高中数学 2.1数列的概念与简单表示法新人教A版必修5

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人教A版高中数学必修5《二章数列 2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列》优质课教案_0

随风潜人夜,润物细无声《神奇的斐波那契数列》教学设计《普通高中数学课程标准(实验)》在前言中指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。

数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。

数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。

数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。

数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。

在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。

数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。

《普通高中数学课程标准(实验)》将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一并在教学建议中明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分,是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野。

长期以来，在高考这根指挥棒下，学习逐渐服从于知识，服从于做题，服从于高考。

在数学教学上，老师教的许多内容既枯燥又抽象．大多数教师以做题为主要教学方法，以解题为主要目的，不关注数学问题的文化性; 学生在单一的数字、定义、定理、公理、公式的围攻下，对单纯的数学问题感到枯燥，厌倦，对数学的兴趣逐渐淡薄，认为数学毫无用处，数学问题被当成了获取分数的工具．因此如何将数学文化的内容有机地结合到日常的教学中,使学生在潜移默化中体会到数学的文化价值?这需要我们每位教师认真思考这个问题一、教材分析：本节课选自人教版《数学５》（必修）第二章《数列》第2.1节后的《阅读与思考》部分。

人教版高中数学必修5(A版) 2.1数列的概念与简单表示法 PPT课件

2.1数列的概念与简单表示法
如图表示堆放的钢管，共堆放了6层。自上而下各层的钢管数排列成一列数：
5，6，7，8，9，10
自然数 1，2，3，4，5， …的倒数排列成一列数：
1
1
1
1
1 ，2 ， 3 ，4， 5， …
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成一列数：
-1 ，1，-1，1，-1，1，…
一、定义
像前面的例子中，按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第二项，…，第n项， …。问：下面二列数是否为同一数列？
1，2，3，4，5 5，4，3，2，1
结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。
项数有限的数列叫做有穷数列。项数无限的数列叫做无穷数列。
(2) 在通项公式中依次 n = 1, 2, 3, 4, 5,得到数列{an} 的前5项为
-1,
2,
-3,
4,
-5.
例题2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1 ） 1 ， 3 ， 5 ， 7 ；（2 ）
1 1 1 1 1 2 ， 2 3， 3 4， 4 5。
解：（1） an=2n-1; (2)
这告诉我们：无穷(有穷)数列可以看作一个定义域为自然数集N（N的有限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
二、数列的三种表示方法 ⑴一般表示法 a1 , a2 , a3 , … an , …
其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上面的数列简记为{an}. 例如：把数列
2，4，6，8，10， … ① 4，5，6，7， 8 ， … ② 分别简记为 {2n} {n+3}

高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》教案新人教A版必修5

生随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①
随着对折数面积依次为 , , , ,…, ,….
生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了.
师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？
无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1，….
生一些分数排成的一列数：，，，，，….
二、新课学习：折纸问题
师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试
生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
师课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？
生1，3，6，10，….
师图2.1-2中的正方形数呢？
生1，4，9，16，25，….
师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生-1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
4，5，6，7，8，9，10…;②1, , , ,…③的图象.

人教版A版高中数学必修5：数列的概念与简单表示法_课件7

【变式训练】
1．数列－1，85，－175，294，…的一个通项公式 an 是
A．(－1)n2nn＋2 1
B．(－1)nnnn＋＋12
C．(－1)nn2＋n2＋2－1 1
D．(－1)nn2nn＋＋12
解析将数列中的各项变为
－1×3 3，2×5 4，－3×7 5，4×9 6，…，
故其通项公式 an＝(－1)nn2nn＋＋21.
解析 (1)由已知 an＞0，在递推关系式两边取对数．有 lg an＋1＝2lg an＋lg 3，令 bn＝lg an，则 bn＋1＝2bn＋lg 3， ∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)， ∴{bn＋lg 3}是等比数列，
∴bn＋lg 3＝2n－1·2lg 3＝2nlg 3， ∴bn＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg an， ∴an＝ 32n 1 . (2)将 an＋1＝2aan＋n 1取倒数得：an1＋1＝2＋a1n， ∵an1＋1－a1n＝2，
＝n＋1n＋＋ nn2＋＋112＋1＜1.(10 分)
∵an＜0，∴an＋1＞an.故数列{an}是一递增数列．(12 分)
【失分误区】在解答本题时有两点容易造成失分：一是在得到关于通项公式 an 的方程后，没有把 an 看做未知数求方程的根的意识，不会求 an 导致题目无法继续完成；二是在求出关于通项公式 an 的方程的根后，忽略了函数的定义域从而导致求出的通项公式有两个．除此外，解决数列的单调性问题有以下几点容易造成失分： (1)不能对通项公式与我们熟知的函数相联系，借助函数的单调性来解决数列的单调性而失分．
分类原则
按项数分类
按项与项间的大小关系
分类
类型有穷数列无穷数列递增数列递减数列

高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课件(二) 新人教A版必修5

一、复习
5. 数列的表示法以数列 2, 4, 6, 8, 10, 12, · · · 为例以数列: 通项公式法: 通项公式法 an=2n 5 1 2 3 4 列表法 n …
an 2 a1= 2 an= an-1 +2 (n>1) 4 6 8 10
…
图象法递推法
已知数列{a 的第的第1项或前几项），），且任意一项已知数列 n}的第项（或前几项），且任意一项 an与前一项 n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式与前一项a 或前几项）来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式. 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式递推公式
数列的概念与简单表示法
第二课时
一、复习
1. 定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列 a … … 简记为{a 2. 数列的一般形式： 1， a2， a3，， an，简记为 n} 数列的一般形式： 3. 数列的分类 4. 数列的实质从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项从映射的观点看，数列可以看作是：的映射从函数的观点看，数列项是序号的函数的函数。从函数的观点看，数列项是序号的函数。
第1层1+2+… …+n=n*(n+1)/2 个层第2层1+2+… …+（n-1）=n*(Байду номын сангаас-1)/2 个层（） ………… 第n层1个层个堆共n层第n堆共层堆共共1+3+6+… …+ n*(n+1)/2 个
二、练习
1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：是下列各数： (1) 3, 5, 7, 9 · · · (2) 1, 0， 1 , 0， 1，0, − 1, 0， − L (3) 10, 100, 1000, 10000 · · · (4) 9, 99, 999, 9999 · · · (5) 5, 55, 555, 5555 · · · (6) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 · · · 1 (7) 0, lg 2, lg 3 , lg 2, · · · 2 (8) 3, 8, 15, 24， · · · (9) −1, 8 , − 15 , 24 , ⋅⋅⋅ 5 7 9

【优化方案】2012高中数学第2章2.1数列的概念与简单表示法课件新人教A版必修5

数列的函数性质数列是一种特殊的函数，数列是一种特殊的函数，函数问题的解决方法同样适用于数列问题，不过要注意n∈N*，否则易样适用于数列问题，不过要注意 ∈ 出现错误．出现错误．
n2 例3 已知数列 n}的通项公式为 an＝ 2 已知数列{a 的通项公式为 . n ＋1 求证：此数列为递增数列．求证：此数列为递增数列．
2.1 数列的概念与简单表示法
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1 1 1 1 1．前5个正整数的倒数排成一列：1，2，3，4，5. 个正整数的倒数排成一列：，．个正整数的倒数排成一列 _____________
2．函数的基本表示方法有________、_______和．函数的基本表示方法有解析法、列表法和图象法 _________. 3．集合的列举法的一般形式为{a，b，c，d，…}；．集合的列举法的一般形式为，，，，；集合的元素具有_________、互异性、无序性．集合的元素具有确定性、_______、_______．
(2)按项的变化趋势分类按项的变化趋势分类类别递增数列递减数列常数列摆动数列含义从第2项起每一项都____它的前一项项起，从第项起，每一项都大于它的前一项的数列项起，从第2项起每一项都____它的前一项从第2项起，每一项都____它的前一项小于的数列各项_____的数列各项相等的数列从第2项起，有些项大于它的前一项它的前一项，从第项起，有些项_____它的前一项，项起有些项小于它的前一项的数列
课堂互动讲练
考点突破用观察法求数列的通项公式根据数列的前几项写出它的一个通项公式，根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键在于观察、分析数列的前几项的特征，在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的构成规律．为了发现数列的构成规律，的构成规律．为了发现数列的构成规律，可把序标在相应的项上，号1,2,3，…标在相应的项上，这样便于突出第，标在相应的项上这样便于突出第n 与项数n的关系即突出a 如何用n表示的关系，表示．项an与项数的关系，即突出 n如何用表示．

（完整版）高中数学优秀说课稿

（完整版）⾼中数学优秀说课稿2.1数列的概念_说课稿1课题介绍课题《数列的概念与简单表⽰⽅法（⼀）》选⾃普通⾼中课程标准试验教科书⼈教版A版数学必修5第⼆章第⼀节的第⼀课时.我将从教材分析、学情分析、教学⽬标分析、教法分析、教学过程这五个⽅⾯来汇报我对这节课的教学设想。

⼀、教材分析1、教材的地位和作⽤数列是⾼中数学的重要内容之⼀，它的地位作⽤可以从三个⽅⾯来看：（1）数列有着⼴泛的实际应⽤.如堆放的物品的总数计算要⽤到数列的前n项和，⼜如分期储蓄、付款公式的有关计算也要⽤到数列的⼀些知识.（2）数列起着承前启后的作⽤.⼀⽅⾯，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运⽤，数列是前⾯函数知识的延伸及应⽤，可以使学⽣加深对函数概念的理解；另⼀⽅⾯，学习数列⼜为进⼀步学习数列的极限，等差数列、等⽐数列的前n项和以及通项公式打好了铺垫.因此就有必要讲好、学好数列.（3）数列是培养学⽣数学能⼒的良好题材.是进⾏计算，推理等基本训练，综合训练的重要教材.学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运⽤前⾯的知识解决数列中的⼀些问题，这些都有助于学⽣数学能⼒的提⾼.⼆、学情分析从学⽣知识层⾯看：学⽣对数列已有初步的认识，对⽅程、函数、数学公式的运⽤已有⼀定的基础，对⽅程、函数思想的体会也逐渐深刻。

从学⽣素质层⾯看：从⾼⼀新⽣⼊学开始，我就很注意学⽣⾃主探究习惯的养成。

现阶段我的学⽣思维活跃，课堂参与意识较强，⽽且已经具有⼀定的分析、推理能⼒。

三、教学⽬标分析根据上⾯的教材分析以及学情分析，确定了本节课的教学⽬标:(1) 知识⽬标：认识数列的特点,掌握数列的概念及表⽰⽅法，并明⽩数列与集合的不同点.了解数列通项公式的意义及数列分类.能由数列的通项公式求出数列的各项，反之,⼜能由数列的前⼏项写出数列的⼀个通项公式.(2) 能⼒⽬标：通过对数列概念以及通项公式的探究、推导、应⽤等过程，锻炼了学⽣的观察、归纳、类⽐等分析问题的能⼒.同时更深层次的理解了数学知识之间的相互渗透性思想．(3) 情感⽬标：在教学中使学⽣体会教学知识与现实世界的联系，并且利⽤各种有趣的，贴近学⽣⽣活的素材激发学⽣的学习兴趣，培养热爱⽣活的情感. ．3、教学重点与难点根据教学⽬标以及学⽣的理解能⼒与认知⽔平，我确定了如下的教学重难点重点：理解数列的概念，能由函数的观点去认识数列，以及对通项公式的理解．难点：根据数列的前⼏项的特点，通过多⾓度、多层次的观察分析归纳出数列的⼀个通项公式．四、教法分析根据本节课的内容和学⽣的实际情况，结合波利亚的先猜后证理论，本节课主要以讲解法为主，引导发现为辅，由⽼师带领同学们发现问题，分析问题，并解决问题．考虑到学⽣的认知过程，本节课会采⽤由易到难的教学进程以及实例给出与练习设置，让学⽣们充分体会到事物的发展规律.同时为了增⼤课堂容量，提⾼教学效率，更吸引同学们的眼光，提⾼学习热情，本节课还会采⽤常规⼿段与现代⼿段相结合的办法，充分利⽤多媒体，将引例、例题具体呈现．五、教学过程分析为了突出重点，突破难点，探究新知，强化认识，激发兴趣，把本节课的教学流程分为了创设情境，引⼊课题；师⽣互动，形成概念；启发引导，演绎结论；实践应⽤，开放思考；归纳⼩结，提炼精华；课后作业运⽤巩固。

人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式(二)——利用Sn与an关系求通项公

1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 2n2 n 1，求 an 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 1 3n ，求 an
答案第1题
4 n 1 an 4n 1 n 2
第2题
an 2 3n1, n N
隐藏 Sn ，求 an
【例 2】已知数列{an}中， a1 2a2 2n1an n2 n ，求 an
（2）由（1）
1 Sn
2n ，
Sn
1 2n
,nN
（又回到了类型一）
①当
n
1 时，
a1
S1
1 2
②当 n 2 时， an Sn Sn1
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式（二）—— 利用Sn 与an关系求通项公式课件【精品】
1 1 2n 2n 2
1 2n2 2n
n2 n (n 1)2 (n 1) 2n 对于 bn 2n ，当 n 1 时， b1 2
所以： bn 2n, n N
又 bn 2n1 an , 则2n1 an 2n
所以： an
n 2n2
,n N
处理方法
换元转换为类型一
3. 已知数列{an}中， a1 3a2 (2n 1)an n(n 1)(n 2) ，求 an
（1）求 an ：与类型一的处理方法一样，消去 Sn ，
得到 an 与 an1 的递推关系，再求 an
（2）求 Sn ：消去 an ，得到 Sn 与 Sn1 的递推关系，
进而求出 Sn
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式（二）—— 利用Sn 与an关系求通项公式课件【精品】
1 1 2 0即 1 1 2

人教A版高中数学高二版必修5教师用书第二章数列

知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求数列的概念与递推公式1.了解数列的概念,体会数列是一种特殊函数,能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式2.类比函数理解数列的几种表示方法(列表、图象、通项公式等),能根据项数多少、数列的性质对数列分类3.了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项,能求某些数列的通项公式1.本章学习应使学生认识到数学来源于生活实际,生活中又充满了数学,数学中有无穷的奥秘.学会从生活实际中发现数学规律,体会数学美,体验探索的乐趣.了解我国数学家对数列的贡献,培养学生的爱国热情.通过了解数学家对数列问题锲而不舍的探索过程,培养学生学习数学的兴趣2.养成收集资料、自主探索、合作交流的习惯,提高数学建模能力,提高应用意识和实践能力3.进一步体会从特殊到一般,由已知到未知,从有限到无限的认识事物的规律,养成既大胆猜想又严格证明的科学精神等差数列1.掌握等差数列和等差中项的概念,会用定义判定数列是否是等差数列2.掌握等差数列的通项公式及推导方法,会应用直线、一次函数等有关知识研究等差数列的性质,能熟练运用通项公式求有关的量:a1,d,n,a n,S n3.掌握等差数列的前n项和公式及推导方法,能熟练运用通项公式、前n项和公式,对于a1,d,n,a n,S n中已知三个量求另外两个量;能灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题;能构建等差数列模型解决实际问题等比数列1.掌握等比数列和等比中项的概念,能利用定义判定数列是否是等比数列2.掌握等比数列的通项公式及推导方法,能类比指数函数利用等比数列的通项公式研究等比数列的性质,能熟练运用通项公式求有关的量:a1,q,n,a n,S n3.掌握等比数列的前n项和公式及推导方法,能熟练运用通项公式、前n项和公式,对于a1,q,n,a n,S n中已知三个量求另外两个量;能灵活运用公式解决有关等比数列的综合问题;能构建等比数列模型解决实际问题等差数列与等比数列的综合应用1.能通过类比、转化等方法解决与等差数列、等比数列有关的一些问题2.能用等差数列、等比数列的知识解决实际问题数列是高中数学的主干知识之一,是衔接初等数学与高等数学的桥梁,其中等差、等比数列是最重要、最基本的两种特殊数列,包含的主要内容有等差、等比数列的概念、判定、通项公式、前n项和公式、性质、简单应用等.在教学过程中应注意以下几点:1.注重基础,要求学生熟练掌握两类数列的通项公式、求和公式等,能灵活应用数列的性质.2.授课时有意识地总结一些常用的解题方法:通项公式的求法,等差、等比数列的判定,常用的求和方法等.3.强化训练,提升学生的计算能力,数列的很多题目计算量比较大,等比数列运算中常常会综合指数幂的运算等,这些都要求学生多加训练.4.强化思想方法的应用,本章用得较多的有函数与方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想等.5.在平时的练习中,要注意引导学生对一些易错点多总结,如在利用等比数列求和公式时要注意公比为1的情况,数列求和中对项数的确定等.第1课时数列的概念与简单表示法1.掌握数列、数列中的项、数列的通项公式等概念,能根据数列的前几项求数列的通项公式.2.能根据数列的通项公式求数列中的指定项.3.掌握数列的一些简单性质以及递增数列、递减数列等概念.4.了解递推公式是给出数列的一种方法,会根据递推公式写出数列的前几项.重点:由数列的前几项写出其通项公式.难点:理解数列是一种特殊的函数.小明妈妈从小明1周岁开始在每年的生日这天都要给小明测出身高,并按时间顺序记录下来,得到一列数.日常生活中你还能举出这样的例子吗?问题1:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.数列中排在第n位的数称为这个数列的第n项,记为a n.问题2:(1)数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,…,a n,…,简记为{a n}.(2)如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的通项公式.(3)数列的分类分类标准名称含义例子数列按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,…,10无穷数列项数无限的数列1,4,9,…,n2,…按项的变递增数列自第二项起,每一项大2,4,6,8,…化趋势于它的前一项的数列递减数列自第二项起,每一项小于它的前一项的数列1,,,,…常数列各项都相等的数列2,2,2,…摆动数列自第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列1,-2,3,-4,…问题3:数列概念的本质:从映射、函数的观点来看,数列也可以看作是一个定义域为正整数集(N*)或它的有限子集({1,2,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.数列的通项公式a n就是相应函数的解析式f(n).问题4:数列中的项与集合中的元素相比较,有哪些异同?在世界数学史上,对数列的讨论具有悠久的历史.中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等,都曾经研究过数列,中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《张邱建算经》等,对等差数列和等比数列都列举过计算的例子,说明中国古代对数列的研究做出过一定的贡献.1.已知数列{a n},a n=(n∈N*),那么是这个数列的第()项.A.9B.10C.11D.12【解析】由=可解得n=10或n=-12(舍去),所以n=10.【答案】B2.图中表示的1,4,9,16,…这样的数称为正方形数.那么第n个正方形数为().A.nB.n(n+1)C.n2D.n2+1【解析】各正方形数依次构成一个数列,记作{a n},则a1=1=12,a2=4=22,a3=9=32,a4=16=42,所以第n 个正方形数为a n=n2.【答案】C3.已知数列的前四项是3,5,9,17,则该数列的第5项是.【解析】归纳前四项可得a1=21+1,a2=22+1,a3=23+1,a4=24+1,所以第5项为a5=25+1=33.【答案】334.已知数列{a n}中,a n=n+3(n∈N*,n≤7),试用图象表示出这个数列.【解析】如图所示.根据数列的前几项归纳数列的通项公式写出下面各数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数.(1)1,2,3,4;(2),-1,,-,;(3)9,99,999,9999.【方法指导】根据给定的项,写出数列的一个通项公式,关键是找到n与a n的关系.例如:(1)中的各项可分别写为1+,2+,3+,4+,这样就很容易得出其通项公式;(2)中注意正负号如何调整;(3)中的各项可分别写为101-1,102-1,103-1,104-1.【解析】(1)a n=n+;(2)a n=(-1)n+1;(3)a n=10n-1.【小结】解决此类题目时要把握好以下几个方面:①当给定的项由几部分组成时,我们可以“各个击破”,同时也要注意各部分之间的联系;②正负号可利用(-1)n或(-1)n+1来调整;③熟练掌握常见数列的通项公式,比如:1,2,3,4,…;2,4,6,8,…;1,4,9,16,…;2,4,8,16,…它们的通项公式可以分别为a n=n,a n=2n,a n=n2,a n=2n.根据数列的通项探究数列的项数列{a n}中,已知a n=(n∈N*).(1)写出a10,a n+1,;(2)79是否是数列中的项?若是,是第几项?【方法指导】分别用10,n+1,n2替换通项公式中的n求解出数列中的a10,a n+1,项,再令a n=79求解出n的值进行判断.【解析】(1)∵a n=(n∈N*),∴a10==,a n+1==,==.(2)令79=,解方程得n=15或n=-16,∵n∈N*,∴n=15,即79为该数列的第15项.【小结】该题考查数列通项的定义,判断数列项的归属,由通项公式可以求得数列中的任意一项,也可以由确定性判断一个数是不是数列中的项,判断时假设此数为数列中的第n项,代入通项公式求解n,若求得结果为正整数,则是数列中的项,否则不是.求数列中的最大项已知数列{a n}的通项公式为a n=-n2+7n-50,求数列{a n}中的最大项.【方法指导】由通项公式可知a n是关于n的二次函数,求二次函数最值可采用配方法,此时要注意其中自变量n为正整数.【解析】∵a n=-(n-)2-,∴数列{a n}中的最大项是-.[问题]上述解法正确吗?[结论]错误,在数列{a n}中,n∈N*,故n不能等于.于是,正确的解法如下:(法一)a n=-n2+7n-50=-(n-)2-,其对称轴为n=,所以当n=3或4时,a n取得最大值,为a3=-32+7×3-50=-38,a4=-42+7×4-50=-38.(法二)设数列{a n}中第n项最大,则即解得所以当n=3或4时,a n取得最大值,且最大项为a3=a4=-38.【小结】法一中的关键是配方,障碍点在于n的取值是,还是3,4,或者是3,4中的一个.法二中的关键是不等式组的建立,思维障碍点在于解得后如何处理.求下列数列的一个通项公式:(1)1+,1-,1+,1-,…;(2),,,,,….【解析】(1)a n=1+(-1)n-1.(2)a n=.设数列,,2,,,…,则4是这个数列的().A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项【解析】此数列即为,,,,,…通项公式为a n=,令4=,得n=11,∴选C.【答案】C数列{a n}中,a n=n-,求数列{a n}的最大项和最小项.【解析】由题意得a n=n-=-,∴数列{a n}是递增数列,∴数列{a n}的最小项为a1=1-,没有最大项.1.1,,,,…的一个通项公式a n等于().A. B.C.D.【解析】若把换成,同时首项1换成,规律就明显了.其一个通项应该为:a n=.【答案】C2.数列{a n}中,a n=-2n2+16n+3,则其中最大项为().A.a3B.a4C.a1D.a10【解析】a n=-2(n-4)2+35,故当n=4时,a n取最大值.【答案】B3.已知数列1,,,,…,,…,则3是它的第项.【解析】∵a n=,由=3,得n=23,∴3是该数列第23项.【答案】234.已知数列{a n}的通项公式为a n=.(1)求这个数列的第10项;(2)是不是该数列中的项?为什么?【解析】(1)当n=10时,a10==.(2)设是该数列中的第m项,则=,得9m2-303m+100=0,即m=或m=,均不是正整数.故不是数列{a n}中的项.(2013年·陕西卷)观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.【解析】根据等式两边的规律可知:第n个等式为(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).【答案】(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)1.数列{a n}的通项公式a n=,则-3的项数为().A.3B.5C.9D.10【解析】a n==-,所以令-=-3,所以n=9.【答案】C2.数列,-,,-,…的一个通项公式是().A.a n=(-1)n+1B.a n=(-1)nC.a n=(-1)n+1D.a n=(-1)n【解析】数列,-,,-,…的前四项正负相间隔,奇数项为正,偶数项为负,所以第n项的符号为(-1)n+1,分母为2n,分子为奇数,所以选C.【答案】C3.已知数列{a n}的通项公式a n=n2-4n-12(n∈N*),则(1)这个数列的第4项是;(2)这个数列从第项起,以后各项都为正数.【解析】(1)a4=42-4×4-12=-12;(2)a n=(n+2)(n-6),当n≥7时,a n>0.【答案】-1274.已知数列{a n}的通项公式为a n=n(n+2),问:(1)80、90是不是该数列的项?如果是,是第几项?(2)从第几项开始,该数列的项大于10000?【解析】(1)令n(n+2)=80,得n1=8,n2=-10(舍),∴80是数列的第8项.令n(n+2)=90,此方程无正整数解,∴90不是该数列的项.(2)∵a99=99×101<10000,而a100=100×102>10000,又该数列为递增数列,∴从第100项开始,该数列的项大于10000.5.若数列{a n}的通项公式a n=,记f(n)=2(1-a1)(1-a2)…(1-a n),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)等于().A.B.C.D.【解析】f(1)=2(1-a1)==,f(2)=2(1-)(1-)==,f(3)=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2(1-)(1-)(1-)==,可猜测f(n)=.【答案】C6.数列,,,,…,有序数对(a,b)可以是().A.(21,-5)B.(16,-1)C.(-,)D.(,-)【解析】由数列的前4项可归纳出数列分母的通项公式为n(n+2),∴a+b=15;分子的通项公式为,∴==,解得∴选D.【答案】D7.已知数列{a n}的通项公式是a n=,那么这个数列是数列(填“递增”或“递减”).【解析】∵a n+1-a n=-=>0,∴a n+1>a n,数列{a n}为递增数列.【答案】递增8.根据下面数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1),,,,,…;(2)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(3)2,-6,12,-20,30,-42,….【解析】(1)a n=;(2)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,∴a n=n+;(3)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,∴a n=(-1)n+1n(n+1).9.数列{a n}中,a n=3n2-28n+1,则a n取最小值时n的值为.【解析】a n=3n2-28n+1=3(n-)2-,∴n=5时,a n取最小值.【答案】510.数列{a n}中,a n=.(1)求这个数列的第50项;(2)求证:a n∈(0,1);(3)在区间(,)内有无数列的项?若有,有几项?若无,说明理由.【解析】(1)∵a n==,∴a50=.(2)∵a n==1-,n∈N*,又0<<1,∴a n∈(0,1).(3)由<a n<,得<<.∴解得1<n<,∴当且仅当n=2时,在区间(,)内有数列中的一项.第2课时递推公式与数列的函数思想1.了解递推公式是给出数列的一种方法,会根据递推公式写出数列的前几项.2.了解数列的表示法,会用通项公式、列表法、图象法、递推公式法表示数列.3.掌握数列是特殊的函数,能够运用函数的观点认识数列.重点:根据递推公式写出数列的前几项和利用函数的观点认识、解决数列问题.难点:利用函数的观点解决数列中的单调性和最值问题.多米诺骨牌是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌.玩时将骨牌按一定间距排列成行,轻轻碰倒第一枚骨牌,其余的骨牌就会产生连锁反应,依次倒下.问题1:如果数列{a n}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子a n=f(a n-1)来表示,那么这个公式叫作这个数列的递推公式.问题2:由递推公式求数列的每一项,需知数列的第一项或前两项.问题3:数列的表示方法有通项公式、列表法、图象法、递推公式.问题4:从函数角度,数列可以看作是一个定义域是正整数集N*(或它的有限子集)的数从小到大依次取值时对应的一列函数值.如果能用解析式表示出来,就是数列的通项公式,也就是第n 项a n与项数n之间的函数关系.函数可以研究函数的单调性和最值等性质,数列也可以研究单调性与最值.公元1202年,一位意大利比萨的商人斐波拉契(Fibonacci,约1170-1250年)在他的《算盘全书》中提出过一个“养兔问题”:某人买回一对小兔,一个月后小兔长成大兔.再过一个月,大兔生了一对小兔,以后,每对大兔每月都生一对小兔,小兔一个月后长成大兔,根据这个规律依次写出每个月的兔子对数的总数,即:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,….这就是著名的斐波拉契数列.1.已知数列{a n}的图象在函数y=的图象上,当x取正整数时,则其通项公式为().A.a n=(x∈R)B.a n=(n∈N*)C.a n=(x∈N)D.a n=(n∈N)【解析】数列{a n}对应的点列为(n,a n),即有a n=(n∈N*).【答案】B2.已知数列{a n}的首项a1=1,且满足a n+1=a n+,则此数列的第三项是().A.1B.C.D.【解析】∵a1=1,a n+1=a n+,∴a2=a1+=1,a3=a2+=,故选C.【答案】C3.数列{a n}中,a1=1,a n=+1,则a4= .【解析】a2=+1=1+1=2,a3=+1=,a4=+1=+1=.【答案】4.数列{a n}中,已知a n=2n+1-3.(1)写出a3,a4;(2)253是否是数列的项?如果是,是第几项?【解析】(1)a3=13,a4=29.(2)令2n+1-3=253,则2n+1=256,∴n+1=8,∴n=7,∴253是第7项.根据递推公式求数列的项已知在数列{a n}中,a1=1,a2=3,a n=a n-1+(n≥3),则a5等于().A. B.C.4 D.5【方法指导】根据已知项和给定的递推关系式逐项写出即可.【解析】根据递推公式可得:a3=a2+=4,a4=a3+=,a5=a4+=.【答案】A【小结】充分利用递推关系,由a1、a2,先依次求出a3、a4,再求出a5.周期变化的数列探究对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),n∈N*,依照下表:x12345f(x)54312(1)求a2,a3,a4;(2)求a2015.【方法指导】数列作为特殊的函数,可利用函数方法来解.【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,…,该数列是周期为4的周期数列,所以a2015=a3=5.【小结】通过求数列的前几项,发现规律,找到周期是本题的关键.求数列的最大项已知数列{a n}的通项a n=(n+1)()n(n∈N*),试问该数列{a n}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的系数;若没有,请说明理由.【方法指导】数列中寻找最大项,就要判断数列的单调性,判断数列的单调性可以借助函数的单调性判断,也可以只需连续前后两项进行比较,可以用作差法,也可以用作商法判断.【解析】(法一)∵a n+1-a n=(n+2)()n+1-(n+1)·()n=()n·,∵当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n,当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.∴该数列中有最大项为第9项,且a9=10×()9.(法二)∵a n=(n+1)()n>0,∴=[(n+2)()n+1]÷[(n+1)()n]=.显然当n<9时,有a n+1>a n,当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.∴该数列中有最大项为第9项,且a9=10×()9.[问题]上述解法正确吗?[结论]忽略了n=9时的情况,a9=a10,则最大项为第9、10项.于是,正确解答如下:(法一)∵a n+1-a n=(n+2)()n+1-(n+1)·()n=()n·,当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴该数列中有最大项为第9、10项,且a9=a10=10×()9.(法二)∵a n=(n+1)()n>0,∴=[(n+2)()n+1]÷[(n+1)()n]=.令10(n+2)=11(n+1),得n=9.显然n<9时,有a n+1>a n;当n>9时,有a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴该数列中有最大项为第9、10项,且a9=a10=10×()9.【小结】判断数列的单调性可以借助基本函数的单调性,也可以比较连续两项的大小关系.在比较连续两项之间的大小关系时,关键是不等式组或的建立,要注意等号是否成立,即两项有无可能相等.数列{a n}的首项和递推公式分别是a1=0,a n+1=a n+(2n-1)(n∈N*),求其通项公式.【解析】令n=1,2,3,4,得a1=0,a2=a1+1=1=12,a3=a2+3=4=22,a4=a3+5=9=32,a5=a4+7=16=42,可归纳出a n=(n-1)2.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=,求a2013的值.【解析】∵a1=2,a n+1=,∴a n+2====-,于是a n+4=-=a n.∴{a n}为周期数列,周期T=4.又a1=2,a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,∴a2013=a4×503+1=a1=2.已知a n=n×0.8n(n∈N*).(1)判断数列{a n}的单调性;(2)求数列{a n}的最大项.【解析】(1)∵a n+1-a n=×0.8n(n∈N*),∴n<4时,a n<a n+1;n=4时,a4=a5;n>4时,a n>a n+1.即a1,a2,a3,a4单调递增,a4=a5,而a5,a6…单调递减.(2)由(1)知,数列{a n}的第4项和第5项相等且最大,最大项是=.1.数列{a n}中,a n+2=a n+1-a n,a1=2,a2=5,则a2015的值是().A.-2B.2C.-5D.5【解析】因为a n+2=a n+1-a n,a1=2,a2=5,所以a3=3,a4=-2,a5=-5,a6=-3,a7=2,a8=5,利用数列的周期为6,a2015=a6×335+5=a5=-5.【答案】C2.已知数列{a n},a n=2n2-10n+3,它的最小项是().A.第一项B.第二项C.第三项D.第二项或第三项【解析】a n=2n2-10n+3=2(n-)2-,而2和3与的距离相等,故最小项是第二项或第三项.【答案】D3.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1-a n=(-1)n,则a100= .【解析】由a1=1,得a2=a1-1=0,a3=a2+1=1,a4=a3-1=0,由此可归纳:a2n=0,∴a100=0.【答案】04.若数列{a n}满足a1=,a n=1-(n≥2且n∈N*),求a2015.【解析】a1=,a n=1-(n≥2且n∈N*),令n=2,则有a2=-1;令n=3,a3=2;令n=4,a4=;令n=5,a5=-1;….所以{a n}是以3为最小正周期的数列.则a2015=a671×3+2=a2=-1.(2011年·浙江卷)若数列{n(n+4)()n}中的最大项是第k项,则k= .【解析】设a n=n(n+4)()n,a n+1=(n+1)(n+5)·()n+1,若=>1,则n2>10,即当n≥4,a n≥a n+1;同理得n≤3时,有a n≤a n+1,a3==,a4=,因此第4项最大,k=4.【答案】41.在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是().A. B. C. D.【解析】由已知得a n=1+,∴a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=3,a5=1+=,∴=×=.【答案】C2.设数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n+3,则a4等于().A.30B.35C.37D.40【解析】a2=2a1+3=7,a3=2a2+3=17,a4=2a3+3=37.【答案】C3.已知数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(n+1),则a1+a2+a3+…+a10= .【解析】由a n=(-1)n(n+1),得a1+a2+a3+…+a10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.【答案】54.已知数列{a n}的通项a n=(a,b,c均为正实数),比较a n与a n+1的大小关系.【解析】∵a n==(a,b,c均为正实数),f(n)=是减函数,∴a n=是增函数,∴a n<a n+1.5.在数列{a n}中,已知a1=1,且当n≥2时,a1a2…a n=n2,则a3+a5等于()A.B.C.D.【解析】a3==,a5==,∴a3+a5=.【答案】B6.若a n=,则a n与a n+1的大小关系为().A.a n>a n+1B.a n<a n+1C.a n=a n+1D.不能确定【解析】a n==,易知a n是关于n的增函数,故a n<a n+1.【答案】B7.数列{a n}满足a n+1=若a1=,则a20的值为.【解析】逐步计算,可得a1=,a2=-1=,a3=-1=,a4=,a5=-1=,…,这说明数列{a n}是周期数列,且T=3,所以a3×6+2=a2=.【答案】8.设函数f(x)=log2x-log x4(0<x<1),数列{a n}的通项a n满足f()=2n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明:数列{a n}是递增数列.【解析】(1)由已知得log2-lo4=2n,即a n-=2n,变形整理得-2na n-2=0⇒a n=n±,又0<x<1,所以0<<1,故a n<0,所以a n=n-.(2)因为a n=n-=-单调递增,所以数列{a n}是递增数列.9.已知数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N*,且n≤20),则数列{a n}的最小项为第项.【解析】可结合函数f(x)==1+,作出f(n)=a n=的图象,观察知数列{a n}的最小项为a3.【答案】310.已知数列{a n}的通项公式为a n=试判断该数列是递增数列还是递减数列,并证明你的结论.【解析】数列{a n}为递增数列.证明:当n≥2时,a n+1=(n+2)+log2(),a n+1-a n=1+log2().显然log2()>0,故a n+1>a n.又a2=3+log2=log2>log2=,∴a2>a1,∴{a n}是递增数列.第3课时等差数列的概念及其性质1.理解等差数列、公差、等差中项的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式,灵活运用通项公式求解计算,做到“知三求一”.重点:等差数列的概念和通项公式.难点:等差数列通项的求法及其应用.《蒙学诗》一去二三里,烟村四五家,亭台六七座,八九十枝花.它的意思是:我到外面游玩,不知不觉离家已有两、三里地,看到不远处的小村庄里,有四、五户人家已经冒起了炊烟.我信步走来,又看到路边有六、七处精美的亭阁楼台,独自静静观赏,才发现身边的树枝上挂着……八朵、九朵,哦,不,十朵花,真是赏心悦目!这首五言绝句是描写风景的优美.它把“一”到“十”的数字嵌入诗中,组合成一幅静美如画的山村风景图,质朴素淡,令人耳目一新.问题1:(1)等差数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差.(2)等差中项的概念:如果a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.其中A= .问题2:等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d ,如何推导的?(法一)归纳猜想:根据等差数列的定义,将{a n}中的每一项都用a1和d表示出来.a2= a1+d ;a3=a2+d= a1+2d ;a4=a3+d= a1+3d ;…;a n= a1+(n-1)d .(法二)累加法:将各式相加可得a n-a1=(n-1)d,故a n= a1+(n-1)d .问题3:根据等差数列的概念,如何判断数列的单调性,如何判断一个数列是否为等差数列?等差数列满足a n-a n-1=d(d为常数,n≥2)或a n+1-a n=d(d为常数,n∈N*).当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列;当d=0时,数列为常数列.要判断一个数列是否为等差数列,只需判断a n-a n-1=d(d为常数,n≥2)或a n+1-a n=d(d为常数,n∈N*)是否成立.问题4:(1)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2a n=a n-1+a n+1(n≥2).推广:若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*).(2)等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d 中一共涉及了四个量,用方程的观点来看,如果三个量已知,就可求出剩余的一个未知量,即“知三求一”.(3)用函数的观点来认识等差数列的通项公式,可以发现点(n,a n)分布在一次函数的图象上,结合函数性质可认识数列的增减性.公元前1世纪的《周髀算经》将日行轨道按季节不同分成七个同心圆,称为“七衡图”.已知内衡直径a1=238000里,两衡间距为=19833万里,则其余各衡的直径依次为a2=a1+d,a3=a1+2d,…,a7=a1+6d.显然,从中可归纳出一般等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d.1.已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为().A.2B.3C.-2D.-3【解析】依题意可得a n+1-a n=-2或a2-a1=(3-4)-(3-2)=-2.【答案】C2.已知等差数列{a n}中,首项a1=4,公差d=-2,则数列{a n}的通项公式是().A.a n=4-2nB.a n=2n-4C.a n=6-2nD.a n=2n-6【解析】通项公式a n=a1+(n-1)d=4+(n-1)(-2)=6-2n.【答案】C3.与的等差中项是.【解析】因为=2-,=-(+2),由等差中项的定义可知,与的等差中项是[(2-)-(2+)]=-.【答案】-4.已知等差数列的前三项为3,7,11,求该数列的第4项和第10项.【解析】根据题意可知:a1=3,d=7-3=4,∴该数列的通项公式为:a n=3+(n-1)×4,即a n=4n-1(n∈N*),∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39.求等差数列的通项已知等差数列{a n}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{a n}的通项公式.【方法指导】根据给定的a3a7=-16,a4+a6=0,可以得到关于a1和d的方程组,通过解方程组可得其通项公式.【解析】设{a n}的首项为a1,公差为d,则即解得或故数列的通项公式为a n=-8+2(n-1)=2n-10或a n=8-2(n-1)=-2n+10.【小结】本题体现了方程(组)的思想,这种思想在数列中经常用到.紧紧把握住等差数列的基本量(首项a1和公差d)是解决此类问题的关键.等差数列的判断已知数列{a n}的通项为a n=lg3n,试判断该数列是否为等差数列.若是,其公差是多少?【方法指导】可以利用等差数列的定义来证明,看a n+1-a n是否等于一个与n无关的常数.【解析】a n=lg3n=n lg3,则a n+1-a n=(n+1)lg3-n lg3=lg3,是常数.故数列{a n}是等差数列,公差为lg3.【小结】判断或证明一个数列为等差数列,主要是利用等差数列的定义,确定a n+1-a n是一个与n 无关的常数.等差数列的实际应用《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为().A.1升B.升C.升D.升【方法指导】设出等差数列{a n}的基本量,将所给条件用基本量表示,利用基本量法求解.【解析】设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得即解得所以a5=a1+4d=.【答案】B【小结】求解此类问题的关键是把实际问题转化为等差数列问题,利用等差数列的定义、通项公式设出基本量a1和d,解方程即可.在等差数列{a n}中,已知a1+a6=12,a4=7.(1)求a9.(2)求此数列在[101,1000]内共有多少项.【解析】(1)设{a n}的首项为a1,公差为d,则则∴a9=a1+8d=1+8×2=17.(2)a n=1+(n-1)×2=2n-1,令101≤2n-1≤1000,则51≤n≤500.5,故共有450项.已知数列{a n}中,a1=,数列a n=2-(n≥2,n∈N*),数列{b n}满足b n=(n∈N*),求证:数列{b n}为等差数列.【解析】因为b n===,而b n-1=,所以b n-b n-1=-=1(n≥2,n∈N*),故数列{b n}是首项为-,公差为1的等差数列.夏季高山上的温度从山脚起,每升高100m,降低0.7℃,已知山顶处的温度是14.8℃,山脚处的温度为26℃,求此山相对于山脚处的高度.【解析】因为每升高100m温度降低0.7℃,所以该处温度的变化是一个等差数列问题.山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项a n=14.8,所以26+(n-1)(-0.7)=14.8,解之可得n=17,此山的高度为(17-1)×100=1600(m).答:此山相对于山脚处的高度是1600m.1.lg(-)与lg(+)的等差中项为().A.0B.lgC.lg(5-2)D.1【解析】等差中项为===0.【答案】A2.等差数列的相邻四项是1,a,-7,b,那么a、b的值分别是().A.3,-11B.-3,-11C.-3,11D.3,11【解析】根据等差中项的定义得a==-3,-14=a+b=-3+b,∴b=-11.【答案】B3.已知数列{a n}为等差数列,a3=,a7=-,则a15的值为.【解析】设{a n}的首项为a1,公差为d,则解得所以a15=+(15-1)×(-)=-.4.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次.奥运会如果因故不能进行,届数照算.(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;(2)2008年北京奥运会是第几届?2050年举行奥运会吗?【解析】(1)由题意知:举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列,∴a n=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N*).(2)令a n=2008,则2008=1892+4n,得n=29,故2008年北京奥运会是第29届奥运会.令a n=2050,则2050=1892+4n,无正整数解,故2050年不举行奥运会.(2013年·广东卷)在等差数列{a n}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= .【解析】设公差为d,则a3+a8=10⇒2a1+9d=10,而3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.【答案】201.在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为().A.5B.6C.8D.10【解析】由等差中项的定义得a1+a9=2a5,所以a5=5.【答案】A2.在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10等于().A.12B.14C.16D.18【解析】设等差数列{a n}的公差为d,由a2=2,a3=4,得解得∴a10=a1+(10-1)×d=9d=18.【答案】D3.若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a= .【解析】设等差数列2,a,b,c,9的公差为d,则9-2=4d,∴d=,c-a=2d=2×=.【答案】4.已知数列{a n}满足a1=,且当n>1,n∈N*时,有=.(1)求证:数列{}为等差数列;(2)试问a1a2是否是数列{a n}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.【解析】(1)当n≥2时,由=得,a n-1-a n-4a n-1a n=0,两边同除以a n a n-1得,-=4,即-=4对任意n>1且n∈N*成立,∴{}是以=5为首项,d=4为公差的等差数列.(2)由(1)得,=+(n-1)d=4n+1,∴a n=.∴a1a2=×=.设a1a2是数列{a n}的第t项,则a t==,解得t=11∈N*,∴a1a2是数列{a n}的第11项.5.在x和y(x≠y)两数之间插入n个数,使它们与x,y组成等差数列,则该数列的公差为().A. B.C. D.【解析】由题意知x和y分别为该数列的第1项和第n+2项,则该数列的公差d==.【答案】B6.已知{a n}为等差数列,若a3+a4+a8=9,则a5等于().A.-3B.2C.3D.-2【解析】由a3+a4+a8=3a5知a5=3,∴选C.【答案】C7.已知{}是等差数列,且a4=6,a6=4,则a10= .【解析】-=-=2d,即d=.所以=+4d=+=,所以a10=.【答案】8.已知a,b,c成等差数列,那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?【解析】成等差数列,证明如下:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,∴a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),∴a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.9.数列{a n}中,各项均为正数,且满足a n+1=a n+2+1,a1=2,则数列{a n}的通项公式为.【解析】由a n+1=a n+2+1得a n+1=(+1)2,∵{a n}各项均为正数,∴=+1,∴-=1,∴{}为等差数列,∴=+(n-1)×1,∴a n=(n+-1)2.【答案】a n=(n+-1)210.已知数列{a n}是等差数列(a k与公差d均不为0).(1)求证:k取任何正整数,方程a k x2+2a k+1x+a k+2=0都有一个相同的实根.。

人教A版高中数学必修五河北省张家口第二章数列的概念与简单表示法课时作业

2.1数列的概念及简单的表示法(作业)一、选择题1.下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在*N 或它的有限子集上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④2. 下列说法中，正确的是（）A ．数列1，3，5，7可表示为{}1,3,5,7B ．数列1，0，1-，2-与数列2-，1-，0，1是相同的数列C ．数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第k 项为11k +D ．数列0，2，4，6，8，…可记为{}23. 若2n na n =+，则n a 与1n a +的大小关系是（） A ．1n n a a +> B ．1n n a a +< C ．1n n a a += D ．不能确定4. 数列1-，85，157-，249，…的一个通项公式是（）A ．()()1121nn n n a n +=-+B ．()()211nn n n a n +=-+C ．()()21111nn n a n ++=-+ D ．()22121nn n na n +=-+5．已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（）A.110B.16C.15D.126．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．147. 在数列{}n a 中，113a =，()()1122nn n a a n -=-⋅≥，则5a =（）A ．163-B ．163C ．83-D ．83选择题题号1 2 3 4 5 6 7 答案二、填空题8．数列{}n a 中，21n a n =+，则2n a =________.9．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第______项.10、数列7，77，777，7777，77777，……的通项公式为_______________________．11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第10个图案中有白色地面砖_________________块三、解答题 12．求数列,154,32-638,556-,…的通项公式．13.已知函数()22x xf x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n af n =-，求数列{}n a 的通项公式.14．设数列{}n a 的通项公式为1n n a n =+. （1）求56,a a ；（2）0.96是该数列的第几项？（3）0.86是不是该数列的项？15. 数列通项公式为2n =n -5n+4a ，问：（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值．。

高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课件(一) 新人教A版必修5

（4）
二、新课讲解
1 例3. 已知a1 1, an 1 (n 2), 写出这个数列 an1 的前5项. 解：∵a1=1
1 1 a2 1 1 2 a1 1
1 1 3 a3 1 1 a2 2 2 1 2 5 a4 1 1 a3 3 3 1 3 8 a5 1 1 a4 5 5
(1) 1, 1, 1, 1, (2) 1,1, 1,1, (3) 1, 1, 1, 1, 1 1 1 (4) 1，，， 2 3 4 (5) 2，，， 0 2 0
二、新课讲解
5. 数列的实质从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项 n f(n) 的映射
分析（1）后一项比前一项多3 （2）后一项是前一项的2倍
9n ( n 1) an ( n N ) ,试问数列中有没有最大项 2.已知 10n
如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。
1、选择题
补充练习
)
( 1 )下面数列是有穷数列的 ( 是 1 1 1 A.1,0,1,0, B.1, , , ; 2 3 4 C.2,22,222 D.0,0,0,0, , A.380 B.39 C .32
则公式(2)就称为数列的递归公式。
观察下面数列的各项之间有什么关系？
1，1，2，3，5，8，13，21，…
分析：这是意大利人斐波那契首先得出的数列称为斐波那契数列。此数列从第三项起，每一项是它前面两项的和。如果用
an 表示数列的第n项（ n N *），则
a n 2 a n 1 a n , n N * (2) 且 a1 1, a2 1.
).
)
2、填空题 n1 （ 4）已知数列 an }的通项公式an { , n 则它的第项a5 _______; 5 1 3 7 15 ( 5 )数列 , , , ,的一个通项公式 2 4 8 16 为__________ ____; 1 ( 6 )数列 , lg 2 ,lg 3 ,lg 2 ,的一个通项公 0 2 式为__________ _____.

人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(2)(含答案)

2.1数列的概念与简单表示法(二)自主学习知识梳理1．数列可以看作是一个定义域为________________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．2．一般地，一个数列{a n}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n}的各项________，那么这个数列叫做常数列．3．数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定；若求最小项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定．自主探究已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{a n}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？对点讲练知识点一利用函数的性质判断数列的单调性例1已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2n2＋1.求证：数列{a n}为递增数列．总结数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．变式训练1在数列{a n}中，a n＝n3－an，若数列{a n}为递增数列，试确定实数a的取值范围．知识点二求数列的最大最小项例2 已知a n ＝9n (n ＋1)10n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结先考虑{a n }的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4 (n ∈N *)，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．知识点三由递推公式求通项公式例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1等方法．变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立.课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57C.37D.17题号1 2 3 4 5 答案二、填空题6．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．7．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________．8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 2 009＝________.三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.§2.1 数列的概念与简单表示法(二)知识梳理1．正整数集N * 函数值2．第二项 a n ＋1>a n 第二项 a n ＋1<a n 都相同 3.⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1自主探究解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6，证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6.∴a 2 011＝a 335×6＋1＝a 1＝1.对点讲练例1 证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1(n ＋1)2＋1＝[(n ＋1)2＋1]－(n 2＋1)(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]＝2n ＋1(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]. 由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．变式训练1 解若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立．即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立，即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *，∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7.∴a 的取值范围为a ≤7.例2 解因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1) ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108. 变式训练2 解 (1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，当n ＝2,3时，a n <0.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5. 又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为－2.例3 解由递推公式得a 1＝1，a 2＝1＋12×1＝32，a 3＝32＋13×2＝53， a 4＝53＋14×3＝74，a 5＝74＋15×4＝95. 故数列的前五项分别为1，32，53，74，95. ∴通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n(n ∈N *)．变式训练3 解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ， ∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)．课时作业1．A2．B [∵a 1＝1，∴a 2＝12＋12＝1，a 3＝12＋14＝34，a 4＝12×34＋18＝12.] 3．C [a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110，猜想a n ＝13(n －1)＋1， ∴a 34＝13×(34－1)＋1＝1100.] 4．B [∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6， ∴S 11>0，则当n ≥11时，S n >0，故n 最小为11.]5．C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.] 6．127．10或11解析令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则n ≤11. ∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴S 10＝S 11且为S n 的最大值．8．2 017 036解析由a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n 得a n ＝a n －1＋n －1，a n －1＝a n －2＋n －2，⋮a 2＝a 1＋1，a 1＝0，累加可得a n ＝0＋1＋2＋…＋n －1＝n (n －1)2， ∴a 2 009＝2 009×2 0082＝2 017 036. 9．(1)解因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2 a n )＝－2n ，所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. 又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．10．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2. ∴a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2.。

人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(含答案)

第二章数列§2.1 数列的概念与简单表示法材拓展1．从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{a n }单调递增⇔a n ＋1>a n 对任意n (n ∈N *)都成立；数列{a n }单调递减⇔a n ＋1<a n 对任意n (n ∈N *)都成立．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线．例如：已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析 ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1 ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上．在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C2．了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．易知，若T 是{a n }的一个周期，则kT (k ∈N *)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期．例如：已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析 a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1， a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ， a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，……. ∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B3．数列的前n 项和S n 与a n 的关系对所有数列都有：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1 (n ≥2)．因此，当n ≥2时，有：a n ＝S n －S n －1.当n ＝1时，有：a 1＝S 1.所以a n 与S n 的关系为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2.注意这一关系适用于所有数列．例如：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1，则a n ＝________.解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[(n －1)·2n ＋1]－[(n －2)·2n －1＋1]＝(n －1)·2n －(n －2)·2n －1＝n ·2n －1.所以通项公式可以统一为a n ＝n ·2n －1.答案 n ·2n －14．由简单的递推公式求通项公式(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求和，采用累加法求a n .即：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) ＝a 1＋∑n －1i ＝1f (i ) (2)形如a n ＋1＝f (n )·a n ，且f (1)·f (2)…f (n )可化简，采用累乘法求a n .即a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)＝a 1·Πn －1i ＝1f (i ) (注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号)(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (AB ≠0且A ≠1)．设a n ＋1－x ＝A (a n －x )，则：a n ＋1＝Aa n ＋(1－A )x由(1－A )x ＝B ，∴x ＝B 1－A∴a n ＋1－B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －B 1－A ∴a n －B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －1－B 1－A ＝A 2⎝⎛⎭⎫a n －2－B 1－A ＝…＝A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ∴a n ＝B 1－A＋A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ＝(1－A n －1)·B 1－A＋A n －1a 1.法突破一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n 项a n 与项数n 的关系，即a n 如何用n 表示．(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试．(3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，即用(－1)n 或(－1)n －1表示，然后再考虑各项绝对值的规律．(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式．例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，…；(5)0,3,8,15,24，…； (6)1，13，17，113，121，…. 解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)把分母统一为2，则有：12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22. (3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，….因而有a n ＝79(10n －1)． (5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，则有a n ＝n 2－1.(6)显然各项的分子均为1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，…，其规律也就明显了．故a n ＝1n 2－n ＋1. 二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性．例2 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)．试问数列{a n }的最大项是第几项？解方法一 ∵a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·(9－n )11.当n ≤8时，a n <a n ＋1，{a n }递增，即a 1<a 2<…<a 8<a 9.当n ＝9时，a 9＝a 10.当n ≥10时，a n >a n ＋1，{a n }递减，即a 10>a 11>a 12>….又a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }的最大项是第9项和第10项．方法二令a n a n －1≥1 (n ≥2)，即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n n ⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1. 整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10. 令a n a n ＋1≥1，即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1. 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9. 所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减．因此数列{a n }先递增，后递减．∴a 1<a 2<…<a 9，a 10>a 11>a 12>…，且a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }中的最大项是第9项和第10项．三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．例3 已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)，那么a 2 010与S 2 009依次是( )A ．1,3B ．3,1C ．－2,2D ．2，－2解析 ∵a n ＝a n －1－a n －2，∴a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2.由a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴{a n }为周期数列，且周期T ＝6.∴a 2 010＝a 6＝－a 3＝a 1－a 2＝－2.∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0＋0＋0＝0，且2 010是6的倍数，∴S 2 010＝0.∴S 2 009＝S 2 010－a 2 010＝0－a 2 010＝0－(－2)＝2.答案 C四、已知前n 项和S n ，求通项a n方法链接：已知数列{a n }的前n 项和S n ，求a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1，求出a 1，再由a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)求出a n ，最后验证a 1与a n 能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示．例4 已知下列各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝(－1)n ＋1 n ；(2)S n ＝3n －2.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ·(－n )－(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ·(－2n ＋1)．由于a 1也适合此等式，因此a n ＝(－1)n ·(－2n ＋1) (n ∈N *)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2·3n －1 (n ≥2). 五、由递推公式求通项a n方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法．需要理解一点，对a n －a n －1＝n (n ≥2)不仅仅是一个式子而是对任意的n ≥2恒成立的无数个式子，正是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为a n ，就是解题的关键所在．另外递推公式具有递推性，故由a 1再加上递推公式可以递推到a n .例5 由下列数列{a n }的递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)．解 (1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2.将上述各式累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2，由于a 1也适合此等式．故a n ＝n (n ＋1)2. (2)由题意得，当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12，将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，即a n ＝1n. 由于a 1也适合此等式，故a n ＝1n. 六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用．构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系分析解决问题．其中构建递推关系是关键．例6 某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有1个、5个、13个、25个．如果按照同样的方式接着摆下去，记第n 个图需用f (n )个“福娃迎迎”，那么f (n ＋1)－f (n )＝________；f (6)＝________.解析 ∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，…，∴f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…∴f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (6)＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋[f (4)－f (3)]＋[f (5)－f (4)]＋[f (6)－f (5)]＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.答案 4n 61区突破1．对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2. [点拨] 数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1] 因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，由数列{a n }是单调递增数列有－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1，即λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的．故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}．即λ>－3为所求的范围．[正解2] 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．2．对公式使用条件考虑不周而致错例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式．[正解] a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (n ＝1)2·3n －1＋2 (n ≥2).题多解例设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0 (n ∈N *)，求a n . 分析先求出相邻两项a n ＋1与a n 的关系，再选择适当的方法求a n .解方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0.得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n. 方法二 (换元法)由已知得(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，设b n ＝na n ，则b n ＋1－b n ＝0.∴{b n }是常数列．∴b n ＝b 1＝1×a 1＝1，即na n ＝1.∴a n ＝1n.题赏析1．(2009·北京)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝______，a 2 014＝______.解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0.答案 1 0赏析题目小而灵活，考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力．2．(2009·湖北八市调研)由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3，b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9，b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.答案 C 赏析题目新颖别致，考查了对新情境题目的审题能力．。

人教版A版高中数学必修5：数列的概念与简单表示法_课件9

年9月1日二十四小时整点时广东平均气温，就是一个数列但
它不能用通项公式表示．
2．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要．
3．注意观察法求数列通项的一些技巧．如：平方数数列、自然数数列、偶数列、奇数列等要记清．另对分式数列，注意分式分子或分母是否有规律，再看分子与分母是否有联系．
练习2：判断下列数列是有穷数列还是无穷数列 (1)1,2,3,4,5,6，…. (2)10,100,1000，…，1000000. 3．（1）数列的三种表示法是：________________. (2)数列1,2,3与数列3,2,1是否是相同数列？____. (3)An＋1＝An＋1，A1＝1，则a3＝____.
答案：7．(1)大于 (2)小于 (3)都等于同一个常数
(5)指出下列数列哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、摆动数列、常数列？
(1)1,2,22,23,24，…，263； (2)1,0.84,0.842,0.843，…； (3)0,10,20,30，…，1000.
答案：练习7：(1)有穷数列、递增数列 (2)无穷数列、递减数列 (3)有穷数列、递增数列
a4＝212×＋122＝25，a5＝225×＋252＝13.
由 a1＝1＝22，a2＝23，a3＝12＝24，a4＝25，
a5＝13＝26，可看出分子为常数 2，分母为 n＋1.
所以 an＝n＋2 1.
跟踪训练
4．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，猜想an，并加以证明．
解析：由a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝2×2＝4＝22， a3＝2a2＝2×4＝8＝23， a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25， …

高中数学新人教A版必修5 第二章 2.1 第二课时数列的通项公式与递推公式

第二课时数列的通项公式与递推公式预习课本P30～31，思考并完成以下问题(1)什么叫数列的递推公式？(2)由数列的递推公式能否求出数列的项？[新知初探]数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．[点睛](1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项()(2)有些数列可能不存在最大项()(3)递推公式是表示数列的一种方法()(4)所有的数列都有递推公式()解析：(1)正确．只需将项数n代入即可求得任意项．(2)正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的．(3)正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法．(4)错误．不是所有的数列都有递推公式．例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．符合递推关系式a n＝2a n－1的数列是()A．1,2,3,4，…B．1，2，2,22，…C.2，2，2，2，… D ．0，2，2,22，…解析：选B B 中从第二项起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式a n ＝2a n －1. 3．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5D ．19解析：选D 由a n ＋1＝a n ＋2－a n ，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，则a 3＝a 1＋a 2＝7，a 4＝a 2＋a 3＝12，a 5＝a 3＋a 4＝19. 4．已知a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1，得a 2＝2，a 3＝32，a 4＝53，a 5＝85.答案：85由递推公式求数列的项[典例] 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项．[解] 由a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，得a n ＋2＝a 2n ＋1－(－1)na n，又∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 3＝a 22－(－1)1a 1＝32＋11＝10，a 4＝a 23－(－1)2a 2＝102－13＝33，a 5＝a 24－(－1)3a 3＝332＋110＝109.∴数列{a n }的前5项为1,3,10,33,109.由递推公式求数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． [活学活用]已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 018＝________.解析：计算得a 2＝2a 1－1＝57，a 3＝2a 2－1＝37，a 4＝2a 3＝67.故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又因为2 018＝672×3＋2，所以a 2 018＝a 2＝57.答案：57由递推公式求通项公式题点一：累加法求通项公式1．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，求数列的通项公式a n .解：∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；…a n －a n －1＝1(n －1)n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n. ∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n (n ≥2)．又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式，∴a n ＝－1n .题点二：累乘法求通项公式2．设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求数列的通项公式a n . 解：∵a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴an a n －1＝n －1n ， a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n . 又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n .由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．数列的最大、最小项问题[典例] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝()n ＋1·⎝⎛⎭⎫1011n ，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．[解] 法一：a n ＋1－a n＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝(9－n )⎝⎛⎭⎫1011n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，(n >1)即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，(n >1)解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n }这一条件．(2)可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，(n >1)找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，(n >1)找到数列的最小项．[活学活用]数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项D ．第7项解析：选B a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，当n ＝143时，a n 最小，又n ∈N *，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．层级一学业水平达标1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34D.58解析：选B 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.2．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]解析：选C ∵{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 解析：选C 由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．已知数列{a n }满足要求a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 5等于( ) A ．15 B ．16 C ．31D ．32 解析：选C ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，a 5＝2×15＋1＝31.5．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝a b n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析：选C ∵b n ＝a b n －1，∴b 2＝a b 1＝a 2＝3，b 3＝a b 2＝a 3＝5，b 4＝a b 3＝a 5＝9，b 5＝a b 4＝a 9＝17，b 6＝a b 5＝a 17＝33.6．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n，得a n ＝________.解析：由条件知a n ＋1a n＝nn ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1，代入上式得n －1个等式，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ⇒a n a 1＝1n .又∵a 1＝23，∴a n ＝23n .答案：23n7．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________．解析：a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9. 答案：－98．已知数列{a n }，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝b ＋m ，4＝b 2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，m ＝3.∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2. 答案：29．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)．解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝2，a 2＝3，a 3＝5，a 4＝9.猜想a n ＝2n －1＋1.10．已知函数f (x )＝x －1x .数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式．解：∵f (x )＝x －1x ，∴f (a n )＝a n －1a n，∵f (a n )＝－2n .∴a n －1a n＝－2n ，即a 2n ＋2na n －1＝0.∴a n ＝－n ±n 2＋1.∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n .层级二应试能力达标1．若数列{a n }满足a n ＋1＝4a n ＋34(n ∈N *)，且a 1＝1，则a 17＝( ) A ．13 B ．14 C ．15D ．16解析：选A 由a n ＋1＝4a n ＋34⇒a n ＋1－a n ＝34，a 17＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 17－a 16)＝1＋34×16＝13，故选A.2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n ＋lg n解析：选A 由a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ⇒a n ＋1－a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋lg 2＋lg 32＋lg 43＋…＋lg n n －1＝2＋lg （2×32×43×…×n n －1）＝2＋lg n .3．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．(－∞，4] C ．(－∞，5)D ．(－∞，6)解析：选D 依题意，a n ＋1－a n ＝－2(2n ＋1)＋λ<0，即λ<2(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立．注意到当n ∈N *时，2(2n ＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，则a 2 017＋a 2 018等于( )A ．4 B.32 C.76D.116解析：选B a 2＝f ⎝⎛⎭⎫73＝73－1＝43； a 3＝f ⎝⎛⎭⎫43＝43－1＝13； a 4＝f ⎝⎛⎭⎫13＝13＋12＝56； a 5＝f ⎝⎛⎭⎫56＝2×56－1＝23；a 6＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23－1＝13；即从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列． ∴a 2 017＋a 2 018＝a 4＋a 5＝32.故选B.5．若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________. 解析：由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1⇒a n a n －1＝n ＋1n －1，则a 100＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝1×31×42×…×10199＝5 050.答案：5 0506．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．解析：若a 5为奇数，则3a 5＋1＝1，a 5＝0(舍去)．若a 5为偶数，则a 52＝1，a 5＝2.若a 4为奇数，则3a 4＋1＝2，a 4＝13(舍去)．若a 4为偶数，则a 42＝2，a 4＝4.若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4. 若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去)．若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5. 若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32.答案：4,5,327．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 22n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．解：存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝3223＝98，a 4＝4224＝1，a 5＝5225＝2532，….∵当n ≥3时，a n ＋1a n＝(n ＋1)22n ＋1×2n n 2＝(n ＋1)22n 2＝12⎝⎛⎭⎫1＋1n 2<1，∴a n＋1<a n，即n≥3时，{a n}是递减数列．又∵a1<a3，a2<a3，∴a n≤a3＝9 8.∴当n＝3时，a3＝98为这个数列的最大项．8．已知数列{a n}满足a1＝12，a n a n－1＝a n－1－a n(n≥2)，求数列{a n}的通项公式．解：∵a n a n－1＝a n－1－a n，∴1a n－1a n－1＝1.∴1a n＝1a1＋⎝⎛⎭⎫1a2－1a1＋⎝⎛⎭⎫1a3－1a2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n－1a n－1＝2＋1＋1＋…＋1(n－1)个1＝n＋1.∴1a n＝n＋1，∴a n＝1n＋1(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝12，符合上式，∴a n＝1n＋1.。

新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.1数列的概念与简单表示法

2.1数列的概念与
简单表示法(二)
第一页，编辑于星期日：十三点十七分。
复习引入
练习. 1. 以下四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是 ( A )
A. 380
B. 39 C. 32 D. 18
第二页，编辑于星期日：十三点十七分。
复习引入
练习. 1. 以下四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是 ( A )
第十三页，编辑于星期日：十三点十七分。
讲授新课
观察以下数列，并写出其通项公式： a1 1,
第十四页，编辑于星期日：十三点十七分。
讲授新课
观察以下数列，并写出其通项公式：
a1 1, a2 3 1 2 a1 2,
第十五页，编辑于星期日：十三点十七分。
讲授新课
观察以下数列，并写出其通项公式：
给出，
写出这个数列的前五项.
第二十四页，编辑于星期日：十三点十七分。
讲解范例:
例1.已知数列{an}的第一项是1，以后
的各项由公式
1 an 1 an1 给出，
写出这个数列的前五项.
1, 2, 3 , 5 , 8 . 235
第二十五页，编辑于星期日：十三点十七分。
小结：
若记数列 {an }的前n项之和为 Sn ,则
a1 1, a2 3 1 2 a1 2, a3 5 a 2 2,,
第十六页，编辑于星期日：十三点十七分。
讲授新课
观察以下数列，并写出其通项公式：
a1 1, a2 3 1 2 a1 2, a3 5 a 2 2,, an an1 2
第十七页，编辑于星期日：十三点十七分。
他项.
3. 用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.