江苏省扬中高级中学2019-2020学年高二第二学期期中检测数学试卷 含答案
2019学年江苏省高二下期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年江苏省高二下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 在复平面内，复数对应的点位于第________象限.2. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为_______.3. 曲线在点处的切线方程为________.4. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取6个个体，选取方法是从所给的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为________.7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 05983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 74815. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是________.6. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为004，这600名学生分住在三个营区.从001到300在第 I 营区，从301到495在第 II 营区，从496到600在第 III 营区.则第三个营区被抽中的人数为________.7. 为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数12，则抽取的学生总人数是_______.8. 在如图所示的算法中，输出的的值是_________.9. 甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是________.10. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_______,11. 观察下列等式，根据上述规律， ________,12. 已知函数（为常数），直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1，则的值为_______.13. 已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是_________.14. 已知函数，若对于任意的为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”.已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是__________.二、解答题15. （1）已知，求实数的值；（2）已知，若是纯虚数，求 .16. 甲、乙两名运动员参加“选拨测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72________ 78乙 78 82 88 82________ 95（1）用茎叶图表示这两组数据；（2 ）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由；（3）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的频率.17. 已知函数 .（1）判断在上的单调性；（2）分别取，试比较与的大小；并写出一个一般性结论，并利用（1）的结论加以证明.18. 如图所示，是半径为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形，设梯形的面积为 .（1 ）设，将表示成的函数关系式并写出其定义域；（2）求梯形面积的最大值.19. 已知，且在和处有极值.（1 ）求实数的值；（2）若，判断在区间内的单调性.20. 给出定义在上的三个函数：，已知在处取最值. （1）确定函数的单调性；（2）求证：当时，恒有成立；（3）把函数的图象向上平移6个单位得到函数，试确定函数的零点个数，并说明理由.21. 已知，试用反证法证明中至少有一个不小于1.22. 函数，若对，求实数的最小值.23. 某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取了50名学生的笔试成绩，按成绩分组得到频率分布表如下：（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拨出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，然后在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率.24. 已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
江苏省镇江市扬中高级中学2019_2020学年高二第二学期期中考试试题 数学【含解析】
江苏省镇江市扬中高级中学2019_2020学年高二第二学期期中考试试题 数学【含解析】一､选择题1.设x ∈R ，则“|2|1x -<”是“2230x x +->”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出|2|1x -<和2230x x +->的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】|2|1x -<，解得13x <<，2230x x +->，解得3x <-或1x >，“13x <<”成立，则“3x <-或1x >”成立， 而“3x <-或1x >”成立，“13x <<”不一定成立， 所以“|2|1x -<”是“2230x x +->”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.2.为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，计算得28.01K ＝，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为( )P (20K k ≥)0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A. 0.1%B. 1%C. 99.5%D. 99.9%【答案】C【解析】 【分析】根据观测值与临界值的比较可得结论.【详解】∵K 2＝8.01＞7.879，观测值同临界值进行比较可知，有99.5%的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．故选C.【点睛】本题主要考查独立性检验，掌握观测值与临界值进行比较的方法是求解的关键，题目较为简单，侧重考查对概念的理解.3.若6把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为（ ） A.35B.115C.815D.13【答案】A 【解析】 【分析】从中任取2把，基本事件总数2615n C ==，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数1222149m C C C +==，由此能求出从中任取2把能将该锁打开的概率．【详解】解：6把不同的钥匙中只有2把能打开某锁，从中任取2把，基本事件总数2615n C ==，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数1222149m C C C +==， ∴从中任取2把能将该锁打开的概率93155m p n ===． 故选：A ．【点睛】本题考查概率的求法，考古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 4.已知两变量x 和y一组观测值如下表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为7ˆ2ˆybx =+,则ˆb=（ ） x2 3 4 y546A. 110-B. 12-C.110D.12【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程过样本点的中心，求出,x y ，代入线性回归方程中即可． 【详解】2345463,5,33x y ++++====把3,5,x y ==代入7ˆˆ2ybx =+中，得ˆb =12， 故本题选D ． 【点睛】本题考查了回归直线方程过样本点的中心．5.由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（ ）A. 12B. 10C. 8D. 14【答案】B 【解析】 【分析】 根据个位是0和2分成两种情况进行分类讨论，由此计算出所有可能的没有重复数字的四位偶数的个数.【详解】当0在个位数上时，有336A =个；当2在个位数上时，首位从5，3中选1，有两种选择，剩余两个数在中间排列有2种方式，所以有224⨯=个所以共有10个．故选：B【点睛】本小题主要考查简单排列组合的计算，属于基础题. 6.2()()f x x x c =-在2x =处有极小值，则常数c 的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 1【答案】A 【解析】函数()()2f x x x c =-， ∴()22'34f x x cx c =-+，又()()2f x x x c =-在x =2处有极值， ∴f ′(2)=12−8c +2c =0， 解得c =2或6，又由函数在x =2处有极小值，故c =2，c =6时,函数()()2f x x x c =-在x =2处有极大值，故选A.点睛：已知函数的极值点0x x =求参数的值时，可根据()00f x '=建立关于参数的方程（组），通过解方程（组）得到参数的值后还需要进行验证，因为“()00f x '=”是“0x x =为极值点”的必要不充分条件，而不是等价条件，因此在解答此类问题时不要忘了验证，以免产生增根而造成解答的错误．7.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 总有()()3f x f x +=-，则()9f -的值为（ ） A. 3 B. 0 C.32D. 92-【答案】B 【解析】 【分析】根据()()3f x f x +=-，得到6T =，再结合奇偶性求解. 【详解】因为()()3f x f x +=-， 所以()()6f x f x +=， 所以6T =所以()()()9300f f f -==-= 故选：B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.8.若函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 132,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 32,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦D. 132,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】设公切线与函数()ln f x x =，()2g x x a =+分别切于点()11,ln A x x ()101x <≤，()222,B x x a +，根据导数的几何意义求出在,A B 处的切线的斜率并分别写出切线的方程，再根据公切线的概念可得两曲线的切线重合，列出方程消去1x ，从而将问题转化为222ln 21a x x =-+-有两解，求出a 的取值范围，即得到答案．【详解】设公切线与函数()ln f x x =的图象切于点()11,ln A x x ()101x <≤， 因为()ln f x x =，所以()1f x x '=，所以在点()11,ln A x x 处斜线的斜率1111()k f x x '==，所以切线方程为()1111ln y x x x x -=-； 设公切线与函数()2g x x a =+的图象切于点()222,B x x a +，因为()2g x x a =+，所以()2g x x '=，所以在()222,B x x a +处点斜线的斜率()222k g x x '==，所以切线方程为()()22222y x a x x x -+=-，所以有2121212ln 1x x x x a⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩，因为101x <≤，所以21121x x =≥，212x ≥．又222ln 21a x x =-+-， 令21,2t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()22ln 21ln 2ln 1h t t t t t =-+-=--+-，所以()221t h t t-'=，令()0h t '>且12t ≥，得22t > 令()0h t '<且12t ≥，得1222t ≤<， 所以()h t 在12,22⎡⎢⎣⎭上为减函数，在22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数. 所以函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线，满足()2122h h t h ⎛⎛⎫<≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即()13224h t -<≤-，所以132,24a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦． 故选：D ．【点睛】本题主要考查已知两公切线的条数求参数取值范围，导数的几何意义，同时考查导数在研究函数中的应用及数形结合的思想，属于难题． 二､多项选择题9.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A. ()f x x =与2()g x x =B. ()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C. ()f x x =与2()log 2xg x = D. 21()1x f x x -=+与()1g x x =-【答案】BC 【解析】 【分析】逐项考查每两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.【详解】对于选项A ，()g x x =与()f x x =对应法则不同，所以两者不是同一函数； 对于选项B ，()|1|f t t =-与()|1|g x x =-定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数； 对于选项C ，()f x x =与2()log 2xg x =定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；对于选项D ，21()1x f x x -=+的定义域为{}1x x ≠-，而()1g x x =-的定义域为R ，定义域不同，所以两者不是同一函数； 故选：BC.【点睛】本题主要考查同一函数的判定，两个函数是同一函数要满足两个条件：一是定义域要相同；二是对应法则要一致.侧重考查数学抽象的核心素养. 10.若0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ） A. 22a b < B.11a b> C. 122a b <<D. a b ab +<【答案】BD 【解析】 【分析】由不等式的性质及函数的单调性可得正确的选项.【详解】因为2yx 在(),0-∞为减函数，故当0a b <<时，有22a b >，故A 不正确.因为2xy =在R 为增函数，故当0a b <<时，有221a b <<，故C 错误.11b a a b ab--=，因为0a b <<，故0,0ab b a >->， 所以0b aab->即11a b >，故B 正确. 因为0a b <<，故0,0ab b a >+<，所以a b ab +<，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查不等式的性质和函数的单调性，一般地，代数式的大小比较有作差法、作商法，也可以根据其形式选择合适的函数来讨论，本题属于基础题.11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A. 若任意选择三门课程，选法总数为37A B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C CC. 若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C - 【答案】ABD 【解析】 【分析】若任意选择三门课程，选法总数为37C ，若物理和化学至少选一门，选法总数为12212525C C C C +，若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为1221125255C C C C C +-.【详解】若任意选择三门课程，选法总数为37C ，故A 错误若物理和化学至少选一门，选法总数为12212525C C C C +，故B 错误 若物理和历史不能同时选，选法总数为321725C C C -，故C 正确若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为1221125255C C C C C +-故D 错误故选：ABD【点睛】当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单. 12.函数2()32ln f x x x m x =-+-， 下列结论正确的是（ ） A. 3m =时，()f x 有两个零点 B. 3m =时，()f x 的极小值点为2 C. 3m =时，()0f x ≥恒成立 D. 若()f x 只有一个零点，则22ln 2m =+【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案.【详解】对于选项A ，当3m =时，2()332ln f x x x x =-+-，其定义域为()0,∞+，()()2'2122232()23x x x x f x x x x x+---=--==， 令'()0,2f x x =∴=.当02x <<时，'()0f x <；当2x >时，'()0f x >，()f x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞单调递增，()min ()212ln 21ln 40f x f ∴==-=-<，且()(1)10,332ln 30f f =>=->，()f x ∴在定义域内有两个零点，故选项A 正确；对于选项B ，由上面的推导过程可知，当3m =时，()f x 的极小值点为2，故选项B 正确； 对于选项C ，由上面的推导过程可知，()20f <，故选项C 错误；对于选项D ，若()f x 只有一个零点，则方程232ln 0x x m x -+-=只有一个根，即方程232ln m x x x -=--只有一个根，令()232ln ,0g x x x x x =-->，则函数()g x 图象与直线y m =-只有一个交点.()()()2'212232322x x x x g x x x x x+---=∴==--， 令'()0,2g x x =∴=，当02x <<时，'()0g x <；当2x >时，'()0g x >，()g x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()min ()222ln 2g x g ∴==--，且当0x →时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞；∴函数()g x 图象与直线y m =-只有一个交点时，22ln2,22ln2m m -=--∴=+，故选项D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 三､填空题13.()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________ 【答案】14 【解析】 【分析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数. 【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k kx C x x x C --=+++ 当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=. 故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式. 14.甲､乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为45和34，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为___________. 【答案】720【解析】 【分析】分两种情况讨论：①甲晋级而乙未晋级；②乙晋级而甲未晋级.利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件“两人中恰有一人晋级”包含两种情况：①甲晋级而乙未晋级；②乙晋级而甲未晋级.由独立事件的概率乘法公式可得，所求事件的概率为4343711545420P ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：720. 【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.15.在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________.【答案】4 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，可得导函数的最小值，求出使导函数取最小值的x 值，即可得出结果. 【详解】解：由题意得,()22224424f x x x x x'=+≥⋅=， 当且仅当2x =. 故答案为：4.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率，考查基本不等式求最值，是中档题.16.已知函数()()222332,04ln 20x m x m m x f x x m x xe ⎧+++++≤⎪=⎨+->⎪⎩,在区间R 上有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】[)1,2- 【解析】 【分析】根据函数()f x 在R 上有四个不同的零点，得到0x ≤和0x >上各自都有两个零点，分类讨论，即可求解． 【详解】由题意，要使得函数()f x 在R 上有四个不同的零点， 则当0x ≤和0x >上各自都有两个零点，当0x ≤时，函数()()222332[(1)][(2)]0f x x m x m m x m x m =+++++=++++=的两根方程为11x m =--，22x m =--，所以1020m m --≤⎧⎨--≤⎩，解得1m ≥-；当0x >时，函数()4ln 20x m f x x e +=-=，则()244ln 0x f x x-'==，解得x e =， 所以当0x e <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当x e >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =，函数取得最大值()2m f e e -=，所以20me->，解得2m <， 综上可得实数m 的取值范围为[)1,2-． 故答案为：[)1,2-．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到二次函数的零点问题，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 四､解答题17.已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥. (1)当1a =时，求,AB A B ；(2)设0a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}23A B x x ⋂=≤<，{}13A B x x ⋃=<≤；（2）12a << 【解析】 【分析】（1）化简集合,A B ，再进行集合的交、并运算；（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，得到集合B A ≠⊂，再利用数轴得到关于a 的不等式. 【详解】（1）当1a =时，{}{}2|430|13A x x x x x =-+<=<<，集合B {|23}x x =≤≤，所以{|23},{|13}A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=<≤.（2）因为0a >，所以{}|3A x a x a =<<，B {|23}x x =≤≤，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A ≠⊂， 所以2,33,a a <⎧⎨>⎩解得：12a <<.【点睛】利用数轴发现关于a 的不等式时，要注意端点的取舍问题. 18.盒子中放有大小形状完全相同的10个球，其中4个红球，6个白球. （1）某人从这盒子中有放回地随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率；（2）某人从这盒子中不放回地随机抽取3个球，每抽到1个红球得红包奖励20元，每抽到1个白球得到红包奖励10元，求该人所得奖励ξ的分布列.【答案】（1）1625；（2）分布列答案见解析. 【解析】 【分析】（1）方法一：分为三种情况，即抽到2个红球，抽到1个红球1个白球和抽到1个白球1个红球，概率相加得到答案；方法二：至少抽到1个红球的事件的对立事件为2次均没有取到红球(或2次均取到白球)，计算可得结果；（2）随机变量ξ可能的取值为30,40,50,60，计算每个数对应概率，得到分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（1）法1：记抽取红球的事件为A ， 抽取白球的事件为B ，且每次取到红球的概率均为25， 每次取到白球的概率均为35.则至少抽到1个红球的概率表示为： 2233216()55555252P AA+AB+BA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答：至少抽到1个红球的概率为1625. 法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为2次均没有取到红球(或2次均取到白球)， 每次取到红球的概率均为25，每次取到白球的概率均为35， 所以2316()1525P A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭答：至少抽到1个红球的概率为1625. （2） 由题意，随机变量ξ可能的取值为30,40,50,6003463101(30)6C C P C ξ===，12463101(40)2C C P C ξ===，21463103(50)10C C P C ξ===，30463101(60)30C C P C ξ===，所以随机变量ξ的分布表为：ξ30 405060P1612310130【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力，属于基础题. 19.已知函数()2ln f x x x ax =+-．()1当3a =时，求()f x 的单调增区间；()2若()f x 在()0,1上是增函数，求a 得取值范围．【答案】(1) ()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2) 22a ≤【解析】 【分析】（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；（2）已知()f x 在区间（0，1）上是增函数，即()0f x '≥在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【详解】（1）当3a =时，()2ln 3f x x x x =+-，所以()21231(21)(1)23x x x x f x x x x x'-+--=+-==， 由()0f x '>得，102x <<或1x >， 故所求()f x 的单调递增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由()12f x x a x'=+-，∵()f x 在()0,1上是增函数， 所以120x a x +-≥在()0,1上恒成立，即12a x x≤+恒成立，∵1222x x +≥22x =时取等号）， 所以22a ≤(,22a ∈-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和对勾函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力． 20.已知函数()21xf x x =+． （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<． 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x << 【解析】 【分析】 （1）函数()21x f x x =+为奇函数，利用定义法能进行证明；（2）函数()21xf x x =+在()1,1-为单调递增函数，利用定义法能进行证明；（3）由()()210f x f x -+<，得()()21f x f x <--，由此能求出原不等式的解集．【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明如下：()f x 定义域为R ，又()()()2211xxf x f x x x --==-=-+-+，()21x f x x ∴=+为奇函数． （2）函数()f x 在（-1，1）为单调函数．证明如下： 任取12-11x x <<<，则()()()()221212121212222212121111x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++ ()()()()()()()()12212121122222121211111x x x x x x x x x x xx xx -----==++++12-11x x <<<， 21120,10x x x x ∴->-<，()()()()211222121011x x x x x x --∴<++，即()()12f x f x <，故()21xf x x =+在（-1，1）上为增函数． （3）由（1）、（2）可得()()()()()2102112,f x f x f x f x f x -+<⇔<--=-则12{111211x xx x <--<<-<-<，解得： 103x <<，所以，原不等式的解集为1{|0}3x x <<．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系.21.如图所示，某建筑公司要在一块宽大的矩形地面上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M ，N ，交曲线于点P ，设(())P t f t ，．（1）将OMN (O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数()S t ； （2）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值． 【答案】（1）S(t)＝()221,(0)4at a t at<<＋（2）a ＝43，23【解析】【详解】试题分析：（1）求()f t 的导函数，设出P 的坐标，确定过点P 的切线方程，进而可得M N 、的坐标，表示出三角形的面积；（2）把代入()S t ，利用导数研究()S t 的最值问题，即可确定△OMN（O 为坐标原点）的面积的最小值.试题解析：（1）∵曲线2()1(0)f x ax a =->，可得()2f x ax '=-，(,())P t f t ．直线MN 的斜率为：()2k f t at '==-，可得:()()2()MN L y f t k x t at x t -=-=--，令0y =，可得212M at x t at -=+，可得21,02at M t at ⎛⎫-+⎪⎝⎭； 令0x =，可得21M y at =+，可得2(0,1)N at +，∴()()2222111()1,(0)224OMNat at a s t Sat t atat++==⨯+⨯=<<；（2）12t =时，()s t 取得最小值， ()()()()22222222222124411124()1616at at at a at ata t a S t a t a t '+⨯⨯-++-==，∴102S ⎛⎫=⎪⎭'⎝，可得2112404a a ⨯-=，可得43a =， 此时可得()s t 的最小值为()22112243at S at+⎛⎫==⎪⎝⎭. 考点：1.函数的最值；2.抛物线的应用；3.函数的解析式. 22.函数()ln()af x x t x=++，其中t ，a 常数.（1）若0t =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若0t =时，不等式()1f x ≥在(0,1]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若()xag x e x=+，当2t ≤时，试比较()f x 与()g x 的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）[)1,+∞；（3）()()g x f x >. 【解析】 【分析】（1）代入t 的值，求得导函数，对a 进行分类讨论，根据导数的正负确定单调区间即可．（2）代入t 的值，根据不等式分离参数，通过构造函数()(]ln ,0,1g x x x x x =-+∈，再求()g x '，根据其单调性求得最大值即可得a 的取值范围．（3）要证明不等式成立，根据分析法得到只需证明()ln 20xe x -+>成立即可．通过构造函数()()ln 2x F x e x =-+，利用导数研究其单调性与最值，根据最小值即可得证．【详解】（1）定义域为()0,∞+，()21a f x x x =-'+ 2x ax -=， 当0a ≤时，0x，0x a ∴-> ()0f x '∴>，()f x ∴在定义域()0,∞+上单调递增；当0a >时，x a >时，()0f x '>，()f x ∴单调递增；当0x a <<时，()0f x '<.()f x ∴单调递减；综上可知：当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当0a >时，增区间为(),a +∞，减区间为()0,a ； （2）()1a f x x ≥⇔+ ln 1ln ax x x≥⇔≥- 1a +⇔≥ ln x x x -+对任意(]0,1x ∈恒成立.即等价于[]max ln a x x x ≥-+，(]0,1x ∈，令()(]ln ,0,1g x x x x x =-+∈.()1ln 1g x x x x=--⋅+'= ln 0x -≥，(]0,1x ∈，()g x ∴在(]0,1上单调递增，()()max 11g x g ∴==， 1a ∴≥.故a 的取值范围为[)1,+∞.（3）要证明()()g x f x >，即证明()()0g x f x ->，只要证()ln 0xe x t -+>，即证()()ln ln 20xxe x t e x -+≥-+>，只要证明()ln 20xe x -+>即可，令()()ln 2xF x e x =-+，()12xF x e x =-'+在()2,-+∞上是单调递增，()()1000F F '⎧'-<⎪⎨>⎪⎩， ()0F x '∴=在()2,-+∞有唯一实根设为0x ，且()01,0x ∈-，当()02,x x ∈-时()0F x '<，()F x 单调递减 当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增 从而当0x x =时，()F x 取得最小值，由()0F x '=得：0012x e x =+，即()00ln 2x x =-+， ()()ln 2xF x e x =-+()0001ln 22x e x x ≥-+=++ 0x = ()200102x x +>+， 故当2t ≤时，证得：()()g x f x >.【点睛】本题考查了导数在函数单调性、最值中的综合应用，分离参数法、构造函数法的综合应用，属于难题．。
江苏省盐城中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9B．10C．11D．82．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（）＝（）A．B．C．D．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．B．C．D．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5B．15C．10D．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f（x）e，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）e（x∈R），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（）A．10与8B．10与2C．8与10D．2与106．设n∈N*，则C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n除以9的余数为（）A．0B．8C．7D．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（）A．B．C．D．8．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18B．36C．54D．7210．设函数，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X 均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4D．12．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C．D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数在f（x）＝﹣x在[1，2]上的最大值是．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分）17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为，丙做对该题的概率为，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P a b（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9B．10C．11D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（）＝（）A．B．C．D．【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5B．15C．10D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题．5．已知正态密度曲线的函数关系式是f（x）e，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）e（x∈R），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（）A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f（x）e，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2．故选：B．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题．6．设n∈N*，则C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n除以9的余数为（）A．0B．8C．7D．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论．解：因为C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n＝（1+8）n＝9n；故除以9的余数为0；故选：A．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，计算求得结果．解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是••，故选：B．【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，属于基础题．8．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x3【分析】由题意可得a0+a1+a2+…+a n＝（1+1）n＝64，得n＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为a0+a1+a2+…+a n＝（1+1）n＝64，得n＝6，故展开式中系数最大的项是第四项；即x3＝20x3；故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18B．36C．54D．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．B．C．D．【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax ax1＝a（x﹣1）1+a≥21+a＝（1）2，当且仅当x1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A），故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X 均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4D．【分析】推丑陋同P（X＝1）从而E（X），D（X）＝（0）2（1）2，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中，∴P（X＝1），E（X），D（X）＝（0）2（1）2，在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正确；在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C错误；在D中，D（X），故D错误．故选：AB．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C．D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．解：A．正确；因为令g（x）lnx，在（0，+∞）上是增函数，∴当0＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2），∴即x2f（x1）＜x1f（x2）．B．错误；因为令g（x）＝f（x）+x＝xlnx+x∴g′（x）＝lnx+2，∴x∈（e﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（0，e﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．∴x1+f（x1）与x2+f（x2）无法比较大小．C．错误；因为令g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，g′（x）＝lnx，∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）单调递减，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x1＜x2＜1时，g（x1）＞g（x2），∴f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，∴0．当1＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2）∴f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，∴．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数在f（x）＝﹣x在[1，2]上的最大值是0．【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．解：因为f′（x）＝﹣10，所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有40种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C51＝5种情况，剩余4人，平均分成2组，有3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案；②、Grace参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有C52＝10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案；【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分）17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为，丙做对该题的概率为，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P a b（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为，丙做对该题的概率为，且三位学生能否做对相互独立，∴a，b＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）＝1．（2）E（X）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x的指数为8，求出k的值即可；（2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r的值．解：（1）二项式展开式的通项如下：，由已知令10﹣r＝8，所以r＝2．所以含x8项的系数为．（2）第3r项与第r+2项的二项式系数相等，则，即3r﹣1＝r+1或3r﹣1+r+1＝10．解得r＝1或（舍）．故r的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X的取值只有0，1两种，P（X＝0），P（X＝1），∴X的分布列为：X01P（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，∴顾客乙中奖的概率为：P．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），∴Y的可能取值为0，10，20，50，60，P（Y＝0），P（Y＝10），P（Y＝20），P（Y＝50），P（Y＝60），∴随机变量Y的概率分布列为：Y010205060PEY16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及800200100050岁以下总计12008002000计算K2333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x ＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，，令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得或x＞1，……所以f（x）在单调递增，在，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2019-2020-2高二期中考试理科数学试卷(含答案)
当且仅当 a b 1 6 时等号成立， a b 的最小值为 2 2 6 ． 20．解：（Ⅰ）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6 6 36 ， （2 分）
D． 105 1024
13. 高一、高二、高三三个年级共有学生 1800 人，其中高一共有学生 800 人，现
用分层抽样的方法抽取 90 人作为样本，则应抽取高一学生为 人．
14. 已知二进制数1010(2) 化为十进制数为 n ，则 n 为 ．
15. 已知函数 f (x) log2 (| x 1| | x 2 | m) ．若关于 x 的不等式 f (x) 2 的解集
画出图形如图，矩形的面积为 S矩形 25 ，
阴影部分的面积为
S阴影
25
1 2
2
4
21 ， （10
分）
故满足 ab 0 的概率为 21 ． （12 分） 25
21．解：（Ⅰ）证明： f (x) | x a | | x 1 | | x a x 1 || a 1 | 2 ；
a
a
a
一．选择题（共 12 小题）
1． D 2． B 3． C 4． A 5． D 6． D
7． D 8． B 9． C 10． D 11． D 12． C
二．填空题（共 4 小题）
13． 40． 14． 10．
15． m≤− 1
16．
[0,
16 5
]
三．解答题（共 6 小题）
17． 解：（Ⅰ）由题意可得 a 1 [1 (0.01 0.06 0.07 0.04) 5] 0.02 ． 5
江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学期中试卷
江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1．化简：A 52=（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 2．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．(sin )cos x 'x =- C ．(3)'3x x = D ．1(ln )x '=x 3． (a +b)5的展开式中a 3b 2的系数为（ ）A ．20B ．10C ．5D ．1 4．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ） A ．950 B ．12 C ．910D ．14 5．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若512020+a 能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ）A ．11113213C C C CB ．2343C A C ．122342C C AD ．18 11．已知()n a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数f(x)=x 2,当∆x →0时，f (1+∆x )−f(1)∆x →A ,则A = __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=c k+1，k =0，1，2，3，则P(ξ=2)= __________.16. 若对任意0x >，恒有()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分）已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++L ，①求012n a a a a ++++L ；②若在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值； （2）设2012()(1)(1)(1)n n f x b b x b x b x =+++++++L ，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0. （1）求实数a 的值；（2）若直线y =b 与函数f(x)图象交于A,B 两点,A(x 1,f(x 1)), B(x 2,f(x 2)),且12x x <，A,B 两点的中点M 的横坐标为x 0,证明：x 0>1.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >.（1）若a =1，证明：f(x)≤0；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：徐小美、张茂城审核人：蒋红慧。
2019-2020学年扬州中学高二下学期期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年扬州中学高二下学期期中数学试卷(文科)一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={1,2，3，4}，B={−2,0，2}，则A∩B=______．2.据国家海洋研究机构统计，中国有约120万平方公里的海洋国土处于争议中，该数据可用科学记数法表示为平方公里．3.下列命题中(1)在等差数列{a n}中，m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)是a m+a n=a s+a t的充要条件；(2)已知等比数列{a n}为递增数列，且公比为q，若a1<0，则当且仅当0<q<1；(3)若数列{n2+λn}为递增数列，则λ的取值范围是[−2,+∞)；(4)已知数列{a n}满足12a1+122a2+123a3+⋯+12na n=2n+5，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1(5)若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零．其中正确命题是______(只需写出序号)4.已知f(x)=a sin3x+b tan x+1，若f(2)=3，则f(2π−2)=______ ．5.设P为曲线C：f(x)=x2−x+1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[−1,3]，则点P的纵坐标的取值范围是________．6.实数x，y>0，且x+2y=4，那么log2x+log2y的最大值是______ ．7.已知f(2x+1)=3x−2，且f(a)=4，则a的值是______ ．8.“sinθ≠12”是“θ≠30°”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)9.函数y=√3−x+1x2−x−6的定义域为______ ．10.对于mn，且m，n∈N且m，n≥2可以按如下的方式进行“分解”，例如72的“分解”中最小的数是1，最大的数是13.若m3的“分解”中最小的数是651，则m=______11.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．12.若f′(2)=1，则lim△x→0f(2+2△x)−f(2)△x=______ ．13.定义域为R的奇函数y=f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，则y=f(x)在区间[0,2]上至少有______个零点．14.函数f(x)=4x2−mx+5在[2,+∞)上为增函数，则m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.实数a取什么值时，复数z=a2−1+(a+1)i.是(I)实数；(Ⅱ)虚数；(Ⅲ)纯虚数．16.设命题p：函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上单调递增；q：关于x的方程x2+2x+log a32=0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17.发烧是因为体内的白细胞为了吞掉细菌而迅速增加，耗氧增加而引起．发烧本身不是疾病，而是一种症状，它是体内抵抗感染的机制之一．为避免体温持续过高引发肺炎、脑膜炎、心肌炎等多种疾病，持续高烧的患者需要及时服用退烧药．某退烧药在病人血液中的含量不低于2克时，具有治疗作用．已知每服用a(1≤a≤5且a∈R)个单位的药，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系近似地表示为y=a⋅f(x)，其中f(x)={94+x ,0≤x<5,7−x 2,5≤x≤7.．(1)若病人一次服用2个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，5小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．18.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x．(1)求函数f(x)的解析式及其值域；(2)设x0是方程f(x)=4−x的解，且x0∈(n,n+1)，n∈Z，求n的值；(3)若存在x≥1，使得(a+x)f(x)<1成立，求实数a的取值范围．19.(本小题满分12分)已知函数，的最大值为．(1)求的值；(2)若，，求．−alnx+1(a∈R)．20.设函数f(x)=x−4x(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，求f(x)的极值；(2)当a≤4时，若不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：{2}解析：解：∵A={1,2，3，4}，B={−2,0，2}；∴A∩B={2}．故答案为：{2}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：解析：试题分析：根据科学计数法的规定可知120万用科学计数法可以表示为．考点：本小题主要考查科学计数法的应用．点评：科学计数法的应用十分广泛，要注意准确应用．3.答案：(2)(5)解析：解：(1)在等差数列{a n}中，m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)⇒a m+a n=a s+a t，反之不成立，例如常数列a n=0，不正确；(2)等比数列{a n}为递增数列，且公比为q，若a1<0，则当且仅当0<q<1，正确；(3)数列{n2+λn}为递增数列，则(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn，化为：λ>−(2n+1)，∴λ>−3，因此λ的取值范围是(−3,+∞)，因此不正确；(4)数列{a n}满足12a1+122a2+123a3+⋯+12na n=2n+5，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，n=1时，a1=14，不成立，因此不正确；(5)若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，若q≠1，则S n=a11−q−a11−q q n，则A+B=0−q=1时，S n=na1，不满足条件，舍去．因此A+B为零，正确．其中正确命题是(2)(5)．故答案为：(2)(5)．(1)在等差数列{a n}中，由m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)⇒a m+a n=a s+a t，反之不成立，可举反例；(2)利用等比数列的单调性即可判断出正误；(3)数列{n2+λn}为递增数列，则(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn，化简即可得出；(4)n=1时，a1=14，不成立；(5)由已知q≠1，S n=a11−q −a11−qq n，即可验证A+B=0−本题考查了等差数列等比数列的定义通项公式求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：−1解析：解：f(x)=a sin3x+btanx+1，若f(2)=3，则f(2π−2)=a sin3(2π−2)+btan(2π−2)+1=−a sin32−btan2+1=−(a sin32+btan2+1)+2=−3+2=−1故答案为：−1利用诱导公式以及函数值求解即可．本题考查诱导公式以及函数值的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．5.答案：解析：设P(x0,y0)，则f′(x)=2x−1．∴−1≤2x0−1≤3，即0≤x0≤2．∵y0=f(x0)=−x0+1= 2+，∵x0∈[0,2]，∴≤y0≤3，故点P的纵坐标的取值范围是．6.答案：1解析：解：∵实数x，y>0，且x+2y=4，∴4≥2√2xy，化为xy≤2，当且仅当x=2y=12时取等号．则log2x+log2y=log2(xy)≤log22=1．因此log2x+log2y的最大值是1．故答案为：1．利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．本题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题．7.答案：5解析：解：令t=2x+1得，x=t−12，代入f(2x+1)=3x−2得，f(t)=32t−72，则f(x)=32x−72，则f(a)=32a−72=4，解得a=5，故答案为：5．令t=2x+1得x=t−12，代入解析式求出f(x)的解析式，再由f(a)=4列方程求出a的值．本题考查了函数的解析式的求法：换元法，以及函数的值，属于基础题．8.答案：充分不必要解析：解：“sinθ≠12”能推出“θ≠30°是充分条件，“θ≠30°推不出sinθ≠12，不是必要条件，故答案为：充分不必要根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．9.答案：{x|x<3且x≠−2}解析：解：由{3−x ≥0x 2−x −6≠0，解得x <3且x ≠−2． ∴函数y =√3−x +1x 2−x−6的定义域为{x|x <3且x ≠−2}．故答案为：{x|x <3且x ≠−2}．由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 10.答案：26解析：解：由题意，m 2−(m −1)=651，∴m =26或−25(负数舍去)，即m =26．故答案为：26．观察m 的3次方分解规律中，发现：所分解的最小数是m 的平方与m −1的差．根据发现的规律进行计算即可．本题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解．规律为：在m 2中所分解的最大的数是2m −1；在m 3中，所分解的最小数是m 2−m +1．11.答案：解析：解析：略 12.答案：2解析：解：∵f′(2)=1，∴lim △x→0f(2+2△x)−f(2)△x =lim △x→0f(2+2△x)−f(2)2△x×2 =2f′(2)=2×1=2．故答案为：2．根据题意，由导数在某一处的定义，求出计算结果．本题考查了导数的定义的应用问题，解题时应明确导数的定义公式，从而得出计算结果，是基础题．13.答案：3解析：解：f(x−1)=f(x+1)，∴f(x)=f(x+2)，即函数是周期为2的周期函数，∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，则f(2)=f(0)=0，令f(x−1)=f(x+1)中x=0，则f(−1)=f(1)=−f(1)，则f(1)=0，即0，1，2为y=f(x)在区间[0,2]上的零点，则y=f(x)在区间[0,2]上至少有3个零点，故答案为：3根据条件判断函数的周期是2，结合函数奇偶性和周期性，以及函数零点的定义进行判断即可．本题主要考查函数零点的个数，结合条件判断函数的周期，利用函数的周期以及奇偶性进行转化是解决本题的关键．难度中等．14.答案：(−∞,16],+∞)，解析：解：函数f(x)的增区间为[m8又f(x)在[2,+∞)上为增函数，所以[2,+∞)⊆[m，+∞)，8≤2，解得m≤16，则m8所以m的取值范围是(−∞,16]．故答案为：(−∞,16]．由f(x)在[2,+∞)上为增函数，得[2,+∞)为f(x)增区间的子集，由此得到不等式，解出即可．本题考查二次函数的单调性，属基础题，若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则[a,b]为f(x)增区间的子集．15.答案：解：(I)当a+1=0，即a=−1时，复数z是实数；(II)当a+1≠0，即a≠−1时，复数z是虚数；(III)当{a2−1=0，即a=1时，复数z是纯虚数．a+1≠0解析：(I)当a +1=0，复数z 是实数；(II)当a +1≠0，复数z 是虚数；(III)当{a 2−1=0a +1≠0，复数z 是纯虚数． 本题考查了复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16.答案：解：由命题p 得a >1；由命题q 知关于x 的方程x 2+2x +log a 32=0无解，∴△=4−4log a 32<0，解得1<a <32； 由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假知p ，q 中一真一假；∴若p 真q 假，则：a >1，且0<a <1，或a ≥32，∴a ≥32；若p 假q 真，则0<a <1，或1<a <32，解得a ∈⌀；综上得，实数a 的取值范围为[32,+∞)．解析：先求出命题p ，q 下的a 的取值范围，根据p ∨q 为真，p ∧q 为假可知p ，q 一真一假．所以讨论，p 真q 假，和p 假q 真两种情况，求出a 的范围求并集即可．考查对数函数的单调性，一元二次方程的解和判别式△的关系，p ∨q ，p ∧q 的真假情况和p ，q 真假情况的关系．17.答案：解：(1)a =2时，y ={184+x ,0≤x <514−2x 2,5≤x ≤7； 当0≤x <5时，由184+x ≥2，解得x ≤5，此时0≤x <5；当5≤x ≤7时，由14−2x 2≥2，解得x ≤5， 此时x =5；综上0≤x ≤5，故有效治疗的时间可达5小时；(2)当5≤x ≤7时，y =2×7−x 2+m ⋅94+x−5=7−x +9m x−1，其中1≤m ≤4，m ∈R ； 又函数y 1=7−x 与y 2=9m x−1在区间[5,7]上单调递减，∴函数y =7−x +9m x−1在区间[5,7]上单调递减；∴当x =7时，y min =9m 6≥2，解得m ≥43；∴m 的最小值是43．解析：(1)利用分段函数表示a =2时函数y 的解析式，求出有效治疗的时间；(2)判断函数y 的单调性，根据函数的性质求出满足题意的m 的最小值．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题．18.答案：解：(1)若x <0，则−x >0，则当−x >0时，f(−x)=2−x ．∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=2−x =−f(x)，则f(x)=−2−x ，x <0，当x =0时，f(0)=0，则f(x)={2x , x >0 , 0 , x =0 , −2−x , x <0 ． …3分值域为(−∞,−1)∪{0}∪(1,+∞).…5分(2)令g(x)=f(x)−(4−x)={2x +x −4 , x >0 , −4 , x =0 , −2−x +x −4 , x <0 ． 显然x =0不是方程f(x)=4−x 的解．当x <0时，g(x)=−2−x +x −4<0，∴方程f(x)=4−x 无负数解． …7分当x >0时，g(x)=2x +x −4单调递增，所以函数g(x)至多有一个零点；…8分又g(1)=−1<0，g(2)=2>0，由零点存在性原理知g(x)在区间(1,2)上至少有一个零点．…9分 故g(x)的惟一零点，即方程f(x)=4−x 的惟一解x 0∈(1,2)．所以，由题意，n =1. …10分(3)设ℎ(x)=2−x −x ，则ℎ(x)在[1,+∞)上递减．∴ℎ(x)max =ℎ(1)=−12.…13分当x ≥1时，f(x)=2x ，不等式(a +x)f(x)<1，即a <2−x −x ．∴当a <−12时，存在x ≥1，使得a <2−x −x 成立，即关于x的不等式(a+x)f(x)<1有不小于1的解．…16分．解析：(1)根据函数奇偶性的对称性即可求函数f(x)的解析式及其值域；(2)根据函数和方程之间的关系进行求解即可；(3)构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．19.答案：解析：20.答案：解：(1)∵f(x)=x−4x −alnx+1，∴f′(x)=1+4x2−ax，由题意，切线斜率k=f′(1)=1+4−a=0，∴a=5．∴f(x)=x−4x −5lnx+1，f′(x)=1+4x2−5x=x2−5x+4x2(x>0)．由f′(x)=0，得x=1或x=4．x(0,1)1(1,4)4(4,+∞)f′(x)+0−0+f(x)增函数极大值减函数极小值增函数∴f(x)的极小值为f(4)=4−1−5ln4+1=4−10ln2，f(x)的极大值为f(1)=1−4−0+1=−2．(2)由题意，当a≤4时，f(x)在[1,4]上的最大值M≥2．f′(x)=x2−ax+4x2(1≤x≤4)．(i)当−4≤a≤4时，f′(x)=(x−a2)2+4−a 24x2≥0，故f(x)在[1,4]上单调递增，M=f(4)，(ii)当a<−4时，设x2−ax+4=0(△=a2−16>0)的两根为x1，x2，则x1+x2=a<0，x1x2=4，故x1，x2<0．∴在[1,4]上f′(x)=x2−ax+4x2>0．故f(x)在[1,4]上单调递增，M=f(4)．综上所述，当a≤4时，f(x)在[1,4]上的最大值M=f(4)=4−1−aln4+1≥2．解得：a≤1ln2．∴a的取值范围是(−∞,1ln2].解析：(1)求出原函数的导函数，由题意得到f′(1)=0，求得a值，代入f(x)后利用导数求得极值点，进一步求得极值；(2)把不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解转化为f(x)在[1,4]上的最大值M≥2，把原函数求导后对a 分类求得函数的最大值，再由最大值M≥2求得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，把不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解转化为f(x)在[1,4]上的最大值M≥2是解答该题的关键，是压轴题．。
高二数学期中检测(答案)
江苏省扬中高级中学高二第二学期期中检测数 学 答 案 2020.05一、选择题A D C DB ACD BC BD ACD ABD 二、填空题13．14 14．720 15．4 16．[)1,2- 三、解答题17．（1）当1a =时，{}{}2|430|13A x x x x x =-+<=<<，集合B {|23}x x =≤≤，所以{|23},{|13}A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=<≤. -----------5分 （2）因为0a >，所以{}|3A x a x a =<<，B {|23}x x =≤≤，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A ≠⊂， 所以2,33,a a <⎧⎨>⎩解得：12a <<. -----------10分18．(1)法1：记抽取红球的事件为A , 抽取白球的事件为B ，且每次取到红球的概率均为25， 每次取到白球的概率均为35。
则至少抽到1个红球的概率表示为： 22233216(AA+AB+BA)()()()()()5555525=++=P答：至少抽到1个红球的概率为1625. 法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为2次均没有取到红球（或2次均取到白球）， 每次取到红球的概率均为25，每次取到白球的概率均为35， 所以2316()1()525=-=P A 答：至少抽到1个红球的概率为1625. -----------4分 (2) 由题意,随机变量ξ可能的取值为30,40,50,6003463101(30)6C C P C ξ===，12463101(40)2C C P C ξ===，21463103(50)10C C P C ξ===，30463101(60)30C C P C ξ===，所以随机变量ξ的分布表为：-----------10分 19．（1）当3a =时，()2ln 3f x x x x =+-，所以()123f x x x+'=-，由0f x 得，102x <<或1x >， 故所求()f x 的单调递增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. -----------4分 （2）由()12f x x a x'=+-， ∵()f x 在0,1上是增函数， 所以120x a x+-≥在0,1上恒成立， 即12a xx≤+恒成立，-----------8分 ∵12x x +≥2x =时取等号）， 所以a ≤(a ∈-∞. -----------12分 20．（1）函数()f x 为奇函数．证明如下：()f x 定义域为R ，又()()()2211xxf x f x x x --==-=-+-+， ()21xf x x ∴=+为奇函数． -----------3分 （2）函数()f x 在（-1，1）为单调函数．证明如下： 任取12-11x x <<<，则()()()()221212121212222212121111x x x x x x x xf x f xx x x x+---=-=++++()()()()()()()()12212121122222121211111x x x x x x x x x xx x x x-----==++++12-11x x<<<，21120,10x x x x∴->-<，()()()()21122212111x x x xx x--∴<++，即()()12f x f x<，故()21xf xx=+在（-1，1）上为增函数．-----------8分（3）由（1）、（2）可得()()()()()2102112,f x f x f x f x f x-+<⇔<--=-则12{111211x xxx<--<<-<-<，解得：13x<<，所以，原不等式的解集为1{|0}3x x<<．-----------12分21．（1）∵曲线，可得，．直线的斜率为：，可得，令，可得，可得；令，可得，可得，∴；-----------6分（2）时，取得最小值，，∴，可得，可得，此时可得的最小值为. -----------12分22．解（1）定义域为()0,∞+，()21a f x x x =-'+ 2x a x -=，当0a ≤时，0x，0x a ∴-> ()0f x '∴>，()f x ∴在定义域()0,∞+上单调递增；当0a >时，x a >时，()0f x '>，()f x ∴单调递增；当0x a <<时，()0f x '<．()f x ∴单调递减；综上可知：当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当0a >时，增区间为(),a +∞，减区间为()0,a ； -----------4分 （2）()1a f x x ≥⇔+ ln 1ln ax x x≥⇔≥- 1a +⇔≥ ln x x x -+对任意(]0,1x ∈恒成立.即等价于[]max ln a x x x≥-+，(]0,1x ∈，令()(]ln ,0,1g x x x x x =-+∈.()1ln 1g x x x x=--⋅+'= ln 0x -≥，(]0,1x ∈，()g x ∴在(]0,1上单调递增，()()max 11g x g ∴==，1a ∴≥.故a 的取值范围为[)1,+∞. -----------9分（3）要证明()()g x f x >，即证明()()0g x f x ->，只要证()ln 0xe x t -+>，即证()()ln ln 20xxe x t e x -+≥-+>，只要证明()ln 20xe x -+>即可，令()()ln 2xF x e x =-+，()12x F x e x =-'+在()2,-+∞上是单调递增，()()1000F F '⎧'-<⎪⎨>⎪⎩， ()0F x '∴=在()2,-+∞有唯一实根设为0x ，且()01,0x ∈-，当()02,x x ∈-时()0F x '<，()F x 单调递减 当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增 从而当0x x =时，()F x 取得最小值，由()0F x '=得：0012x e x =+，即()00ln 2x x =-+， ()()ln 2x F x e x =-+()0001ln 22xe x x ≥-+=++ 0x = ()200102x x +>+， 故当2t ≤时，证得：()()g x f x >. -----------14分。
江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题【含答案】
江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．化简：（ ）A ．B ．C ．30D ．402．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．(sin )cos x 'x =-C ．(3)'3x x= D ．1(ln )x '=x 3．的展开式中的系数为（ ）A ．20B ．C ．5D ．14．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ）A ．950 B ．12C ．910D ．145．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ） A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ） A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） A ．-3是()f x 的一个极小值点； B ．-2和-1都是()f x 的极大值点； C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞； D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ） A ．11113213C C C CB ．2343C AC ．122342C C AD ．1811．已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin xf x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数当时，,则= __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为，，则 __________.16. 若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分）已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++，①求012n a a a a ++++；②若在012,,,,n a a a a 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值；（2）设2012()(1)(1)(1)nn f x b b x b x b x =+++++++，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0.（1）求实数a 的值； （2）若直线与函数图象交于两点,,,且12x x <，两点的中点的横坐标为证明：.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >. （1）若，证明：；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：徐小美、张茂城审核人：蒋红慧江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥．令()ln xf x x =，则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e-=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14． 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+.设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点.所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人 从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法. 18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合.（2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表)又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-， ∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率.答：甲答对1题乙答对2题的概率为（2）m 的所有取值有1，2，3，，，，1 2 3故或.由题意可知，，，，1 2 3故或.答：甲、乙两位同学答对题目数的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)n nnf x x a a x a x a x=+++++=，①令1x=，则0123nna a a a+++=+；②因为二项式(2)nx+展开式的通项为：12r n r rr nT C x-+=，又在012,,,,na a a a中，唯一的最大的数是4a，所以445544332222n nn nn nn nC CC C----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n nn nA AA AA AA A⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411nn<⎧⎨>⎩，即1114n<<，又*n N∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nn nnf x x x b b x b x b x=+++=++++++=+，根据二项展开式的通项公式，可得，rr nb C=，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!1 11nrr rnn nC Cr r r n r n r n r nbr+++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++，则()11231111112(1)12112111n nnn n nnrrn nbrC C Cn n n+++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x xx x-+'=-+=（0x>）.因为0a <，所以180a ->，令得11184a x --=，21184ax +-=， 且10x <，20x >，在118,4a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上；在1180,4a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭上；所以函数()f x 在1184a x +-=时，取最小值0，又()10f =，所以11814a +-=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--， 设（），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤），则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即22．【解析】（1）,增；减；.（2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=.令()00f x '=可得04a x +=（负值舍去）. 在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，014a x +=<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，014a x +=>，所以()f x 在(0,1)上递增. 又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =.结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点.综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =；当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。
江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期期中考试参考答案
江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥．令()ln xf x x =，则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e -=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14．2 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+.设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点. 所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人 从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法.18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合.（2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表) 又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-，∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率 P(A)=C 32(23)2(13)=49. 答：甲答对1题乙答对2题的概率为49. （2）m 的所有取值有1，2，3，m~H(3,4,6) P (m =1)=C 41C 22C 63=15，P (m =2)=C 42C 21C 63=35，P (m =3)=C 43C 63=15，故E (m )=1×15+2×35+3×15=2或E (m )=3×46=2. 由题意可知n ∼B (3,23)，P (n =1)=C 31(23)1(13)2=29，P (n =2)=C 32(23)2(13)=49，P (n =3)=C 33(23)3=827，故E (n )=1×29+2×49+3×827=2或E (n )=3×23=2. 答：甲、乙两位同学答对题目数m,n 的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)nnn f x x a a x a x a x =+++++=L ， ①令1x =，则0123n n a a a a +++=+L ；②因为二项式(2)nx +展开式的通项为：12rn rr r n T C x -+=，又在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，所以445544332222n n n n n n n n C C C C ----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n n n nA A A A A A A A ⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411n n <⎧⎨>⎩，即1114n <<， 又*n N ∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nn n n f x x x b b x b x b x =+++=++++++=+L ， 根据二项展开式的通项公式，可得，rr n b C =，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!111n r r r n n n C C r r r n r n r n r n b r +++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++， 则()11231111112(1)12112111n n n n n n nr r n n b r C C C n n n +++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x x x x-+'=-+=（0x >）.因为0a <，所以180a ->， 令f ′(x )=0得1x =2x =， 且10x <，20x >，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上f ′(x )>0；在⎛ ⎝⎭上f ′(x )<0； 所以函数()f x在x =时，取最小值0，又()10f =1=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--，设f (x 1)=f (x 2)=b （b >0），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤）， 则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即x 0>1. 22．【解析】（1）f ′(x )=1x −2x +1=−(x−1)(2x+1)x,x ∈(0,1),f ′(x )>0,f(x)增；x ∈(1,+∞),f ′(x )<0,f(x)减；∴f (x )≤f (1)=0. （2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=. 令()00f x '=可得0x =（负值舍去）.在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，014a x +=<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，014a x +=>，所以()f x 在(0,1)上递增.又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =. 结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点.综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =； 当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。
江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学(含答案)
江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．化简：A 52=（ ） A ．10B ．20C ．30D ．402．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．(sin )cos x 'x =-C ．(3)'3x x= D ．1(ln )x '=x 3． (a +b)5的展开式中a 3b 2的系数为（ ） A ．20B ．10C ．5D ．14．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ）A ．950 B ．12C ．910D ．145．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若512020+a 能被13整除,则a =（ ） A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ） A ．11113213C C C CB ．2343C AC ．122342C C AD ．1811．已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数f(x)=x 2,当∆x →0时，f (1+∆x )−f(1)∆x→A ,则A = __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=ck+1，k =0，1，2，3，则P(ξ=2)= __________. 16. 若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分） 已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分） 已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()nn f x a a x a x a x =++++L ，①求012n a a a a ++++L ；②若在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值；（2）设2012()(1)(1)(1)nn f x b b x b x b x =+++++++L ，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分） 已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0.（1）求实数a 的值；（2）若直线y =b 与函数f(x)图象交于A,B 两点,A(x 1,f(x 1)), B(x 2,f(x 2)),且12x x <，A,B 两点的中点M 的横坐标为x 0,证明：x 0>1.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >. （1）若a =1，证明：f(x)≤0；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127kxx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x ≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k ≥．令()ln xf x x=， 则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e -=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14．2 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+. 设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点. 所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法. 18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合. （2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表) 又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-， ∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率P(A)=C 32(23)2(13)=49.答：甲答对1题乙答对2题的概率为49. （2）m 的所有取值有1，2，3，m~H(3,4,6) P (m =1)=C 41C 22C 63=15，P (m =2)=C 42C 21C 63=35，P (m =3)=C 43C 63=15，5+2×35+3×15=2或E (m )=3×46=2. 由题意可知n ∼B (3,23)，P (n =1)=C 31(23)1(13)2=29，P (n =2)=C 32(23)2(13)=49，P (n =3)=C 33(23)3=827，9+2×49+3×827=2或E (n )=3×23=2. 答：甲、乙两位同学答对题目数m,n 的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)n nn f x x a a x a x a x =+++++=L ，①令1x =，则0123n na a a a +++=+L ；②因为二项式(2)nx +展开式的通项为：12r n r r r n T C x -+=，又在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，所以445544332222n n n n n n n n C C C C ----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n n n nA A A A A A A A ⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411n n <⎧⎨>⎩，即1114n <<， 又*n N ∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nnnn f x x x b b x b x b x =+++=++++++=+L ，根据二项展开式的通项公式，可得，rr n b C =，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!111n r r r n n n C C r r r n r n r n r n b r +++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++， 则()11231111112(1)12112111n n n n n n nr r n n b r C C C n n n +++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x x x x-+'=-+=（0x >）. 因为0a <，所以180a ->，令f ′(x )=0得114x =，214x =， 且10x <，20x >，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上f ′(x )>0；在⎛ ⎝⎭上f ′(x )<0； 所以函数()f x在14x =时，取最小值0，又()10f =，所以114=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--，设f (x 1)=f (x 2)=b （b >0），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤）， 则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即x 0>1.22．【解析】（1）f ′(x )=1x −2x +1=−(x−1)(2x+1)x, x ∈(0,1),f ′(x )>0,f(x)增；x ∈(1,+∞),f ′(x )<0,f(x)减；∴f (x )≤f (1)=0. （2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=.令()00f x '=可得0x =（负值舍去）.在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，014a x +=<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，01x =>，所以()f x 在(0,1)上递增.又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =.结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点. 综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =； 当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。
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．
（1）判断并证明函数 f ( x) 的奇偶性；
（2）判断当 x (−1,1) 时函数 f ( x) 的单调性，并用定．义．法．证明；
（3）若 f ( x) 定义域为 (−1,1) ，解不等式 f (2x −1) + f ( x) 0 ．
21．（本小题满分 12 分） 如图所示，某建筑公司要在一块矩形地面上进行开发，阴影部分为一公共设施不能开发，且 要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线 f (x) =1− ax2(a 0) 的一部
A． m = 3 时， f (x) 有两个零点
B． m = 3 时， f (x) 在 x = 2 处取极小值
C． m = 3 时， f (x) 0 恒成立
D．若 f (x) 只有一个零点，则 m = 2 + 2 ln 2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡的相应位置横线上）
江苏省扬中高级中学高二第二学期期中检测
数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
2020.05
（一）单项选择题（本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．设 x R ，则“| x − 2 | 1”是“ x2 + 2x − 3 0 ”的（ ▲ ）
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
A.0.5%
B.1%
C.99%
D.99.5%
3．若 6 把钥匙中只有 2 把能打开某锁，则从中任取 2 把能将该锁打开的概率为（ ▲ ）
A． 8 15
B． 1 15
C． 3 5
D． 1 3
4．已知两变量 x 和 y 的一组观测值如下表所示：
x
2
3
4
y
5
4
6
如果两个变量线性相关，且线性回归方程为
yˆ
=
bˆx
+
7 2
，则
^
b
＝（
A．－ 1 10
B．－ 1 2
C． 1 10
▲）
D． 1 2
5．由 2，3，5，0 组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（ ▲ ）
A．12
B．10
C．8
D．14
6．若函数 f (x) = x(x − c)2 在 x = 2 处取得极小值，则常数 c 的值为（ ▲ ）
A．2
B．6
C．2 或 6
D．1
7．已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且对任意 x R 总有 f ( x + 3) = − f ( x) ，则 f (−9)
的值为（ ▲ ）
A． 3
B． 3 2
C． 0
D． − 9 2
1
8．若函数 f ( x) = ln x (0 x 1) 与函数 g ( x) = x2 + a 有两条公切线，则实数 a 的取值范
围是（ ▲ ）
A．
−
ln
2
−
1 2
,
+
B．
−
ln
2
−
1 2
,
−
3 4
C．
−
ln
2,
−
3 4
D．
−
ln
2
−
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) = x2 + lnx − ax ，其中 a 为常数． （1）当 a = 3 时，求 f ( x) 的单调递增区间； （2）若 f ( x) 在 (0,1) 上是增函数，求 a 得取值范围．
3
20．（本小题满分 12 分）
已知函数
f
(x)
=xBiblioteka x2 +113． ( x + 2)( x +1)4 的展开式中项 x3 的系数为 ▲ ．
14．甲、乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为45和34，且两人是否晋级相互独立，则两人中 恰有一人晋级的概率为 ▲ ．
15．在曲线 f ( x) = x3 − 4 的所有切线中，切线斜率的最小值为 ▲ ．
3x
x2 + (2m + 3) x + m2 + 3m + 2, x 0
科目，下列说法中错．误．的是（ ▲ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为 A73
B．若物理和历史不能同时选，选法总数为 C37 − C15
C．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C12C52
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为 C12C52 − C15
12．函数 f (x) = x2 −3x + m − 2ln x ，下列结论正确的是（ ▲ ）
16．已知函数
f
(x)
=
4 ln x
x
−
m+ e
2
,x
0
在区间 R 上有四个不同的零点，
则实数 m 的取值范围为 ▲ ．
三、解答题（本大题共 6 小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知集合 A = x | x2 − 4ax + 3a2 0 ，集合 B = {x | (x − 3)(2 − x) 0}.
C． f (x) = x 与 g(x) = log2 2x
D． f (x) = x2 −1 与 g(x) = x −1 x +1
10．若 a b 0 ，则下列不等式中正确的是（ ▲ ）
A． a2 b2
B． 1 1 ab
C．1 2a 2b
D． a + b ab
11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考
（1）当 a = 1时，求 A B, A B ； （2）设 a 0 ，若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
18．（本小题满分 10 分）
盒子中放有大小形状完全相同的10 个球，其中 4 个红球， 6 个白球． （1）某人从这盒子中有放回地随机抽取 2 个球，求至少抽到1个红球的概率； （2）某人从这盒子中不放回地随机抽取 3 个球，每抽到1个红球得红包奖励 20 元，每 抽到1个白球得到红包奖励10 元，求该人所得奖励 的分布列．
1 2
,
−
3 4
（二）多项选择题（本题共 4 小题，每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对
的得 5 分，部分选对的得 3 分，错选或不选的得 0 分）
9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ▲ ）
A． f (x) = x 与 g(x) = x2
B． f (t) =| t −1| 与 g(x) =| x −1|
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用 2×2
列联表进行独立性检验，经计算得 χ2＝8.01，则所得到的统计学结论是认为“性别与喜欢乡
村音乐有关系”的把握约为（ ▲ ）
P(χ2≥x0) x0