幂函数、指函数与对函数
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
指数函数幂函数对数函数知识点总结
指数函数幂函数对数函数知识点总结一.指数函数指数函数是一种特殊的函数形式，其中自变量位于指数的上方。
指数函数的一般形式为：$y=a^x$。
在指数函数中，底数$a$是一个正实数，且$a\ne q1$。
1.指数函数的性质指数函数的增长特性-：当底数$a$大于1时，指数函数呈现增长趋势，随着自变量$x$的增大，函数值$y$也随之增大。
当底数$a$在0和1之间时，指数函数则呈现递减趋势。
指数函数的定义域和值域-：指数函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
根据底数$a$的不同，指数函数的值域也有所不同。
若底数$a>1$，则值域为$(0,+\in ft y)$；若底数$0<a<1$，则值域为$(-\in ft y,+\in fty)$。
指数函数的奇偶性-：当底数$a>0$且$a\n eq1$时，指数函数为奇数函数。
2.指数函数的图像指数函数的图像特点也与底数$a$的取值有关：-当底数$a>1$时，指数函数的图像呈现增长趋势，在原点左侧逐渐接近$y=0$轴，右侧逐渐趋近于正无穷。
-当底数$0<a<1$时，指数函数的图像呈现递减趋势，在原点左侧呈现正无穷，右侧逐渐接近$y=0$轴。
二.幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其中底数固定为正整数。
幂函数的一般形式为：$y=x^n$。
1.幂函数的性质幂函数的增长特性-：当指数$n$为正整数时，幂函数呈现增长趋势。
若$n$为奇数，则幂函数随自变量$x$的增大而增加；若$n$为偶数，则幂函数随着自变量$x$的增大或减小而增加。
幂函数的定义域和值域-：幂函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
幂函数的值域则根据指数$n$的奇偶性而定。
若$n$为奇数，则值域为$(-\i nf ty,+\i nf t y)$；若$n$为偶数，则值域为$[0,+\in ft y)$。
指、对、幂函数
专题：指、对、幂函数一、知识点总结(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。
指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ⋅=+=-=>≠>>=>≠⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=>≠>⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩⎩为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x αα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎨⎪⎩⎩幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。
性质：见表2对数运算公式1、x N N a a x=⇔=log ； 2、a aNa =log . 3、01log =a ，1log =a a .4、当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a na log log =. 5、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 6、ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a .二、课前热身1. 计算：33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++=_______________2. 若函数f (x )＝a |x －2|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝13，则f (x )的单调递减区间是________3. 设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是_______________4. 方程|3x－1|＝k 有两解，则k 的范围为________5. 设1a >，函数log a y x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =________ 6. 若函数f (x )＝xa －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a =________7. 已知12,x x-+=则1122x x-+=8. 设)0(2)log (2>=x x f x ,则=)log (232f三、典例分析 例1：计算：（1）11203217(0.027)()(2)1)79----+-；（2）132123321().40.1()a b --- （3）2lg 225lg 5.02161.1230++-+-；（4）2log 43774lg 25lg 327log +++【变式演练】（1）已知1>>b a 且310log log =+a b b a ，求a b lob b a log -的值。
第6节 幂函数、指数函数、对数函数
第6节幂函数、指数函数、对数函数考试要求 1.了解幂函数的概念，掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象和性质；2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用；3.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a<1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.[常用结论与易错提醒]1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线x＝t>1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；(2)指数函数图象的分布规律：作一直线x＝t>0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；(3)对数函数图象的分布规律：作一直线y＝k>0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)幂函数y＝x0与常值函数y＝1图象相同.()(2)函数y＝2x 13是幂函数.()(3)y＝2x－1是指数函数，y＝log a(x2＋1)(a>0，且a≠1)是对数函数.()(4)函数y＝ln x＋1x－1与y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域相同.()解析(1)错误，y＝1的图象去掉点(0，1)才是y＝x0的图象；(2)错误，因为x 13的系数不是1；(3)错误，y＝2x－1＝12·2x，2x前面的系数不为1，y＝log a(x2＋1)(a>0且a≠1)，真数为x2＋1而不是单自变量x.(4)错误，y＝ln x＋1x－1的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，而y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域为(1，＋∞)，故函数的定义域不同.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝1a x，y＝log a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12(a>0，且a≠1)的图象可能是()解析 当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减， 于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减.因此，选项D 中的两个图象符合.当a >1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增， 于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，函数 y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增.显然A ，B ，C ，D 四个选项都不符合. 故选D. 答案 D3.(一题多解)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析 法一 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.法二 由图可知，y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c (c ＞0)个单位而得到的，其中0＜c ＜1，再根据单调性易知0＜a ＜1. 答案 D4.(2019·北京昌平区二模)已知幂函数f (x )＝x α(α是实数)的图象经过点(2，2)，则f (4)的值为________.解析 幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，2)， 所以f (2)＝2α＝2，解得α＝12， 所以f (x )＝x 12，则f (4)＝4＝2. 答案 25.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________.解析 由⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合. 答案 1或26.当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x －3－2必过定点________，其值域为________. 解析 函数f (x )＝a x －3－2的图象是将函数y ＝a x 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f (x )＝a x －3－2必过定点(3，－1)，其值域为(－2，＋∞).答案 (3，－1) (－2，＋∞)考点一 幂函数【例1】 (1)(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________. (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A.－3 B.1 C.2D.1或2解析 (1)由f (x )为奇函数，所以α＝－1，1，3，又在(0，＋∞)上为递减可知α＝－1.(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎨⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1. 答案 (1)－1 (2)B规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2 (2)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b(3)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C.(－1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)因为a ＝243＝423，b ＝323，c ＝523，又y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . (3)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎨⎧2m＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m <2.答案 (1)C (2)A (3)D 考点二 指数函数【例2】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2). (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.规律方法 (1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.(2)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；③当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练2】 (1)(2020·杭州二中检测)已知0<a <b <1，则( ) A.(1－a )1b >(1－a )bB.(1－a )b>(1－a )b2 C.(1＋a )a >(1＋b )bD.(1－a )a >(1－b )b(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________.(3)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)因为0<a <b <1，所以0<1－b <1－a <1，则(1－a )a >(1－a )b >(1－b )b ，故选D.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27； 当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27].(3)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案 (1)D (2)(－∞，27] (3)[－1，1] 考点三 对数函数【例3】 已知函数f (x )＝log a (ax 2－x ). (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[2，4]上是增函数，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－x ，由12x 2－x >0，得x 2－2x >0，解得x <0或x >2， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 结合图象可得函数的单调递减区间为(2，＋∞)， 单调递增区间为(－∞，0). (2)令g (x )＝ax 2－x ，则函数g (x )的图象为开口向上、对称轴为x ＝12a 的抛物线， ①当0<a <1时，要使函数f (x )在区间[2，4]上是增函数， 则g (x )＝ax 2－x 在[2，4]上单调递减，且g (x )min >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，此不等式组无解. ②当a >1时，要使函数f (x )在区间[2，4]上是增函数， 则g (x )＝ax 2－x 在[2，4]上单调递增，且g (x )min >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，g （2）＝4a －2>0，解得a >12， 又a >1，所以a >1，综上可得a >1. 实数a 的取值范围为(1，＋∞).规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)(2019·天津卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b(2)(一题多解)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.(1，2) D.(2，2)(3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，0<x ≤10，f （20－x ），10<x <20.设方程f (x )＝t (t ∈R )的四个不等实根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则下列判断中错误的是( ) A.x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝40 B.x 1x 2＝1 C.x 3x 4＝361D.x 3x 4－20(x 3＋x 4)＋399＝0解析 (1)因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5.因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.(2)法一 由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示).当a >1时，不符合题意，舍去.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.法二 ∵当0＜x ≤12时，1＜4x ≤2，要使4x ＜log a x ， 必须2＜log a x ，∴⎩⎨⎧0＜a ＜1，log a a 2＜log ax ，即⎩⎨⎧0＜a ＜1，a 2＞x 对0＜x ≤12恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 2＞12，解得22＜a ＜1. (3)由题意知函数f (x )的图象关于直线x ＝10对称，且x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝2×10，ln x 1＝－ln x 2，ln(20－x 3)＝－ln(20－x 4)，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝40，x 1＝1x 2，20－x 3＝120－x 4，化简得x 1x 2＝1，x 3x 4－20(x 3＋x 4)＋399＝0，故选C. 答案 (1)A (2)B (3)C基础巩固题组一、选择题1.已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( ) A.1，3 B.－1，1 C.－1，3D.－1，1，3解析 因为函数y ＝x α为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y ＝x －1的值域为{y |y ≠0}，函数y ＝x ，y ＝x 3的值域都为R .所以符合要求的α的值为1，3. 答案 A2.(2019·浙江新高考仿真卷五)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，若a ＞b ＞1，则一定有( )A.log a x ＞log b yB.sin a x ＞sin b yC.ay ＞bxD.a x ＞b y解析 当x ＞y ＞0，a ＞b ＞1时，由指数函数的性质易得a x ＞a y ＞b y ，故选D. 答案 D3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a >b ，则( ) A.ln(a －b )>0 B.3a <3b C.a 3－b 3>0D.|a |>|b |解析 法一 由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.故选C.法二 当a ＝0.3，b ＝－0.4时，ln(a －b )<0，3a >3b ，|a |<|b |，故排除A ，B ，D.故选C. 答案 C4.(2019·诸暨期末)若函数f (x )满足f (x )≤x 2且f (x )≤2x (x ∈R )，则( ) A.若f (a )≤b 2，则a ≥b B.若f (a )≤2b ，则a ≤b C.若f (a )≥b 2，则a ≤bD.若f (a )≥2b ，则a ≥b解析 若f (a )≥2b ，则由f (x )≤2x 得f (a )≤2a ，则2b ≤2a ，则a ≥b ，故选D. 答案 D5.若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( ) A.14B.22C.24D.12解析 因为0＜a ＜1，所以f (x )在[a ，2a ]上是减函数.所以f (x )max ＝f (a )＝log a a ＝1，f (x )min ＝f (2a )＝log a (2a )＝1＋log a 2，由题意知1＝3(1＋log a 2)，即log a 2＝－23， 所以a ＝24. 答案 C6.若a －2>a 2(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x －1)的图象大致是( )解析 因为a －2>a 2(a >0且a ≠1)，所以0<a <1，则函数f (x )＝log a (x －1)的图象可以看作是由函数y ＝log a x 的图象向右平移一个单位长度得到的，观察各选项，只有C 选项符合，故选C.答案 C7.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x>0时，f(x)>0，从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，则2<log25.1<3，所以0<20.8<log25.1<3，g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，所以b<a<c，故选C.答案 C8.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x)B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x)D.y＝ln(2＋x)解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).故选B.法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.答案 B9.下列命题正确的是()A.若ln a－ln b＝a－3b，则a>b>0B.若ln a－ln b＝a－3b，则0<a<bC.若ln a－ln b＝3b－a，则a>b>0D.若ln a－ln b＝3b－a，则0<a<b解析若ln a－ln b＝3b－a，则a>0，b>0，所以ln a＋a＝ln b＋3b>ln b＋b，设f(x)＝ln x＋x，则易得函数f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>b>0，C正确，故选C. 答案 C 二、填空题10.(2018·上海卷)设常数a ∈R ，函数f (x )＝log 2(x ＋a ).若f (x )的反函数的图像经过点(3，1)，则a ＝________.解析 由题意可知f (x )经过(1，3)，log 2(1＋a )＝3，a ＝7. 答案 711.方程2x ＝2－x 的解的个数是________.解析 方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 112.已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________. 解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e13.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1，1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.答案 (－1，0)14.(2019·浙江三校三联)函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)，则f (x )的单调递增区间为________，值域为________.解析 令3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，所以函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)的定义域为(－3，1).因为函数f (u )＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，函数u (x )＝3－2x －x 2在(－3，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)的单调递增区间为(－3，－1).由x ∈(－3，1)得u (x )∈(0，4]，所以f (u )＝log 2u ∈(－∞，2]，故f (x )的值域为(－∞，2]. 答案 (－3，－1) (－∞，2]能力提升题组15.(2016·浙江卷)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R .( ) A.若f (a )≤|b |，则a ≤b B.若f (a )≤2b ，则a ≤b C.若f (a )≥|b |，则a ≥b D.若f (a )≥2b ，则a ≥b解析 由题意得f (a )≥|a |，∴A 项中由不等式传递性可知|a |≤|b |，不能得到a ≤b ，A 错误.∵f (a )≥2a ，∴B 项中有2a ≤f (a )≤2b ，∴a ≤b ，故B 正确.C ，D 选项无法确定.故选B. 答案 B16.(2020·浙江新高考仿真卷一)已知f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a ＞0，a ≠1)满足：对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0恒成立，则a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(1，23)C.(23，＋∞)D.(0，1)解析 因为对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0恒成立，则在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递减，由x 2－ax ＋3在x ＝a 2上有意义，且为最小值知函数f (x )的定义域为R ，由(－a )2－4×3＜0解得－23＜a ＜23，又因为a 为对数函数的底数，函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递减，函数y ＝x 2－ax ＋3在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递减，所以函数y ＝log a x 在定义域上单调递增，所以1＜a ＜23，即实数a 的取值范围为(1，23)，故选B. 答案 B17.(2020·嵊州适考)已知函数f (x )＝|ln x |＋x ，若f (x 1)＝f (x 2)，其中x 1≠x 2，则( ) A.x 1＋x 2<2 B.x 1＋x 2>2 C.1x 1＋1x 2<2 D.1x 1＋1x 2>2解析 根据题意不妨设0<x 1<1<x 2，则由f (x 1)＝f (x 2)，得－ln x 1＋x 1＝ln x 2＋x 2，即ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)＝x 1－x 2<0，所以0<x 1x 2<1.因为x 1＋x 2>2x 1x 2，所以1x 1＋1x2＝x 1＋x 2x 1x 2>2x 1x 2>2，故选D.答案 D18.已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解之得1<a <83.若0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故a 不存在. 综上可知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，8319.(2018·上海卷)已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15，若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________. 解析 由题意知2p 2p ＋ap ＋2q2q ＋aq ＝1，∴2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，∴a ＝6.答案 620.若f (x )＝a （2x ＋1）－22x ＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为________，f (x )的值域为________.解析 ∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∴2a －22＝0，解得a ＝1，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1.∵2x ＋1>1，∴0<22x ＋1<2，∴－1<1－22x ＋1<1，∴f (x )的值域为(－1，1). 答案 1 (－1，1)。
高中数学第6章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数高一第一册数学
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(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；
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探
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(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究
素 养
其它象限的图象．
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2．幂函数在第一象限的图象与性质
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究 释
(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函
作 业
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学 探 新 知
∴1312>1412．
提 素 养
(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数， 课
合 作 探
且－23<－35，
时 分 层
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∴－23－1>－53－1．
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(3)0.25－14＝14－14＝212，
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2．幂函数的图象和性质
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情
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提
高考复习-指、对、幂函数的综合应用
指、对、幂函数的综合应用知识集结知识元指数与指数函数知识讲解1．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．2．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【知识点归纳】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x ＝，x ＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．3．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝a x a＞1 0＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝a x与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．4．指数型复合函数的性质及应用【知识点归纳】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．例题精讲指数与指数函数例1.已知函数f（x）=e x-a+e-x+a（其中e是自然对数的底数）．若3a=log3b=c，且c>1，则（）A．f（a）<f（b）<f（c）B．f（b）<f（c）<f（a）C．f（a）<f（c）<f（b）D．f（c）<f（b）<f（a）例2.设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A．不存在B．有且只有一条C．至少有两条D．有无数条例3.若函数y=a x+b-1（a>0且a≠1）的图象经过一、三、四象限，则正确的是（）A．a>1且b<1B．0<a<1且b<0C．0<a<1且b>0D．a>1且b<0对数与对数函数知识讲解1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．2．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．3．对数函数的图象与性质【知识点归纳】例题精讲对数与对数函数例1.已知a=2-0.3，b=log20.3，c=log0.50.3，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b例2.已知函数f（x）在R上是增函数，设，则下列不等式成立的是（）A．f（b）>f（a）>f（c）B．f（c）>f（a）>f（b）C．f（c）>f（b）>f（a）D．f（a）>f（c）>f（b）例3.设，则下列正确的是（）A．a>c>b B．c>a>bC．c>b>a D．a>b>c幂函数知识讲解1．幂函数的概念、解析式、定义域、值域【知识点归纳】幂函数的定义：一般地，函数y＝x a叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝x a＝定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．2．幂函数的图象【知识点归纳】3．幂函数的性质【知识点归纳】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．4．幂函数的单调性、奇偶性及其应用【知识点归纳】一、幂函数定义：一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝x a，其中a是常数．二、幂函数与指数函数的对比式子名称a x y指数函数：y＝a x底数指数幂值幂函数：y＝x a指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x﹣1定义域R R R[0，+∞）{x|x≠0} 值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）0）0）0）0）四、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．例题精讲幂函数例1.若幂函数y=f（x）的图象过点，则f（x）在定义域内（）A．有最小值B．有最大值C．为减函数D．为增函数例2.已知函数f（x）=log a（x-+1）+2（a>0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在幂函数g （x）的图象上，则g（x）的表达式为（）A．g（x）=x2B．C．g（x）=x3D．例3.已知y=（m2+m-5）x m是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（）A．-3 B．2 C．-3或2 D．3当堂练习单选题练习1.幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），B（8，m），则m=（）A．4 B．2C．2 D．练习2.已知函数f（x）=（m2-m-1）x是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m=（）A．-1 B．2 C．3 D．2或-1练习3.已知幂函数f（x）过点（2，4），则f（3）的值为（）A．6 B．8 C．9 D．12练习4.幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（3）=（）C．3 D．-3A．B．练习5.若幂函数f（x）=（m2-3m-3）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．4 B．-1 C．2 D．-1或4练习6.若幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），则f（4）=（）A．-B．C．D．2练习7.若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为（）A．（-2，+∞）B．（1，+∞）C．（-1，+∞）D．（2，+∞）填空题练习1.若P（2，8）在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=____．练习2.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（），则k+m=___．练习3.已知幂函数f（x）=xα（0<α<1）满足，则f（4）=___．练习4.若点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y=f（x）的图象上，则实数y0=___．练习5.若f（x）=（m-1）2x m是幂函数且在（0，+∞）单调递增，则实数m=___．练习6.若f（x）为幂函数，且满足，则f（3）=___．解答题练习1.'已知a∈R，函数f（x）=log2（a+）。
指数函数,对数函数与幂函数
指数函数,对数函数与幂函数1.指数函数指数函数是数学中一个非常重要的概念，在许多自然科学和社会科学领域都有广泛的应用。
指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的特点是底数和指数的变化会对函数图像产生显著的影响。
1.1底数变化对图像的影响当底数a>1时，指数函数的图像呈现出“增长”的趋势，具有上凸的形状；当0<a<1时，指数函数的图像则呈现出“衰减”的趋势，具有下凸的形状。
1.2指数变化对图像的影响当指数x增大时，可以看出指数函数的值迅速增加或减小，这就是指数函数的“指数增长”或“指数衰减”。
这种增长或衰减速度是非常快的，甚至可以说是“爆炸性的”。
1.3应用举例指数函数在自然科学中应用非常广泛，例如在化学反应中，我们可以利用指数函数来描述反应速率的变化；在生物学中，指数函数可用于描述生物种群的增长和衰减趋势；在工程学中，指数函数也可以用来表示物体的温度、光强度等特征随时间变化的规律。
2.对数函数对数函数是数学中另一个非常重要的概念。
对数函数的一般形式为y=loga x，其中a为底数，x为被求对数的数，而y则表示底数为a时，x的对数值。
对数函数与指数函数是非常相关的，因为两者是互相反转的运算。
2.1底数变化对图像的影响当底数a>1时，对数函数的图像增长非常缓慢，在x轴右侧有一个水平的渐近线；当0<a<1时，对数函数的图像下降非常缓慢，在x轴右侧也有一个水平的渐近线。
2.2负数和零的情况在对数函数中，负数和零都是没有意义的，因为无法把它们表示为任何正数的幂，也无法得到它们的对数值。
因此，在对数函数中只考虑正数。
2.3应用举例对数函数在实践中也有广泛的应用。
例如在物理学中，对数函数可用于描述声音的强度、光线的亮度、辐射的强度等特征的变化；在金融学中，对数函数可以用来计算资金的复利增长；在计算机科学中，对数函数的底数通常为2，被广泛用于算法的时间复杂度分析等方面。
幂函数、指函数与对函数
y=x2 y=x3 y x 2 y=x-1
定义域 R
R
R [0, ) x | x 0
值 域 R [0, ) R [0, )y | y 0
单调性
奇偶性 奇 偶 奇 非 奇
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
•
小结一下幂函数的性质
幂函数的性质
0
1.求值：
（1）16
3 4
(
1
3
)2
25
解题回顾
•
（2）
lg 4 2 lg 5 lg 1 lg 5
2
1. 熟练掌握指数、对数的运算性质； 2.指数、对数的运算是同底的运算；
二、例题探究：
例
1：已知 x
3
1 3
1
2x
1 3
，求
x
的取值范围。
问题：观察不等式的结构 特• 点，确定你的解
不经过原点，则 m 的取值范围是 .
•
问题：（1）如何理解幂函数的图像不经过原点？
（ 2 ） 问 题 的 等 价 与 m2 m 2 0 还 是
m2 m 2 0
（3）如何保证 y m2 3m 3 xm2m2 是幂函数？
一、课前热身：
4、函数 f x ax3 2 的图像恒过一个定点，
四个值，则相应图象 依次是__________
一、课前热身：
1、已知 log3 x 1 log9 x 5, 求 x 的值。
问题：(1)本题的解题方向 是• 什么？ log9 x 12 log9 x 5
(2)解出的解是否一定适合题意；为什么？
总结：处理对数（指数）不等式（方程）一
必修一(8)指数函数对数函数及幂函数
指对函数及幂函数指对函数及幂函数三个基本函数的考查一直是高考必考重点，对于指对函数考查主要集中在图像性质（如定点、定义域、运算性质、单调性、复合函数单调性以及比较大小等热点考点），对幂函数主要考查五中基本类型的的幂函数，另该知识点也常和不等式、解三角形、导数、三角函数等知识点结合在一起考查，故在高一阶段应该打好基础，学好三种基本函数的基本性质及其运用. 一、基础知识回顾 （1）含零的指数幂运算： ○101(0)a a =≠○201(0)x x => （2）根式与分数指数幂的转化运算：1(0)n a ≥当，○21(0)nn a a a-=≠○301)nma a n =>>，○41(0)nm n ma a a -=> （3）指数幂的运算性质○1(0)m n m n a a a a m n R +=>∈，，○2()(0)m n mn a a a m n R =>∈，， ○3()(00)n n nab a b a b n R =>>∈，， 练习1 求下列函数的定义域：（1）20()(23)f x x x =+- （2）223()0x x f x --=（3）()f x =（4）324()(2)f x x x =--练习2 求下列式子的值：（1）314422 （2）78472⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22- （4）1216二、指数函数定义：一般形如(01)xy a a a x R =>≠∈且，的函数叫做指数函数，其中x 自变量是，a 是底数重要性质：2()01(01)10x x xf x a a ma na k t a a ⎧<<⇒⎫⇒∞⎪⎬>⇒⎭⎪⎪⎨⎪++==⎪⎪⎩单调递减均过定点，，值域为（0，+）,定义域为R 单调递增比较大小的方法：化成同底数或同指数方程思想：形如解方程可以将设将其转化为一元二次方程复合函数性质综合：（单调性：“同增异减”）题型1：考查图像 例1：已知2231()2x x f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭，求使()1f x >的x 的取值范围.解析：此题考查指数函数基本性质，因为()f x 的图像必过（0，1）且为减函数，故只需解2230x x +-< 解：()223031x x x +-<⇒∈-，练习1 求下列各式满足条件的x 的解集：（1）2()21x f x =< （2）3()39x f x -=< （3）223()0.51x x f x +-=<题型2：比较大小 例2：已知232343112223a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，比较a b c ，，的大小 解析：可以发现a b 与同底且结合1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减，故有a b >，又a c 与同指数，可以由草图得知a c <解：b a c <<练习1 已知有23a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34bn ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试在下列条件下比较m n ，的大小（1）a b = （2）00a b >>， （3）00a b <<， （4）00a b ><，（5）00a b <>，题型3：判断单调性求值域 例3：函数22()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]12，上的值域.解析：()()2g x f x =，根据复合函数“同增异减”得到()f x 在区间[]12，上为增函数，故()f x 值域为[](1)(2)f f ， 解：由题意2min ()(1)24f x f ===，5max ()(2)232f x f ===，故()f x 在区间[]12，上的值域为[]432， 练习1 函数221()2x x f x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在[]12，上的最大值.练习2 函数223()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]21--，上的最大值.题型4：综合方程考查例4： 已知关于x 的方程211()32533x xf x ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0)x ≥，求()f x 的最值.解析：此类形式可先将方程进行转化，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭（01t <≤），原方程转化为2()325f t t t =-+，由于已知t 的取值范围，故进一步可求()f x 的最值.解：令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭（01t <≤），原方程转化为2()325f t t t =-+当13t =，即1x =时，方程()f x 取得最小值，14(1)3f =； 当1t =，即0x =时，方程()f x 取得最大值，(0)6f =.练习1 已知关于x 的方程1()428x x f x +=--(0)x <，求()f x 的最值三、对数函数定义：一般若有(01)xa N a a =>≠，，则x 叫做以为a 底N 的对数，记作log a x N =，其中称a 为底，N 为真数.重要性质：1001(10)1=2.71828log ln 10log lg log 10log 1(01)log ()log log ;log log log ;log log ea a ba a a a a a a a a a e N NN a a a M MN M N M N M b M N <<⇒⎫⇒∞⎬>⇒⎭==>≠=+=-= 单调递减均过定点，，值域为R,定义域为（0，+）单调递增自然对数：以无理数为底的对数,将记作常用对数：以为底的对数，将N 记作常用性质：，且运算性质：恒等式：log log ;log log a N a M a N a N N M ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎩换底公式： 题型1：考查对数函数定义域例1 已知函数22()log (34)f x x x =+-，求函数的定义域解析：此题复合函数考查定有类型，2()340u x x x =+->解集即为函数()f x 的定义域 解：令2()340u x x x =+->解得41x x <->•或，故()f x 的定义域为()4(1)-∞-+∞ ，，练习1 已知函数22()log (34)f x x x =--，求函数的定义域.练习2 已知函数2()lg(23)f x x x =-++，求(2)(1)f x f x ++的定义域.题型2：考查单调区间且求最值例2 求函数()ln(35)f x x =+的单调区间解析：由题可求出函数()f x 的定义域为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，令35t x =+()0t >在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，且()ln f t t=在()0+∞，上为增函数，“同增异减”，故()f x 在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增解：()f x 的单调增区间为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.练习1 求函数23()log (6)f x x x =--的单调减区间题型3：考查对数运算 例3 求lg 25lg 4+的值解析：可以发现直接求值是行不通的，可以将原式运用对数运算性质进行化简 解：lg 25lg 4lg(254)lg1002+=⨯== 练习1 计算下列各式的值（1）22log 24log 3- （2）816log 16log 8+ （3）44log 92log 3-题型4：考查奇偶性 例4 已知函数1()log (1)1axf x a x+=>-，试判断函数()f x 奇偶性 解析：判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称，再运用其奇偶性判断方法构造()f x -，比较()()f x f x -与的关系解： 由101xx+>-得11x -<<（关于原点对称） 又()1111()log log log 111a a a x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭所以()f x 是奇函数 练习1 已知函数122()log 2x f x x +=-，试判断函数()f x 的奇偶性，若12()log 3f x a >恒成立，求实数a 的值 题型5：比较大小例5：设a b c d ，，，均为非负数，且有21122211log 2log log 2log 22a cb d a bcd ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，试比较a b c d ，，，的大小四、幂函数定义：一般形如()a y x a R =∈的函数称为幂函数，x 为自变量，a 为常数重要性质：11231232123a a y x y x y x y x y x y x y x --⎧⎪⎪⎨⎪⎪=======⎩判断：、指数为常数；、底数为自变量； 、幂系数为1比较大小：与指数函数一样化为同底或同指数奇偶性：当为奇数时，幂函数奇函数；当为偶函数时，幂函数为偶函数单调性：熟记，，，，，，图像题型：幂函数判断 例1 若122(3)3m m xn --+-是幂函数，求m n +的值解析：因为122(4)3m m x n --+-为幂函数，则必须符合幂函数的几个判断条件，由判断条件解出m n ，的值，则可以求出m n +的值解：由题意2312201330m m m m n n n ⎧-==-⎧⎪-≠⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪-=⎩练习1 判断下列函数是否为幂函数：（1）2y x = （2）33y x =⨯ （3）2y x -=（4）1y x =+ （5）y x = （6）13x y +=（7）2x y = （8）12y x = （9）32x y = 练习2 若13()(2)mf x m x +=+为幂函数，求(4)f 的值.题型2：性质结合图像综合运用 规律：对于ay x =（a R ∈）由图像先判断a 的正负，图像过原点且在第一象限为增函数则0a >，若图像不过原点且在第一象限为减函数则0a <；其次判断奇偶性，若图像关于y 轴对称，则a 为偶数且幂函数为偶数，若图像关于原点对称，则a 为奇数且幂函数为奇函数；当1a >时，图像曲线在第一象限下凹，当01a <<时，图像曲线在第一象限上凸，当0a <时，图像曲线在第一象限下凹.经典巩固练习2. （2006福建）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则( )A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<3. （2006湖北）设2()lg2x f x x +=-，则)2()2(xf x f +的定义域为（ ） A. ），（），（－4004 B.(－4，－1) (1，4) C. (－2，－1) (1，2) D. (－4，－2) (2，4)4. （2006湖南）函数x y 2log =的定义域是（ ）A ．(0，1］ B. (0，+∞) C. (1，+∞) D . ［1，+∞) 5. （2006湖南）函数y =( )A.(3，+∞)B.[3， +∞)C.(4，, +∞) D .[4，+∞)7. （2006天津）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<8. （2006浙江）已知1122log log 0m n <<，则（ ）A. n ＜m ＜ 1B.m ＜n ＜ 1C.1＜ m ＜nD.1 ＜n ＜m 10. （2006全国）若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c11. （2005上海）若函数121)(+=x x f ，则该函数在(),-∞+∞上是（ ）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值12. （2005北京）函数2log y x =的图象是（ ）13. （2005）函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ） A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]16. （2009北京）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 18. （2009全国）设2lg (lg )a e b e c ===，， ）A.B . C. D.19. （2010广东）若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则（ ）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 22. （2005湖北）函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是． 27. （2011四川）计算.28. （2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 29. （2011陕西）设lg 0()100xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，，则((2))f f - =______.3lg10x y +=lg y x =a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>121(lg lg 25)100=4--÷大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。
指数函数,对数函数,幂函数
《指数函数、对数函数、幂函数》知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的nn 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1mna a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数. (2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞.2.对数函数性质：知识点五：反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当q pα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是( )()y x R αα=∈A ．2x y = B ．xx y 2=C ．)10(log ≠>=a a ay xa 且 D ．x a a y log =2．函数y x=3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称3．设函数f (x )＝则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ． [)0,+∞4．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上( ) A ．递增且无最大值 B ．递减且无最小值 C ．递增且有最大值 D ．递减且有最小值 5.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； 6．函数)65(log2)21(+-=-x x y x 的定义域为（ ）； A ．()1,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B ．()()1,11,23,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U U C ．()3,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D ．()133,,23,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U 7．当0<x≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 A ．(0，2) B ．(2，1) C ．(1) D ．2) 8．函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（ ） A ． 211(0)x y ex +=-> B ．211(0)x y e x -=+>⎩⎨⎧>-≤-1,log 11,221x x x xC ． 211()x y ex R +=-∈ D ．211()x y e x R -=+∈9．不等式31122x x-+≤的解集为 . 10．已知函数2()f x x bx c =++，对任意x R ∈都有(1)()f x f x +=-,则(2)f -、(0)f 、(2)f 的大小顺序是 ．11．函数1218x y -=的定义域是 ；值域是 .12．判断函数2lg(y x x =的奇偶性 .13．已知函数211()log 1xf x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性. 14. 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．15．已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+⋅-的值域.1．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．|f (x )|－g (x )是奇函数 B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 C ．f (x )－|g (x )|是奇函数 D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (4)＝( ) A ．4B ．2C ．0D ．不确定3．若函数x2x 1x a f(x)=(+)(-)为奇函数，则a ＝( )A. 12B.23 C. 34D ．14．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．95．设f (x )＝2x ,|x |1x,|x |1⎧≥⎨<⎩g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 6．已知f (x )＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩，则如图中函数的图象错误的是( )7．已知f (x －1x )＝x 2＋21x，则函数f (3)＝________. 8．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝211a a -+，则a 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝12(x ＋|x |)，则函数f [f (x )]的值域为________．10．已知函数f (x )＝a 1- (a ≠1)，若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )>2x ＋5.12．函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝x (x ＋2y ＋1)成立，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值；(2)试确定函数f (x )的解析式．13．已知函数f (x )＝22x 2x,x 00,x 0x mx,x 0⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)． 15．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 16．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．。
幂、指、对函数
（2）定斜率或过定点，如何求定点？例：直线012=+-+k ky x 过的定点为)2,1(-。
3、一次函数的值在定义域),[b a 何时恒正、恒负、有正有负？恒正⎩⎨⎧≥>⇒0)(0)(b f a f ；恒负⎩⎨⎧≤<⇒0)(0)(b f a f ；有正有负0)()(<⋅⇒b f a f ；函数和x 轴恒有交点⇔方程恒有解0)()(≤⋅⇒b f a f ，且0)(≠b f 。
4、何时用变换主元的思想（或者说题目中给了若干个未知数，应该把哪个未知数看作变量？） 例：函数042≥--ax x ，（1）若]2,1[∈x ，求a 的范围；（2）若]3,0[∈a ，求x 的范围。
二、二次函数1、二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.2、二次函数的根的分布与韦达定理二次函数的两根21,x x 被限定了范围，求参数的范围，一般都可以用根的分布： ①根据要求画图像；②根据图像判断∆、对称轴的范围，区间端点的正负。
3、二次函数的值域二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当>a 时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min m a xmax()(),()(),()2bf x f f x f pf q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. 开口向上离对称轴近的地方取到最小值，离对称轴远的地方取到最大值。
(2)当0<a 时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 开口向下离对称轴近的地方取到最大值，离对称轴远的地方取到最小值。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数y=a x a>1 0<a<1图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log Nax=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。
指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s=a rs(a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数y=a x a>1 0<a<1图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log Nax=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。
高中数学-函数指、对、幂
函数指、对、幂一、“手拉手”—指、对数函数例1 已知xx 2log)27lg(10≥⋅，求函数4log log )(2121xx x f =的最小值及相应的x 的值.分析：化为同底函数的对数函数，利用对数函数的单调性与指数函数的单调性，求出的x 范围.然后再配方法求)(x f 的最值，以及此时x 的值.解: xx 2log)827lg(10≥+⋅Θ，∴21010)2(log 2log 2)827lg(x x x =≥+⋅， ∴2)2(827x x ≥+⋅，得821≤≤-x ，3≤∴x ，又4log log 4log log )(222121xx x x x f ==1)1(log log 2)(log 22222--=-=x x x . 30≤<x Θ，3log log 22≤∴x ， ∴1)(min -=x f ，此时1log 2=x ，2=∴x .点评：化为同底的对数函数是关键，然后利用函数的单调性．另外在求解对数函数问题时，首先要考虑其定义域.二、“肩并肩”—幂、指数函数例2 若x 满足不等式5213222212-++-⎪⎭⎫⎝⎛<x x x x，试求函数2)(x x f =的值域.分析：对于此类问题可先将不等式等价变形为()()f x g x a a ≥或()()f x g x a a ≤（其中0a >，且1a ≠），然后利用指数函数的单调性求解． 解：原不等式可变形为521322222+--+-<x xx x ，由于2xy =在R 上是增函数，∴5213222+--<+-x x x x ．解得341<<-x ．所以.函数2)(x x f =的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡916,0. 点评：关键是求x 的范围，本题对于x 的范围的求解还可以转化为以12为底的不等式，但要注意12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数．三、“心连心”—幂、对数函数例 3 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=)1(log )1(21)2()(3x x x a x a x f a 为增函数，则a 的取值范围是 .分析：首先由幂函数与对数函数的性质知，21<<a ，再由单调性增函数知，若2110x x <<<，则)()(21x f x f >，所以当1≥x 时函数的最小值，比当1<x 的函数值最大值要大.解：Θ函数)(x f 为增函数，⎩⎨⎧>>-∴102a a ，得21<<a .又因为此函数为分段函数，所以x x f a log )(=的最小值，大于a x a x f 21)2()(3--=的最大值.又1≥x 时，0)1()(min==f x f ，而当1<x 时，a x f 232)(-<，所以，a 2320-≥，即34≥a .综上得a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34点评：由函数的单调性很容易得21<<a ，但也很容易忽略分段函数是一个函数而不是两个函数，因此，当1≥x 时的最小值0要“大于或等于”a 34-，又当1<x 时，)(x f 取不到最大值a 34-.所以是“大于等于”而不是“大于”.四、“相互交汇”—指、对、幂 例4 给出四个函数，分别满足：①()()()f x y f x f y +=+； ②)()()(y g x g y x g ⋅=+； ③)()()(y h x h y x h +=⋅； ④)()()(y x y x ϕϕϕ⋅=⋅． 又给出四个函数的图象：Ａ、①—（甲） ②—（乙） ③—（丙） ④—（丁） Ｂ、①—（乙） ②—（丙） ③—（甲） ④—（丁） Ｃ、①—（丙） ②—（甲） ③—（乙） ④—（丁） Ｄ、①—（丁） ②—（甲） ③—（乙） ④—（丙）正确的匹配方案是 ．分析：指数、对数、幂函数的图象与图象分不开，由其性质会作函数图象，由图象知其函数性质.解：图象（甲）可看成是指数函数的图象，如2xy =，由于y x yx 222⋅=+，与②匹配；图象（乙）可看成是对数函数的图象，如2log y x =，由于222log ()log log xy x y =+，与③匹配；图象（丙）可看成是二次函数的图象，如2y x =，由于222)(y x xy ⋅=，与④匹配；图象（丁）可看成是正比例函数的图象，如2y x =，由于12122()22x x x x +=+，与①匹配．综上所述，正确的匹配方案是D ．点评：这类试题给出两个系统，要求在两个系统中各选取元素按题目要求建立一种“对应”关系，以达到考查创新能力的目的．。
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((3 4))llo og gaa bNlolloo g1ggbbbaN a((5换 )l底 og公 am式 bn)m nlogab
5
基础再现 2.函数 y m2x n是指数函数，则 m { 1 } ，n { 0 } ．
知识回顾
y = 2x+1 y = 2lg x
21
例题精析
题型二：指数、对数函数性质的应用
（1）ab,ab,aa(0ab1)的大小顺序是 ab aa ab
( 2 ) 三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是________
log0.76 < 0.76< 60.7
指数的运算法则
知 aman a mn
识 (am )n a m n
回 顾
(ab)n a nb n
m
a n n am
对数的运算法则
同
底 运
logaMlogaNloga (MN)
算
logaMlogaNl o g a
M N
loga M n n loga M
对数还有几个恒等式呢!你知道吗？
(M ,N ,a ,b 都 是 正 数 ,且 a ,b 1 )
这个定点为 从两个方向上理解： （1）从数的角度看： （2）从形的角度看：
17
变式训练：已知函数 y log a x b的图像如下
图所示，则 ab 。
y
1
-2 o
x
引申：对一切不为 1 的正实数 a ，函数
y a x21 a 的图像恒过定点的个数为 个
18
例题精析
题型一：指数、对数的运算
13
补充练习：（冲刺 3 第 2 题）
已知函数 y log 3 3x2 ax 5在 1,上是增函
数，则实数 a 的取值范围是 。
问题：是否等价为
a 6
1？为什么？
14
2、30讲课前热身3
y
y x2
1
O
1
y x
y x2
x
15
一、课前热身：
3、如果幂函数 y m2 3m 3 xm2m2 的图像
的， 得 x 3 1 2x ，
解法
2：根据函数
y
1
x3
在 ,0和 0, 上是递
减得 1） 或 2） x 3 1 2x 1 2x 0
x 3 1 2x x 3 0
20
总结：（1）解决有关函数性质题时，能画出 图像的尽可能的画出图像，可以利用图像帮 助自己理解数学符号语言； （2）分类讨论时要遵循不重不漏的原则。
(2)解出的解是否一定适合题意；为什么？
总结：处理对数（指数）不等式（方程）一 般方法：化同底利用单调性（注意定义域）.
12
一、课前热身： 2、函数 y 2x2ax1在区间 ,3内递增，则 a
的取值范围是 。
实质是什么？ （2）是否等价与函数 y 2x2ax1的单调递增
区间是 ,3？
（3）两者有何联系？
单调性
奇偶性 奇
偶奇非 奇
定点
(0,0)，(1,1)
(1 ,1 ) 8
9
小结一下幂函数的性质
0
0
图象通过点 图象通过点
幂
函 (0,0)，(1,1) (1,1)
数 的
在第一象限内， 在第一象限内，
性 质
函数单调递增
函数单调递减
在第一象限内，
图象向上与y轴无
限接近，向右与x
轴无限接近
10
拓展探究题
大家好
1
幂函数、指数函数与对数函数
2
考纲要求
✓理解有理指数幂的含义；掌握幂的运算 ✓理解对数的概念及其运算性质； ✓理解指数函数、对数函数的图象与性质, 并会简单的应用. ✓了解幂函数的概念，了解五种基本幂函 数的图象及变化情况
3
基础再现
1a ．指b (((1324化 )))数3lN l简5gga对a5x：z y2数42lao0的b2g 1 l2互g1lxo 0化g aaalgN 56 lyo1 g522lg 0变范z（形围（用对引变用lo对数g起化lag数的Nx式、 换lg表l底looygg示公、 bblNag）式z表示）
不经过原点，则 m 的取值范围是 .
问题：（1）如何理解幂函数的图像不经过原点？ （ 2 ） 问 题 的 等 价 与 m2 m 2 0 还 是
m2 m 2 0
（3）如何保证 y m2 3m 3 xm2m2 是幂函数？
16
一、课前热身：
4、函数 f x ax3 2 的图像恒过一个定点，
单调性 减函数 增函数
奇偶性
非奇非偶函数
减函数 增函数 非奇非偶函数 7
（3）几个常见幂函数的图象和性质
在同一坐标系下作出下列函数的图象
1
yx,yx2,yx3,yx2,yx1并填写下表。
函 数 y=x
定义域 R
y=x2
1
y=x3 y x 2 y=x-1
R
R [0, ) x | x 0
值 域 R [0, ) R [0, )y| y 0
图象 （描点）
y 0<a<1
1
0
y a>1
1
x
0
y = log a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1
y a>1
x
01
x
01
x
定义域
R
(0 , +∞)
值域
(0 , +∞)
R
定点
都过点(0,1)
都过点(1,0)
范围
x<0时,y>1；x>0时,y>1；0<x<1时y>0 0<x<1时y<0 x>0时0<y<1 x<0时0<y<1 x>1时,y<0 x>1时,y>0
1.如图所示，是幂函数y=xα在第一象 限内的图象，已知α分别取 1 , 4 , 2 ,1
233 四个值，则相应图象 依次是__________
11
一、课前热身：
1、已知 log3 x 1 log9 x 5, 求 x 的值。
问题：(1)本题的解题方向是什么？ lo 9xg 1 2lo 9xg 5
y = e-x
一般地，函数 y = a x (a＞0，且 a≠1)叫做指数函数．
函数 y = log a x (a＞0，且a≠1)叫做对数函数． 常用对数: y = log10 x = lg x 自然对数: y = loge x = ln x
6
基础再现
3．完成下列图表：指对数函数的性质
解析式 y = a x ( a > 0, a≠1)
1.求值：
3
（1）1 6 4
(
1
3
)2
25解Leabharlann 回顾（2）lg lg
4 1
2
l
lg g
5 5
2
1. 熟练掌握指数、对数的运算性质； 2.指数、对数的运算是同底的运算；
19
二、例题探究：
例
1：已知 x
1
33
1
1
2x3
，求
x
的取值范围。
问题：观察不等式的结构特点，确定你的解
题方向是什么？
1
解法 1：根据函数 y x 3 在其定义域内是递减