二次型讲义
线性代数二次型讲义85页PPT
谢谢！
85
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨—罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
▪
线性代数二次型讲义
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
线性代数二次型讲义
定理
设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四 个条件等价(互为充分必要条件) . (1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .
(3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) .
(4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) . 第七章 二次型与二次曲面
解
例2
1
1 3
3 2
0
3 2
A
1 0
,
4
1 f ( x, y , z ) 1 0
1 3 3 2
0 3 2 4
x y . z
第七章 二次型与二次曲面
上一页
练习 若二次型 f 的矩阵为
试写出 f .
1 1 A 1 2 2 0
2 0 3
第七章 二次型与二次曲面
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定义3
对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ，若存在可逆矩 阵P 使 P TAP = B 则称 A 合同于B，记作 A B 因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，
其矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
合同矩阵的性质： (1) A ~ A;
(2) A ~ B B ~ A; (3) A ~ B, B ~ C A ~ C.
x2 2 y 2 2xy 4xz yz .
若二次型 f 的矩阵为 1 A 1 2 试写出 f .
1 0 1 2
2 1 2 2
第七章 二次型与二次曲面
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练习
写出 f x 2 3 y 2 4 z 2 2 xy 3 yz的矩阵A. 并用矩阵形式表示 f .
第五讲二次型
例 6 证明：实矩阵 A 的特征值全为实数的充要条件是存在正交矩阵 Q ，使 Q AQ 为三 角矩阵。 证明：由于三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种，为确定起见，这里设为上三角矩阵。
（下三角矩阵类似可证） 。
b1 1 O 先证充分性：设 Q AQ = 0
* nn nn 1 nn （1）由于 A R , Q R , Q R , bn
例 2 设 f (X ) X AX 为实二次型，且存在X1 , X 2 , 使（ f X1 ) 0, （ f X 2 ) 0. 证 明 ：
存在X3 0, 使f ( X 3 )=0 。
证 明 ： 存 在 非 退 化 实 线 性 替 换 ， X TY 使f ( X ) X TYd1 y1
1 n2
n n 1 n 2 2 ( n 1) xi2 2 x j xk ，设 f n 的矩阵 n x ( x ) i i n2 i 1 j k i 1 i 1
n 1 n2 1 A n2 1 2 n
值，又 A 12 L
①。其中 1
n 为 A 的全部实特征
n
②
由 A 0. 1 ,L , n中全不等于0，且至少有一个小于0 不妨设 n 0 ，令
X T n . n 0, L , 0, 1 ,则X 0 ，
T
1 X AX nT AT n = n
B 的一个特征值为
半正定的。
k k 1
， n
k
2
（与 B 是正定的矛盾） ，从而证得 A 是 0 B 不是正定的，
例 12 设 A, B 是 n n 实对称阵， A 是正定阵，证明：存在实可逆阵 T ,使 T A+B T 为对 角阵。 证明：由于 A 是正定阵，从而存在实可逆阵 P ,st. PAP E (1) 而 PBP 仍为实对称阵， 正交阵Q, st，
线性代数 第五章二次型PPT课件
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
第五章二次型讲2周
B CAC
定义 2 数域P上的n×n矩阵A,B称为合同 的，如果有数域P上可逆的n×n矩阵C，
使 B CAC
1）反身性；2）对称性；3）传递性。
因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩 阵与原二次型的矩阵是合同的。因此我们将二 次型的标准化变为矩阵的标准化问题。
在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替 换X=CY是非退化的。因为非退化的变换可以 将所得的二次型经逆变换
为计算 C' AC ,可令
1
1
a22 a2n
a
(a ,, a ), A
12
1n
1
.
an2 ann
于是A和C1可写成分块矩阵
A
a11 a'
a
A 1
,
C1
1 0
a a 1 11
En1
,
这里a' 为a 的转置,En-1为n-1级单位矩阵.
2a1n x1xn a22 x22 2a2n x2 xn
ann xn2
（3）
称为属于P上的一个n元二次型，或者简 称二次型。
如 x12 x1x2 3x1x3 2x22 4x2 x3 3x32 定义1 设 x1, x2 ,, xn ；y1, y2 ,, yn
2a12 (z1 z2 )(z1 z2 )
2a12
z2 1
2a12
z2 2
这时上式右端是 z1, z2 ,, zn 的二次型, 且
z2 1
的系数不为零,属于第一种情况,定理成立.
3)
第六章 二次型讲义
第六章 二次型 合同矩阵 引例定义: 称关于n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式 2121111212131311(,,,)222n n nf x x x a x a x x a x x a x x=++++222223232222n n a x a x x a x x ++++2nn na x + 为二次型.1111121213131121212222232322112233n n n n n n n n n n nn n na x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x f a x x a x x a x x a x x ++++++++++=++++………拆分2ij a , 令ij ji a a =1111122133122112222332112233()()()n n n n n n n n nn n x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x ++++++++++=++++1111221331211222233212112233(,,,)n n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x a x ⎛⎫++++ ⎪++++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭ 1112112122221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 令 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ ,12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则T f X AX =.定义: 对称矩阵A 称为该二次型对应的矩阵; A 的秩称为该二次型的秩.例: 设2221234112132434(,,,)2245,f x x x x x x x x x x x x x =+++++ 则它的矩阵为121021002210100205A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭问: 它的秩是多少? (练习!)对于定义中的二次型, 令1122,n n y x y x Y X PY y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则12()()()TTTTT T n f XA X P Y A P YY P A P Y Y Y Y Yλλλ⎛⎫⎪⎪====Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ 2221122.n n y y y λλλ=+++定义: 称只含平方项的二次型为二次型的标准形.备注: 标准形不唯一.不妨设1212120,0,,0,0,0,,0,0,0,,0,k k k r r r n λλλλλλλλλ++++>>><<<=== 令12,,n z z Z Y QZ z ⎛⎫⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中Q为对角阵,1),diag 则 222211.k k r f z z z z +=++--- (显然, r 即为A 的秩.)定义: 上式称为该二次型的规范形.备注: 规范形唯一. 其中k 称为f 的正惯性指数, r k -称为f 的负惯性指数,r 为A 的秩.例: 2221234123(,,,)23fy y y y y yy =+-, 令11Q ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1234,,z z Z Y QZ z z ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 则222123f z z z =+-问: f 的正惯性指数, 负惯性指数, 秩各是多少?问题: 二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++是规范形吗??方法一: 正交变换法例: 求一个正交矩阵P 使得,X PY = 把二次型121323222f x x x x x x =-++化为标准形与规范形.解 二次型f 的矩阵为011101.110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭重复第五章对角化步骤,令0P ⎛ = ⎝, 则21,1TP AP -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭112233,0x y x y x y ⎛ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎝ 从而2221232f y yy =-++为题设二次型的标准形.令 1,,1Q Z QY ⎫⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭得题设二次型的规范形为222123f z z z =-++.方法二: 配方法例: 设2213122f x x x x =++, 试用配方法将f 化为标准型.解: 2222222221123112223122311112()()2()22224f x x x x x x x x x x x x x x =++=++-+=+-+, 令 11222331,2,,y x x y x y x ⎧=+⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩则222123124f y y y =-+为所求的标准型. 上线性替换可改写为11222331,2,,x y y x y x y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩也可写成矩阵形式, 令123123(,,),(,,)T Tx x x x y y y y ==,1102010001P ⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 显然是个可逆矩阵, 因此有可逆线性替换x Py =. 这时11232311021(,,)002002x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭1123231110110102221(,,)010000102001001002T y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭11232311(,,)42y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法三: 矩阵的初等变换法引例:212210*********00101⎛ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ……….转置后恰好是做相同的行初等变换 1121222212000100001010000121a a +⎛⎫⎛ ⎪+⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……把第2列2倍加到第1列 11122122122221222222(2)221021a a a a a a a a a ++++⎛⎫ ⎪+⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ……把第2行2倍加到第2行 111211122122222101000100100001100000101010001001000101000110a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……1.2列互换 222112110110a a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……1.2行互换1112111221222122100020200102400101002100010102a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…..先第二列乘2,后第二行乘26.3 正定二次型和正定矩阵 引例定义: 设12(,,......,)Tn f x x x x Ax =为二次型, 若0x ≠时,总有12(,,......,)0n f x x x >, 则称f 为正定二次型, A 为正定矩阵.正定矩阵的性质(“好处”)例: 12A ⎛⎫=⎪⎝⎭为正定矩阵, 112121TA ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为正定矩阵.定理: 设A 为正定矩阵, 则(i) ||0A >,(ii)主对角线元素之和大于零.。
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
第五章二次型--精品PPT课件
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
线性代数二次型讲义
证 设实对称方阵 A 的特征值为
1 2 n
（重根计算在内），则由定理3 知，
对 于A的 某 个k重 特 征 值 i1 i2
i
，
k
恰 有k个 线 性 无 关 的 实 特 征 向 量 ， 将 它 们 正 交 化 ，
所 得 的k个 正 交 向 量 仍 是 对 应 于 的 特 征 向 量.
则
f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .
而
(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型, 且二次型的矩阵为 对称矩阵 B=C TAC .
f = X TAX
满秩变换 X = CY F = Y TBY B = C TAC
AX1 1X1, AX 2 2 X 2.
因为 A 的对称性，得
2
X
T 1
AX
2
( AX 1)T X 2
从而， 因此，
(1 X1)T X 2
1
X
T 1
X
2,
(1
2
)
X
T 1
X2
0,
X
T 1
X2
0,即X1,
X
正
2
交.
定理 3
若 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值，则 A 对应于 的线性
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于研究这个二次曲线的 几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f
大学数学高数微积分二次型课堂讲义
解 设 f = XTAX , 则
A
1 2
12
,
X
x y
.
例 2 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42
2x1x2 4x1x3 6x1x4
写出二次型的矩阵 A.
8x2 x3 4x2 x4,
解 设 f = XTAX , 则
a11x1 a12 x2 a1n xn
(x1, x2 ,
, xn ) a21x1 an1x1
a22 x2
an2 x2
a2n xn
ann xn
nn
aij xi x j .
i1 j 1
所以二次型可表示成
f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX .
这即为二次型的矩阵表示形式. 应该看到，二次型的矩阵 A 的元素，当 i j
的矩阵都是对称矩阵.
令
x1
X
x2 xn
,
因为
a11 a12
X
T AX
( x1 ,
x2 ,
,
xn
)
a21 an1
a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
a11 a12
X
T
AX
( x1 ,
x2 ,
,
xn
)
a21 an1
a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
c2n yn
,
(4)
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由 x1 , x2 , … , xn 到 y1 , y2 , … , yn 的一个线性
二次型讲义
二次型就是线性代数得重要内容之一,二次型得理论起源于解析几何学中二次曲线方程与二次曲面方程化为标准形问题得研究、二次型理论与域得特征有关,现在二次型得理论不仅在几何而且在数学得其她分支物理、力学、工程技术中也常常用到、 二次型应用得领域很广, 在以前得学习中求一元或多元函数得最值得方法通常有利用图象法或微分理论,通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型得问题可以用矩阵得理论与方法来研究,另一方面也可将对称矩阵得问题转化为用二次型得方法来解决、所以正确写出二次型得矩阵就是研究二次型得基础、本文在对二次型性质研究得基础上, 介绍了正定矩阵得性质, 简单得举了一些实例来阐述实矩阵正定性得应用,并对二次型得理论进行了推广, 讨论了二次型得应用、 如二次型,经过正交变换后可以化为标准型,所以f 得图形就是一个旋转单页双曲面。
由此可知,任意一个n 元二次型代表n 维空间上得图形。
1、 二次型得定义 含有n 个变量n x x x ,,,21 得二次齐次多项式(即每次都就是二次得多项式:∑==n j i ji ij n x x a x x f 1,1),,( ,ji ij a a =称为n 元二次型,令T n x x x X ),,,(21 =,A=(ij a ),则二次型可用矩阵表示为:AX X x x x a a a a a a a a a x x x x x x f T n nn n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212122221112112121),,,(),,,( 其中A 就是n 阶实对称矩阵(A T =A),称A 为二次型),,(1n x x f 得矩阵,矩阵A 得秩即为二次型f 得秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应、即,给定一个二次型,则确定了一个非零得对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零得对称矩阵,则确定了一个二次型以给定得对称矩阵为其系数矩阵、二次型从本质上来说仍然就是一个关于n 个变量得函数,只不过就是一个比较特殊得二次其次函数,在表达式中除了平方项就就是交叉项,没有一次项或常数项,只就是希望利用矩阵得理论来研究二次型时才将二次型写为。
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二次型是线性代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究.二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到. 二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论,通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础.本文在对二次型性质研究的基础上, 介绍了正定矩阵的性质, 简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用,并对二次型的理论进行了推广, 讨论了二次型的应用. 如二次型,经过正交变换后可以化为标准型,所以f 的图形是一个旋转单页双曲面。
由此可知，任意一个n 元二次型代表n 维空间上的图形。
1、 二次型的定义 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式（即每次都是二次的多项式： n j i ji ij n x x a x x f 1,1),,( ，ji ij a a 称为n 元二次型，令T n x x x X ),,,(21 ，A=（ij a ），则二次型可用矩阵表示为：AX X x x x a a a a a a a a a x x x x x x f T n nn n n n n n212122221112112121),,,(),,,( 其中A 是n 阶实对称矩阵（A T =A ），称A 为二次型),,(1n x x f 的矩阵，矩阵A 的秩即为二次型f 的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应.即,给定一个二次型,则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵.二次型从本质上来说仍然是一个关于n 个变量的函数，只不过是一个比较特殊的二次其次函数，在表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，只是希望利用矩阵的理论来研究二次型时才将二次型写为。
注: 一个二次型的矩阵之所以要求是对称矩阵,原因之一是使得二次型矩阵是唯一确定的.2、 研究问题对于二次型，我们讨论的主要问题就是寻求可逆的线性变换 使二次型只含有平方项。
用矩阵形式可写为CY X ,使得2222211r r y k y k y k f这种只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，若标准型的系数只在1,0，-1三个数中取值，那我们称这种标准型为二次型的规范型。
3、 化二次型为标准型的方法（1） 坐标变换 很显然，当所选的坐标不同时，二次型的标准型也不同。
（2） 正交变换4、 正交矩阵如果n 阶矩阵A 满足A T A=E （即A -1=A T ）那么称A 为正交矩阵。
.22112222121212121111n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x，，A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位矩阵且两两正交。
（见P116）正交矩阵的性质：若A 为正交阵，则A -1=A T 也是正交阵，且|A|=1或-1.若A 和B 都是正交阵，则AB 也是正交阵。
定义 若P 为正交阵，则线性变换y=Px 称为正交变换。
则有： ||y||==||x||由于||||表示向量的长度，相当于线段的长度，经过正交变换线段的长度保持不变。
这里，由于二次型规范型和标准型比较容易得到，所以我们不准备讲具体算法，而是把重点放在正定二次型的性质和应用上。
5、 正定二次型定义 设有实二次型Ax x x T f )(, 若对任何0x , 都有0)( x f , 则称f 为正定二次型, 并称对称矩阵A 是正定矩阵; 若对任给0x , 都有0)( x f , 则称f 为负定二次型, 并称对称矩阵A 是负定矩阵.；若对任何0x , 都有0)( x f ，则称f 为半正定二次型；若对任给0x , 都有0)( x f , 则称f 为半负定二次型。
定理 3 n 元实二次型Ax x x T f )(为正定的充要条件是它的标准形中的n 个系数全为正.，即它的规范型的n 个系数全为1，它的正惯性指数为n ；证明p133推论 实对称矩阵A 为正定的充要条件是A 的特征值全为正. 定理4 (霍尔维茨定理)实对称矩阵A 为正定的充分必要条件是:A 的各阶顺序主子式011 a ,,,022211211 a a a a 01111 nn n na a a a ;实对称矩阵A 为负定的充要条件是: A 的奇数阶主子式为负, 而偶数阶主子式为正, 即)1(1111 rr r rr a a a a),,2,1(n r . 6、 矩阵的应用 矩阵运算和文本处理中的分类问题我在大学学习线性代数时，实在想不出它除了告诉我们如何解线性方程外，还能有什么别的用途。
关于矩阵的许多概念，比如特征值等等，更是脱离日常生活。
后来在数值分析中又学了很多矩阵的近似算法，还是看不到可以应用的地方。
当时选这些课，完全是为了混学分的学位。
我想，很多同学都多多少少有过类似的经历。
直到后来长期做自然语言处理的研究，我才发现数学家们提出那些矩阵的概念和算法，是有实际应用的意义的。
在自然语言处理中，最常见的两类的分类问题分别是，将文本按主题归类（比如将所有介绍亚运会的新闻归到体育类）和将词汇表中的字词按意思归类（比如将各种体育运动的名称个归成一类）。
这两种分类问题都可用通过矩阵运算来圆满地、同时解决。
分类的关键是计算相关性。
我们首先对两个文本计算出它们的内容词，或者说实词的向量，然后求这两个向量的夹角。
当这两个向量夹角为零时，新闻就相关；当它们垂直或者说正交时，新闻则无关。
当然，夹角的余弦等同于向量的内积。
从理论上讲，这种算法非常好。
但是计算时间特别长。
通常，我们要处理的文章的数量都很大，至少在百万篇以上，二次回标有非常长，比如说有五十万个词（包括人名地名产品名称等等）。
如果想通过对一百万篇文章两篇两篇地成对比较，来找出所有共同主题的文章，就要比较五千亿对文章。
现在的计算机一秒钟最多可以比较一千对文章，完成这一百万篇文章相关性比较就需要十五年时间。
注意，要真正完成文章的分类还要反复重复上述计算。
在文本分类中，另一种办法是利用矩阵运算中的奇异值分解（Singular Value Decomposition ，简称 SVD)。
现在让我们来看看奇异值分解是怎么回事。
首先，我们可以用一个大矩阵A 来描述这一百万篇文章和五十万词的关联性。
这个矩阵中，每一行对应一篇文章，每一列对应一个词。
在上面的图中，M=1,000,000，N=500,000。
第 i 行，第 j 列的元素，是字典中第 j 个词在第 i 篇文章中出现的加权词频（比如，TF/IDF)。
读者可能已经注意到了，这个矩阵非常大，有一百万乘以五十万，即五千亿个元素。
奇异值分解就是把上面这样一个大矩阵，分解成三个小矩阵相乘，如下图所示。
比如把上面的例子中的矩阵分解成一个一百万乘以一百的矩阵X，一个一百乘以一百的矩阵B，和一个一百乘以五十万的矩阵Y。
这三个矩阵的元素总数加起来也不过1.5亿，仅仅是原来的三千分之一。
相应的存储量和计算量都会小三个数量级以上。
三个矩阵有非常清楚的物理含义。
第一个矩阵X中的每一行表示意思相关的一类词，其中的每个非零元素表示这类词中每个词的重要性（或者说相关性），数值越大越相关。
最后一个矩阵Y中的每一列表示同一主题一类文章，其中每个元素表示这类文章中每篇文章的相关性。
中间的矩阵则表示类词和文章之间的相关性。
因此，我们只要对关联矩阵A进行一次奇异值分解，w 我们就可以同时完成了近义词分类和文章的分类。
（同时得到每类文章和每类词的相关性）。
如何用计算机进行奇异值分解。
这时，线性代数中的许多概念，比如矩阵的特征值等等，以及数值分析的各种算法就统统用上了。
奇异值分解直观解释：奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。
奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。
然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。
对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。
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3jEyC7n。
uTlT9Lt。
假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。
如此则存在一个分解使得GDMbOSQ。
U9OaiL3。
gcB4Pzx。
其中U是m×m阶酉yǒu矩阵；Σ是半正定m×n阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。
这样的分解就称作M的奇异值分解。
Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。
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常见的做法是将奇异值由大而小排列。
如此Σ便能由M唯一确定了。
(虽然U 和V仍然不能确定。
)在矩阵M的奇异值分解中•V的列(columns)组成一套对的正交"输入"或"分析"的基向量。
这些向量是的特征向量。
ICUCqN0。
34vtzFx。
6UEMxjy。
•U的列(columns)组成一套对的正交"输出"的基向量。
这些向量是的特征向量。
KQhs2cC。
UGsSDPZ。
uFV2E9Y。
•Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。
这些是及的奇异值，并与U和V的行向量相对应。
rzZ0vgc。
kojGp1a。
1VmUq0a。
n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。
显然酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。
F6IgSba。
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