柱、锥、台体积

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柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积

柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高．所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)，所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)．由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ，得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______．答案 9π解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积．解方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)，由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9，解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9，即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球．这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ，则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定答案 B解析由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)，故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________．答案 3π解析满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32，所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。

北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章2 柱锥台的体积含解析

7．2柱、锥、台的体积柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体＝13ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)×hS上、S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个柱体的体积相等，则表面积相等．()(2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同．()(3)锥体的体积是柱体体积的13.()(4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知有一个圆柱形水缸，其中底面半径为0.5 m，里面水高度为0.8 m，现在有一个不规则几何体放进水缸，并且完全浸入水中，水面上升到1.2 m，则此不规则几何体体积约为(精确到0.1，π取3.14)()A．0.4 m3B．0.2 m3C．0.3 m3D．0.8 m3解析：选C.由水面上升0.4 m得体积V＝π·0.52×0.4＝0.1π≈0.3(m3)．3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是() A.23π3B．23πC.73π6D．73π3解析：选D.设上、下底面半径为r′，r，母线长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧πr′2＝π，πr2＝4π，π（r′＋r）·l＝6π，所以⎩⎪⎨⎪⎧r′＝1，r＝2，l＝2.圆台的高h ＝l 2－（r －r ′）2＝3，所以V 圆台＝13(π＋π·4π＋4π)·3＝73π3.4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a ，则V ＝3×⎝⎛⎭⎫12×2×a ＝33，所以a ＝ 3. 答案： 3求不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分能够易求得其体积，也可将其“补”成规则几何体，使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几何体的体积，这就是我们常说的割补法，是解决此类问题的常用方法，还要注意不同的割补方式会得到不同的几何体，做题时要仔细观察．柱体、锥体的体积如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，求该几何体的体积．[解] 由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h ＝ 22－12＝ 3.底面积：S ＝3×3＝9，所以其体积V ＝9 3.在本例中，几何体的体积还可以怎样解？解：以▱A 1ABB 1所在平面为底面，变成一个直棱柱，由主视图及俯视图可得A 1E ＝3，S ▱A 1ABB 1＝33，V 柱＝33×3＝9 3.求柱体、锥体体积常用的方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．1.(1)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥． ①求剩余部分的体积；②求三棱锥A -A 1BD 的体积及高．解：(1)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，所以h ＝1，所以斜高h ′＝12＋（3）2＝2，所以S 侧＝6×12×2×2＝12.故填12.(2)①V 三棱锥A 1ABD ＝13S △ABD ·A 1A＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3. 故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1-ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3. ②V 三棱锥A 1-ABD ＝V 三棱锥A 1-ABD＝16a 3. 设三棱锥A -A 1BD 的高为h ，则V 三棱锥A 1-ABD ＝13·S △A 1BD·h ＝13×12×32(2a )2h ＝36a 2h ，故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a . 台体的体积设圆台的高为3，其轴截面(过圆台轴的截面)如图所示，母线A 1A 与底面圆的直径AB 的夹角为60°，在轴截面中A 1B ⊥A 1A ，求圆台的体积V .[解] 设AB的中点为O ，连接A 1O ，作A 1D ⊥AB ，易知A 1D ＝3，因A 1B ⊥A 1A ，则在Rt △A 1AB 中，A 1O ＝12AB ＝AO .又因∠A 1AB ＝60°，所以△A 1AO 为等边三角形．所以在△A 1AO 中A 1D ＝32AO ＝3，得AO ＝2 3.设圆台的上、下底面半径分别为r ，R . 所以R ＝AO ＝23，r ＝12A 1B 1＝12OB ＝12AO ＝DO ＝ 3. 由V ＝13π×3×(12＋23×3＋3)＝π×(12＋6＋3)＝21π.故圆台体积为21π.(1)求台体的体积，其关键在于求高，一般地，把高放在直角梯形中求解．(2)“还台为锥”是一种求解台体的重要思想．借助相似等手段以及相关知识求解．2.(1)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．(2)正四棱台的侧棱长为3 cm ，两底面边长分别为1 cm 和5 cm ，求体积．解：(1)由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为S 上＝63，S 下＝243，高h ＝2，所以V 六棱台＝13h (S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝13×2×(63＋243＋123)＝28 3.故填28 3.(2)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 分别是两底面的中心．因为A 1C 1＝2，AC ＝52，所以A 1O 1＝22，AO ＝522，所以O 1O ＝32－⎝⎛⎭⎫522－222＝1，V ＝13×1×(12＋52＋12×52)＝13(1＋25＋5)＝313(cm 3)．组合体的体积如图所示，已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝2 cm ，下底BC ＝10 cm ，底角∠ABC ＝60°，现绕腰AB 旋转一周，求所得的旋转体的体积．[解] 过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，Rt △BCF 绕AB 旋转一周形成以CF 为底面半径，BC 为母线长的圆锥；直角梯形CFED 绕AB 旋转一周形成圆台；直角三角形ADE 绕AB 旋转一周形成圆锥，那么梯形ABCD 绕AB 旋转一周所得的几何体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点、以DE 为底面半径的圆锥的组合体．因为AD ＝2，BC ＝10，∠ABC ＝60°，所以在Rt △BCF 中，BF ＝5，FC ＝5 3. 因为AD ∥BC ，所以∠DAE ＝∠ABC ＝60°，所以在Rt △ADE 中，DE ＝3，AE ＝1. 又在等腰梯形ABCD 中可求AB ＝8，所以AF ＝AB －BF ＝8－5＝3，EF ＝AE ＋AF ＝4，所以旋转后所得几何体的体积为V ＝13π·BF ·FC 2＋13π·EF ·(DE 2＋FC 2＋DE ·FC )－13π·AE ·DE 2＝13π·5·(53)2＋13π·4·[(3)2＋(53)2＋3·5 3 ]－13π·1·(3)2＝248π(cm 3)，故所得的旋转体的体积为248π cm 3.解组合体的体积的步骤第一步：弄清组合体的构成；第二步：求出各部分简单几何体的体积；第三步：把第二步解出的体积相加或者相减，得组合体的体积．3.(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：(1)此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆锥＝3×2×1＋1π×12×3＝(6＋π)m3.3(2)圆柱的底面半径为2，母线长为4，其体积V1＝Sh＝π×22×4＝16π；被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长为4的长方体，其体积V2＝22×4＝16.故该几何体的体积是V＝V1－V2＝16π－16.答案：(1)6＋π(2)16π－16规范解答几何体体积求解(本题满分12分)如图，一个高为H的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好分别过AC，BC，A1C1，B1C1的中点E，F，E1，F1.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？[解]当侧面AA1B1B水平放置时，水的体积V等于四棱柱ABFE-A1B1F1E1的体积，V＝V四棱柱＝S梯形ABFE·H. (4分)当底面ABC水平放置时，设水面高为h，则水的体积V＝S△ABC·h. (6分)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以S△CEF＝14S△ABC，所以S梯形ABFE＝34S△ABC. (9分)由S梯形ABFE·H＝S△ABC·h，即34S△ABC ·H＝S△ABC·h，得h＝34H，(11分)故当底面ABC水平放置时，液面高为34H.(12分)失分点，此处易误认为是棱台导致解错．明确相似三角形的面积与对应边的关系，易错点．解题步骤要完整，此结论易漏掉．在求几何体的条件时，确定几何体的特征至关重要，尤其是不熟悉的放置位置时，更要准确把握几何体的类型．在研究两个几何体的体积、表面积的关系时，充分利用平面几何中面积或线段的比例，可以大大简化运算，降低出错率．1．圆锥底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的体积为()A．36πB．18πC．45πD．12π解析：选D.设圆锥的高为h，则h＝52－32＝4，故圆锥体积V＝13πr2h＝13π×32×4＝12π.2．已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为()A．2πB．4πC．8πD．16π解析：选D.由已知得圆柱的底面半径为2，高为4，故其体积为π×22×4＝16π.3．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，设三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V ，那么三棱台AEF -A 1B 1C 1的体积为________(用V 表示)．解析：设△ABC 的面积为S ，则S △AEF ＝14S ，所以V 台＝13⎝⎛⎭⎫S ＋S ·14S ＋14S ·h ＝13×74Sh ＝712V . 答案：712V4．如图，一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)解：设水面下降的高度为x cm ，因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π(cm 3)，小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)．所以60π＝100πx ，解得x ＝0.6(cm)．则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm., [学生用书P107(单独成册)])[A 基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为( )A ．3πB ．33π C.3πD ．32π 解析：选B.设圆锥的底面半径为R ，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h ＝32·2R ＝3R ，所以12·2R ·3R ＝3，解得R ＝1.所以V ＝13×π×12×3＝33π.2．将两个棱长为10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为( )A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cmD ．165cm解析：选B.设正四棱柱的高为h cm ，依题意得5×5×h ＝2×103，解得h ＝80(cm)． 3．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )A.12 B ．32C ．1D ．13解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22×1×1＝12. 4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( ) A.839B ．439C.239D ．439或839解析：选D.当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ＝23，底面面积S ＝34a 2＝39，正三棱柱的高h ＝4，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝439；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ′＝43，底面面积S ′＝34a ′2＝439，正三棱柱的高h ′＝2，所以正三棱柱的体积V ′＝S ′h ′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：选B.这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－14×π×12×2×2＝8－π.故选B.6．一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．解析：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘可知(abc )2＝6，所以长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 67．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h ＝（2）2－12＝1，故体积V ＝13π·(22＋2×1＋12)×1＝7π3.答案：7π38．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4 169．四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，将四边形绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C (2，1)，D (0，3)，所以圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. 所以V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π.因为B (1，0)，C (2，1)，所以圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1.所以V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π，所以V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π. 10．一几何体的三视图如图： (1)画出它的直观图；(2)求该几何体的体积．解：(1)其直观图如下．(2)这个几何体是一个三棱锥．由三视图知：AC＝5 cm，作BD⊥AC于D，则BD＝125cm，得S底＝5×125×12＝6(cm2)，高h＝6 cm，得V＝13×6×6＝12(cm3)．[B能力提升]11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2πB．3πC ．5πD ．7π解析：选B.由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π. 12．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝ha ，所以h ＝32a . 答案：32a 13.如图所示，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧面B ′BCC ′的距离是a ，求证：三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .证明：法一：如图所示，连接A ′B ，A ′C ，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．显然三棱锥A ′ABC 的体积是13V ，而四棱锥A ′BCC ′B ′的体积为13Sa ，故有13V ＋13Sa ＝V ，所以三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .法二：如图所示，将三棱柱ABC -A ′B ′C ′补成一个四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′，其中AC ∥BD ，AD ∥BC ，即ACBD 为一个平行四边形，显然三棱柱ABD A ′B ′D ′的体积与原三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积相等．因为四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′以BCC ′B ′为底面，高为点A ′到面BCC ′B ′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa ，于是三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .14．(选做题)如图，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)解：如图，设水面的半径为r 分米，则EH ＝(r －2)分米，BG ＝2分米，在△ABG 中，因为EH ∥BG ，所以AH AG ＝EH BG .因为AH ＝2分米，所以25＝r －22.所以r ＝145(分米)．所以当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为 V 水＝13π·3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452＋145×4＋42＝876π25(立方分米)．所以所用的时间为876π253＝292π25≈36.69(秒)．所以所用的时间约为36.69秒．。

柱锥台表面积及体积

S侧= rl
S表= r 2 rl
S表 (r12 r12 r1 r2 )l
an'y S侧 (r1 r提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：一个花盆需要涂漆的面积为： S= （ 10+5） 10+ 52 - 12 =150 +25 - =174 cm2
an'y
3 2 2 6 1 6 3 cm3 4

4
cm3
学习新知
巩固新知
总结提升
2 cm
96 cm
2
an'y
a 6
3
学习新知
巩固新知
总结提升
知识总结：
an'y
思想方法总结：“分割思想”、“补体思想 ”及“等价转化思想”．
100个花盆需要油漆： 1 100 174 100=174 ml 10000
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：正六棱柱的体积 V1 =S底 h 圆柱的体积 1 2 V2 =S底 h = （）1= cm3 2 4 所以螺帽的体积为 V V1 V2 6 3
圆台
S侧 (r1 r2 )l
r'0
圆锥
S侧 rl
预习落实
学习新知
巩固新知
总结提升
柱体简单几何体的体积锥体
V柱 =Sh
1 V锥 = Sh 3 1 V台 = （S+ S S' +S’ )h 3
一底面为零
台体

柱、锥、台的体积

7.2
柱、锥、台的体积
-1-
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学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式. 2.会求几何体的体积.
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分析:对于棱锥Q-ABCD,其底面为正方形ABCD,高即为QA,易求体积;对于三棱锥P-DCQ,若以△DCQ为底面,则应证明PQ是其高, 然后再计算,也可将三角形CDP作为底面,这时其高易证即为AD,从而可求体积.
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3 3
1
2
1
2
3 3
π.
答案: π
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思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”. (1)等底等高的两个柱体的体积相同. ( ) (2)等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的 9 倍. ( ) (3)在公式 V 台体= h(S 上+ ��上 · ��下 +S 下)中 h 为该台体的侧棱或母
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柱锥台的体积

关系？
柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下：
S’=S
V柱体 Sh
S’=0
1 V台体3h(S
SSS`)
V锥体
1 3
Sh
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四棱锥.金字塔高约146.6米,底面边长约230.4米.问:这座金字塔的侧面积和体积各是多少?
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为8cm, 高为3cm.求其体积.
h
h
S
S
台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算。如果台体的上、下底面面积分别为S‘， S，高是h，可以推得它的体积是
1 V台体 3h(S
SSS)
h
h
S
S
想一想？
上一节中，我们知道正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间有一定的关系。那么，这里柱体、锥体、台体的体积公式之间有没有类似的
柱锥台的体积
类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积。
一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少。长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体=abc 或 V长方体=Sh
这里，S，h分别表示长方体的底面积和高。
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积。
h S
h
S
S
柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h
的积，即
V柱体=Sh
类似地，底面积相等、高也相等的两个锥体，它

柱体、锥体、台体的表面积和体积

总表面积 = 2πr² + 2πrh 其中，r 是底面半径，h 是高度。
柱体的体积公式
柱体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 底面积 × 高度底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h 是高度。
锥体的定义和特征
• 锥体由一个圆锥面和一个尖顶组成。 • 锥体的高度是尖顶到底面的垂直距离。
锥体的表面积公式
柱体、锥体、台体的表面积和体积
通过学习柱体、锥体和台体的表面积和体积公式，你将能够理解它们的定义、特征以及在日常生活和建筑中的应用。
柱体的定义和特征
• 柱体由两个平行的圆面以及它们之间的侧面组成。 • 柱体的高度是两个平行圆面之间的垂直距离。
柱体的表面积公式
柱体的表面积可以通过以下公式计算：
锥体的表面积可以通过以下公式计算：总表面积 = πr² + πrl 其中，r 是底面半径，l 是斜高。
锥体的体积公式
锥体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 1/3 × 底面积 × 高度底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成。 • 底面和顶面是平行的，而侧面是梯形形状。

北师大版高中数学课件第六章 6.2 柱、锥、台的体积

h为圆柱的高
S为圆柱的底面面积
S为棱锥的底面面积
h为棱锥的高
r为圆锥的底面半径
h为圆锥的高
S为圆锥的底面面积
-4-
6.2
柱、锥、台的体积
激趣诱思
名称
棱台
台
体
圆台
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
体积(V)公式
备
注
S上,S下分别为棱台上、
下底面的面积
h为棱台的高
r,r'分别为圆台上、下
底面的半径
h为圆台的高,S上,S下
1
1
S=2×AB×AD=2ab.底面 ABD 上的高 h=AA1=c,所以其体积
1
1
1
1
3
3
2
6
5
V1= Sh= × ab×c= abc.长方体的体积 V=abc,所以
1
V2=V-V1=abc-6abc=6abc.
所以 V1∶V2=1∶5,故比值没发生变化.
-19-
6.2
探一
课前篇自主预习
柱、锥、台的体积
课堂篇探究学习
当堂检测
延伸探究若本例中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分
成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.
解不妨设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长
方体分为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,底面
△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形,其面积
设圆台的高为h,上底面半径r1=10 cm,下底面半
径r2=20 cm,
所以 h= 2 -(-1 )2 =
1
1
202 -102 =10 3,所以

柱体台体锥体的面积与体积公式

柱体台体锥体的面积与体积公式柱体、台体和锥体是几何学中的常见立体图形，它们具有不同的形状和特点。

在几何学中，我们经常需要计算柱体、台体和锥体的面积和体积，以便解决各种实际问题。

下面将分别介绍柱体、台体和锥体的面积和体积公式。

一、柱体的面积和体积公式柱体是一种由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成的立体图形。

柱体的底面是一个圆，侧面是一个矩形，顶面也是一个圆。

柱体的面积包括底面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以柱体的高。

1. 柱体的底面积公式柱体的底面积公式很简单，即底面的面积公式，也就是圆的面积公式。

设柱体的底面半径为r，则柱体的底面积为πr²，其中π是一个常数，约等于3.14。

2. 柱体的侧面积公式柱体的侧面积是一个矩形的面积，可以通过计算矩形的周长乘以柱体的高得到。

设柱体的底面半径为r，柱体的高为h，则柱体的侧面积为2πrh。

柱体的全面积包括底面积和侧面积，可以通过将底面积和侧面积相加得到。

柱体的全面积公式为2πr² + 2πrh。

4. 柱体的体积公式柱体的体积是底面积乘以柱体的高，可以通过将底面积乘以柱体的高得到。

柱体的体积公式为πr²h。

二、台体的面积和体积公式台体是一种由两个平行且相等的椭圆面、一个矩形面和两个梯形面组成的立体图形。

台体的底面和顶面都是椭圆，侧面是一个矩形，而底面和顶面之间的面是两个梯形。

台体的面积包括底面积、顶面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以台体的高。

1. 台体的底面积公式台体的底面积是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。

设台体的底面长轴为a，短轴为b，则台体的底面积为πab。

2. 台体的顶面积公式台体的顶面积也是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。

设台体的顶面长轴为A，短轴为B，则台体的顶面积为πAB。

台体的侧面积是一个矩形和两个梯形的面积之和，可以通过计算矩形和梯形的面积公式得到。

设台体的底面长轴为a，顶面长轴为A，底面短轴为b，顶面短轴为B，台体的高为h，则台体的侧面积为2(a+b)h。

柱、锥、台的体积详解

4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线长为5,则这个圆锥的体积为_________。 5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长为2cm，这个棱台的体积为________。
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 ADE 、BCF 均为正三角形， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ）
a 3
3
割补法
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则 1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
台体
x xh
x
s' s
S
'
x
h
h s' s s'
S
1 1 1 ' 1 1 ' V台 S（h x) S x Sh Sx S x 3 3 3 3 3
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点，如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求这两部分的体积比。
E A V1
B
V2 C
设△ABE的面积为S
1 V1 h( S S 4S 4S ) 3
7 Sh 3
7 5 V2 4Sh Sh Sh 3 3
D
V1 : V2 7 : 5
1 1 = S x h S x 3 3

棱台(圆台)的体积公式:
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．
1 V ( S S S S )h 3
例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的体积是多少？ (结果中保留π)

第1章 7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积

7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．知识点一柱、锥、台体的体积公式知识点二柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .1．锥体的体积等于底面面积与高之积．( × ) 2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ )类型一多面体的体积例1 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值． (1)证明由题知四边形PDAQ 为直角梯形．因为QA ⊥平面ABCD ，QA 平面PDAQ ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D ，DC ，QD 平面DCQ ，所以PQ ⊥平面DCQ .(2)解设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高．而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1. 反思与感悟求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练1 如图，在三棱柱111ABC A B C －中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成体积为l 2V V ，的两部分，那么12:V V ＝________.答案 7∶5解析设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh . 因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以AEFS ＝14S ， 1V ＝13h ⎝⎛⎭⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ， 2V ＝Sh －1V ＝512Sh ，故12:7:5V V ＝.类型二旋转体的体积例2 体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，求截得这个圆台的圆锥的体积．解由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27. 截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26， ∴小圆锥的体积为2 cm 3，故原来圆锥的体积为54 cm 3.反思与感悟要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答． (1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA 1与底面直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．考点题点答案 21π解析设上，下底面半径，母线长分别为r ，R ，l .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°，又∠BA 1A ＝90°， ∴∠BA 1D ＝60°， ∴AD ＝A 1Dtan 60°＝3， ∴R －r ＝ 3.BD ＝A 1D ·tan 60°＝33，∴R ＋r ＝3 3.∴ R ＝23，r ＝3，而h ＝3.∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.∴圆台的体积为21π. 类型三几何体体积的求法命题角度1 等体积法例3 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解 1111A D EF F A D E V V －－＝，锥锥三棱三棱由1121111124A D E S EA A D a ∆⋅＝＝，又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，11231113412F A D E V a a a ∴⨯⨯－＝＝，锥三棱 1131.12A D EF V a ∴－＝三棱锥反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理． (2)利用等体积法可求点到面的距离．跟踪训练3 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在三棱锥A 1－ABD 中，求A 到平面A 1BD 的距离d .考点题点解在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1是三棱锥A 1－ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝1，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝ 2.∵13×12×12×1＝13×12×2×32×2×d ， ∴d ＝33. 命题角度2 割补法例4 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 与平面AC 的距离为3，求该多面体的体积．考点题点解如图，连接EB ，EC ，AC .四棱锥E －ABCD 的体积V E －ABCD ＝13×42×3＝16.因为AB ＝2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF .所以V F －EBC ＝V C －EFB ＝12V C －ABE ＝12V E －ABC＝12×12V E －ABCD ＝4. 所以该多面体的体积V ＝V E －ABCD ＋V F －EBC ＝16＋4＝20.反思与感悟通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．跟踪训练4 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．考点题点解用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.1.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.128π3 B.64π3 C ．64π D ．1282π考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案 B解析设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ，∴S 侧＝πrl ＝2πr 2＝162π，解得r ＝4.∴l ＝42，圆锥的高h ＝l 2－r 2＝4，∴圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13π×42×4＝64π3.3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋6 2 B ．6＋2 2 C ．24 D ．18考点题点答案 B解析 V ＝13(2＋4＋2×4)×3＝6＋2 2.4．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．考点题点台体的体积答案73π3解析设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π.∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π.∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝73π3.5．如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.考点题点答案 0.6解析将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积．设水面下降的高度为x cm ，则π×⎝⎛⎭⎫2022x ＝13π×⎝⎛⎭⎫622×20，得x ＝0.6 cm.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．一、选择题1.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34考点题点答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′，∴V C －AA ′B ′B ＝23V ABC －A ′B ′C ′＝23.2.如图，已知正三棱锥S －ABC ，D ，E 分别为底面边AB ，AC 的中点，则四棱锥S －BCED 与三棱锥S －ABC 的体积之比为( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶3答案 C解析两锥体高相等，因此V 四棱锥S －BCED ∶V 三棱锥S －ABC ＝S 四边形BCED ∶S △ABC ＝3∶4. 3．已知圆锥的母线长为8，底面圆的周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355π D ．355 考点题点答案 C解析设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. ∴h ＝64－32＝55，∴V ＝13π·r 2·h ＝355π.4.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.53πB.43πC.23π D ．2π 考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积答案 A解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C. 2 D. 3 考点题点答案 A解析如图所示，设等边三角形ABC 为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC 的边长，且S △ABC ＝34AB 2，∴3＝34AB 2，∴AB ＝2.6．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是( )A.16B.13C.12D ．1答案 A 解析三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16. 7．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．2318 cmD ．3312 cm 考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案 B解析设圆锥中水的底面半径为r cm ，由题意知13πr 2×3r ＝π22×6，得r ＝23，∴水面的高度是3×23＝6 cm.8．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．1 B.32 C ．3 D.32考点题点答案 A解析在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝32AB ＝3，11DB C S ＝12×2×3＝ 3. 又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊥BC ，AD 平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高．∴1111DB C A B DC V S 三棱－＝锥·AD ＝13×3×3＝1. 二、填空题9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．考点题点答案 32解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 10.如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.则此几何体的体积为________．考点题点答案 96解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.11.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为______．考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题答案 124解析设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，∴三棱锥F －ADE 的高为h 2， ∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ， ∵V 1＝13S △ADE ·h 2，V 2＝S △ABC ·h ， ∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 三、解答题12．在四边形ABCD 中，A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)，D (0,3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解如图为所得旋转体，由一个圆锥和一个圆台组成．∵C (2,1)，D (0,3)，∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2.∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2 ＝83π.∵B (1,0)，C (2,1)， ∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1.∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′) ＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.13.如图所示是一个边长为5＋2的正方形，剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图，求该圆锥的体积．考点题点解设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则依题意有14·2πl ＝2πr ， ∴l ＝4r .又∵AC ＝OC ＋OA ＝2r ＋r ＋l ＝(2＋5)r ，且AC ＝2×(2＋5)，∴(2＋5)r ＝(2＋5)×2，∴r ＝2，∴l ＝42，∴h ＝l 2－r 2＝30，∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π(2)2×30＝2303π.故该圆锥的体积为2303π. 四、探究与拓展14．若正三棱台A 1B 1C 1－ABC 的两底面边长分别为2,8，侧棱长等于6，则此三棱台的体积V ＝________.答案 42 2解析如图，设D 1，D 分别为A 1B 1，AB 的中点，O 1，O 为上、下两底面的中心，则O 1O 为棱台的高h ，O 1C 1＝233，OC ＝833，作C 1H ⊥OC 于点H ，则C 1H ＝h ，且CH ＝23，故h ＝C 1H ＝36－12＝2 6. ∵111A B C S ＝3，S △ABC ＝163，∴V ＝(3＋43＋163)×263＝42 2. 15.在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ，B －A 1B 1C ，C －A 1B 1C 1的体积之比是多少？考点题点解设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则1114.A B C S S ∆＝ ∴1A ABC V －＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， 1111114·.3C ABC A B C V S h Sh ∆－＝＝又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ， ∴11B A B C V －＝V 台－1111A ABC C ABC V V －－－＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23Sh . ∴1A ABC V －∶11B A B C V －∶111C A B C V －＝1∶2∶4.。

柱锥台的体积

3
2 BB’’B’ B’ B’ B’B’
１
A A A AAA
C C C C C CC C C C C C
B B B B B BB
2
A’ A’ A’ A’ A’
椎体体积
A’ A’
A’
3
C’
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
B’
高
1 11 1
A AA A C
C C CC
CC
C
B B B BB
BB
2
椎体体积
பைடு நூலகம்
A’
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’A’
3
C’
2
2B’2B’2B’2B’
B’
2
B’
2
2B’2 B’B’
1
A
C
C C C C C C C CC
B
B B B B B B B BB
A’
2
椎体体积
A’
A’
2 B’
3
C’
B’
1
A
C
C
C
B
B
V锥

1 3
Sh
思考： 1.你能推导台体的体积公式吗？
2.柱锥台的体积公式之间有什么关系呢?
小结：
利用祖暅原理结合长方体的体积公式得到了柱体的体积公式,以三棱锥为代表将柱分解为锥,得到锥体的体积公式,最后将锥截台得到了台体的体积公式。
祖暅原理与柱、锥、台的体积公式
小实验:
1.这两个几何体的体积一样吗? 2.这两个几何体的体积还一样吗?
条件1：高相等条件2：截面积相等
祖暅，祖冲之之子，范阳郡蓟县人,南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上,提出了体积的计算原理。

柱,锥,台的体积及球的表面积和体积

螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形, 边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
[例2] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
求证：(1) 球的
体积等于圆柱体积
的 2;
O
3
(2) 球] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
***补例*** 1. 若圆台的高是3，一个底面半径
是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角是45°，求这个圆台的侧面积.
***补例***
2. 如图，一块正方形薄铁片的边长
为22cm，以它的一个顶点为圆心，一
22cm
边长为半径画弧.沿
弧剪下一扇形，围
成一锥筒.求它的侧面积和体积.
1
V锥 3 sh V台 3 h(s s' ss')
1 V锥 3 sh
s'=0
1 V台体 3 h(s s' ss')
V柱 sh
s'=s
V圆锥
1 3
R2h
r=0
V圆台
1 3
h(r 2
R
R2
)
V圆柱 R2h
r=R
三、球的表面积、体积公式
S球表 4R2
V球
4 R3
3
典型例题 [例1] 有一堆规格相同的铁制六角
1、多面体的表面积公式是什么？
S多面体表底面面积侧面面积
2、圆柱体的表面积公式是什么？
S圆柱表 2 r(r l)
3、圆锥体的表面积公式是什么？
S圆锥表 r(r l)
4、圆台的表面积公式是什么？
S圆台表(r'2 r2 r'l rl)

柱、锥、台表面积体积公式

圆柱体体积公式
圆柱体体积公式
$V = pi r^{2}h$
解释
其中，$V$表示圆柱体的体积，$pi$是圆周率，$r$是底面圆的半径，$h$是圆柱的高。
棱柱体表面积公式
棱柱体表面积公式
根据棱柱的形状和尺寸有所不同，需要具体问题具体分析。
解释
棱柱体的表面积由底面和顶面的面积以及侧面的面积组成，具体计算方法需要根据棱柱的具体形状和尺寸来确定。
03
台体表面积体积公式
圆台体表面积公式
总结词
圆台体表面积公式是计算圆台侧面积和两个底面积的总和。
详细描述
圆台体表面积公式为 S = π * (r1 + r2) * l，其中 r1 和 r2 分别为圆台上下底面的半径， l 为圆台母线长度。
圆台体体积公式
总结词
圆台体体积公式是计算圆台所占三维空间的大小。
物理学
在计算物体之间的相互作用力、热传导、电磁波的传播等物理现象时，需要使用表面积和体积公式来描述物体的大小和形状。
化学工程
在化学工程领域，表面积和体积的计算对于反应器设计、传热传质计算等方面具有重要意义。
表面积和体积公式的推导过程
要点一
柱体
柱体的表面积由底面和侧面组成，侧面面积是高乘以底面周长，底面周长是 2πr（r为底面半径），所以侧面面积是2πrh（h为高），底面面积是πr^2，所以柱体表面积是2πrh+πr^2，体积是底面积乘以高，即πr^2h。
棱台体体积公式
总结词
棱台体体积公式是计算棱台所占三维空间的大小。
详细描述
棱台体体积公式为 V = (1/3) * (a1 + a2) * l * h，其中 a1 和 a2 分别为棱台上下底面的边

柱体椎体台体的体积

柱体、椎体、台体的体积
【计算公式】
3、台体：台体的上底面积 S′ ，下底面积 S，高h，由
此如何计算切割前的锥体的高，
给出台体的体积公式：V 台
?
1 (S ' 3
?
(S，S′ 分别上、下底面积， h为高)
S ' S ? Sh)
? (r→、RV分圆台别?为13圆( S台' ?上底S 、' S 下? 底S )半h ?径13 ). (r 2 ??rR R 2 )h
柱体、椎体、台体的体积
【典型例题】 1、四边形ABCD 中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)， D(0，3)，绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为 ________ ．
柱体、椎体、台体的体积
【典型例题】
1
1
8
解V＝圆：台1V＝圆π×锥13＝1×πh3((r2π22r＋＋2h1R＝22＋＋32Rπ×r×)1. 2)＝2×72＝π，3 π，
知识点——
柱体、椎体、台体的体积
柱体、椎体、台体的体积
【计算公式】
1、柱体：根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推
测柱体的体积计算公式，
给出柱体体积计算公式：V 柱 ? Sh
(S为底面面积， h为柱体的高 )→V 圆柱
?
Sh
? ? r 2h ；
2积(、S计为锥算底体公面：式面根，积据给，圆出h锥为锥的高体体)的；积体公积式计公算式公，式推：测V锥锥体? 的13 S体h
柱体、椎体、台体的体积
【变形训练】
2、如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长
为1的正方形和 4个边长为 1的正三角形组成，则该多
面体的体积是 ( ).
A. 3

柱体锥体台体的公式大全

柱体锥体台体的公式大全
一、柱体：
柱体是一个由两个平行的、相等的圆形底面和连接两个底面的侧面组成的几何体。

柱体的体积和表面积的公式如下：
1.柱体的体积公式：
V=πr²h
2.柱体的表面积公式：
S=2πr²+2πrh
其中，S代表柱体的表面积，r代表柱体的底面半径，h代表柱体的高度。

二、锥体：
锥体是一个由一个圆形底面和连接底面和顶点的侧面组成的几何体。

锥体的体积和表面积的公式如下：
1.锥体的体积公式：
V=(1/3)πr²h
2.锥体的表面积公式：
S=πr(r+l)
其中，S代表锥体的表面积，r代表锥体的底面半径，l代表锥体的斜高（从顶点到底边的距离）。

三、台体：
台体是一个由两个平行、相等的圆形底面和连接两个底面的侧面以及一个横截面为矩形的侧面组成的几何体。

1.台体的体积公式：
V=(1/3)π(r₁²+r₂²+r₁r₂)h
2.台体的表面积公式：
S=π(r₁+r₂)l+πr₁²+πr₂²
其中，S代表台体的表面积，r₁和r₂分别代表台体的上底半径和下底半径，l代表侧面的斜高。

需要注意的是，以上公式的单位应保持一致，如使用米，则体积的单位为立方米，表面积的单位为平方米。

柱、锥、台体积

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