【数学】2018全国I卷高考压轴卷 理科数学 含答案

KS5U2018全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}z x x x x A ∈≤-+=，022，{}z k k x x B ∈==，2，则B A 等于()A ．{}10，B ．{}24--，C ． {}01，-D ．{}02，- 2. 设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3. 为得到)63sin(2π+=x y 的图象,只需把函数x y sin 2=的图象上所有的点 ( ) A 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)4.展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（ ） A．B．C．D．5. 已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（ ）．A ．0B ．－1C ．1D ．26. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．．．3 D．37. 设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ ） A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 92ln 21,10+⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为A ．243B ．363C ．729D ．10929. 已知抛物线2:4M y x =，圆()()222:10N x y r r -+=>.过点()1,0的直线l 交圆N 于,C D 两点，交抛物线M 于,A B 两点，且满足AC BD =的直线l 恰有三条，则r 的取值范围为（ ）A ．30,2r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ B ．(]1,2r ∈ C ．()2,r ∈+∞ D ．3,2r ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭10. 函数32)2()44ln()(-+-=x x x x f 的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．11. 若0,0,a b >>且函数32()422f x x ax bx =--+在2x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．121B ．144C ．72D ．8012. 已知双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. B ． C ．D ． [)∞+，2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若直线)(0123:R a y ax l ∈=+-与圆04:22=-+y y x M 相交于B A 、两点，若 ABM ∠的平分线过线段MA 的中点，则实数._____=a14. 边长为8的等边△ABC 所在平面内一点O ，满足23OA OB OC --=0，若M 为△ABC 边上的点，点P 满足||19OP =|MP|的最大值为 .15. 设0a >，若关于x ，y 的不等式组20,20,20,ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域与圆22(2)9x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为 .16．为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：已知P （K 2≥3.841）≈0.05，P （K 2≥5.024）≈0.025． 根据表中数据，得到K 2=≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 ．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)2,(n S =，(1,12)nb =-满足条件⊥（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnc a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在)120,100[内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图. 表1：甲套设备的样本的频数分布表图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（Ⅲ）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X ，求X 的期望)(X E . 附：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.19.（12分）如图，已知梯形ABCD 中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF 为矩形， CD=3，平面EDCF⊥平面ABCD ． （1）求证：DF∥平面ABE ．（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为43，若存在，求出线段BP 的长．D ABCE F20.（12分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的短轴长为点(3,0)A ，P 是C 上的动点，F 为C 的左焦点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 在y 轴的右侧，以AP 为底边的等腰ABP ∆的顶点B 在y 轴上，求四边形FPAB 面积的最小值.21.（12分）已知函数(3)e ()(0)x x a af x x x-+=>∈R ，． （1）当34a >-时，判断函数()f x 的单调性；（2）当()f x 有两个极值点时， ① 求a 的取值范围；② 若()f x 的极大值小于整数m ，求m 的最小值．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =时，求点P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()2222f x x x =+--，x ∈R . （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若方程()2f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围.参考答案1.【Ks5u 答案】D2.【Ks5u 答案】C 【Ks5u 解析】当时，，当ab 一正一负时，，当 时，，所以，故选C ．3.【Ks5u 答案】C4.【Ks5u 答案】B【Ks5u解析】解：由题意可得二项展开式的通项=根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r=3，9共有2项，而r 的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12个,所求的概率为5【Ks5u 答案】C【Ks5u 解析】作出()f x 的图象，如图所示，可令123x x x <<，则有图知点1(0)x ，2(,0)x关于直线12x =-对称，所以121x x +=-，又12318x x x <++<，所以329x <<，由于123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），结合图象可知点A 的坐标为(9,3)， 代入函数解析式，得23log (9)m =-，解得1m =．故选C ．6【Ks5u 答案】 A 7【Ks5u 答案】C 【Ks5u 解析】因为，所以因此在上有两个不同的零点，由得 ，所以 令，则，所以 ，又，所以当时，当时，要使方程有两个不同的零点，需，选C.8【Ks5u 答案】D9【Ks5u 答案】C 10【Ks5u 答案】C 11【Ks5u 答案】C 12【Ks5u 答案】D13【Ks5u 答案】14【Ks5u 答案】15【Ks5u 答案】[8,)+∞ 16【Ks5u 答案】5%【Ks5u 解析】根据题意，K 2=≈4.844，又由5.024＞4.844＞3.841，而P （K 2≥3.841）≈0.05，P （K 2≥5.024）≈0.025，故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%，故答案为：5%17. 【Ks5u 答案】（1）∵⊥,∴221-=+n n S , 当2≥n 时，n n n n S S a 21=-=-， 当1=n 时，211==S a 满足上式，∴n n a 2= （2）2n nnc =1211212222n n nn n T --=++++L 两边同乘12， 得231112122222n n n n nT +-=++++L ，两式相减得： 211111*********n n n n n n T +++=++-=-L ， ()222n nn T n N ++∴=-∈． 18. 【Ks5u 答案】（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表将列联表中的数据代入公式计算得053.39915050)432748(100))()()(()(222≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K∵706.2053.3>∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. （Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为5048，乙套设备生产的合格品的概率约为5043，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备 （Ⅲ）由题知，)251,3(~B X ∴2532513)(=⨯=X E 19. 【Ks5u 答案】解：（1）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，E ，(F -，∴(1,BE =--，(0,2,0)AB =， 设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =，∴2020x y y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩不妨设(3,0,1)n =，又(1DF =-，∴30DF n ⋅=-=， ∴DF n ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ， ∴DF ∥平面ABE ．（2）解：∵(1,2,BE =-，(BF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z =，∴2020x y x ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩不妨设(23,m =，∴|||cos |||||2mn m n θ⋅==⋅∴平面ABE 与平面EFB ． （3）解：设(1(,2)DP DF λλλλ==-=-，[0,1]λ∈， ∴(,2)P λλ-， ∴(1,22,)BP λλλ=---，又∵平面ABE 的法向量为(3,0,1)n=，∴sin |cos |BP n θ=<⋅>=， ∴28610λλ-+=，∴12λ=或14λ=， ∴当12λ=时，3,2BP ⎛=-- ⎝⎭， ∴||2BP =， 当14λ=时，53,42BP ⎛=-- ⎝⎭，∴||2BP =， 综上||2BP =．20.【Ks5u 答案】（Ⅰ）依题意得2222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程是22162x y += （Ⅱ）设00000(,)(0,0)P x y y y x <<≠>设线段AP 中点为M ∵(3,0)A ∴AP 中点003,)22x y M+（，直线AP 斜率为003yx - 由ABP ∆是以AP 为底边的等腰三角形∴BM AP ⊥∴直线AP 的垂直平分线方程为000033()22y x x y x y -+-=-- 令0x = 得220009(0,)2y x B y +- ∵2200162x y += ∴20023(0)2y B y --，由(2,0)F - ∴四边形FPAB面积20000023553(||)(2)2222y S y y y y --=+=+≥当且仅当00322y y =即0y =时等号成立，四边形FPAB面积的最小值为.21. 【Ks5u 答案】（1）由题()222[e (3)e ](3)e (33)e (0)x x x x x x x a x x af x x x x-+-----+--'==>． 方法1：由于233304x x -+-≤-<，e 10x -<-<，23(33)e 4x x x -+-<-， 又34a >-，所以2(33)e 0x x x a -+--<，从而()0f x '<，于是()f x 为(0,＋∞)上的减函数．方法2：令2()(33)e x h x x x a =-+--，则2()()e x h x x x '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 故()h x 在1x =时取得极大值，也即为最大值．则max ()(1)e h x h a ==--．由于34a >-，所以max ()(1)e 0h x h a ==--<，于是()f x 为(0,＋∞)上的减函数．（2）令2()(33)e x h x x x a =-+--，则2()()e x h x x x '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 当x 趋近于+∞时，()h x 趋近于-∞．由于()f x 有两个极值点，所以()0f x '=有两不等实根，即2()(33)e 0x h x x x a =-+--=有两不等实数根12x x ，（12x x <）． 则(0)0,(1)0,h h <⎧⎨>⎩解得3e a -<<-．可知1(0,1)x ∈，由于3322333(1)e 0()e e +30244h a h a =-->=--<-<，，则2(1)2,3x ∈． 而()2222222(33)e 0x x x af x x -+--'==，即2222e33x ax x =-+-（#）所以()2222(3)e ()x x af x f x x -+==极大值，于是()22222233ax a f x x x -=-+，（*） 令22122(1)2t x x t t =-⇒=+-<<-，则（*）可变为()21111t g t a a t t t t==++++， 可得11131t t 2-<<-++，而3e a -<<-，则有()213111t g t a a t t t t==<++++， 下面再说明对于任意3e a -<<-，23(1,)2x ∈，()22f x >．又由（#）得2222e (33)x a x x =-+-，把它代入（*）得()222(2)e x f x x =-， 所以当23(1,)2x ∈时，()222(1)e 0x f x x '=-<恒成立，故()222(2)e x f x x =-为3(1,)2的减函数，所以()32231()e 222f x f >=>．所以满足题意的整数m 的最小值为3. 22. 【Ks5u 答案】(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin 2ρθρθ-=-)x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==P 到直线l 的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成立，()4t ϕ+-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<a取值范围为(.23. 【Ks5u 答案】（1）原不等式等价于143x <-⎧⎨-≤⎩或1143x x -≤≤⎧⎨≤⎩或143x >⎧⎨≤⎩，得1x <-或314x -≤≤∴不等式()3f x ≤的解集为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）由方程()2f x a x +=可变形为11a x x x =+--+， 令()11h x x x x =+--+2,1,,11,2,1,x x x x x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象如下：于是由题意可得11a -<<.。