2020年高考全国卷分类汇编答案
2020年全国各地高考语文试卷分类汇编：古代诗歌阅读-北京-山东-河北等地
李白《寄东鲁二稚子》阅读练习及答案（2020年北京卷高考题）（一）阅读下面诗歌，完成 13－15 题。
（共 12 分）寄东鲁二稚子【1】李白吴地桑叶绿，吴蚕已三眠。
我家寄东鲁，谁种龟阴【2】田。
春事已不及，江行复茫然。
南风吹归心，飞堕酒楼前。
楼东一株桃，枝叶拂青烟。
此树我所种，别来向三年。
桃今与楼齐，我行尚未旋。
娇女字平阳，折花倚桃边。
折花不见我，泪下如流泉。
小儿名伯禽，与姊亦齐肩。
双行桃树下，抚背复谁怜。
念此失次第，肝肠日忧煎。
裂素写远意，因之汶阳川。
注释：【1】这首诗作于金陵。
【2】龟阴：地名，与后文的“汶阳川”都在鲁地。
13．下列对这首诗的理解与赏析，不．正．确．的一项是（3 分）A．李白由江南农事春景联想到东鲁田地无人耕种，心生茫然之感。
B．李白思念一双儿女，追忆昔日春游漫步的场景，不禁泪下如泉。
C．这首诗叙事朴实，语言明白如话，亲切自然，堪称“天然去雕饰。
D．这首诗展现李白柔情的一面，其风格与《梦游天姥吟留别》不同。
14．下列对诗句的分析，正确的一项是（3 分）A．诗人先说“吴蚕已三眠，后又说“别来向三年，抒发了青春不再的痛苦之情。
B．诗人先感慨“谁种龟阴田，最后又说“因之汶阳川，表达了归隐田园的志向。
C．“南风吹归心，飞堕酒楼前，这两句由金陵酒楼引发东鲁家园之思，过渡巧妙。
D．“念此失次第，肝肠日忧煎，意思是想到孩子们缺失父爱，诗人心中纷乱焦虑。
15．这首诗多处写到桃树。
请分析桃树在诗中的意义与作用。
（6 分）答案：三、（本大题共 5 小题，共 25 分）13．B 14．D15．答案要点：①桃树为诗人亲手所种，是家的象征。
②桃树不断长高，是时光流逝的象征。
③桃树是抒情的线索，诗人由酒楼边的桃树想到桃树下的儿女。
④桃树是构造意境的要素，酒楼春景、娇女流泪、儿女行走，这些画面都包含桃树，形成优美的意境。
韩驹《赠赵伯鱼》阅读练习及答案（2020年全国新高考II卷高考题）（二）古代诗歌阅读（本题共2小题，9分）阅读下面这首宋诗，完成15～16题。
历年(2020-2024)全国高考语文真题分类(语言文字运用)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考语文真题分类(语言文字运用)汇编一、（2023ꞏ天津卷ꞏ高考真题）阅读下面的文字，完成下面小题。
音乐，充满奇情幻想，它对人类来说有着一种不可摆脱的魅力。
古人听了一曲好的音乐，说有“绕梁三日”之感。
孔子在齐国听到《韶》乐，甚至“三月不知肉味”。
唐代是一个诗和音乐的时代，在那个时代，诗和音乐结合的盛况，表现在诗被谱之以曲，可以随处演奏咏唱；也表现在音乐已成为诗人们创作诗歌时喜爱的（），出现了不少将音乐美与文学美结合得很好的作品。
其中韩愈的《听颖师弹琴》，白居易的《琵琶行》，李贺的《李凭箜篌引》，不仅表现了无比美妙的音乐世界，而且也体现了令人惊叹的音乐美，堪称精品中的精品，被推许为“摹写声音至文”。
这些作品把前所未有的高超艺术和出神入化的描写创设的神奇音乐境界，堪称千古绝唱。
白居易描摹形象，严格按照音乐的本来面貌，全部运用人们生活中（）的事物设喻，朴实自然，亲切可闻；李贺则运用了大胆的夸张、神奇的想象、瑰丽的比喻，足使鬼泣，极其浪漫；而韩愈不论描摹音乐形象，还是（）音乐效果，既不乏巧妙的夸张、丰富的联想、新颖的比喻，又让人虽感到奇险而不觉得怪诞。
清代方扶南评价这三首诗说：“__________。
”这看来是很有道理的，因为它恰好说明了这三首诗在音乐描写上所表现出来的不同风格。
（取材于郑喜林文章） 1．依次填入文中括号内的词语，最恰当的一组是（）A．题材司空见惯渲染 B．题材触手可及浸染C．体裁司空见惯浸染 D．体裁触手可及渲染2．下列填入文中画线处的句子，最恰当的一项是（）A．韩足以移人，李足以惊天，白足以泣鬼B．韩足以移人，李足以泣鬼，白足以惊天C．韩足以惊天，李足以泣鬼，白足以移人D．韩足以泣鬼，李足以移人，白足以惊天3．文章中画波浪线句子有语病，下列修改正确的一项是（）A．这些作品以前所未有的高超艺术和出神入化的描写创设的神奇音乐境界，堪称千古绝唱。
B．这些作品以前所未有的高超艺术和出神入化的描写创设了神奇音乐境界，堪称千古绝唱。
2020年高考语文试题分类汇编：正确使用词语(精校版)
2020年高考语文真题分类汇编：正确使用词语1.（2020•全国卷Ⅰ)阅读下面的文字，完成下面小题。
在中国各种艺术形式中，篆刻是一个___________的门类。
篆刻是从实用印章的应用中发展而来的，中国的印章最初用在制陶工艺方面，上面镌刻的是图案、花纹或族徽，到春秋战国时期，刻有官职名或人名的文字印章得到普遍使用，唐宋以后，由于文人士大夫参与到印章的创作中，这门从前主要由工匠承揽的技艺，增加了人文意味，印章不再局限于用来昭示身份与权力，而是通过镌刻人名字号，斋馆名称、成语警句等来表达情趣志向，印章也就超越实用功能，成为文人表达自己审美追求的独特方式。
中国印章艺术由此实现了一次完美的升华——演变为中国文化特有的篆刻艺术。
明清时期，众多_______的艺木家在篆刻上融入了对汉字形体的研究和理解，再加上他们对印面布局的精心设计,对各种刀法的熟练掌握,篆刻艺术迅速走向成熟并孕育出_______的流派风格。
篆刻艺术的发展及成就，使印章成为与中国画、中国书法紧密结合的艺术形式，同时也是中国画和书法作品中_______的组成部分。
依次填入文中横线上的词语，全部恰当的一项是（）A. 别具匠心才思敏捷异彩纷呈弥足珍贵B. 别具匠心才华横溢奇光异彩不可或缺C. 十分独特才华横溢异彩纷呈不可或缺D. 十分独特才思敏捷奇光异彩弥足珍贵2.（2020•全国卷Ⅱ)阅读下面文字，完成下面小题。
1899年发现的殷墟甲骨文，是近代中国史料“四大发现”之一。
殷墟甲骨文内容丰富，甲骨刻辞大多是占卜的记录，但占卜的范围很广，涉及祭祀、征伐、农业，田猎、气象、疾病等等，能够在一定程度上反映商代的社会生活。
从目前的发掘情况看，甲骨文不止出现在殷墟，在北京、山西、陕西、山东、湖北，______________宁夏都发现了刻有卜辞的甲骨。
殷墟甲骨文年代最早，数量最多。
但它不是当时唯一的文字。
《尚书·多士》记载“惟殷先人，有册有典”，甲骨文有“典”“册”“聿(笔)”这样的文字，说明殷人祖先常规的书写材料是简册，书写工具是毛笔。
2020年 全国新高考Ⅱ卷 (含答案)
2020年全国统一考试试卷（新高考Ⅱ卷）语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1～5题。
巴巴看起来一点儿也不害怕。
它不怕把它团团围住的兴奋的小孩，而是十分镇定地接受着加州夏日烈阳的炙烤。
这种漫不经心的态度是能说得通的，因为它就生活在既安全又轻松的环境中。
巴巴是一只肚皮雪白的穿山甲，这种惹人喜爱的动物约莫一只小猫那么大。
它脸颊边缘的一圈毛好似山羊胡，粉色的脸颊下方是一截尖尖的、没有牙齿的口鼻——十分适合吸食蚂蚁和白蚁。
它最具特色的是覆满头、身、四肢和尾巴的鳞片，这些浅橙色的鳞片层层叠叠，形成了一件防御力极强的外套。
构成这些鳞片的成分和你的指甲一样，都是角蛋白。
巴巴是圣迭戈动物园的形象大使，它性格温顺，训练得当，能参与各类公众活动。
动物园的工作人员常常把巴巴带到福利院、儿童医院等地方，为患病的孩子带去快乐，并向他们普及关于各类珍稀动物的科学知识。
此时，罗布·奈特正用棉签轻轻擦拭它的脸部边缘，奈特是一名研究微观生命的学者，他研究细菌和其他微生物，特别着迷存在于动物体内或体表的微生物。
开展研究前，他首先得收集它们，收集蝴蝶的人会用网兜和罐子，奈特的工具则是棉签。
他把棉签伸进巴巴的鼻孔，仅仅转上几秒钟，就足以让白色棉签头上沾满来自穿山甲体内的微生物。
巴巴不仅是一只穿山甲，也是一个携带丰富微生物的聚合体：一些微生物生活在它的体内，绝大多数分布在肠道内，还有一些附着在它的脸部、肚子、爪子和鳞片表面。
其实人类身上也寄宿着微生物，地球上的所有生物都一样——唯一的例外，是科学家在实验室无菌环境下极其小心地培育出来的极少数动物。
我们身上仿佛在举办一场盛大的微生物展览，展品统称为微生物组。
它们生活在我们的皮肤表面、身体内部，甚至是细胞内部。
其中大部分是细菌，也有一些是其他的微小生命体，例如真菌（比如酵母菌）和古菌——后者的身份至今保持神秘，还有数量多到难以估量的病毒。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ） A ．{}1,3,4 B ．{}2,3,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}0,1,2,3,4,93．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}0,1,2 C ．{}2- D ．{}25．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}- 6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ） A ．{}02x x ≤< B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,911．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ） A ．{}1,4,9 B ．{}3,4,9 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,52．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a c C ．{},b d D ．{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n S n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故选：B.2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时，集合{}1,0M =，{}1,0,1N =-，可得M N ⊆，满足充分性，若M N ⊆，则0a =或1a =-，不满足必要性，所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件，故选：A.考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：C3．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C 【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--， 所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．5．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]：直接法因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B = ，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ；4x =代入集合{}11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B = ．故选：A.8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=， 故选：B.11．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可 【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【名师点评】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ，故选：D.3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ .故选：B.4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选：C【名师点评】本题考查集合并集，考查基本详细分析求解能力，属基础题.考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =， 则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D 2．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ） A ．()U M N ð B ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确； {}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ） A ．2M ∈ B ．3M ∈ C ．4M ∉ D ．5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项．【答案详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =-- ð，故选：D ．6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð， 故选：B.7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a cC ．{},b dD ．{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选：C考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件 【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ， 若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ， 例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一：由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可. 【答案详解】解法一： 因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-， 所以112x y y yy x y y -+=+=--=--， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-， 所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选：C5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【答案详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+， 因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+， 即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题 D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x > D ．x ∀∈R ，20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误； B 项：根据12<、45<易知B 错误； C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误； D 项：2x 恒大于等于0，D 正确， 故选：D.。
2020年全国各地高考语文试卷分类汇编：论述类文本阅读(含答案)
1、《中国古代有儿童文学吗？》阅读练习及答案（2020年上海市高考题）二、阅读（70分）（一）阅读下文，完成第3—7题。
（16分）中国古代有儿童文学吗？①中国古代有儿童文学吗？这个问题百年来一直存在争议。
②中国儿童文学自古有之这一观点始于1913年。
当时有学者认为，中国古代虽无“儿童文学”之名，却有儿童文学之实，并以部分古代小说与民间娱儿故事为证，后来认为古代存在儿童文学的学者几乎都以此为依据。
而反对者认为，儿童文学是现代化进程中的产物，“中国古代并未发现‘儿童’，没有‘儿童’的发现作为前提，为儿童的儿童文学不可能产生。
因此，儿童文学与一般文学不同，它只有现代而没有古代。
”③应注意的是，无论观点如何，双方都是在现代的儿童文学理论基础上立论的。
不可否认，中国古代确实不存在“儿童文学”的概念，自然也就没有相应的判断标准。
要对中国儿童文学做历史考察，不妨使用现代儿童文学标准的核心部分来衡量古代作品。
之所以不是完全采用现代标准，是因为古今有别，考察时应避免以今衡古。
④在中国古代，最容易为儿童接受的文学形式莫过于童谣。
不过有很多童谣被统治阶级用来制造舆论，也有不少被用来向儿童灌输封建伦常，这些童谣都不能纳入古代儿童文学的范畴。
当然，仍有相当数量的童谣与儿童生活息息相关，这类童谣明代以后尤多，如明代杨慎所编《古今风谣》中的部分童谣、清代郑旭旦所编《天籁集》、意大利人韦大利1896年所编《北京儿歌》、美国人何德兰1900年所编《孺子图歌》。
这部分童谣，内容取自儿童日常生活，没有牵强附会，也没有强加道德诠释，且言辞质朴，多用叠音，节奏明快，适合儿童记诵，符合儿童的心理和接受能力。
⑤蒙书专为儿童编写，作启蒙发智之用，但细分又有不同。
一类为识字百科，如《三字经》《百家姓》《千字文》等，从目的和效果来看，这类书更像是后来的识字课本。
另一类则有一定的文学色彩，虽然内容简单，但都有明晰的人物、故事情节，用浅显的语言讲述故事，用符合儿童性情的方式教之以事，以事寓理，或诱之以趣，以趣入情。
历年(2020-2024)全国高考语文真题分类(名著阅读)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考语文真题分类(名著阅读)汇编一、（2023ꞏ北京卷ꞏ高考真题）阅读下面四则材料，按要求回答问题。
①子曰：“君子疾没世而名不称焉。
”（《论语·卫灵公》）②子曰：“君子病无能焉，不病人之不已知也。
”（《论语·卫灵公》）③子曰：“君子病没世而名不称焉。
吾道不行矣，吾何以自见于后世哉？”（《史记·孔子世家》）④先生（王阳明）曰：“为学大病在好名。
……‘疾没世而名不称’，‘称’字去声①读，亦‘声闻过情，君子耻之’②之意。
”（《传习录》） 【注】①去声：第四声。
②声闻过情，君子耻之：语出《孟子》。
情，实情。
对于①中画线的句子有两种解读，今人杨伯峻的解读是“到死而名声不被人家称述，君子引以为恨”。
④是明代思想家王阳明的解读，与杨伯峻有所不同。
(1)说明杨、王两种解读对“称”的读音和词义的理解有何不同。
(2)用自己的话写出王阳明对①“君子疾没世而名不称焉”解读的大意。
(3)在杨、王两种解读中任选一种，从上述材料中找出依据，简要解释其合理性。
二、（2023ꞏ天津卷ꞏ高考真题）22．在城镇化发展的今天，阅读《乡土中国》有哪些作用？请给出2条阅读理由。
23．《红楼梦》中出现了诸多人物，其中有些人物的话，可以给人带来愉悦的感受，请举出1个这样的人物，并结合情节说明。
三、（2022ꞏ天津卷ꞏ高考真题）以下三幅图均取材于古典文学名著《红楼梦》，请从中选择一幅你喜欢的，指出其所涉及的人物和相关情节，并说明喜欢的理由。
要求100字左右。
四、（2022ꞏ北京卷ꞏ高考真题）根据要求，回答问题。
《红楼梦》甲戌本第一回开头，作者自道书名说：（空空道人）因空见色，由色生情，传情入色，自色悟空，遂易名为情僧，改《石头记》为《情僧录》。
至吴玉峰题曰《红楼梦》。
东鲁孔梅溪则题曰《风月宝鉴》。
后因曹雪芹于悼红轩中披阅十载，增删五次，纂成目录，分出章回，则题曰《金陵十二钗》，并题一绝云：“满纸荒唐言，一把辛酸泪。
2020年全国各地高考语文试卷分类汇编：古代诗歌阅读
2020年全国各地高考语文试卷分类汇编：古代诗歌阅读李白《寄东鲁二稚子》阅读练习及答案（2020年北京卷高考题）--------------------------------------------------------------------------------（一）阅读下面诗歌，完成13－15 题。
（共12 分）寄东鲁二稚子【1】李白吴地桑叶绿，吴蚕已三眠。
我家寄东鲁，谁种龟阴【2】田。
春事已不及，江行复茫然。
南风吹归心，飞堕酒楼前。
楼东一株桃，枝叶拂青烟。
此树我所种，别来向三年。
桃今与楼齐，我行尚未旋。
娇女字平阳，折花倚桃边。
折花不见我，泪下如流泉。
小儿名伯禽，与姊亦齐肩。
双行桃树下，抚背复谁怜。
念此失次第，肝肠日忧煎。
裂素写远意，因之汶阳川。
注释：【1】这首诗作于金陵。
【2】龟阴：地名，与后文的“汶阳川”都在鲁地。
13．下列对这首诗的理解与赏析，不．正．确．的一项是（3 分）A．李白由江南农事春景联想到东鲁田地无人耕种，心生茫然之感。
B．李白思念一双儿女，追忆昔日春游漫步的场景，不禁泪下如泉。
C．这首诗叙事朴实，语言明白如话，亲切自然，堪称“天然去雕饰。
D．这首诗展现李白柔情的一面，其风格与《梦游天姥吟留别》不同。
14．下列对诗句的分析，正确的一项是（3 分）A．诗人先说“吴蚕已三眠，后又说“别来向三年，抒发了青春不再的痛苦之情。
B．诗人先感慨“谁种龟阴田，最后又说“因之汶阳川，表达了归隐田园的志向。
C．“南风吹归心，飞堕酒楼前，这两句由金陵酒楼引发东鲁家园之思，过渡巧妙。
D．“念此失次第，肝肠日忧煎，意思是想到孩子们缺失父爱，诗人心中纷乱焦虑。
15．这首诗多处写到桃树。
请分析桃树在诗中的意义与作用。
（6 分）答案：三、（本大题共 5 小题，共25 分）13．B 14．D15．答案要点：①桃树为诗人亲手所种，是家的象征。
②桃树不断长高，是时光流逝的象征。
③桃树是抒情的线索，诗人由酒楼边的桃树想到桃树下的儿女。
2020年高考英语试题分类汇编短文改错(全解析)
2020年高考英语试题分类汇编短文改错（全解析）一、（2020.全国卷I）短文改错After five years away in my hometown, I find that 76. ________________ The neighborhood which I used to living in has changed 77.________________a lot. The Sichuan Restaurant and the older fish shop 78 ._______________ across the street from our middle school were gone. 79.________________ There exist now a park that has a small river running 80.________________ through. The factory at the comer of Friendship Street and 81. _______________ Zhongshan Road has been moved out of the city, and sports 82. ______________ center has been built in their place. The market at the corner of 83. _____________ Friendship Street and Xinhua Road has been given way to 84. ________________ a supermarket. Besides the bookstore next to our middle 85. _______________ school is still there.【解析】76. 【答案】in→from。
2020高考生物卷专题汇编 (有答案)
2020高考生物卷专题汇编（有答案）专题1 细胞1．（2020年全国卷新高考·1）经内质网加工的蛋白质进入高尔基体后，S酶会在其中的某些蛋白质上形成M6P标志。
具有该标志的蛋白质能被高尔基体膜上的M6P受体识别，经高尔基体膜包裹形成囊泡，在囊泡逐渐转化为溶酶体的过程中，带有M6P标志的蛋白质转化为溶酶体酶；不能发生此识别过程的蛋白质经囊泡运往细胞膜。
下列说法错误的是（）A．M6P标志的形成过程体现了S酶的专一性B．附着在内质网上的核糖体参与溶酶体酶的合成C．S酶功能丧失的细胞中，衰老和损伤的细胞器会在细胞内积累D．M6P受体基因缺陷的细胞中，带有M6P标志的蛋白质会聚集在高尔基体内2．（2020年全国卷Ⅱ·1）新冠病毒（SARS-CoV-2）和肺炎双球菌均可引发肺炎，但二者的结构不同，新冠病毒是一种含有单链RNA的病毒。
下列相关叙述正确的是（）A．新冠病毒进入宿主细胞的跨膜运输方式属于被动运输B．新冠病毒与肺炎双球菌均可利用自身的核糖体进行蛋白质合成C．新冠病毒与肺炎双球菌二者遗传物质所含有的核苷酸是相同的D．新冠病毒或肺炎双球菌的某些蛋白质可作为抗原引起机体免疫反应3．（2020年浙江·4）溶酶体是内含多种酸性水解酶的细胞器。
下列叙述错误的是（）A．高尔基体断裂后的囊泡结构可形成溶酶体B．中性粒细胞吞入的细菌可被溶酶体中的多种酶降解C．溶酶体是由脂双层构成的内、外两层膜包被的小泡D．大量碱性物质进入溶酶体可使溶酶体中酶的活性发生改变4．（2020年江苏省·1）下列关于细胞中无机化合物的叙述，正确的是（）A．自由水是生化反应的介质，不直接参与生化反应B．结合水是细胞结构的重要组成成分，主要存在于液泡中C．无机盐参与维持细胞的酸碱平衡，不参与有机物的合成D．无机盐多以离子形式存在，对维持生命活动有重要作用5．（2020年江苏省·2）下列关于细胞中生物大分子的叙述，错误的是（）A．碳链是各种生物大分子的结构基础B．糖类、脂质、蛋白质和核酸等有机物都是生物大分子C．细胞利用种类较少的小分子脱水合成种类繁多的生物大分子D．细胞中生物大分子的合成需要酶来催化6．（2020年江苏省·3）下列关于真核细胞的结构与功能的叙述，正确的是（）A．根据细胞代谢需要，线粒体可在细胞质基质中移动和增殖B．细胞质基质、线粒体基质和叶绿体基质所含核酸的种类相同C．人体未分化的细胞中内质网非常发达，而胰腺外分泌细胞中则较少D．高尔基体与分泌蛋白的合成、加工、包装和膜泡运输紧密相关7．（2020年浙江省·2）下列关于生物体中有机物的叙述，正确的是（）A．淀粉的结构单元是蔗糖B．胆固醇是人体所需的物质C．蛋白质是生物体内重要的贮能物质D．人细胞中储存遗传信息的物质是RNA8．（2020年浙江省·3）某DNA片段的结构如图所示。
2020年全国卷Ⅰ语文高考试题及答案
2020年全国卷Ⅰ语文高考试题及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试语文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题。
社会是由众多家庭组成的，家庭和谐关乎社会和谐。
要在家庭中建立一种和谐的关系，就需要有家庭伦理。
中国自古以来就有维护家庭关系的种种伦理规范，它们往往体现在各种“礼”之中。
从《礼记》中可以看到各种礼制的记载，如婚丧嫁娶，这些都包含着各种家庭伦理规范，而要使这些规范成为一种社会遵守的伦理，就要使“礼”制度化。
在中国古代，“孝”无疑是家庭伦理中最重要的观念。
《孝经》中有孔子的一段话：“夫孝，天之经也，地之义也，民之行也。
”这是说“孝”是“天道”常规，是“地道”通则，是人们遵之而行的规矩。
为什么“孝”有这样大的意义？这与中国古代宗法制有关。
中国古代社会基本上是宗法性的农耕社会，家庭不仅是生活单位，而且是生产单位。
要较好地维护家庭中长幼尊卑的秩序，使家族得以顺利延续，必须有一套维护当时社会稳定的家庭伦理规范。
这种伦理规范又必须是一套自天子至庶人都遵守的伦理规范，这样社会才得以稳定。
“孝”成为一种家庭伦理规范，并进而成为社会的伦理制度，必有其哲理上的根据。
《郭店楚简·成之闻之》中说：“天登大常，以理人伦，制为君臣之义，作为父子之亲，分为夫妇之辩。
”理顺君臣、父子、夫妇的关系是“天道”的要求。
君子以“天道”常规处理君臣、父子、夫妇伦理关系，社会才能治理好。
所以，“人道”与“天道”是息息相关的。
“孝”作为一种家庭伦理的哲理根据就是孔子的“仁学”。
以“亲亲”（爱自己的亲人）为基点，扩大到“仁民”，以及于“爱物”。
2020年全国高考Ⅰ卷 语文、英语、理科数学、理综、文科数学、文综六科试卷及参考答案汇总
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
有一项是符合题目要求的。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Cl 35.5 V 15 Fe 56一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．新冠肺炎疫情警示人们要养成良好的生活习惯，提高公共卫生安全意识。
下列相关叙述错误的是A ．戴口罩可以减少病原微生物通过飞沫在人与人之间的传播B ．病毒能够在餐具上增殖，用食盐溶液浸泡餐具可以阻止病毒增殖C ．高温可破坏病原体蛋白质的空间结构，煮沸处理餐具可杀死病原体D ．生活中接触的物体表面可能存在病原微生物，勤洗手可降低感染风险2．种子贮藏中需要控制呼吸作用以减少有机物的消耗。
若作物种子呼吸作用所利用的物质是淀粉分解产生的葡萄糖，下列关于种子呼吸作用的叙述，错误的是A ．若产生的2CO 与乙醇的分子数相等，则细胞只进行无氧呼吸B ．若细胞只进行有氧呼吸，则吸收2O 的分子数与释放2CO 的相等C ．若细胞只进行无氧呼吸且产物是乳酸，则无2O 吸收也无2CO 释放D ．若细胞同时进行有氧和无氧呼吸，则吸收2O 的分子数比释放2CO 的多3．某研究人员以小鼠为材料进行了与甲状腺相关的实验，下列叙述错误的是A．切除小鼠垂体，会导致甲状腺激素分泌不足，机体产热减少B．给切除垂体的幼年小鼠注射垂体提取液后，其耗氧量会增加C．给成年小鼠注射甲状腺激素后，其神经系统的兴奋性会增强D．给切除垂体的小鼠注射促甲状腺激素释放激素，其代谢可恢复正常4．为达到实验目的、需要选用合适的实验材料进行实验,下列实验目的与实验材料的对应，不合理的是5．已知果蝇的长翅和截翅由一对等位基因控制。
历年(2020-2024)全国高考语文真题分类(语言文字运用)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考语文真题分类(语言文字运用)汇编一、（2024ꞏ新高考Ⅱ卷ꞏ高考真题）阅读下面的文字，完成下面小题。
众所周知，运动可以帮助放松肌肉、减轻身体紧张感、改善血液循环，让我们身体更健康，但是，可能很多人都不知道，运动更是让我们心情愉悦、大脑强健的“灵丹妙药”。
多年以前，运动就已被列入情绪障碍的治疗方法之一，疗效不但立竿见影，令人信服，而且适用范围很广。
喜欢运动，经常运动的人，相信．．都体验过“跑者欣快”，即连续高强度运动一段时间后， ① ，但心情很好，有一种酣畅淋漓的感觉，这是因为，运动可以促使大脑分泌许多与愉悦感相关的“快乐物质”，如多巴胺、内啡肽等。
而运动后的大脑，还会分泌一种名叫脑源性神经营养因子的蛋白质，有助于强健大脑。
因此，运动不仅会让你轻松快乐，还会让你头脑更清晰，更有活力。
当然，不是每个人 ② ，但即使做一些轻微运动，也是有助于身心健康的。
20．文中画波浪线的句子有语病。
请进行修改，使语言表达准确流畅，逻辑严密，可少量增删词语，不得改变原意。
21．请在文中横线处补写恰当的语句，使整段文字语意完整连贯，内容贴切，逻辑严密，每处不超过10个字。
22．下列句子中的“相信”与文中加点的“相信”，意义和用法相同的一项是（）A．身处困境他却并不消沉，相信自己能拼出一个光明的未来。
B．我满心欢喜地迎接他回来，相信现在的他一定和从前不同。
C．看到气势磅礴的壶口瀑布，相信每一位游客都会激动不已。
D．翠翠还是不离开码头，相信祖父会来找她，同她一起回家。
二、（2024ꞏ全国甲卷ꞏ高考真题）阅读下面的文字，完成下面小题。
天山可谓家喻户晓，但真正了解它的人恐怕不多。
怎样算是真正了解天山呢？不妨做个测试。
你闭上眼睛，念出“天山”这个名字，试试看，能不能想象出一幅天山的全景图来？在这幅全景图里，山脉或平行或交错，许多巨大的、汽车要．开上很久很久的盆地坐落其间。
两座威严的雪峰——托木尔峰和汗腾格里峰巍然耸立，俯视着周边十多座海拔6000米以上的山峰。
2012-2022十年高考真题分类汇编 专题01 集合概念与运算(解析版)
专题01 集合概念与运算十年大数据*全景展示年份题号考点考查内容考点1 集合的含义与表示1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由题意，{5,7,11}A B =，故A B 中元素的个数为3，故选B2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数1】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】由题意，AB 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故AB 中元素的个数为4．故选C ．3．【2017新课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】由题意可得，圆221x y += 与直线y x = 相交于两点()1,1，()1,1--，则A B 中有两个元素，故选B ．4．【2018新课标2，理1】已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4【答案】A 【解析】∵x 2+y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x =−1，0，1，当x =−1时，y =−1，0，1；当x =0时，y =−1，0，1；当x =−1时，y =−1，0，1；所以共有9个，选A ．5．【2013山东，理1】已知集合A ={0，1，2}，则集合B =中元素的个数是 A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】C 【解析】0,0,1,2,0,1,2x y x y ==-=--；1,0,1,2,1,0,1x y x y ==-=-；2,0,1,2,2,1,0x y x y ==-=．∴B 中的元素为2,1,0,1,2--共5个，故选C ．6．【2013江西，理1】若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a = A ．4 B ．2 C ．0D ．0或4【答案】A 【解析】当0a =时，10=不合，当0a ≠时，0∆=，则4a =，故选A ．7．【2012江西，理1】若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】根据题意，容易看出x y +只能取-1，1，3等3个数值．故共有3个元素，故选C ． 8．【2011广东，理1】已知集合A ={(,)|,x y x y 为实数，且221}x y +=，B ={(,)|,x y x y 为实数，且1}x y +=，则A ⋂B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1{}|,x y x A y A -∈∈【答案】C 【解析】由2211x y x y ⎧+=⎨+=⎩消去y ，得20x x -=，解得0x =或1x =，这时1y =或0y =，即{(0,1),(1,0)}A B ⋂=，有2个元素．9．【2011福建，理1】i 是虚数单位，若集合S ={－1，0，1}，则 A ．i ∈S B ．2i ∈S C ．3i ∈S D ．2i∈S 【答案】B 【解析】∵2i =－1∈S ，故选B ．10．【2012天津，文9】集合{}R 25A x x =∈-≤中的最小整数为_______．【答案】3-【解析】不等式52≤-x ，即525≤-≤-x ，73≤≤-x ，所以集合}73{≤≤-=x x A ，所以最小的整数为3-．考点2 集合间关系【试题分类与归纳】1．【2012新课标，文1】已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则 A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B =∅【答案】B 【解析】A=（－1，2），故B ⊂≠A ，故选B ．2．【2012新课标卷1，理1】已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B【答案】B 【解析】A=(-∞，0)∪(2，+∞)，∴A ∪B=R ，故选B ．3．【2015重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则A ．A ＝B B ．A B =∅∩C ．AB D ．B A【答案】D 【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D ． 4．【2012福建，理1】已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是（ ） A ．N M ⊆ B ．MN M = C ．M N N = D ．{2}M N =【答案】D 【解析】由M ={1，2，3，4}，N ={-2，2}，可知-2∈N ，但是-2∉M ，则N ⊄M ，故A 错误．∵M N ={1，2，3，4，-2}≠M ，故B 错误．M∩N ={2}≠N ，故C 错误，D 正确．故选D5．【2011浙江，理1】若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>-，则（ ） A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆ C ．R C P Q ⊆ D ．R Q C P ⊆【答案】D 【解析】{|1}P x x =< ∴{|1}R C P x x =≥，又∵{|1}Q x x =>，∴R Q C P ⊆，故选D ． 6．【2011北京，理1】已知集合P =2{|1}x x ≤，{}M a =．若P M P =，则a 的取值范围是A ．(-∞，-1]B ．[1，+∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1][1，+∞）【答案】C 【解析】因为PM P =，所以M P ⊆，即a P ∈，得21a ≤，解得11a -≤≤，所以a 的取值范围是[1,1]-．7．【2013新课标1，理1】已知集合A ={x |x 2－2x ＞0}，B ={x |－5＜x ＜5＝，则（ ） A ．A ∩B =∅B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B 【解析】A=(-，0)∪(2，+)，∴A ∪B=R ，故选B ．8．【2012大纲，文1】已知集合A ={x ︱x 是平行四边形}，B ={x ︱x 是矩形}，C ={x ︱x 是正方形}，D ={x ︱x 是菱形}，则A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D【答案】B 【解析】∵正方形一定是矩形，∴C 是B 的子集，故选B ．9．【2012年湖北，文1】已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】求解一元二次方程，{}2|320,A x x x x =-+=∈R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ．因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个．故选D ．考点3 集合间的基本运算【试题分类与归纳】1．【2011课标，文1】 已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ∩N ，则P 的子集共有 （A ）2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个【答案】B 【解析】∵P=M ∩N={1，3}， ∴P 的子集共有22=4，故选B ．2．【2013新课标2，理1】已知集合M={x ∈R|2(1)4x -<}，N={-1，0，1，2，3}，则M ∩N= A ．{0，1，2} B ．{-1，0，1，2} C ．{-1，0，2，3} D ．{0，1，2，3} 【答案】A 【解析】M=(-1，3)，∴M ∩N={0，1，2}，故选A ．3．【2013新课标2，文1】已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M ∩N= （ ） （A ）｛-2，-1，0，1｝ （B ）｛-3，-2，-1，0｝（C ）{-2，-1，0} （D ）{-3，-2，-1 }【答案】C 【解析】因为集合M={}|31x x -<<，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C ．4．【2013新课标I ，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B= ( )（A ）｛1，4｝（B ）｛2，3｝（C ）{9，16}（D ）｛1，2}【答案】A ；【解析】依题意，{}1,4,9,16B =，故{}1,4A B =．5．【2014新课标1，理1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2}，则A B ⋂=∞∞A ．[-2，-1]B ．[-1，2）C ．[-1，1]D ．[1，2）【答案】A 【解析】∵A=(,1][3,)-∞-⋃+∞，∴A B ⋂=[-2，-1]，故选A ．6．【2014新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A ．｛1｝ B ．｛2｝ C ．｛0，1｝ D ．｛1，2｝【答案】D 【解析】∵{}{}2=32012N x x x x x -+≤=≤≤，∴MN ={}1,2，故选D ．7．【2014新课标1，文1】已知集合M ={|13}x x -<<，N ={|21}x x -<<则M N =（ ）A. )1,2(- B ．)1,1(- C ．)3,1( D ．)3,2(- 【答案】B 【解析】MB =(-1，1)，故选B ．8．【2014新课标2，文1】设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=，则A B =（ ）A. ∅ B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 【答案】B 【解析】∵{}1,2B =-，∴AB ={}2．9．【2015新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A 【解析】由题意知，)1,2(-=B ，∴}0,1{-=⋂B A ，故选A ．10．【2015新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D【解析】由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8，14}，故选D ． 11．【2015新课标2，文1】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】由题知，)3,1(-=⋃B A ，故选A ．12．【2016新课标1，理1】设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则B A ⋂= （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2【答案】D 【解析】由题知A =（1，3），B=),23(+∞，所以B A ⋂=3(,3)2，故选D ． 13．【2016新课标2，理2】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C 【解析】由题知B ={0，1}，所以AB ={0，1，2，3}，故选C ．{}|12A x x =-<<{}|03B x x =<<A B =()1,3-()1,0-()0,2()2,314．【2016新课标3，理1】设集合，则T S ⋂=(A) [2，3] (B)（-，2] [3，+） (C) [3，+） (D)（0，2][3，+）【答案】D 【解析】由题知，),3[]2,(+∞⋃-∞=S ，∴T S ⋂=（0，2][3，+），故选D ． 15．【2016新课标2，文1】已知集合，则（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】D 【解析】由题知，)3,3(-=B ，∴}2,1{=⋂B A ，故选D ． 16．【2016新课标1，文1】设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（ ）（A ）{1，3}（B ）{3，5}（C ）{5，7}（D ）{1，7} 【答案】B 【解析】由题知，}5,3{=⋂B A ，故选B ．17．【2016新课标3，文1】设集合，则=（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C 【解析】由题知，}10,6,2,0{=B C A ，故选C ． 18．【2017新课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A 【解析】由题知，)0,(-∞=B ，∴{|0}AB x x =<，故选A ．19．【2017新课标1，文1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ） A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R【答案】A20．【2017新课标2，理2】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1AB =得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选C ．21．【2017新课标2，文1】设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则A B =（ ）A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>∞∞∞∞∞{123}A =，，，2{|9}B x x =<A B ={210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}，，{12}，{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==A B {48},{026}，,{02610}，，,{0246810}，，，，,【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =，故选A ．22．【2017新课标3，文1】已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A ⋂B 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】由题意可得，{}2,4AB =，故选B ．23．【2018新课标1，理1】已知集合A ={x |x 2−x −2>0 }，则∁R A = A ．{x |−1<x <2 } B ．{x |−1≤x ≤2 }C ．{x|x <−1}∪ {x|x >2}D ．{x|x ≤−1}∪ {x|x ≥2}【答案】B 【解析】由题知，A ={x|x <−1或x >2}，∴C R A ={x|−1≤x ≤2}，故选B ． 24．【2018新课标3，理1】已知集合A ={x|x −1≥0}，B ={0 ， 1 ， 2}，则A ∩B = A ．{0} B ．{1} C ．{1 ， 2} D ．{0 ， 1 ， 2}【答案】C 【解析】由题意知，A={|x x ≥1}，所以A ∩B ={1，2}，故选C ． 25．【2018新课标1，文1】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A ．26．【2018新课标2，文1】已知集合，，则A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，故选C27．【2019新课标1，理1】已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．28．【2019新课标1，文2】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A=（ ）A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C 【解析】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 29．【2019新课标2，理1】设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞)【答案】A 【解析】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ． 30．【2019新课标2，文1】．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅【答案】C 【解析】由题知，(1,2)AB =-，故选C ．31．【2019新课标3，理1】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】由题意得，{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-．故选A ． 32．【2019浙江，1】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则UA B =A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】{1,3}UA =-，{1}UA B =-．故选A ．33．【2019天津，理1】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A CB =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4 【答案】D 【解析】由题知，{}1,2AC =，所以{}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==，故选D ．34．【2011辽宁，理1】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N =M I∅，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．∅【答案】A 【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M N M =．35．【2018天津，理1】设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A BA ．{01}x x <≤B ．{01}x x <<C ．{12}x x <≤D ．{02}x x << 【答案】B 【解析】因为{1}B x x =≥，所以{|1}RB x x =<，因为{02}A x x =<<，所以()=R AB {|01}x x <<，故选B ．36．【2017山东，理1】设函数y =的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)- 【答案】D 【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -<=-<≤≤≤，选D ．37．【2017天津，理1】设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{|15}C x x =∈-R ≤≤，则()AB C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-R ≤≤ 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}AB C =-=，，，，，，，选B ．38．【2017浙江，理1】已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2) 【答案】A 【解析】由题意可知{|12}PQ x x =-<<，选A ．39．【2016年山东，理1】设集合 则=A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】集合A 表示函数2xy =的值域，故(0,)A =+∞．由210x -<，得11x -<<，故(1,1)B =-，所以(1,)A B =-+∞．故选C ．40．【2016年天津，理1】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则AB =A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}【答案】D 【解析】由题意{1,4,7,10}B =，所以{1,4}A B =，故选D ．41．【2015浙江，理1】已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-=<≥≤，则()R P Q =A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2] 【答案】C 【解析】{|02}RP x x ，故(){|1<<2}RP Q =x x ，故选C ．42．【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<，集合{|13}B x x =<<，则A BA ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 【答案】A 【解析】{|12}A x x ，{|13}B x x ，∴{|13}A B x x ．43．【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则AB 等于（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅ 【答案】C 【解析】由已知得，故，故选C ．44．【2015广东，理1】若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则MN =A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅ 【答案】D 【解析】 由(4)(1)0x x 得4x 或1x ，得{1,4}M ．由(4)(1)0x x 得4x 或1x ，得{1,4}N ．显然=∅MN ．45．【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】，，所以，故选A ．2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R AB (1,1)-(0,1)(1,)-+∞(0,)+∞{},1,,1A i i =--AB ={}1,1-{}{}20,1x x x M ==={}{}lg 001x x x x N =≤=<≤[]0,1MN =46．【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合 {}1,3,4,6,7B =，则集合U A B =A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8【答案】A 【解析】{2,5,8}U B =，所以{2,5}U A B =，故选A ．47．【2014山东，理1】设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B AA ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)【答案】B 【解析】∵{}1,2B =-，∴A B ⋂={}2，故选B ．48．【2014浙江，理1】设全集，集合，则 A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】由题意知{|2}U x N x =∈≥，{|Ax N x =∈，所以{|2x N x ∈<≤，选B ．49．【2014辽宁，理1】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB = A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<【答案】D 【解析】由已知得，{=0A B x x ≤或}1x ≥，故()U C A B ={|01}x x <<，故选D ．50．【2013山东，】已知集合均为全集的子集，且，，则 A ．{3} B ．{4}C ．{3，4}D ． 【答案】A 【解析】由题意{}1,2,3A B =，且，所以A 中必有3，没有4，{}3,4U C B =，故{}3．51．【2013陕西，理1】设全集为R ，函数的定义域为M ，则为A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．D ．【答案】D 【解析】的定义域为M =[-1，1]，故R M =，选D ．52．【2013湖北，理1】已知全集为，集合，，则（ ）A ．B ．{}|24x x ≤≤C ．D ．{}2|≥∈=x N x U {}5|2≥∈=x N x A =A C U ∅}2{}5{}5,2{=A C U B A 、}4,3,2,1{=U (){4}U A B ={1,2}B =U AB =∅{1,2}B=U A B =()f x =C M R ,1][1,)(∞-⋃+∞-,1)(1,)(∞-⋃+∞-()f x (,1)(1,)-∞-⋃+∞R 112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2|680B x x x =-+≤R A C B ={}|0x x ≤{}|024x x x ≤<>或{}|024x x x <≤≥或【答案】C 【解析】，，．53．【2011江西，理1】若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===，则集合{5,6}等于A ．M N ⋃B ．M N ⋂C ．()()n n C M C N ⋃D ．()()n n C M C N ⋂【答案】D 【解析】因为{1,2,3,4}M N =，所以()()n n C M C N ⋂=()U C M N ={5,6}．54．【2011辽宁】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N =M I ∅，则=N MA ．MB ．NC ．ID ．∅ 【答案】A 【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M N M =．55．【2017江苏】已知集合{1,2}A =，2{,3B a a =+｝，若{1}A B =，则实数a 的值为_． 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然1a =，此时234a +=，满足题意，故1a =．56．【2020年高考全国Ⅰ卷文数1】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则AB =（ ） A ．{4,1}- B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选D ．57．【2020年高考全国I 卷理数2】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B 【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭．由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-．故选B ． 58．【2020年高考全国II 卷文数1】已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ） A ．∅ B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2} D ．{–2，2}【答案】D 【解析】因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =-．故选D ．59．【2020年高考全国II 卷理数1】已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2U A B =--=-=，则()U A B = （ ）A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--[)0,A =+∞[]2,4B =[)()0,24,R A C B ∴=+∞【答案】A 【解析】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =-．故选A ．60．【2020年高考浙江卷1】已知集合P ={|14}x x <<，{|23}Q x x =<< 则PQ = （ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|23}x x <≤ D ．{|14}x x <<【答案】B 【解析】由已知易得{}23P Q x x =<<，故选B ．61．【2020年高考北京卷1】已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则AB = A ．{1,0,1}- B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2} 【答案】D 【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选D ．62．【2020年高考山东卷1】设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则=A BA ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x << 【答案】C 【详解】[]()[)1,32,41,4A B ==，故选C ．63．【2020年高考天津卷1】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}--- 【答案】C 【解析】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U 1,1A B =-，故选C ．64．【2020年高考上海卷1】已知集合{}{}1,2,4,2,4,5A B ==，则AB = ． 【答案】{}2,4【解析】由交集定义可知{}2,4A B =，故答案为：{}2,4．65．【2020年高考江苏卷1】已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，则AB = ． 【答案】{}0,2【解析】由题知，{}0,2A B =．考点4 与集合有关的创新问题1．（2012课标，理1）．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x y -∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10【答案】D ．【解析】B ={（2，1），(3，1)，(4，1)，（5，1），（3，2），(4，2)，（5，2），（4，3），（5，3），（5，4）}，含10个元素，故选D ．2．【2015湖北】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,B x y x y =≤≤,}x y ∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C 【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．3．【2013广东，理8】设整数，集合，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若和都在中，则下列选项正确的是A ．，B ．，C ．，D ．， 【答案】B 【解析】特殊值法，不妨令，，则，，故选B ．如果利用直接法：因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，．综合上述四种情况，可得，．4．【2012福建，文12】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n k +丨n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a b -∈[0]”．其中正确的结论个数是（ ）22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z A {(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ABCD 12121122{(,)(,),(,)}AB x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈1111DC B A 45477=-⨯4n ≥{}1,2,3,,X n =(),,x y z (),,z w x S (),,y z w S ∈(),,x y w S ∉(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∉2,3,4x y z ===1w =()(),,3,4,1y z w S =∈()(),,2,3,1x y w S =∈(),,x y z S ∈(),,z w x S ∈x y z <<y z x <<z x y <<z w x <<w x z <<x z w <<w x y z <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈x y z w <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈y z w x <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈z w x y <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】①2011=2010+1=402×5+1∈[1]，正确；由-3=-5+2∈[2]可知②不正确；根据题意信息可知③正确；若整数a ，b 属于同一类，不妨设a ，b ∈[k]={5n k +丨n ∈Z}，则a =5n+k ，b =5m+k ，n ，m 为整数，a b -=5(n -m)+0∈[0]正确，故①③④正确，答案应选C ．5．【2013浑南，文15】对于E ={12100,,,a a a }的子集X ={12,,,k i i i a a a }，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中 121k i i i x x x ====，其余项均为0，例如子集{23,a a }的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1) 子集{135,,a a a }的“特征数列”的前三项和等于 ；(2) 若E 的子集P 的“特征数列” 12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=，1≤i ≤99； E 的子集Q 的“特征数列” 12100,,,q q q 满足11q =，121j j j q q q ++++=，1≤j ≤98，则P∩Q 的元素个数为_________．【解析】 (1) 子集{135,,a a a }的特征数列为：1，0，1，0，1，0，0，0……0．所以前3项和等于1+0+1=2．(2)∵E 的子集P 的“特征数列” 12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=，1≤i ≤99；∴P 的“特征数列”：1，0，1，0 … 1，0． 所以P = },,{99531a a a a ．∵E 的子集Q 的“特征数列” 12100,,,q q q 满足11q =，121j j j q q q ++++=，1≤j ≤98，，可知：j =1时，123q q q ++=1，∵11q =，∴2q =3q =0；同理4q =1=7a =…=32n q -．Q 的“特征数列”：1，0，0，1，0，0 …1，0，0，1．所以Q = },,,{10097741a a a a a ．∴ {=⋂Q P },,971371a a a a ，∵97=1+（17-1）×6，∴共有17个相同的元素．7．【2018北京，理20】设n 为正整数，集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记(,)M αβ=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--．(1)当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；(2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【解析】(1)因为(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，所以1(,)[(11|11|)(11|11|)(00)|00|)]22M αα=+--++--++--=，1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]12M αβ=+--++--++--=． (2)设1234(,,,)x x x x B α=∈，则1234(,)M x x x x αα=+++．由题意知1x ，2x ，3x ，4x ∈{0，1}，且(,)M αα为奇数，所以1x ，2x ，3x ，4x 中1的个数为1或3．所以B ⊆{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．将上述集合中的元素分成如下四组：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．经验证，对于每组中两个元素α，β，均有(,)1M αβ=．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4．(3)设1212121{(,,,)|(,,,),1,0}k n n k k S x x x x x x A x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈===⋅⋅⋅==(1,2,,)k n =⋅⋅⋅， 11212{(,,,)|0}n n n S x x x x x x +=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==，则121n A S S S +=⋅⋅⋅．对于k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的不同元素α，β，经验证，(,)1M αβ≥．所以k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +．取12(,,,)k n k e x x x S =⋅⋅⋅∈且10k n x x +=⋅⋅⋅==（1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）．令1211(,,,)n n n B e e e S S -+=⋅⋅⋅，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ．4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ． 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC C . 9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．2．（2023∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ． (1)求sin B 的值； (2)求c 的值； (3)求()sin B C -的值．3．（2022∙天津∙高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.4．（2021∙天津∙高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =． （I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2020∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．（2020∙浙江∙高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．8．（2020∙江苏∙高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． (1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．考点05 三角形中的证明问题1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+2．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.参考答案考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积． 条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)2π3A =； (2)选择①无解；选择②和③△ABC【详细分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【答案详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角， 则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a BA A ===，解得sin 2A =， 因为A 为钝角，则2π3A =. （2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B π=， 此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ，解得sin C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==， 则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】(1)1(2)4【详细分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【答案详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===，解得：1bc =．（2）由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯△．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积. 【答案】(1)14；【详细分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BCcos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得sin 14B =； (2)由题意可得4ABDACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积. 【答案详解】（1）由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A ==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =222cos 214a c b B ac +-===，sin ABC ∠==（2）由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△△. 4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】；(2)22．【详细分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab +-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【答案详解】（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin 45A C ==． （2）因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a aa b c C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．5．（2019∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2). 【详细分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【答案详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-， 此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==， 此时就有sin cossin sin 2BA AB =，即cos sin 2B B =，再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】 由解法1得sin sin 2A CB +=， 两边平方得22sinsin 2A CB +=，即21cos()sin 2A CB -+=． 又180A BC ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=， 进一步整理得22cos cos 10B B +-=， 解得1cos 2B =，因此3B π=． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】 根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >， 消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02A C π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=， 而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=， 又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为ABC 是锐角三角形，又3B π=，所以,6262A C ππππ<<<<， 则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 24sin 4sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅=⋅=⋅=22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=． 因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，则1tan C ∈，从而ABC S ⎝⎭∈ ，故ABC面积的取值范围是82⎫⎪⎪⎝⎭． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知ABC的面积4ABC S a =△． 因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以22221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩， 又由余弦定理得221b a a =+-，所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是⎝⎭． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC 中，过点A 作1AC BC ⊥，垂足为1C ，作2AC AB ⊥与BC 交于点2C ． 由题设及（1）知ABC的面积ABC S =△，因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos cc B a B⋅<<， 即1cos3cos 3a ππ<<，即122a <<，所以82ABC S << ， 故ABC面积的取值范围是82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.6．（2017∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（2【答案详解】试题详细分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan A = 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1）sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =. (2)2222cos c b a ab C =+-Q，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==7．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 6222∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.8．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）25；（2）9 【答案详解】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.9．（2015∙全国∙高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积． 【答案】（1）14；（2）1 【答案详解】试题详细分析：（1）由2sin 2sin sin B A C =，结合正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出cos ;B（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22b ac = 又a b =，可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==（2）由（1）知22b ac =因为90B = ，由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=，得c a == 所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形10．（2015∙山东∙高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆【答案详解】试题详细分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长． 【答案】(1)π6A =(2)2+【详细分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【答案详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A == ，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==， 则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-， 又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=， 由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c == 故ABC的周长为2+2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC的面积为3c ． 【答案】(1)π3B =(2)【详细分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【答案详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===， 因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =， 注意到()0,πB ∈， 所以π3B =. （2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cbc +====， 由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅⋅= ， 由已知ABC的面积为323=所以c =3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =． (1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ． 【答案】(2)2b c ==.【详细分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a ，作出BC 边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【答案详解】（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠， 即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =cos 14B ==，sin B ===，所以sin tan cos 5B B B ==. 方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADC =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E，于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==. （2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又11sin 2ADC S ADC =⨯∠ sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若sin sin 3A C =，求b ． 【答案】(2)12【详细分析】（1）先表示出123,,S S S，再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【答案详解】（1）由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===，则222123S S S -+==， 即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B == ； （2）由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则229sin sin sin sin sin 43b ac ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14【详细分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【答案详解】（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-， 所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+；（2）解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)6+【详细分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【答案详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=.7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【详细分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． 【答案详解】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5． 8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC =2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【详细分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一 ：将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【答案详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == （2）[方法一]：多角换一角 30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)22C C C ==+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及150B =︒得22sin sin sin ====a c bR b A C B．故sin ,sin 22==a c A C b b ．由sin 2A C =，得a +=．又由余弦定理得22222cos =+-⋅=+b a c ac B a 2+c ，所以()222()2=++a a c ，解得a c =．所以15=︒C ．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【详细分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【答案详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===，所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤，当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，易知当6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.10．（2018∙全国∙高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠； （2）若DC =，求BC . 【答案】（1）5；（2）5. 【详细分析】（1）方法一：根据正弦定理得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos 5ADB ∠==；（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD △中，根据余弦定理即可求出．【答案详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠，代入数值并解得sin 5ADB ∠=．又因为BD AB >，所以A ADB ∠>∠，即ADB ∠为锐角，所以cos 5ADB ∠=． ［方法2］：余弦定理在ABD △中，2222cos 45BD AB AD AB AD =+-⋅ ，即2254222AD AD =+-⨯⨯⨯，解得：AD =所以，2254cos5ADB +-∠==． ［方法3］：【最优解】利用平面几何知识如图，过B 点作BE AD ⊥，垂足为E ，BF CD ⊥，垂足为F ．在Rt AEB 中，因为45A ∠=︒，=2AB ，所以AE BE ==．在Rt BED △中，因为5BD =，则DE ===．所以cos ADB ∠=［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA为y 轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．设BDC α∠=，则(5cos ,5sin )B αα．因为45A ∠=︒，所以(0,5sin A α．从而2AB ==，又α是锐角，所以cos 5α=，cos sin ADB α∠===（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，cos 5ADB ∠=，()2222cos 90BC BD DC BD DC ADB︒=+-⋅-∠2252525ADB =+-⨯⨯∠=，所以=5BC ．［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，BF =FC =，由勾股定理得=5BC ．【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法； 方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现． （2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法． 方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．11．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3【答案详解】试题详细分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +故ABC 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.12．（2017∙山东∙高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】34A π=，a =【答案详解】试题详细分析：先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析：因为6AB AC ⋅=-， 所以cos 6bc A =-， 又3ABC S =△， 所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =， 又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(a =+-⨯⨯，所以a = 【考点】解三角形【名师点评】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．13．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【答案详解】试题详细分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．14．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.15．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角 A ，B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，已知 4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求 b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.【答案详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式 子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin 5C =，cos 5C =，又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴sin B =3c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.16．（2015∙山东∙高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()39B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】,1.3【详细分析】由条件先求得sin sin C A ，，再由正弦定理即可求解.【答案详解】在ABC 中，由cos 3B =，得sin 3B =.因为A B C π++=，所以sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，cos 9C =，因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+39393=⨯+⨯=.由sin sin a c A C =，可得sin sin 9cc A a C ===，又ac =1c =.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【答案】(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【答案详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由（2）法一知sin 16B =，。
2020高考英语全国卷语法填空汇编改编 含答案
语法填空专项1. 【2020·全国卷I】China has become the first country to land a spacecraft on the far side of the moon. The unmanned Chang’e-4 probe (探测器) - the name was inspired by an ancient Chinese moon goddess 61 touched (touch) down last week in the South Pole-Aitken basin. Landing on the moon’s far side is 62 extremely (extreme) challenging. Because the moon’s body blocks direct radio communication with a probe, China first had to put a satellite in orbit above the moon in a spot 63 where it could send signals to the spacecraft and to Earth. The far side of the moon is of particular 64 interest (interesting) to scientists because it has a lot of deep craters (环形山)，more so 65 than the familiar near side. Chinese researchers hope to use the instruments onboard Chang’e-4 66 to find (find) and study areas of the South Pole-Aitken basin. ＂This really excites scientists,＂Carle Pieters, a scientist at Brown University, says, ＂because it 67 means (mean) we have the chance to obtain information about how the moon 68 is constructed (construct)＂Data about the moon’s composition, such as how 69 much ice and other treasures it contains, could help China decide whether 70 its (it) plans for a future lunar (月球的) base are practical.2. 【2020·全国卷II】改Decorating with Plants, Fruits and Flowers for Chinese New Year Chinese New Y ear is a celebration 61 marking (mark) the end of the winter season and the beginning of spring. This is why decorating with plants, fruits and flowers 62 carries (carry) special significance. They represent the earth coming back to life and best wishes for new 63 beginnings (begin).These are some of the most popular in many parts of the country:Oranges: Orange trees are more 64 than decoration; they are a symbol of good fortune and wealth. They make great gifts and you see them many times 65 decorated (decorate) with red envelopes and messages of good fortune.Bamboo: Chinese love their “Lucky Bamboo” plants and you will see them often in their homes and offices. 66 Certainly (certain) during the holiday period, this plant is a must. Bamboo plants are associated with health, abundance and a happy home. They are easy to care 67 for and make great presents.Branches of Plum Blossoms (梅花): The beautiful long branches covered with pink-colored buds (蓓蕾) make 68 fantastic (fantasy) decorations. The plum trees are 70 the first to flower even as the snow is 69 melting (melt). They represent the promise of spring and a renewal of life.2. 【2020·全国卷III】改In ancient China lived an artist 61. __whose______ paintings were almost lifelike. The artist's reputation had made him proud. One day the emperor wanted to get his portrait (画像) done so he called all great artists to come and present their 62.___finest_____ (fine) work, so that he could choose the best. The artist was sure he would. 63.___be chosen___ (choose), but when he presented his masterpiece to the emperor's chief minister, the old man laughed. The wise old man told him to travel to the Li River - perhaps he could learn a little from the greatest artist in the world.Filled with 64. __curiosity__ (curious), the artist packed his bags and left.65.__When / As____ he asked the villagers on the banks of the river where he could find the legendary (传奇的) artist, they smiled and pointed down the river. The next morning he hired a boat and set out 66.__to find___ (find) the well-known painter. As the small boat moved. 67.__gently______ (gentle) along the river he was left speechless by the mountains being silently 68.__reflected (reflect) in the water. He passed milky white waterfalls and mountains in many shades of blue; And when he saw the mists rising from the river and the soft clouds 69._surrounding__ (surround) the mountain tops, he was reduced 70.___to__ tears. The artist was finally humbled(谦卑) by the greatest artist on the earth, Mother Nature.。
2020年高考语文必刷卷分类汇编：名句名篇默写专题(全国通用版)(含解析)
名句名篇默写专题全国通用版2020年高考语文必刷卷1（三）名篇名句默写（本题共1小题，6分）16．补写出下列句子中的空缺部分。
（6分）（1）孔子在《论语》中的“，”两句说明了学习与思考是相辅相成的，只有将两者结合起来，方能学到切实有用的真知。
（2）苟子在《劝学》中用“木受绳”“金就砺”作类比，从而得出了“，”的结论。
（3）杜甫《登高》中“，”两句诗意深沉，十四字含有八层意思，极写了诗人的羁旅之愁和孤独之感。
【答案】（1）学而不思则罔思而不学则殆（2）君子博学而日参省乎己则知明而行无过矣（3）万里悲秋常作客百年多病独登台（每空1分）【解析】考查理解性默写这种类型，要求考生平时既要注意记忆、积累，同时在此基础上加以理解、应用和赏析。
情境默写成为近几年高考默写的一种新方式，考生要注意在平时背诵文章时注意理解文章的大意。
注意字形复杂字，要在平时默写时反复写。
注意重点字词的写法，如“罔”“殆”“己”“知”等字，默写时要写准确。
全国通用版2020年高考语文必刷卷2（三）名篇名句默写（本题共1小题，6分）16．补写出下列句子中的空缺部分。
（6分）（1）在《离骚》中，面对污浊的、看不到希望的环境，屈原感到烦闷忧郁，潦倒失意，孤独而走投无路，他发出了痛苦而无奈的浩叹：“，。
”（2）辛弃疾在《永遇乐·京口北周亭怀古》中写古代英雄叱咤风云、驰骋疆场的两句是“，”。
（3）杜甫的《春望》“”是说“家书”的珍贵，因为是在“”的特殊时期，反映出广大人民反对战争、期望和平安定的美好愿望。
【答案】（1）忳郁邑余侘傺兮吾独穷困乎此时也（2）金戈铁马气吞万里如虎（3）家书抵万金烽火连三月（每空1分）【解析】本题考查默写名句名篇的能力，解题时必须注意语意的提醒，从理解内容方面入手，不要死记硬背。
名句默写分为两大类，一是给出语境的理解性默写，二是给出上句出下句的直接默写。
此类试题解答时，默写要注意字形，而字形和字义分不开，学生应借助字义来识别字形。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)语文及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）语文一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成后面各题。
诸子之学，兴起于先秦，当时一大批富有创见的思想家喷涌而出，蔚为思想史之奇观。
在狭义上，诸子之学与先秦时代相联系；在广义上，诸子之学则不限于先秦而绵延于此后中国思想发展的整个过程，这一过程至今仍没有终结。
诸子之学的内在品格是历史的承继性以及思想的创造性和突破性。
“新子学”，即新时代的诸子之学，也应有同样的品格。
这可以从“照着讲”和“接着讲”两个方面来理解。
一般而言，“照着讲”主要是从历史角度对以往经典作具体的实证性研究，诸如训诂、校勘、文献编纂，等等。
这方面的研究涉及对以往思想的回顾、反思，既应把握历史上的思想家实际说了些什么，也应总结其中具有创造性和生命力的内容，从而为今天的思考提供重要的思想资源。
与“照着讲”相关的是“接着讲”，从思想的发展与诸子之学的关联看，“接着讲”接近诸子之学所具有的思想突破性的内在品格，它意味着延续诸子注重思想创造的传统，以近代以来中西思想的互动为背景，“接着讲”无法回避中西思想之间的关系。
在中西之学已相遇的背景下，“接着讲”同时展开为中西之学的交融，从更深的层次看，这种交融具体展开为世界文化的建构与发展过程。
中国思想传统与西方思想传统都构成了世界文化的重要资源，而世界文化的发展，则以二者的互动为其重要前提。
这一意义上的“新子学”，同时表现为世界文化发展过程中创造性的思想系统。
相对于传统的诸子之学，“新子学”无疑获得了新的内涵与新的形态。
“照着讲”和“接着讲”二者无法分离。
从逻辑上说，任何新思想的形成，都不能从“无”开始，它总是基于既有的思想演进过程，并需要对既有思想范围进行反思批判。
“照着讲”的意义，在于梳理以往的思想发展过程，打开前人思想的丰富内容，由此为后继的思想提供理论之源。
在此意义上，“照着讲”是“接着讲”的出发点。
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工艺流程
1.(1). 加快酸浸和氧化反应速率（促进氧化完全）
VO+Mn2++H2O(4). Mn2+(5). Fe3+、Al3+ (2). Fe2+(3). VO++MnO2+2H+=+
2
(6). Fe(OH)3
(7). NaAlO2+HCl+H2O=NaCl+Al(OH)3↓或Na[Al(OH)4]+HCl= NaCl+Al(OH)3↓+H2O
(8). 利用同离子效应，促进NH4VO3尽可能析出完全
Al(OH)-+H+=Al(OH)3↓+H2O
2．（1）除去油脂，溶解铝及其氧化物
4
（2）Ni2+、Fe2+、Fe3+ （3）O2或空气Fe3+
（4）0.01×(107.2−14)2[或10−5×(108.7−14)2] 3.2~6.2
（5）2Ni2++ClO−+4OH−=2NiOOH↓+ Cl−+H2O （6）提高镍回收率
实验大题
1.(1). 烧杯、量筒、托盘天平(2). KCl(3). 石墨(4). 0.09mol/L
(5). Fe3++e-=Fe2+(6). Fe-2e-=Fe2+(7). Fe3+(8). Fe
(9). 取活化后溶液少许于试管中，加入KSCN溶液，若溶液不出现血红色，
说明活化反应完成
2.（1）B （2）球形无油珠说明不溶于水的甲苯已经被完全氧化
（3）除去过量的高锰酸钾，避免在用盐酸酸化时，产生氯气
MnO-+5H2C2O4+6H+=2Mn2++10CO2↑+8H2O
2
4
（4）MnO2 （5）苯甲酸升华而损失（6）86.0％ C （7）重结晶3．（1）圆底烧瓶饱和食盐水
（2）水浴加热Cl2+2OH−=ClO−+Cl−+H2O 避免生成NaClO3
（3）吸收尾气（Cl2）AC （4）过滤少量（冷）水洗涤（5）紫小于
化学反应原理
1. (1). 2V 2O 5(s)+ 2SO 2(g)⇌ 2VOSO 4(s)+ V 2O 4(s) ∆H = -351 kJ∙mol -1 (2). 0.975 (3). 该反应气体分子数减少，增大压强，α提高。
所以，该反应在550℃、
压强为5.0MPa ＞2.5MPa ＝p ２的，所以p 1=5.0MPa (4)
. 反应物（N 2和O 2）的起始浓度（组成）、温度、压强 (5).
2m 100m p
αα
-
(5)
.
()
0.5
1.5
1100mp m α
αα⎛⎫- ⎪-⎝⎭
(7). 升高温度，k 增大使v 逐渐提高，但α降低使v 逐渐下降。
当t ＜t m ，k 增大对v 的提高
大于α引起的降低；当t ＞t m ，k 增大对v 的提高小于α引起的降低
2.（1）Na + a （2）10-7.5 （3）2Cl 2+HgO=HgCl 2+Cl 2O （4）1.25 NaHCO 3+NaHSO 4=CO 2↑+Na 2SO 4+H 2O （5）ClO -+Cl -+2H +=Cl 2↑+ H 2O 203
3.（1）①137 ②升高温度 减小压强（增大体积）
③
(1)
p (2)(1)
αααα+⨯+-
（2）①1－α
②AD （3）①CO 2+2e −=CO+O 2− ②6∶5
4.（1）1∶4 变大 （2）d c 小于 （3）3
9140.039⨯或
43620.39
0.39140.390.10.39()
3
⨯
⨯⨯等 （4）选择合适催化剂等
物质结构
1. (1). 4:5 (2). Na 与Li 同主族，Na 的电子层数更多，原子半径更大，故第一电离能更小 (3) . Li ，Be 和B 为同周期元素，同周期元素从左至右，第一电离能呈现增大的趋势；但由
于基态Be 原子的s 能级轨道处于全充满状态，能量更低更稳定，故其第一电离能大于B (4). 正四面体形 (5). 4 (6). sp 3 (7). 4 (8). 3
16
或0.1875 (9). 13:3 2.（1）1s 22s 22p 63s 23p 63d 24s 2
（2）TiF 4为离子化合物，熔点高，其他三种均为共价化合物，随相对分子质量的增大分子间
作用力增大，熔点逐渐升高 （3）O ＞Ti ＞Ca
离子键
12 （4）Ti 4+
sp 3
213
A
620
10⨯⨯a N （5）2Eu 3++Pb=2Eu 2++Pb 2+、2Eu 2++I 2=2Eu 3++2I −
3．（1）B Si （硅） （2）配位 N sp 3 sp 2 （3）N ＞H ＞B CH 3CH 3 低 H δ+与H δ−的静电引力 （4）30A 62
10N abc -⨯
有机化学基础
1. (1). 三氯乙烯 (2). +KOH Δ
→
醇+KCl+H 2O
(4) . 碳碳双键、氯原子 (4). 取代反应 (5).
(6). 6 (7).
2．（1）3-甲基苯酚（或间甲基苯酚）（2）（3）
（4）加成反应
（5）（6）c
3.（1）2−羟基苯甲醛（水杨醛）（2）
（3）乙醇、浓硫酸/加热（4）羟基、酯基2
（5）
（6）随着R'体积增大，产率降低；原因是R'体积增大，位阻增大。