集值模糊测度的自连续性

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关于集值模糊Choquet积分性质的进一步讨论

定义１
若集值函数满足条件：））一Ｏ（有限；）Ａ， ∈ Ｒ，ｃ则（ ≤ （，１（，）２若ＢＡＢ，Ａ）Ｂ）
则称集值函数为非连续模糊测度，相应的三元组（Ｒ，Ｘ，）为非连续模糊测度空间．注１该定义与原定义略有区别，掉了（去Ｘ）一１的限制，围比原定义更广泛．范
２令ｍ（）一＿ｚ＋ｇｚ，则ｒ（）ＥＦ（））ｚ厂）（（）ＶｚＥＸ，ｅｘｚ＋Ｇ（）一（ｚＦ＋Ｇ）ｚｎｅ于Ｘ，Ｖ口ＥＲ（）．．且，
有＝｛ｌ（）｝｛，ｚ ≥号）ｚｌ（）。ｚｚ ≥ａｌ（）ｒｅｕ｛ｚ ≥导｝＝ｕｇ，ｇ：：旦
ｉｔｇａｒｕｔｅｉｃｓｅｎｅｒｌｅｆｒｈｒｄｓｕｓｄ，ａｄｓｍｅｉｒｃｓｏｎＺａｇＦｅｇｓｕｎｅｅａｉｅｏｅｔｅｆｓｔａｎｏｍｐｅｉｉｎｉｈｎｎ — ｈａｇｇｎｒｌｚｄｐｒｐｒｉｓｏｅ—
１因，）（ｎ・，以（Ｅ（Ｕ（口・，一ｃ一（）为（Ｅｚ・于Ｘ所，）ｚｚ・于ｘ。（ＪｚＦ）ｚＦ）Ｇ）Ｐｚ，ＪｎＯ
Ａ）ａ＜Ｃ，ｄ × ＦＵＧ是Ａ上模糊Ｃｏｕｔ３ｈｑｅ可积的．
ＷＡＮ－ｕＧＡｉ，ＱＩＯｕ —ａｒＡＪｎｊｎｉ
（ｌｇｆＳｉｎｅＣｏｌｅｏｃｅｃ，ＡｇｉｕｔｒｌＵｎｖｒｉｙｏｅｅ，Ｂａｄｎ７０２ｅｒｃｌｕａｉｅｓｔｆＨｂｉｏｉｇ０１０，Ｃｈｎ）ｉａ

模糊Choquet积分遗传性质的若干研究

（＝（ｎ） ≥ （￣，）－ＢＡ』八）ｆ（Ｂｄｖ））Ａｄ．．）（ＡａｆＸＡｎ
于是ｖａ）（－（。（ＡｖＢ）ｖＢ）
则有
（Ｂｆ八ｎ）ｄＡ）（（Ｂ）＝＝ＡｎＡ）Ａｎ
０
』＾（ｎ））＝（（Ａ＾ｎ）ｄ（Ａｎ）Ａ』八Ａｎ）Ａｎ）Ｂ）＝ｄ）Ａ
测度的几个重要的结构特征，零可加性、致自连续性。如一关键词：糊测度；函数；糊Ｃｏｕｔ分；模集模ｈｑｅ积结构特征中图分类号：５Ｏ１９
文献标识码：Ａ
ＭＲ（００ｕｊｃｌｓｉｃｔｎ２Ｃ５２Ａ１２０）Ｓｂｅｔａｓｉａｉ：８０；８５Ｃｆｏ
』Ａｎ）（ｎ）ｄｌ）（＾（＾Ａ＾八Ｂ）＝ＢＡ）（）Ａ）Ａ（）（，
即证当ＩＦ可乘时，ｔ一．也是Ｆ可乘的。一定理４若是零可加的，则也是零可加的。
证Ａ ∈，（＝（ｎ）＝则Ａ０ｎ）关某ｅｓ测几处明Ｖ，若Ｂｆ＾ｏＶ≥，０于Ｌｅｅ度乎）Ａ），＝ｂｕｇ
ｆＢ）ｘＡ）（。＇－（八Ｂ）ｌ４）／（＝￣／（）Ｏ＝Ｂ）０ｚＡＵＢ＝。ｚ
定义６称集函数是次可加的，ＶＡ，，ｌ＝有ｔＡｔＢ）（（）［明若Ｂ∈ ＡｆＢＯ，ｘ＇（Ａ ≤ Ａ）Ｂ。
１Ｏ
苏州科技学院学报（自然科学版）

数学建模方法详解--模糊数学

数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。

例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。

随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。

模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。

统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。

在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。

对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。

模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。

本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。

1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。

如果U 是论域，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。

在此，总是假设问题的论域是非空的。

为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。

对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。

于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。

所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。

(完整word版)数据挖掘填空题复习资料(word文档良心出品)

23.非监督离散化分为等宽，等频率，聚类方法
27数据集中任何两个对象之间的距离构成的矩阵称为距离矩阵
四、
1.区别分类与回归的关键特征是类标号必须是离散属性。
2.分类的两个主要目的是进行描述性建模和预测性建模。
3.分类模型的误差可分为训练误差和泛化误差。
4.训练误差也称再带入误差或表现误差，是在训练记录上误分类样本比例。泛化误差是模型在未知记录上的期望误差。
5.一个号的分类模型不仅要能够很好地拟合训练数据，而且对未知样本也要能准确地分类。即一个号的分类模型必须具有低训练误差和低泛化误差。
6.在分类模型评估的保持方法中，将被标记的原始数据划分成两个不相交的集合，分别称为训练集和检验集。在训练数据集归纳分类模型，在检验集上评估模型的性能。
7.在分类模型评估的K折交叉验证方法中，吧数据分为大小相同的K份，在每次运行，选择其中一份作检验集，而其余的全作为训练集。
5.提取分类规则的方法有直接方法和间接方法两大类。
6.提取分类规则的直接方法是指把属性空间分为较小的子空间以便于属于一个子空间的所有记录可以使用一个分类规则进行分类。
7.提取分类规则的间接方法是指使用分类规则较为复杂的分类模型提供简洁的描述。
8.规则的排序方案有基于规则的排序方案和基于类的排序方案两种。
提取分类规则的间接方法是指使用分类规则较为复杂的分类模型提供简洁的描述
关联规则挖掘问题可以划分为频繁项集产生和规则的产生两个子问题
可以降低生产频繁项集的计算复杂度两种方法为减少候选项集的数目和减少比较次数
K-候选集Ck产生的方法有：蛮力方法，和
Apriori算法有两个致命的性能瓶颈。1.他们分别是0/1负载很大，需要多次扫描事物数据库，2.可能产生庞大的候选集

模糊理论概述

模糊理论概述在我们的日常生活中有许多的事物，或多或少都具有模糊性和混淆不清的特性。

“模模糊糊”的概念，是最微妙且难以捉摸，但却又是常見最重要的，但在近代数学中却有了很清晰的定义。

但是所为“模糊”有两种含义，一是佛似关系、一是恍似关系。

模糊理论的观念在强调以模糊逻辑来描述现实生活中事物的等級，以弥补古典逻辑(二值逻辑)无法对不明确定义边界事物描述的缺点。

人类的自然語言在表达上具有很重的模糊性，难以“对或不对”、“好或不好”的二分法来完全描述真实的世界问题。

故模糊理论将模糊概念，以模糊集合的定义，将事件(event)属于这集合程度的归属函数(Membership grade)，加以模糊定量化得到一归属度(Membership grade)，来处理各种问题。

随着科学的发展，研究对象越加复杂，而复杂的东西难以精确化，这是一个突出的矛盾，也就是说复杂性越高，有意义的精确化能力越低，有意义性和精确性就变成两个互相排斥的特性。

而复杂性却意味着因素众多，以致使我们无法全部认真地去进行考察，而只抓住其中重要的部分，略去次要部分，但这有时会使本身明确的概念也会变得模糊起来，从而不得不采用“模糊的描述”。

1 模糊理论的产生1.1 模糊数学的背景精确数学是建立在经典集合论的基础之上，一个研究的对象对于某个给定的经典集合的关系要么是属于（记为“”），要么是不属于（记为“”），二者必居其一。

19世纪，由于英国数学家布尔（Bool）等人的研究，这种基于二值逻辑的绝对思维方法抽象后成为布尔代数，它的出现促使数理逻辑成为一门很有适用价值的学科，同时也成为计算机科学的基础。

但是，二值逻辑无法解决一些逻辑悖论，如著名的罗素（Russell）“理发师悖论”、“秃头悖论”、“克利特岛人说谎悖论”等等悖论问题。

传统数学所赖以存在的基石是普通集合论，是二值逻辑，而它是抛弃了事物的模糊性而抽象出来的，将人脑思维过程绝对化了，数学中普通集合描述的是“非此即彼”的清晰对象，而人脑还要识别那些“亦此亦彼”的模糊现象。

模糊数学理论

μ A∩ B = μ A (u ) ∧ μ B (u )
∧
为取极小值运算。
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中科院寒旱所遥感室
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1.4 集合运算
− 定义2-6 补：模糊集合A的不隶属度函数 μ A ，对所有的 u ∈ U ，被逐点定义为 μ = 1 − μ A (u )
−
A
例2-3 设论域 U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } 中的两个模糊子集为：
A ∩ ( A ∪ B) = A，A ∪ ( A ∩ B) = A
________
A∩ B = B ∪ A， ∪ B = B ∩ A A
___
___ ________
___
___
（9）、双重否认律 A = A
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1.5
模糊集的截集——从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
称λ为阈值（或置信水平）
•
称Aλ 为A的一个- λ截集，
(2)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) > λ} 称Aλ 为A的一个- λ强截集
A的支集 A的核 KerA={u|u ∈U,A(u)=1}
1
(λA)(u)= λ ∧A(u)
1 λ 0 λ A(u) U
0
A(u)
U
数积的性质：1 若λ 1 < λ 2 则λ 1 A ⊆ λ 2 A 2 若A < B 则λA ⊆ λB
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1.6
分解定理——模糊集用截集表示：分解定理1

模糊数学原理及其应用

绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强，逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。

模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。

经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。

这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。

而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。

清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。

模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。

实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。

传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。

精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。

但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。

如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业” 表达，否则，便是经济效益不好的企业。

根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。

这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。

类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。

它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。

模糊理论及其应用(FCM算法)

模糊理论及其应用（FCM 算法）一．模糊集的基本知识首先说明隶属度函数的概念。

隶属度函数是表示一个对象x 隶属于集合A 的程度的函数，通常记做μA (x)，其自变量范围是所有可能属于集合A 的对象（即集合A 所在空间中的所有点），取值范围是[0,1]，即0<=μA (x)<=1。

μA (x)=1表示x 完全隶属于集合A ，相当于传统集合概念上的x ∈A 。

一个定义在空间X={x}上的隶属度函数就定义了一个模糊集合A ，或者叫定义在论域X={x}上的模糊子集~A 。

对于有限个对象x 1，x 2，……，x n 模糊集合~A 可以表示为： }|)),({(~X x x x A i i i A ∈=μ (6.1) 有了模糊集合的概念，一个元素隶属于模糊集合就不是硬性的了，在聚类的问题中，可以把聚类生成的簇看成模糊集合，因此，每个样本点隶属于簇的隶属度就是[0，1]区间里面的值。

二． K 均值的介绍K 均值聚类，即众所周知的C 均值聚类，已经应用到各种领域。

它的核心思想如下：算法把n 个向量x j (1,2…,n)分为c 个组G i (i=1,2,…,c)，并求每组的聚类中心，使得非相似性（或距离）指标的价值函数（或目标函数）达到最小。

当选择欧几里德距离为组j 中向量x k 与相应聚类中心c i 间的非相似性指标时，价值函数可定义为：∑∑∑=∈=-==c i Gi x k i k c i k c x Ji J 1,21)||||( (6.2)这里∑∑=∈-=c i Gi x k i k k c xJi 1,2)||||(是组i 内的价值函数。

这样J i 的值依赖于G i 的几何特性和c i的位置。

一般来说，可用一个通用距离函数d(x k ,c i )代替组I 中的向量x k ，则相应的总价值函数可表示为：∑∑∑==∈-==c i c i Gi x k i k k c xJi J 11,))d(( (6.3)为简单起见，这里用欧几里德距离作为向量的非相似性指标，且总的价值函数表示为（6.2）式。

(完整word版)模式识别试题及总结

一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上,30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。

2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量;句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。

3、聚类分析算法属于（1) ；判别域代数界面方程法属于（3) 。

(1)无监督分类(2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用(4）进行相似性度量。

(1）距离测度(2)模糊测度（3）相似测度（4)匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有(1）（3）（4）。

（1）（2）(3）(4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2) 中进行。

(1）二维空间（2）一维空间(3）N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。

（1）感知器算法(2）H—K算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1)(2）（4) 。

（1)(｛A, B}, {0，1}, ｛A®01, A® 0A1 ，A® 1A0 ，B®BA , B® 0｝, A)（2）(｛A}, ｛0，1}，｛A®0, A® 0A}，A)(3）（｛S}，{a, b}，｛S ® 00S，S ® 11S, S ® 00，S ® 11｝，S)（4）(｛A｝，{0，1}, ｛A®01，A® 0A1, A® 1A0｝，A）9、影响层次聚类算法结果的主要因素有（计算模式距离的测度、（聚类准则、类间距离门限、预定的类别数目））。

10、欧式距离具有( 1、2 );马式距离具有( 1、2、3、4 ）。

(1）平移不变性（2)旋转不变性（3）尺度缩放不变性（4)不受量纲影响的特性11、线性判别函数的正负和数值大小的几何意义是（正（负）表示样本点位于判别界面法向量指向的正(负）半空间中;绝对值正比于样本点到判别界面的距离。

模糊集与粗糙集的简单入门

模糊集与粗糙集的简单入门1.前言Zadeh在1965年创立了模糊集理论[1],Pawlak在1982年又给出了粗糙集的概念[2],模糊集理论和粗糙集理论都是研究信息系统中只是不完全,不确定问题的两种方法,是经典集合论的推广,它们各自具有优点和特点,并且分别在许多领域都有成功的应用,如模式识别、机器学习、决策分析、决策支持、知识获取、知识发现等.模糊理论是简历集合的子集边缘的病态定义模型,隶属函数多数是凭经验给出的,带有明显的主观性;粗糙集理论基于集合中对象间的不可分辨行的思想,作为一种刻画不完整想和不确定性的数学工具,它无需任何先验信息,能邮箱分析处理不精确、不完整等不完备信息,对不确定集合的分析方法是客观的.两种理论之间有着密切的关系和很强的互补性,同事粗糙集理论和模糊集理论可以进行结合,产生粗糙模糊集理论和模糊粗糙集理论,并且发挥着不同的优势.本文在已有的模糊集理论和粗糙集理论的基础之上,分析和总结了模糊集和粗糙集理论,对二者进行了全面的比较.2.基本概念这部分将集中介绍模糊集和粗糙集的基本概念及其性质.2.1模糊集模糊理论[3][4]是一种用以数学模型来描述语意式的模糊信息的方法.模糊概念也是没有明确外延的概念.根据普通集合论的要求,一个对象对应于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一;而模糊集则通常用隶属函数表示模糊概念.2.1.1模糊集合的基本定义定义 1 设X是有限非空集合,称为论域,X上的模糊集A用隶属函数表示如下:→→A X x A x:[0,1],()其中()A x表示元素x隶属于模糊集合A的程度,记X上的模糊集合全体为F X.()模糊集合的数学表示方式为A x A x X where A x=∈∈{(,(x))|},()[0,1]2.1.2模糊集合的运算设,A B为X上的两个模糊集,它们的并集,交集和余集都是模糊集,且其隶属函数分别定义为=∀∈A B A x B x x Xmax{(),()}A B A x B x x X=∀∈min{(),()}⌝=-A A12.1.3 模糊集合的关系A xB x作为模糊集合之间关系的表示方式,是以集合所存在的隶属函数(),()集合之间的关系表示的.(1)模糊集合之间的相等:=⇔=∀∈A B A x B x x X()()(2)模糊集合之间的包含:⊂⇔≤∀∈()()A B A x B x x X2.1.4 截集与支集定义2 对于()A F X ∈和任意[0,1]λ∈,定义{}()A x A x λλ=≥{}()s A x A x λλ=>分别为A 的λ截集和A 的λ强截集.特别的,当1λ=时,1A 为A 的核;当0λ=时,0s A 为A 的支集.表示为如下:{}1()()1core A A x A x ==={}0()()0s support A A x A x === 则根据上面截集的概念,模糊子集通过λ截集就变成了普通集合.截集就是将模糊集合转化为普通集合的方法,截集的概念是联系模糊集合与普通集合之间的桥梁.2.2 粗糙集2.2.1粗糙集合的基本定义(1)粗糙集合提出的背景由于经典逻辑只有真假二值之分,而在现实生活中存在许多含糊的现象,并不能简单的用真假值来表示.于是,在1904年,谓词逻辑的创始人G.frege 提出了含糊(vague)一词,他把含糊现象归结到边界线上.1965年,L.A. Zadeh 提出Fuzzy Sets 的概念,试图通过这一理论解决G.frege 的含糊概念.Zadeh 的FS 方法是利用隶属函数描述边界上的不确定对象.1982年,波兰华沙理工大学 Z.Pawlak 教授针对G. frege 的边界线区域思想提出了Rough Sets 理论.Pawlak 的RS 方法:把无法确认的个体都归属于边界区域,把边界区域定义为上近似集和下近似集的差集.(2)粗糙集合的定义粗糙集理论特点是不需要预先给定默写特征或属性的数量描述,直接从给定的问题的描述集合出发,通过不可分辨关系和不可分辨类确定给定问题的近似域,找出问题内在规律.定义 2 设(,,,)K X A V f =是一个知识库,其中X 是一个非空集合,称为论域.A C D =是属性的非空有限集合,C 为D 的决策属性,C D =Φ,a V 是属性a A ∈的值域,:f X A V ⨯→是一个信息函数,它为每个对象赋予一个信息值.定义 3 设X 是一个有限的非空论域,R 为X 上的等价关系,等价关系R 把集合X 划分为多个互不相交的子集,每个子集称为一个等价类,用[]R x 来表示,[]{}R x y X xRy =∈,其中x X ∈,称,x y 为关于R 的等价关系或者不可分辨关系.论域X 上的所有等价类的集合用/X R 来表示.2.2.2 上、下近似集,粗糙度(1)上下近似集的定义定义4 对于任意的Y X ⊆,Y 的R 上、下近似集分别定义为(){/|}R Y Z X R Z Y =∈≠Φ(){/|}R Y Z X R Z Y =∈⊆集合()posR Y 称为集合Y 的正域,()()posR Y R Y =;集合()()negR Y X R X =-称为集合Y 的负域;集合()()()bnR Y R Y R Y =-称为Y 的R 边界域.集合的不确定性是由于边界域的存在,集合的边界域越大,精确性越低,粗糙度越大. 当()()R Y R Y =时,称Y 为R 的精确集;当()()R Y R Y ≠时,称Y 为R 的粗糙集,粗糙集可以近似使用精确集的两个上下近似集来描述.(2) 粗糙度粗糙度是表示知识的不完全程度,由等价关系R 定义的集合X 的粗糙度为:()1R RX X RX ρ=-其中X ≠Φ,X 表示集合X 的基数.3 研究对象、应用领域及研究方法3.1模糊集的研究对象、应用领域及研究方法(1) 模糊集的研究对象模糊集研究不确定性问题,主要着眼于知识的模糊性,强调的是集合边界的不分明性.(2) 模糊集的应用领域模糊集理论[5]广泛应用与现代社会与生活中,主要有以下几个方面:消费电子产品、工业控制器、语音辨识、影像处理、机器人、决策分析、数据探勘、数学规划以及软件工程等等.(3)研究方法模糊集理论的计算方法是知识的表达和简化.从知识的“粒度”的描述上来看,模糊集是通过计算对象关于集合的隶属程度来近似描述不确定性;从集合的关系来看,模糊集强调的是集合边界上的病态定义,也即集合边界的不分明性;从研究的对象来看,模糊集研究属于同一类的不同对象间的隶属关系,强调隶属程度;从隶属函数来看,模糊集的隶属函数反映了概念的模糊性,而且模糊集的隶属函数大多是专家凭经验给出的,带有强烈的主观意志.3.2粗糙集的研究对象、应用领域及研究方法(1)粗糙集的研究对象[6]粗糙集理论研究不确定性问题,基于集合中对象间的不可分辨性思想,建立集合的子集边缘的病态定义模型.(2)粗糙集的应用领域粗糙集理论在近些年得到飞速发展,在数据挖掘,模式识别,粗糙逻辑方面取得较大进展.与粗糙集理论相关的学科主要有以下几方面:人工智能,离散数学,概率论,模糊集理论,神经网络,计算机控制,专家系统等等[7].(3)粗糙集的研究方法粗糙集理论的研究方法就是对知识的含糊度的一个刻画,其计算方法主要是连续特征函数的产生.粗糙集理论研究认知能力产生的集合对象之间的不可分辨性,通过引入一对上下近似集合,用它们的差集来描述不确定的对象.从集合的关系来看,粗糙集强调的是对象间的不可分辨性,与集合上的等价关系相联系;从研究的对象来看,粗糙集研究的是不同类对象组成的集合关系,强调分类;从隶属函数来看,粗糙集的粗糙隶属函数的计算是从被分析的数据中直接获得,是客观的[8].4.基本研究内容4.1 模糊集理论研究的主要内容模糊集理论研究的内容很广泛,主要包括以下几方面:模糊控制,模糊聚类分析,模糊模式识别,模糊综合评判,模糊集的扩展.4.1.1 模糊控制自从Zadeh 发展出模糊集理论之后,对于不明确系统的控制有极大的贡献,自七十年代以后,便有一些实用的模糊控制器相继的完成,使得我们在控制领域中又向前迈进了一大步,在此将对模糊控制理论做一番浅介[6].模糊控制利用模糊集理论的基本思想和理论的控制方法.在传统的控制领域里,控制系统动态模式的精确与否是影响控制优劣的最主要关键,系统动态的信息越详细,则越能达到精确控制的目的.然而,对于复杂的系统,由于变量太多,往往难以正确的描述系统的动态,于是工程师便利用各种方法来简化系统动态,以达成控制的目的,但却不尽理想.换言之,传统的控制理论对于明确系统有强而有力的控制能力,但对于过于复杂或难以精确描述的系统,则显得无能为力了.所以,模糊集理论便被用来处理这些控制问题.4.1.2模糊聚类分析模糊聚类分析的研究是基于模糊等价关系和以及模糊分类上的[4].主要有以下的定理以及定义.定理1 令R 是一个模糊等价关系,并且01αβ≤<≤,则对y X ∀∈有[][]R R y y βα⊆.定义 5 设数据集12{,,,}n X x x x =,且12,,,c A A A 是其一个分类,若该分类满足以下条件:(1) 对k ∀,存在i 使得k i x A ∈;(2) 对所以i 均有i A ≠Φ;则称该分类是X 的一个模糊划分.基于上面的理论,我们可以用一个划分矩阵()ik c n D d ⨯=来刻画数据集的分类,其中0 , 1 , k i ik k i x A d x A ∉⎧=⎨∈⎩ 定义6 对于上面的矩阵D ,若其满足以下三个条件:(1){}0,1ik d ∈;(2)11, c ik i d k ==∀∑;(3)10, n ik k d i =>∀∑;则称D 是X 上的一个精确的c -划分矩阵.定义7 设c 和n 时两个给定的正整数若模糊矩阵()ik c n D d ⨯=满足以下三个条件:(1) []0,1ik d ∈;(2) 11, c ik i d k ==∀∑;(3) 10, n ik k d n i =<<∀∑;则称D 为X 上的一个模糊的c -划分矩阵.定义8 设12{,,,}m n X x x x =⊆,12{,,,}m c V v v v =⊆,()ik c n D d ⨯=()c n ≤是X 上的一个模糊的c -划分矩阵,则 ()211(,)c n p ik i k i k J D V d v x ===-∑∑(p ∈)称为模糊划分上的一个聚类准则函数,这里()12()21[]m i i x x===∑ 定义9 如果对于任意的12{,,,}mn X x x x =⊆,存在****12{,,,}m c V v v v =⊆以及模糊的c -划分矩阵*D 使得 **(,)(,)J D V J D V ≤对所有的12{,,,}m n X x x x =⊆以及模糊的c -划分矩阵D 都成立,则称*D 为最优模糊c -划分矩阵,*V 为一个模糊聚类中心.4.1.3模糊模式识别模糊模式识别是利用模糊集理论对行为的识别.根据识别模式的性质,可以将模式识别分为两类:具体事物的识别,如对文字,音乐,语言等周围事物的识别;抽象事物的识别,如对已知的一个论点或者一个问题的理解等.下面介绍一些基本的定理及定义.定义10 清晰度增强因子:令()A F X ∈是X 上的一个模糊集,定义另外一个模糊集(2)()()I A F X ∈,其中 2(2)22() , ()[0,0.5]()()12(1()), ()(0.5,1]A x A x I A x A x A x ⎧∈⎪⎨--∈⎪⎩ 称(2)()()I A x 为清晰度增强因子.4.1.4模糊综合评判模糊综合评判是利用模糊集理论对一个事物进行评价.具体的过程为:将评价目标看成是由多种因素组成的模糊集合X ,再设定这些因素所能选取的评审等级,组成评语的模糊集合(称为评判集V ),分别求出各单一因素对各个评审等级的归属程度(称为模糊矩阵D ),然后根据各个因素在评价目标中的权重分配,通过计算(称为模糊矩阵合成),求出评价的定量解值.定义11 设:[0,1][0,1]n f →满足以下几个条件:(1)1212(,,,)n n x x x x f x x x x ====⇒=; (2)(1)(2)(1)(2)111111(,,,,,,)(,,,,,,)i i i i i n i i i n x x f x x x x x f x x x x x -+-+≤⇒≤,i ∀; (3)12(,,,)n f x x x 对每个变量都是连续的;则称f 为n -维综合函数. 常用的n -维综合函数主要有加权平均函数,几何平均函数,单因素决策函数,显著因素准则函数等等.4.2粗糙集理论研究的主要内容粗糙集理论作为一种数据分析处理理论,无论是在理论方面还是在应用实践方面都取得了很大的进展,展示了它光明的前景,因而其研究内容以及领域也是非常广泛的,主要包括以下几方面:变精度粗糙集,集值信息系统,粗糙集理论的应用,支持向量基等.4.2.1变精度粗糙集变精度粗糙集模型[9]是Pawlak 粗糙集模型的扩充,它是在基本粗糙集模型的基础上引入了β(00.5β≤<),即允许一定的错误分类率存在,这一方面完善了近似空间的概率,另一方面也有利于用粗糙集理论从认为不相关的数据集中发现相关的数据.当然,变精度粗糙集模型的主要任务是解决属性间无函数或不确定关系的数据分类问题.当0β=时,Pawlak 粗糙集模型是变精度粗糙集模型的一个特例.4.2.2集值信息系统集值信息系统[5]是信息系统的一般化模型,在实际应用中信息系统随着对象的变化而不断地动态变化.(,)S X AT =是信息系统,其中X 是对象的非空有限集合,AT 是属性的非空有限集合,对于每个a AT ∈有:a a X V →,其中a V 称为a 的值域.每个属性子集A AT ⊆决定了一个不可区分关系()ind A :(){(,)|,()()}ind A x y X X a A a x a y =∈⨯∀∈=.关系()ind A (A AT ⊆)构成了X 的划分,用/()X ind A 来表示.对于一个对象,一些属性值可能是缺省的.为了表明这种情况,通常给定一个区分值(即空值 null value )给出这些属性定义12 如果至少有一个属性a AT ∈使得a V 含有空值,则称S 是一个不完备信息系统[5],否则称它是完备的,我们用*表示空值.设S 是一个不完备信息系统,a AT ∈使得a V 含有空值*时,并且该空值*的取值为一个集合,该集合的元素是这个属性中其他所有可能值的集合,则S 就是集值信息系统.下面是一个不完备信息系统的例子:4.2.3 支持向量基支持向量机(Support Vector Machine,SVM)[10][11]是Corinna Cortes和Vapnik8等于1995年首先提出的.SVM起初是广泛应用在神经信息处理系统(Neural Information Processing Systems,NIPS), 但是,现今,SVM 已经在所有的机器学习研究领域中起着重要作用.SVM是一种学习系统,他利用高维空间中的线性分类器,在这个空间中建立一个最大的间隔超平面,这里的最大是基于最优化理论的.广义的SVM起源于统计学习理论[12].5.模糊集与粗糙集的结合由上面的讨论可知,模糊集理论与粗糙集理论各具特点,两种理论有着很强的联系与互补性,因此将两者的特点结合起来形成研究不完全数据集的有效方法.此外,通过模糊聚类和粗糙集两种方法进行属性的对象约简和属性约简,可以使数据得到横向和纵向两个方向上的约简,对象约简是引入了相似性的概念进行模糊聚类的过程,对象约简改变了标准粗糙集模型的不可分辨关系的确定条件;由于粗糙集所处理的都是离散数据,所以在数据分析中需要应用模糊聚类或隶属函数离散化,进而应用粗糙集理论属性约简、提取规则.所以结合模糊集、粗糙集理论能够有效地分析数据,提高生成规则的可信性和和合理性,倒出可信的规则集.5.1模糊粗糙集及粗糙模糊集结合模糊集和粗糙集两种理论可以得到模糊粗糙集及粗糙模糊集模型,当知识库中的知识模块是清晰的概念,而被描述的概念是一个模糊的概念,人们建立粗糙模糊集模型来解决此类问题的近似推理;当知识库中的知识模块是模糊知识,而被近似的概念是模糊概念时,则需要建立模糊粗糙集模型,也有人将普通关系推广称模糊关系或者模糊划分而获得模糊粗糙集模型.定义13 设R 是X 上的一个等价关系,()A F X ∈,[0,1]λ∈,模糊集A 、A λ以及s A λ的上下近似分别为:(){|[]},(){|[]}RR R A x X x A R A x X x A λλλλ=∈≠Φ=∈⊆ (){|[]},(){|[]}s s s s R R R A x X x A R A x X x A λλλλ=∈≠Φ=∈⊆(){|[]},(){|[]}RR R A x X x A R A x X x A =∈≠Φ=∈⊆ 可以验证,当A 是X 上的经典集合时,上面所介绍的上下近似就是Pawlak 意义下的上下近似. 定义14 设R 是X 上的等价关系,A 是X 的一个模糊集合,()A F X ∈,则A 关于R 的上下近似分别定义如下:()sup{()|[]},()inf{()|[]}R R R R A x A y y x A x A y y x =∈=∈可以看出,模糊集()A F X ∈关于等价关系R 的上下近似仍为模糊集合,若 R R A A =,则称A 是可定义的,否则称A 是粗糙集,称R A 是A 关于近似空间(,)X R 的正域,称~R A 是A 关于(,)X R 的负域,称(~)R R A A 为A 的边界.R A 可以理解为对象x 肯定属于模糊集A 的隶属程度;R A 理解为对象x 可能属于模糊集A 的隶属程度,同样可以验证,当A 时X 上的经典集合时,就是Pawlak 意义下的上下近似.在标准粗糙集模型中引入变精度,提高了相对近似精度,而在粗糙模糊集引入变精度,得到新定义:()sup{()|[]()1}R R A x A y y x A y ββ=∈∧>-()inf{()|[]()}R R A x A y y x A y ββ=∈∧≥这样下近似集合中元素隶属度降低,而上近似的隶属度提高,提高了相对精度.5.2粗糙隶属函数粗糙隶属函数式借助模糊理论来研究粗糙集理论的方法,通过粗糙隶属度函数可以将粗糙集理论与模糊集理论联系起来,建立一种粗糙集理论与模糊集理论的关系,并得到一些性质.定义15 设R 是论域X 上的一个相似关系,若A 是X 上的一个模糊集合,则A 关于R 的一个下近似()R A 和上近似()R A 分别定义为X 上的一个模糊集合,称为粗糙隶属度函数[5],定义为 |[]|()|[]|R R A x A x x = 粗糙隶属函数表示的是一个模糊概念,一般不是Zadeh 意义下的隶属函数.粗糙隶属函数()A x 表示的是x 的等价类[]R x 隶属于A 的程度.由定义14和定义15可以得到:模糊集A 的下近似且关于等价关系R 的等价类隶属于A 的程度为1;模糊集A 的上近似且关于等价关系R 的等价类隶属于A 的程度为大于0小于1,因此有:性质1 1(){|()1,/}Core A A x A x x X R RA ===∈=0(){|()0,/}s support A A x A x x X R ==>∈(){|0()1,/}bnR A RA RA x A x x X R =-=<<∈(){|()0,/}negR A X RA x A x x X R =-==∈性质2 []()()R y x A x A y ∈⇒=[]()1R x A A x ⊆⇒=[]()0R x A A x =Φ⇒=[] []()(0,1)R Rx A and x A A x ⊄≠Φ⇒∈ 6 总结本文系统的介绍了模糊集理论与粗糙集理论,二者研究的主要内容,以及二者的结合的相关理论.是对本学期所学的模糊计算和粗糙计算的一个简单的小结,也是我本人对该学科的一个简单的入门.参考文献[1] L.A.Zadeh, Fuzzy sets[J], Information and Control, 1965,8:338-353.[2]Pawlak Z, Rough sets[J], International Journal of Computer andInformation science, 1982,1(11):341-356.[3]胡宝清,模糊理论基础,武汉:武汉大学出版社,2010.[4]张文修,模糊数学基础,西安:西安交通大学出版社,1984.[5]张文修,粗糙集理论与方法,北京:科学出版社,2001[6] /view/87377.htm[7]K. Y. Chan, C.K. Kwong, B.Q. Hu, Market segmentation and ideal pointidentification for new product design using fuzzy data compression and fuzzy clustering methods[J], Applied Soft Computing, 2012, 12, 1371-1378.[8]Z.Pawlak, Rough sets and fuzzy sets [J], Fuzzy sets and Systems,1985,17,99-102.[9]Beynon M.Reducts within the variable precision rough sets model: afurther investigation[J], European Journal of Operational Research, 2001,134:592-605.[10]邓乃扬,田英杰,数据挖掘中的新方法:支持向量基,北京:科学出版社,2004.[11]邓乃扬,田英杰,支持向量基-理论、算法与拓展,北京:科学出版社,2009.[12]V.Vapnik, Statistical Learning Theory, John Wiley & Sons, 1998.。

模糊集(fuzzy set)相关理论知识简介

36
2、模糊度计算公式（1）海明(haming)模糊度海明(haming)模糊度
其中，是论域U中元素的个数，其中，n是论域U中元素的个数， 1 µA (ui)≥0.5 )≥0 µA 0.5(ui)= 0 µA (ui)＜0.5
37
（2）欧几里德(Euclid)模糊度欧几里德(Euclid)模糊度
模糊理论（1 模糊理论（1）
1
一、集合与特征函数
1、论域处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。的论域。
2
2、集合在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。
3
3、特征函数设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令是论域U上的一个集合，对任何u 1 当u∈A CA(u)= 0 当u A 则称C (u)为集合A的特征函数。则称CA(u)为集合A的特征函数。显然有： A={ u | CA(u)=1 } (u)=1
13
三、模糊集表示法
1、扎德表示法1 扎德表示法1 设论域U 设论域U是离散的且为有限集： U={ u1, u2, …, un, } 模糊集为：A={µ 模糊集为：A={µA(u1), µA(u2), … , µA(un) } 则可将A 则可将A表示为：
14
A=µA(u1)/ u1+µA(u2)/ u2+ … +µA(un)/ un 或 A={ µA(u1)/ u1，µA(u2)/ u2，… ，µA(un)/ un } 或 A= n µA(ui)/ ui ∑ 或 i =1 A= µA(u)/ u u∈U
27
模糊理论（2 模糊理论（2）
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一、模糊集的λ水平截集模糊集的λ

模糊测度与积分及不确定性建模

模糊测度与积分及不确定性建模现代科学与工程领域中的许多问题都存在着不确定性，即使利用概率论也不能完全解决。

为了应对这种不确定性，人们引入了模糊概念，使用模糊测度和积分来进行不确定性建模。

本文将从模糊测度的定义及性质入手，探讨模糊积分的概念和计算方法，并进一步讨论如何运用模糊测度与积分建立不确定性模型。

一、模糊测度的定义及性质模糊测度是描述模糊集合上的不确定性的一种数学工具，常用于处理无法准确刻画的概念。

模糊测度的定义基于不精确性和不确定性的量化。

一个模糊测度是一个从模糊集合的幂集到实数集的映射，它满足以下性质：1. 非负性：对于任意的模糊集合A，模糊测度μ(A)大于等于0。

2. 规范性：空集的模糊测度为0。

3. 可加性：对于任意两个不相交的模糊集合A和B，它们的模糊测度之和等于它们的并集的模糊测度。

通过定义和性质，模糊测度可以提供关于不确定性的量化和度量，为不确定性建模提供了数学基础。

二、模糊积分的概念和计算方法模糊积分是模糊测度的一种扩展，它用于描述模糊集合上的模糊量的积分运算。

与传统的积分不同，模糊积分允许模糊集合在积分区间上的取值为模糊的。

1. 上积分：对于一个模糊集合A和一个定义在A上的函数f，上积分的定义如下：∫[A] f(x) dμ = sup {∫[A] φ(x) dμ | φ(x) ≤ f(x), φ(x)是可测函数}其中，φ(x)是定义在A上的可测函数。

2. 下积分：对于一个模糊集合A和一个定义在A上的函数f，下积分的定义如下：∫[A] f(x) dμ = inf {∫[A] φ(x) dμ | f(x) ≤ φ(x), φ(x)是可测函数}通过上积分和下积分，我们可以得到模糊集合上的模糊量的积分结果，从而实现对不确定性的建模和处理。

三、不确定性建模中的应用模糊测度与积分在不确定性建模中具有广泛的应用。

以下是几个典型的应用场景：1. 决策分析：在决策分析中，人们常常需要处理各种类型的不确定性。

模糊σ-代数上的模糊数值测度及应用(Ⅰ)

模糊σ-代数上的模糊数值测度及应用(Ⅰ)
张忠旺
【期刊名称】《中国民航大学学报》
【年(卷),期】2004(022)005
【摘要】设(X,A,μ)是一个全有限测度空间,H为由A生成的模糊σ-代数.通过计算
H中模糊子集的截集的测度,运用一维模糊数的嵌入定理,构造了一种定义在H上取值于一维模糊数空间的测度,这种测度限制在A上就是测度μ,并且具有可列可加性、下连续性、上连续性、自连续性等性质.这种测度取值一维模糊数,保留了模糊子集
较多的信息,所以它可以更为细致地刻划模糊子集.作为在模糊聚类理论方面的应用,把(X,A,μ)上用于度量普通集合间不相似性的度量推广到了H上的模糊子集间,得到了一种基本的H上不相似度量.
【总页数】6页(P55-60)
【作者】张忠旺
【作者单位】中国民用航空学院,理学院,天津,300300
【正文语种】中文
【中图分类】O174.12
【相关文献】
1.由一种模糊代数上的模糊数值测度确定的不相似度量 [J], 张忠旺
2.基于gλ模糊测度的加权模糊聚类方法及其应用 [J], 叶海军;方敏
3.模糊σ代数上的模糊数值测度及应用(Ⅱ):广义矢值测度的约当分解 [J], 张忠旺
4.完善房地产评价方法需要理论指导——评《基于模糊测度与模糊积分的房地产评价方法与应用》 [J], 卢新海
5.模糊化测度空间及模糊化测度(I)(英文) [J], 罗世华;沈继忠
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模糊数学

模糊数学结课论文摘要：模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。

1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。

是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。

它使过去那些与数学毫不相干或关系不大的学科都有可能永定量化和数学化加以描述和处理。

模糊数学自诞生以来取得迅猛的发展，目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。

在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。

关键字：模糊数学内容发展应用实例分析引言：模糊数学作为一种新型学科，在人类的实际生产生活中有着不可磨灭的作用。

生活中存在着一系列抽象的，界限模糊的食物以及概念。

而此类问题用经典数学理论是无法解决的，往往很棘手。

但是在用到这种新型模糊数学理论体系就可以轻轻松松的解决掉他们。

随着计算机和信息技术的高速发展，数学的应用范围急剧扩展，特别是近年来对模糊数学理论的研究，已经渗透到数学以及其他自然科学和社会科学的许多领域。

其应用之广泛已经遍及理工农医各个方面。

正文一、模糊数学的概念的内容及发展1-1定义模糊数学，是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学，是指在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拖扑、模糊测度论等数学领域。

所谓“模糊性”主要指客观事物差异的中间过渡界限的“不分明性”。

在地质学上，如储层的含油气性、油田规模的大小、成油地质条件的优劣等。

这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量内部分级没有明显界限。

模糊观念的理论强调以模糊逻辑来描述现实生活中实物的等级，以弥补古典逻辑（二值逻辑）无法对不明确定义边界事物描述的缺点。

1-2 产生与发展模糊数学是一门新兴学科，是研究和处理模糊性现象的数学理论和方法，它不是让数学变得模糊，而是让数学研究进入到模糊现象这样的领域。

1965年美国控制论学者扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。

该学科的发展主流在它的应用方面，由于模糊性的概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊数学的方法来描述。

教案_第2章_模糊集合的基本理论

F (U) = {A | A: U → [0, 1]}
则称 F (U ) 为 U 的模糊幂集。显然，F (U ) 是一个经典集合，且有：P (U ) ⊆ F (U )。 2.1.2 模糊集合的表示
(2.2)
表示论域 U 上的模糊集合 A，原则上只需指明 U 中的每个元素 x 及其对应的隶属度 A(x)，并将它们用一定的形式构造在一起。当然，模糊集本质上是论域到 [0, 1] 上映射，用隶属函数来表示模糊集是最基本的方法。除此以外，人们还给出了三种常用的模糊集合的表示方法：Zadeh 表示法，序偶表示法和向量表示法。 1. Zadeh 表示法设 U 为论域，A 为 U 上的模糊集，即 A∈F (U )。则模糊集 A 可表示为 (1) 若论域 U 为有限集或可列集，即 U = {x1, x2, …, xn} 或 U = {x1, x2, …, xn, …}，
数学系 • 张运杰 • 模糊数学课程教案
第 2 章 • 模糊集合的基本理论
第2章
模糊集合的基本理论
人们在表达一个概念时，通常采用指明概念的内涵和外延的方式来描述。从集合论的角度看，内涵就是集合的定义，而外延则是组成该集合的所有元素。在经典集合论中，论域中的任一元素与某个集合之间的联系完全符合二值逻辑的要求：要么属于某个集合，要么不属于这个集合，非此即彼，没有模棱两可的情况。这表明，经典集合所表达的概念其内涵和外延都是明确的。然而，现实世界中存在着大量的模糊现象，用以描述它们的概念没有明确的外延，都是模糊概念。例如，以人的年龄为论域，则“年老” 、 “年轻”等均无法明确地指出其外延。其根源就在于模糊现象之间的差异不是绝对的，存在着中间过渡，存在着亦此亦彼的情况。显然，模糊概念的亦此亦彼特征无法用经典集合表达。但是，在亦此亦彼中依然存在着差异，依然可以相互比较。进一步来看，在上一层次中亦此亦彼的现象，在下一层次中可能又转化为非此即彼。因此，为了仍在集合理论的框架下讨论模糊现象，Zadeh 通过量化中间过渡的方式对经典集合予以推广，提出了模糊集合的概念。本章将对模糊集合的基本概念进行比较系统的介绍，主要内容包括：模糊集合及其运算，模糊集合与经典集合的联系，模糊集合的广义运算。

第一章模糊集合的基本概念

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与普通集合一样，µ与 A 形成一一对应关系。
A(u ) ~
1
~
µ
论域上的 A 可表示为：
~
U
A ∈ F (U ) ~
例１：U=｛a,b,c,d,e｝,令a|→1,b|→0.9,c|→0.4,d|→0.2,e|→0,这是Ｕ到 [0，1]的一个映射，记为 A(u ) ，问 A(u ) 是否确定一个模糊集？ ~ ~ 解：这是一个模糊集，表示“圆块块”模糊概念。例２：讨论
0, −1 Q(u ) = u − 50−2 1+ ~ , 5 0 ≤ u ≤ 50 50 < u ≤ 200
0≤ ,u 50 0 1 − Q−2 ()u50 − = u u ~1,< + 200 ≤ 50 5
二、产生背景：产生背景 ①随着计算机技术的发展 ②抓主要矛盾，精确的成为模糊性； ③非精确领域，如人文科学发展的需要。如：天气预报，对人的品行评价；某日上午10点，校门口迎接一位“大胡子、高个子、花头发、戴宽边黑色眼镜的中年男子”。
三、与概率论的关系
社会科学中存在两种量：确定性和不确定性。
确定性量 − 经典数学、必然关系、微分方程等随机性 — 随机数学、偶然性关系，“明天有雨”有时间性。量不确定性量模糊数学，“中年人”无时间性。
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(3)向量法： A=( A(u1), A(u2),……， (un)) (0不能省略) A ~ ~ ~
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(4)综合法： A=( A (u1)/ u1, A(u2)/ u2, ……, A(un)/ un) (0可省略) ~ ~ ~
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例4：设U=｛1，2，3，4，5，6，7｝， ∈F(u)， A 且有： (1)=0， A(2)=0.3, A ~ ~ ~ A A (3)=0.8, A (4)=1, A(5)=0.8, A(6)=0.7, A (7)=0, 写出 A 各种表示法，的意义？试 ~