+= 联立方程，解得 2211221()a y y x x y x y -=-又 1122,x my c x my c =+=+，所以 1221122121()()()x y x y my c y my c y c y y -=+-+=-因此 22211221()R a y y a x x y x y c -==-，当m 变化时，点R 恒在一条定直线2a x c=上。
2015年福建省宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学(文科)试卷
2015年福建省宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（文科）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i(12i)+（为虚数单位）等于A．2i-+B．2i+C．2i--D．2i-2．已知集合{}21xM x=>，若a M∉，则实数a可以是A．B．2C．D．1-3．已知sinα=α为第二象限角，则tanα的值是A．B．C．12-D．4．如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出椭圆的面积约为A.4.7B.4.8C.1.2D.1.35．a b>>“”是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸可得该几何体的体积为 A ．36π B ．24π C ．15πD ．12π7．要得到函数3sin(2)4y x π=-的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象A ．向右平移4π个单位B ．向左平移4π个单位C ．向右平移8π个单位8. 运行如图所示的程序框图，则输出的所有 实数对(,)x y 所对应的点都在函数 A ．2()log (1)f x x =+的图像上 B ．2()22f x x x =-+的图像上 C ．4()3f x x =的图像上 D ．1()2x f x -=的图像上9. 定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=.当[0,1]x ∈时，2()2f x x =.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x ax a =--有个零点，则实数a 的取值范围是 A ．1(0,)2 B ．1(0,]2C ．1(,1)2D ．1(,1]210. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 A ． B ． C ．)+∞ D ．)+∞11.不等式组222,222x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩围成的区域为Ω，能够把区域Ω的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为A ．331y x x =-+B ．sin 2y x x =C ．2ln2x y x -=+ D ．1(e e )4x x y -=+ 12.一数字游戏规则如下：第1次生成一个数a ，以后每次生成的结果均是由上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是2x +．设前n 次生成的所有数．．．的和为n S ，若1a =，则6S = A ．63 B ．64 C ．127 D ．128第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．13．某校参加“数迷会”社团的学生中，高一年级有50名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个容量为18的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 . 14．若向量(1,2)=-a ，(3,)y =-b ，且a ∥b ，则a +b ＝ . 15．已知扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为 .16．已知函数10,0()e ,0xx x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对于任意[12,12]x a a ∈-+，不等式()(2)f x a f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n *∈N 在函数2()f x x =的图象上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）某市一水电站的年发电量y （单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x （单位：毫米）有如下统计数据：（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0(亿千瓦时)的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为ˆˆ0.004y x a =+．该水电站计划2015年的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2015年的降雨量约为1800毫米，请你预测2015年能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时?19．(本小题满分12分)如图三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为AB的中点． （Ⅰ）求证：BC 1∥平面A 1CM ；（Ⅱ）若CA=CB ，A 1在平面ABC 的射影为M ， 求证: 平面A 1CM ⊥平面ABB 1 A 1．20.（本小题满分12分）已知函数()cos cos(2)3f x x x x ωωωπ=⋅++(0)ω>的最小正周期为2π.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，当x A =时函数()f x 取到最值，且ABC ∆，5b c +=，求a 的值.21.（本小题满分12分）已知函数()e x f x x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）求函数21()e 12x g x x =--在[0,)+∞上的最小值； （Ⅲ）求证：3e ln 2x x >+.22.（本小题满分14分）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点F 与椭圆22143y x +=的一个焦点重合． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+交抛物线于A ,B 两点，过A ,B 分别作抛物线的切线交于点P ．B 1A 1ABC 1CM（ⅰ）探究PF AB ⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若直线PF 与抛物线交于C ,D2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。