高一数学必修1第一章练习题
高一数学必修一第一章测试题(含答案)
高一数学必修一第一章测试题(含答案)高一数学必修一第一章测试题满分150分，考试时间120分钟第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知全集 $A = \{1,2,4\}$，集合 $A = \{1,2,3\}$，$B =\{2,4\}$，则 $(C \cup A) \cup B$ 为（）A。
$\{2,3,4\}$ B。
$\{2,4\}$ C。
$\{0,2,4\}$ D。
$\{0,2,3,4\}$2.集合 $\{a,b\}$ 的子集有（）A。
2个 B。
3个 C。
4个 D。
5个3.设集合 $A = \{x|-4<x<3\}$，$B = \{x|x \leq 2\}$，则 $A \cap B =$（）A。
$(-4,3)$B。
$(-4,2]$C。
$(-\infty,2]$D。
$(-\infty,3)$4.已知函数 $f(x) = \frac{1}{2-x}$ 的定义域为 $M$，$g(x) = x+2$ 的定义域为 $N$，则 $M \cap N =$（）A。
$\{x|x \geq -2\}$B。
$\{x|x < 2\}$C。
$\{-2<x<2\}$D。
$\{-2 \leq x < 2\}$5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A。
$y=x+1$B。
$y=-x^2$C。
$y=|x|$D。
$y=x|x|$6.若函数$y=x^2+(2a-1)x+1$ 在$(-\infty,-3]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）A。
$(-\infty,-2]$B。
$(-\infty,-\frac{1}{2}]$C。
$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$D。
$[\frac{1}{2},+\infty)$7.设函数 $f(x) = \begin{cases}x^2+1 & x \leq 1\\ 2x & x>1\end{cases}$，则 $f(f(3)) =$（）A。
高一数学必修一第一章(中)函数及其表示练习题及答案
高一数学必修一第一章(中)函数及其表示练习题及答案高一数学（必修1）第一章：函数及其表示基础训练选择题1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A。
⑴、⑵B。
⑵、⑶C。
⑷D。
⑶、⑸2.函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是（）A。
1B。
0或1C。
2D。
1或23.已知集合A={1.2.3.k}，B={4.7.a。
4.a^2+3a}，且a∈N，x∈A，y∈B*，使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应，则a，k的值分别为（）A。
2，3B。
3，4C。
3，5D。
2，54.已知f(x)={x+2(x≤-1)，x^2(-1<x<2)，2x(x≥2)}，若f(x)=3，则x的值是（）A。
1B。
1或-3C。
1，或±3D。
35.为了得到函数y=f(-2x)的图象，可以把函数y=f(1-2x)的图象适当平移，这个平移是（）A。
沿x轴向右平移1个单位B。
沿x轴向右平移1/2个单位C。
沿x轴向左平移1个单位D。
沿x轴向左平移1/2个单位6.设f(x)={x-2(x≥10)，f[f(x+6)](x<10)}，则f(5)的值为（）A。
10B。
11C。
12D。
13填空题1.设函数f(x)={1/(x-1)(x≥1)，2/x(xa，则实数a的取值范围是（0.1）。
2.函数y=(x-2)/(x^2-4)的定义域是R-{-2.2}。
3.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。
4.函数y=(x-1)/(x-x^2)的定义域是(-∞。
0)∪(1.+∞)。
5.函数f(x)=x+(1/x)的最小值是2.解答题1.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。
解：当x+1≠0时，即x≠-1时，f(x)有意义，所以f(x)的定义域为R-{-1}。
2.求函数y=(x^2+x+1)/(x+1)的值域。
解：y=(x^2+x+1)/(x+1)=x+1+1/(x+1)，当x→±∞时，y→±∞，所以y的值域为R-{-1}。
高一数学必修一第一章测试题及答案
1.1集合的概念专项练习解析版一、单选题1．若1∈{x ，x 2}，则x =( )A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1- 【答案】B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1，进而分类讨论：∈、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，∈、当x 2=1，解可得x =-1或x =1(舍)，当x =-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x =-1，故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.2．已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．4D ．2或4 【答案】A【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项.【详解】依题意2A ∈，若2a =，则2=a ，不满足集合元素的互异性，所以2a ≠； 若2=a ，则2a =-或2a =(舍去)，此时{}2,2,4A =--，符合题意；若22a -=，则4a =，而4a =，不满足集合元素的互异性，所以4a ≠.综上所述，a 的值为2-.故选：A【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，属于基础题.3．下列关系中，正确的有( ) ∈1R 2；5Q ；∈3N ；∈2Q ∈.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据元素与集合之间的关系判断可得答案.【详解】12|3|3-=是非负整数，2是有理数.因此，∈∈∈∈正确，故选：D .4．考查下列每组对象，能组成一个集合的是( )∈一中高一年级聪明的学生；∈直角坐标系中横、纵坐标相等的点；∈不小于3的正整数；值．A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈ 【答案】C【分析】利用集合中的元素满足确定性判断可得出结论.【详解】∈“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；∈“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；∈“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；”的标准不确定，不能构成集合．故选：C.5．下列各组对象不能构成集合的是( )A ．参加运动会的学生B 的正整数C ．2022年高考数学试卷上的难题D ．所有有理数【答案】C【分析】根据集合的基本概念辨析即可.【详解】解：对于A 选项，参加运动会的学生，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于B 对于C 选项，2022年高考数学试卷上的难题，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；对于D 选项，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；故选：C.6．已知集合{}21,2,22A a a a =---，若1A -∈，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1或12-C ．12-D ．1-或12-【分析】由题可知21a -=-或2221a a --=-，即求.【详解】∈1A -∈，∈21a -=-或2221a a --=-，∈1a =或12a =-， 经检验得12a =-.故选：C.7．已知集合A ＝{x |ax 2﹣3x +2＝0}只有一个元素，则实数a 的值为( )A ．98B ．0C ．98或0D ．1【答案】C 【分析】根据a 是否为0分类讨论．【详解】0a =时，2{|320}{}3A x x =-+==，满足题意； 0a ≠时，980a ∆=-=，98a =，此时294|320}83A x x x ⎧⎧⎫=-+==⎨⎨⎬⎩⎭⎩，满足题意． 所以0a =或98．故选：C二、多选题8．已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是( )A ．=A BB ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈【答案】CD 【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∈{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∈2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∈(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误．故选：CD ．9．下列选项正确的有( )A ．()R Q π∈B ．13Q ∈C ．0*N ∈D 4Z【答案】ABD【分析】根据常见集合的意义和元素的性质可判断各选项中的属于关系是否成立，从而可得正确的选项.【详解】因为π为无理数，故()R Q π∈，故A 正确. 因为13为有理数，故13Q ∈，故B 正确. 因为*N 为正整数集，但*0N ∉，故C 不正确.2=Z ，故D 成立.故选：ABD.【点睛】考查常见集合的表示，注意正确区分各字母表示的常见集合，不要混淆，本题属于基础题.10．下列各组中M 、P 表示不同．．集合的是( ) A ．{3,1}M =-，{13}P =-，B ．{}{(31)},(1,3)M P ==， C ．{}21,R M y y x x ==+∈，{}t t 1P =≥D ．{}21,R M y y x x ==-∈，2{(,)|1,R}P x y y x x ==-∈【答案】BD【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】选项A 中，根据集合的无序性可知M P =；选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，{}t t 1P =≥=[)1,+∞，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有y 组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合，故M P ≠．故选：BD ．11．下列四个命题：其中不正确的命题为( )A ．{}0是空集B ．若N a ∈，则N a -∉；C ．集合{}2R 210x x x ∈-+=有一个元素 D ．集合6Q N x x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集. 【答案】ABD【分析】根据空集的定义可判断A ；根据元素与集合的关系可判断B ；解方程求出集合中的元素可判断C ；x 为正整数的倒数时，都有6N x∈可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：{}0含有一个元素0，所以{}0不是空集，故选项A 不正确；对于B ：当0a =时，N a ∈，则N a -∈，故选项B 不正确；对于C ：{}(){}{}22R 210R 101x x x x x ∈-+==∈-==只有一个元素，故选项C 正确； 对于D ：Q 表示有理数，包括整数和分数，比如x 为正整数的倒数时，都有6N x∈，所以集合6Q N x x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，故选项D 不正确；故选：ABD.三、填空题12．已知集合{}1,2,A m =，{}13,B n =,，若A B =，则m n +=_______． 【答案】5【分析】由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得3,2m n ==，得5m n +=.【详解】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，3,2m n ==，所以5m n +=.故答案为：5.【点睛】(1)集合A B =的充要条件是A B ⊆，且A B ⊇；(2)集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.13．若{}221,,2a a ∈-，则=a ______．【答案】2-【分析】结合集合的互异性来求得a .【详解】若2a =，则222a -=，不满足互异性，所以2a ≠.若222,2a a -==-或2a =(舍去)，所以2a =-.故答案为：2-四、解答题14．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{}20,7,5B a a =--，且5A ∈，求集合B ．【答案】{}0,7,1B =【分析】根据题意，结合集合中元素的确定性与互异性，分类讨论即可求解.意；若2a =-，则26a a -=，此时{}2,5,6A =，{}0,7,1B =.而当25a a -=时，集合B 中250a a --=，根据互异性可知，不满足题意.综上，{}0,7,1B =.15．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈， (1)若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素；(2)若A 是空集，求a 的取值范围；(3)用列举法表示集合A .【答案】(1)见解析(2)1a >(3)见解析【分析】(1)分为0a =和0a ≠两种情形即可；(2)根据方程无解时，440a ∆=-<即可得结果；(3)根据(1)(2)的结果结合求根公式即可得结果.【详解】(1)∈0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意； ∈0a ≠时，要使A 只有一个元素，则需：440a ∆=-=，即1a =，此时{}1A =-.综上：0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；1a =时，{}1A =-. (2)∈A =∅，0a =显然不合题意，∈440a ∆=-<，即1a >∈1a >时，A =∅.(3)由(2)得，当1a >时，方程2210ax x ++=无解，即A =∅，由(1)得0a =时，方程210x +=的解为12x =-，即12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭； 当1a =时，方程2210x x ++=的解为=1x -，即{}1A =-.当1a <时，由求根公式得2210ax x ++=的解为1x =2x =，即A =⎪⎪⎩⎭综上可得：当1a >时，A =∅；当0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，当1a =时，{}1A =-；当1a <时，A =⎪⎪⎩⎭. 【点睛】考查了用描述法表示集合，含有参数一元二次方程的解，分类讨论思想的应用，属于中档题。
高一数学必修一全册练习题(解析版)
第一章集合与函数的概念1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中k取负数，多了若干元素；C中t＝0时多了－3这个元素，只有D是正确的．2．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，S＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则有()A．c∈P B．c∈MC．c∈S D．以上都不对解析：选B.∈a∈P，b∈M，c＝a＋b，设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∈c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2∈Z，∈c∈M.3．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．6解析：选D.∈z＝xy，x∈A，y∈B，∈z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B＝{0,2,4}，∈集合A*B的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则用列举法表示集合C＝____________.解析：∈C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，∈满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案：D2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∈M B ．a ∈M C ．{a }∈M D ．{a |a ＝26}∈M 解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； (3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴． 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{0} B ．{y |y 2＝0} C ．{x |x ＝0} D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个． 解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个． 答案：28．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x －3∈Z ，试用列举法表示集合A ＝________. 解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________． 解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1. 答案：m <110. 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∈1是集合A 中的一个元素，∈1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根， ∈a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. 方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∈集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1.12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围． 解：∈a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．∈a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程． 由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∈当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合∈∈，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．水浒书业的全体员工 B ．《优化方案》的所有书刊 C ．2010年考入清华大学的全体学生 D ．美国NBA 的篮球明星解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ∈π∈R ；∈3∈Q ；∈0∈N *；∈|－4|∈N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.∈∈正确，∈∈错误．3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 解析：由x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.答案：31．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案：A2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∈AC．a∈A D．a＝A答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()∈教2011届高一的年轻教师；∈你所在班中身高超过1.70米的同学；∈2010年广州亚运会的比赛项目；∈1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以∈不能构成集合；由于∈∈∈中的对象具备确定性、互异性，所以∈∈∈能构成集合．4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是∈ABC的三边长，则∈ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a≠b，a≠c，b≠c.5．下列各组集合，表示相等集合的是()∈M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；∈M＝{3,2}，N＝{2,3}；∈M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A．∈ B．∈C．∈ D．以上都不对解析：选B.∈中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，∈中由元素的无序性知是相等集合，∈中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52，y ＝3＋2π，则有( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∈MC ．x ∈M ，y ∈MD ．x ∈M ，y ∈M 解析：选B.∈x ＝13－52＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∈M .7．已知∈5∈R ；∈13∈Q ；∈0＝{0}；∈0∈N ；∈π∈Q ；∈－3∈Z .其中正确的个数为________．解析：∈错误，0是元素，{0}是一个集合；∈0∈N ；∈π∈Q ，∈∈∈正确． 答案：38．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________． 解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ； 当a ＝4时，6－a ＝2∈A ； 当a ＝6时，6－a ＝0∈A ， 所以a ＝2或a ＝4. 答案：2或49．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：310．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值． 解：∈－3∈A ，∈－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∈12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∈2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解：根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b2b ＝2a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有( )∈{a ，b }＝{b ，a }；∈{a ，b }∈{b ，a }；∈∈＝{∈}；∈{0}＝∈；∈∈{0}；∈0∈{0}．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下 解析：选C.∈∈∈∈正确．2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( ) A ．对任意的a ∈A ，都有a ∈B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈A C ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B D ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∈Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∈M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0∈A B．{0}∈AC．∈∈A D．{0}∈A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A∈B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B∈x∈A，但x∈A∈x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∈B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∈，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ∈B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ∈B B ．B ∈A C ．A ∈B D ．B ∈A解析：选D.∈B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∈， ∈A ＝{x |x ∈B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∈}，∈B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx ＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∈B ，故B A .答案：BA8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ∈B ，则a 的值为________． 解析：A ∈B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：∈若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1； 当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∈c ＝1舍去，即此时无解．∈若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a (2c 2－c －1)＝0.∈a ≠0，∈2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 又∈c ≠1，∈c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ∈A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ∈A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∈BA ，∈mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时， 由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时， 由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0. 综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则( ) A ．M ∈N B ．N ∈M C ．M ∩N ＝{2,3} D ．M ∈N ＝{1,4}解析：选C.∈M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∈选项A、B显然不对．M∈N＝{1,2,3,4}，∈选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y2}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．{y|y≥0} D．{y|0≤y≤1}解析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∈M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∈B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∈B＝A，即B∈A，∈m≥2.答案：m≥21．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∈N＝N；Q∈R＝R∈Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3 D．4解析：选C.只有Z∈N＝N是错误的，应是Z∈N＝Z.2．(2010年高考四川卷)设集合A＝{3,5,6,8}，集合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于() A．{3,4,5,6,7,8} B．{3,6}C．{4,7} D．{5,8}解析：选D.∈A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∈A∩B＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∈B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.根据元素特性，a≠0，a≠2，a≠1.∈a＝4.4．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于() A．{2} B．{1,2}C．{2,3} D．{1,2,3}解析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∈P∩Q＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于()A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}解析：选A.∈A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∈A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．6．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∈T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a ＜－3或a ＞－1 解析：选A.S ∈T ＝R ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∈－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________. 解析：∈A ∩B ＝{2,3}，∈3∈B ，∈m ＝3. 答案：38．满足条件{1,3}∈M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∈{1,3}∈M ＝{1,3,5}，∈M 中必须含有5， ∈M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：49．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝∈； 当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}； 当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2. 答案：210．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∈B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∈A ∩B ＝{3}，∈由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}． 又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9. 综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∈B . 解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}． 借助数轴如图：∈当a －3≤5，即a ≤8时，A ∈B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}． ∈当a －3＞5，即a ＞8时，A ∈B ＝{x |x ＞5}∈{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R . 综上可知当a ≤8时，A ∈B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}； 当a ＞8时，A ∈B ＝R .12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∈，求a 的值．解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝∈，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a ，解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝02－a ≠0，即a ＝－2.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∈U A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9} 解析：选D.∈U A ＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∈R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∈B ＝{x |x ＜1}，∈∈R B ＝{x |x ≥1}， ∈A ∩∈R B ＝{x |1≤x ≤2}．3. 已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A＝{0,1}，(∈U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∈U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析：∈A∈∈U A＝U，∈A＝{x|1≤x＜2}．∈a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∈U B)等于()A．{2} B．{5}C．{3,4} D．{2,3,4,5}解析：选C.∈U B＝{3,4,5}，∈A∩(∈U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∈U A＝{2}，则A＝()A．{0} B．{1}C．∈ D．{0,1}解析：选D.∈∈U A＝{2}，∈2∈A，又U＝{0,1,2}，∈A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷∈)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∈B，则集合∈U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∈B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∈∈U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∈N＝UC．(∈U N)∈M＝U D．(∈U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∈U N)∈M ＝{3,4,5,7}，(∈U M)∩N＝{2,6}，M∈N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∈U(A∈B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∈A＝{1,2}，∈B＝{2,4}，∈A∈B＝{1,2,4}，∈∈U(A∈B)＝{3,5}．6．已知全集U ＝A ∈B 中有m 个元素，(∈U A )∈(∈U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D.U ＝A ∈B 中有m 个元素，∈(∈U A )∈(∈U B )＝∈U (A ∩B )中有n 个元素， ∈A ∩B 中有m －n 个元素，故选D.7．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∈B )∩(∈U C )＝________. 解析：∈A ∈B ＝{2,3,4,5}，∈U C ＝{1,2,5}， ∈(A ∈B )∩(∈U C )＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}． 答案：{2,5}8．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∈U A ＝{1}，则实数a 的值是________． 解析：∈U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∈U A ＝{1}， ∈a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或29．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∈U A )∩B ＝∈，求实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∈∈U A ＝{x |x ＜－m }，∈B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∈U A )∩B ＝∈， ∈－m ≤－2，即m ≥2， ∈m 的取值范围是m ≥2. 答案：{m |m ≥2}10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∈U B )∈P ，(A ∩B )∩(∈U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∈A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，∈A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∈∈U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}， ∈(∈U B )∈P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∈U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∈U A )＝{2}，A ∩(∈U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．解：∈B ∩(∈U A )＝{2}， ∈2∈B ，但2∈A .∈A ∩(∈U B )＝{4}，∈4∈A ，但4∈B .∈⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝127.∈a ，b 的值为87，－127.12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∈R B ，求实数a 的取值范围．解：∈R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∈， ∈A∈R B ，∈分A ＝∈和A ≠∈两种情况讨论． ∈若A ＝∈，此时有2a －2≥a ， ∈a ≥2.∈若A ≠∈，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a 2a －2≥2.∈a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1．下列说法中正确的为( ) A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数 B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数 C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x 的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 解析：选C.A 、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∈ B ．∈或{1} C ．{1} D ．∈或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝∈或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)8．函数y ＝x ＋103－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1.答案：(－∞，－1)∈(－1，32)9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________． 解析：当x 取－1,0,1,2时， y ＝－1，－2，－1,2， 故函数值域为{－1，－2,2}． 答案：{－1，－2,2} 10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值． 解：(1)∈f (x )＝11＋x ，∈f (2)＝11＋2＝13， 又∈g (x )＝x 2＋2， ∈g (2)＝22＋2＝6. (2)由(1)知g (2)＝6， ∈f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. 12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)． ∈ax ＋1≥0，a ＜0，∈x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a ]．∈函数在区间(－∞，1]上有意义， ∈(－∞，1]∈(－∞，－1a ]，∈－1a ≥1，而a ＜0，∈－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x ，则f (x )等于( )A.11＋x(x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0)C.x1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 解析：选C.f (1x )＝11＋x＝1x1＋1x(x ≠0)， ∈f (t )＝t1＋t (t ≠0且t ≠－1)，∈f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)． 3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∈2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∈⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∈⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∈f (x )＝3x －2. 4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________. 解析：令2x ＝t ，则x ＝t 2，∈f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x2－1. 答案：x 24－x 2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x非负数非正数y1 －1B.x 奇数 0 偶数 y1－1C.x 有理数 无理数 y1－1D.x 自然数 整数 有理数 y1－1解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∈f (t )＝4t －12－1，∈f (12)＝16－1＝15. 法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∈f (12)＝16－1＝15. 3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B.∈g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∈g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ， 由于点(0,0)在函数图象上， ∈f (0)＝(0－1)2＋c ＝0， ∈c ＝－1，∈f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( ) A ．y ＝12x (x >0) B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0) D ．y ＝216x (x >0) 解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x . 7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________． 解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f 3]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1， ∈f [1f 3]＝f (1)＝2. 答案：29．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． 解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1) ＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1. 再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1. 11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＋1x ，求f (x )．解：∈x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x ≠1，∈f (x ＋1x )＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1.∈f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∈f (2＋x )＝f (2－x )，∈f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∈f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∈ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∈10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ， ∈a ＝1.∈f (x )＝x 2－4x ＋3.1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 x ＞10f f x ＋5 x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16解析：选A.f (5)＝f (f (10))， f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21， f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0x －1 x <0，再作函数图象．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜11x ， x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x ＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为( )A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2D ．0,0或2答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10；当3＜x ≤4时，y ＝11.6； 当4＜x ≤5时，y ＝13.2； …当n －1＜x ≤n 时，y ＝10＋(n －3)×1.6，故选C.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 20≤x ≤3x 2＋6x－2≤x ≤0的值域是( )A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ≤－1，x 2－1＜x ＜22x x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是( ) A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D.3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∈f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∈x ＝ 3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x 为有理数，0， x 为无理数，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x 为有理数，1， x 为无理数，当x ∈R 时，f (g (x ))，g (f (x ))的值分别为( )A ．0,1B ．0,0C ．1,1D ．1,0解析：选D.g (x )∈Q ，f (x )∈Q ，f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝0.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12 x ≤－1，2x ＋1 －1<x <1，1x －1 x ≥1，已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，1D.⎝⎛⎭⎫－12，12∈(1，＋∞) 解析：选C.f (a )>1∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1a ＋12>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a －1>1∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a <－2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1a >－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12∈a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，1. 7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ， 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”． 答案：mati8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，f x －2， x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 答案：09．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ＋x ＋2·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＜0x ＋x ＋2·－1≤5，解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 －1≤x ≤11 x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f (x )的定义域为R. 由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∈260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∈s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t 0≤t ≤5，260 ⎝⎛⎭⎫5＜t ≤612，260＋65⎝⎛⎭⎫t －612 ⎝⎛⎭⎫612＜t ≤1012.12. 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ∈BC ，DH ∈BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. ∈当点F 在BG 上时， 即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；∈当点F 在GH 上时， 即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2； ∈当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时， y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt∈CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10.综合∈∈∈，得函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2x ∈[0，2]2x －2 x ∈2，5].－12x －72＋10 x ∈5，7]函数图象如图所示．1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2，所以m ＝－8. 2．函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )解析：选C.应用增函数的性质判断． ∈a ＋b ≤0，∈a ≤－b ，b ≤－a . 又∈函数f (x )在R 上是增函数， ∈f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )． ∈f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )．3．下列四个函数：∈y ＝x x －1；∈y ＝x 2＋x ；∈y ＝－(x ＋1)2；∈y ＝x1－x ＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．∈B ．∈C ．∈∈D ．∈∈∈解析：选A.∈y ＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1.其减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．∈y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，减区间为(－∞，－12)．∈y ＝－(x ＋1)2，其减区间为(－1，＋∞)， ∈与∈相比，可知为增函数．4．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________． 解析：对称轴x ＝k 8，则k 8≤5，或k8≥8，得k ≤40，或k ≥64，即对称轴不能处于区间内．答案：(－∞，40]∈[64，＋∞)1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．无法判断解析：选D.函数单调性强调x 1，x 2∈[－1,3]，且x 1，x 2具有任意性，虽然f (0)<f (1)，但不能保证其他值也能满足这样的不等关系．3．已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a <b 时，都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的根( )A ．有且只有一个B ．可能有两个C ．至多有一个D ．有两个以上解析：选C.由题意知f (x )在A 上是增函数．若y ＝f (x )与x 轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f (x )＝0至多有一个根．4．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a ) 解析：选D.∈a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34＞0，∈a 2＋1＞a ，∈f (a 2＋1)＜f (a )，故选D.5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ∈y ＝|x |；∈y ＝|x |x ；∈y ＝－x 2|x |；∈y ＝x ＋x|x |.A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈解析：选C.∈y ＝|x |＝－x (x ＜0)在(－∞，0)上为减函数； ∈y ＝|x |x ＝－1(x ＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；∈y ＝－x 2|x |＝x (x ＜0)在(－∞，0)上是增函数；∈y ＝x ＋x|x |＝x －1(x ＜0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C.6．下列说法中正确的有( )∈若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ∈函数y ＝x 2在R 上是增函数； ∈函数y ＝－1x在定义域上是增函数；∈y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∈(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而∈不对；∈y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x ≤0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；∈y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3＜5，而f (－3)＞f (5)；∈y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∈(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．7．若函数y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0＜x 1＜x 2，由题意知 f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝bx 1－x 2x 1·x 2＞0，∈0＜x 1＜x 2，∈x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0. ∈b ＜0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34 )的大小关系为________．解析：∈a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∈f (a 2－a ＋1)≤f (34)．答案：f (a 2－a ＋1)≤f (34)9．y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析： y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x ＞0x 2－3x x ≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．答案：[0，32]10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． 解：(1)∈f (1)＝0，f (3)＝0，∈⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∈f (x )＝x 2－4x ＋3， ∈设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)， ∈x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∈x 1＋x 2－4＞0.∈f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∈函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －1≤1－1≤1－3x ≤1，x －1＜1－3x即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤x ≤23，x ＜12∈0≤x ＜12.12．设函数y ＝f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．解：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2， ∈f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2 ＝ax 1＋1x 2＋2－ax 2＋1x 1＋2x 1＋2x 2＋2＝x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2.∈f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∈f (x 1)－f (x 2)＜0. ∈x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2＜0，∈x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0， ∈2a －1＞0，∈a ＞12.1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－aD ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 2．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( ) A ．(－∞， 2 ] B ．(0， 2 ] C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选B.y ＝x ＋1－x －1，∈⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x －1≥0，∈x ≥1.∈y ＝2x ＋1＋x －1为[1，＋∞)上的减函数，∈f (x )max ＝f (1)＝2且y ＞0.3．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上取得最大值3，最小值2，则实数a 为( ) A ．0或1 B ．1C ．2D ．以上都不对解析：选B.因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝(x －a )2－a 2＋a ＋2, 对称轴为x ＝a ，开口方向向上，所以f (x )在[0，a ]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f (x )max ＝f (0)＝a ＋2＝3，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋a ＋2＝2.故a ＝1.4．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1.则xy 的最大值为________．解析：y 4＝1－x 3，∈0＜1－x3＜1,0＜x ＜3.而xy ＝x ·4(1－x 3)＝－43(x －32)2＋3.当x ＝32，y ＝2时，xy 最大值为3.答案：31．函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最小值是( ) A ．1 B ．0 C.14D ．不存在解析：选B.由函数f (x )＝x 2在[0,1]上的图象(图略)知， f (x )＝x 2在[0,1]上单调递增，故最小值为f (0)＝0.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6. 3．函数y ＝－x 2＋2x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不存在解析：选A.因为函数y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.对称轴为x ＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以y max ＝－1＋2＝1.。
高一数学必修一第一章测试题
高一数学必修一第一章测试题一、选择题1.(20 13年高考四川卷)设集合a={1,2,3},集合b={ -2,2},则a∩b等于( b )(a) (b){2}(c){-2,2} (d){-2,1,2,3}解析:a∩b={2},故挑选b.(a){2} (b){0,2}(c){-1,2} (d){-1,0,2}解析:依题意得集合p={-1,0,1},(a)1个 (b)2个 (c)4个 (d)8个4.(年高考全国新课标卷ⅰ)已知集合a={x|x2-2x>0},b={x|-(a)a∩b= (b)a∪b=r解析:a={x|x>2或x<0},∴a∪b=r,故挑选b.5.已知集合m={x ≥0,x∈r},n={y|y=3x2+1,x∈r},则m∩n等于( c )(a) (b){x|x≥1}(c){x|x>1} (d){x|x≥1或x<0}解析:m={x|x≤0或x>1},n={y|y≥1}={x|x≥1}.∴m∩n={x|x>1},故选c.6.设子集a={x + =1},子集b={y - =1},则a∩b等同于( c )(a)[-2,- ] (b)[ ,2](c)[-2,- ]∪[ ,2] (d)[-2,2]解析:集合a表示椭圆上的点的横坐标的取值范围a=[-2,2],集合b表示双曲线上的点的纵坐标的取值范围b=(-∞,- ]∪[ ,+∞),所以a∩b=[-2,- ]∪[ ,2].故选c.二、填空题7.( 年高考上海卷)若集合a={x|2x+1>0},b={x||x-1|<2},则a∩b=.解析:a={x x>- },b={x|-1所以a∩b={x -答案:{x -解析:因为2∈a,所以 <0,即(2a-1)(a- 2)>0,Champsaura>2或a< .①若3∈a,则 <0,即为( 3a-1)(a-3)>0,解得a>3或a< ,①②挑关连得实数a的值域范围就是∪(2,3].答案: ∪(2,3]若a≠0,b=(- ),∴- =-1或- =1,∴a=1或a=-1.所以a=0或a=1或a=-1组成的集合为{-1,0,1}.答案:{-1,0,1}10.已知集合a={x|x2+ x+1=0},若a∩r= ,则实数m的取值范围是.解析:∵a∩r= ,∴a= ,∴δ=( )2-4<0,∴0≤m<4.答案:[0,4)11.已知集合a={x|x2-2x-3>0},b={x|x2+ax+b≤0},若a∪b=r,a∩b={x| 3解析:a={x|x<-1或x>3},∵a∪b=r,a∩b={x|3∴b={x|-1≤x≤4},即方程x2+ax+b=0的两根为x1=-1,x2=4.∴a=-3,b=-4,∴a+b=-7.答案:-7三、解答题12.未知子集a={-4,2a-1,a2},b={a-5,1-a,9},分别谋适宜以下条件的a的值.(1)9∈(a∩b);(2){9}=a∩b.解:(1) ∵9∈(a∩b),∴2a-1= 9或a2=9,∴a=5或a=3或a=-3.当a=5时,a={-4,9,25},b={0,-4,9};当a=3时,a-5=1-a=-2,不满足集合元素的互异性;当a=-3时,a={-4,-7,9},b={-8,4,9},所以a=5或a=-3.(2)由(1)所述,当a=5时,a∩b={-4,9},相左题意,当a=-3时,a∩b={9}.所以a=- 3.13.已知集合a={x|x2-2x-3≤0};b={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈r,m∈r}.(1)若a∩b=[0,3],谋实数m的值;解:由已知得a={x|-1≤x≤3},b={x|m-2≤x≤m+2}.(1)∵a∩b=[0,3],∴∴m=2.∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.14.设u=r,子集a={x |x2+3x+2=0},b={x|x2+(m+1)x+m=0},若解:a={x|x=-1或x=-2},方程x2+(m+1)x+m=0的根是x1=-1,x2=-m,当-m=-1,即m=1时,b={-1},当-m≠-1,即m≠1时,b={-1,-m},∴-m=-2,即m=2.所以m=1或m=2.集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合a={1,2}，集合b={2,1}，则集合a=b。
高一数学必修1第一章测试题及答案
高一数学必修1第一章测试题及答案高一第一章测试题（一）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.设集合 $A=\{x\in Q|x>-1\}$，则（）A。
$\varnothing \in A$ B。
$2\in A$ C。
$2\in A$ D。
$\{2\}\subseteq A$2.已知集合 $A$ 到 $B$ 的映射 $f:x\rightarrow y=2x+1$，那么集合 $A$ 中元素 $2$ 在 $B$ 中对应的元素是：A。
$2$ B。
$5$ C。
$6$ D。
$8$3.设集合 $A=\{x|1<x<2\},B=\{x|x<a\}$。
若 $A\subseteq B$，则 $a$ 的范围是()A。
$a\geq 2$ B。
$a\leq 1$ C。
$a\geq 1$ D。
$a\leq 2$4.函数 $y=2x-1$ 的定义域是（）A。
$(,\infty)$ B。
$[。
\infty)$ C。
$(-\infty,)$ D。
$(-\infty,]$5.全集 $U=\{0,1,3,5,6,8\}$，集合 $A=\{1,5,8\},B=\{2\}$，则集合 $B$ 为（）A。
$\{0,2,3,6\}$ B。
$\{0,3,6\}$ C。
$\{2,1,5,8\}$ D。
$\varnothing$6.已知集合 $A=\{x-1\leq x<3\},B=\{x^2<x\leq 5\}$，则$A\cap B$ 为（）A。
$(2,3)$ B。
$[-1,5]$ C。
$(-1,5)$ D。
$(-1,5]$7.下列函数是奇函数的是（）A。
$y=x$ B。
$y=2x-3$ C。
$y=x^2$ D。
$y=|x|$8.化简：$(\pi-4)+\pi=$（）A。
$4$ B。
$2\pi-4$ C。
$2\pi-4$ 或 $4$ D。
$4-2\pi$9.设集合 $M=\{-2\leq x\leq 2\},N=\{y\leq y\leq 2\}$，给出下列四个图形，其中能表示以集合 $M$ 为定义域，$N$ 为值域的函数关系的是（）无法呈现图片，无法回答）10.已知$f(x)=g(x)+2$，且$g(x)$ 为奇函数，若$f(2)=3$，则 $f(-2)=$A。
高一数学必修一全章节练习题(附答案解析)
第一章 集合与函数的概念1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数 解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意； 二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢． 2．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：x 1 2 3 … y 1 3 8 …则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者． 其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①②解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x2时面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________.解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－12x 2＋x ＋12＝－12(x －1)2＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212.答案：1 12121x 1 2 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11( )A ．指数函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩 解析：选C.y ＝10000×(1＋20%)3＝17280.3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减 解析：选B.设该商品原价为a ，四年后价格为a (1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a . 所以(1－0.9216)a ＝0.0784a ＝7.84%a ， 即比原来减少了7.84%.4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2000)B ．y ＝0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2000)D ．y ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x )辆次， 则总收入y ＝0.5x ＋(2000－x )×0.8＝0.5x ＋1600－0.8x ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)．5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析：选C.设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方．故选C.6．小蜥蜴体长15 cm ，体重15 g ，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm 时，它的体重大约是( )A ．20 gB ．25 gC ．35 gD ．40 g解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20，因此有W 20＝W 15·203153≈35.6(g)，合理的答案为35 g ．故选C.7．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1；乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．答案：甲8．一根弹簧，挂重100 N 的重物时，伸长20 cm ，当挂重150 N 的重物时，弹簧伸长________．解析：由10020＝150x，得x ＝30.答案：30 cm9．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变． 以上说法中正确的是________．解析：观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④. 答案：①④10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1000. 所以，y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ， 成本总价＝成本单价×销售量＝500y ， 代入求毛利润的公式，得S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1000)－500(－x ＋1000) ＝－x 2＋1500x －500000＝－(x －750)2＋62500(500≤x ≤800)．所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件． 11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·(12)th ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？解：由题意知40－24＝(88－24)·(12)20h ，即14＝(12)20h . 解之，得h ＝10.故T －24＝(88－24)·(12)t10.当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·(12)t10，即(12)t 10＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25. 因此，约需要25 min ，可降温到35 ℃.12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ， ∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值．因为8<x 0<9，则取x 0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k ＜5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B 中k 取负数，多了若干元素；C 中t ＝0时多了－3这个元素，只有D 是正确的．2．集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，S ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，a ∈P ，b ∈M ，设c ＝a ＋b ，则有( )A ．c ∈PB ．c ∈MC ．c ∈SD ．以上都不对解析：选B.∵a ∈P ，b ∈M ，c ＝a ＋b ， 设a ＝2k 1，k 1∈Z ，b ＝2k 2＋1，k 2∈Z ， ∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1， 又k 1＋k 2∈Z ，∴c ∈M .3．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6解析：选D.∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4， 故A *B ＝{0,2,4}，∴集合A *B 的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则用列举法表示集合C ＝____________.解析：∵C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }， ∴满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案：D2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∉M B ．a ∈MC ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M 解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；(3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴． 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{0} B ．{y |y 2＝0} C ．{x |x ＝0} D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个．解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个． 答案：28．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x －3∈Z ，试用列举法表示集合A ＝________.解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________． 解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1. 答案：m <110. 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根， ∴a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. 方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1.12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围．解：①a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．②a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合①②，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．水浒书业的全体员工 B ．《优化方案》的所有书刊C ．2010年考入清华大学的全体学生D ．美国NBA 的篮球明星解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.①②正确，③④错误．3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 解析：由x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3. 由x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1. 答案：31．若以正实数x ，y ，z ，w 四个元素构成集合A ，以A 中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 答案：A2．设集合A 只含一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈A D ．a ＝A 答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有( ) ①教2011届高一的年轻教师；②你所在班中身高超过1.70米的同学； ③2010年广州亚运会的比赛项目； ④1,3,5.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合．4．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c . 5．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．②C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52，y ＝3＋2π，则有( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∉MC ．x ∉M ，y ∈MD ．x ∉M ，y ∉M解析：选B.∅x ＝13－52＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∉M .7．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z .其中正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确． 答案：38．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________． 解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ； 当a ＝4时，6－a ＝2∈A ； 当a ＝6时，6－a ＝0∉A ， 所以a ＝2或a ＝4. 答案：2或49．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：310．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值． 解：∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解：根据集合中元素的互异性，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有( )①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }⊆{b ，a }；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}． A ．6个 B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下 解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( ) A ．对任意的a ∈A ，都有a ∉B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈A C ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∉B D ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．3．设A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A B ，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2. 4．集合M ＝{x |x 2－3x －a 2＋2＝0，a ∈R }的子集的个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a 2)＝1＋4a 2＞0，∴M 恒有2个元素，所以子集有4个． 答案：41．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0⊆A B ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的．2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A ．A >B B ．ABC ．B AD ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立．3．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{2,3,5}，则A －B 等于( ) A ．A B ．BC ．{2}D ．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A 中但是不能在B 中，所以只能是D. 4．以下共有6组集合．(1)A ＝{(－5,3)}，B ＝{－5,3}； (2)M ＝{1，－3}，N ＝{3，－1}； (3)M ＝∅，N ＝{0}；(4)M ＝{π}，N ＝{3.1415}；(5)M ＝{x |x 是小数}，N ＝{x |x 是实数}；(6)M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{y |y 2－3y ＋2＝0}． 其中表示相等的集合有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A *B ＝{ω|ω＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }．若集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ∈B D ．B ∈A解析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅， ∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故BA .答案：B A8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 的值为________．解析：A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝aca ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∴c ＝1舍去，即此时无解．②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a (2c 2－c －1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解． 当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆MC ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝{1,4} 解析：选C.∵M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}． ∴选项A 、B 显然不对．M ∪N ＝{1,2,3,4}， ∴选项D 错误．又M ∩N ＝{2,3}，故选C.3．已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |x ＝y 2}，则M ∩N ＝( ) A ．{(0,0)，(1,1)} B ．{0,1} C ．{y |y ≥0} D ．{y |0≤y ≤1}解析：选C.M ＝{y |y ≥0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M ＝{y |y ≥0}． 4．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ∪B ＝A ，即B ⊆A ，∴m ≥2. 答案：m ≥21．下列关系Q ∩R ＝R ∩Q ；Z ∪N ＝N ；Q ∪R ＝R ∪Q ；Q ∩N ＝N 中，正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.只有Z ∪N ＝N 是错误的，应是Z ∪N ＝Z .2．(2010年高考四川卷)设集合A ＝{3,5,6,8}，集合B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B 等于( ) A ．{3,4,5,6,7,8} B ．{3,6} C ．{4,7} D ．{5,8}解析：选D.∵A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，∴A ∩B ＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.根据元素特性，a ≠0，a ≠2，a ≠1. ∴a ＝4.4．已知集合P ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于( ) A ．{2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3}解析：选A.Q ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∴P ∩Q ＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |2＜x ≤3} B ．{x |x ≥1} C ．{x |2≤x ＜3} D ．{x |x ＞2}解析：选A.∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．6．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a ＜－3或a ＞－1 解析：选A.S ∪T ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∴－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3. 答案：38．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5， ∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：49．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝∅； 当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}； 当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2. 答案：210．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∪B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∵A ∩B ＝{3}，∴由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}． 又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9. 综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∪B . 解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}． 借助数轴如图：①当a －3≤5，即a ≤8时， A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}． ②当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R .综上可知当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}； 当a ＞8时，A ∪B ＝R .12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，求a 的值．解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝∅，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a ，解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝02－a ≠0，即a ＝－2.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∁U A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9} 解析：选D.∁U A ＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}．3. 已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.解析：∵A∪∁U A＝U，∴A＝{x|1≤x＜2}．∴a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于()A．{2} B．{5}C．{3,4} D．{2,3,4,5}解析：选C.∁U B＝{3,4,5}，∴A∩(∁U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝()A．{0} B．{1}C．∅D．{0,1}解析：选D.∵∁U A＝{2}，∴2∉A，又U＝{0,1,2}，∴A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}．6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：选D.U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素，故选D.7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }，∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2. 答案：{m |m ≥2}10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．解：∵B ∩(∁U A )＝{2}， ∴2∈B ，但2∉A .∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝127.∴a ，b 的值为87，－127.12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求实数a 的取值范围． 解：∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅， ∵A ∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ， ∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a 2a －2≥2. ∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 解析：选C.A 、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1} D ．∅或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝∅或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)8．函数y ＝(x ＋1)03－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，32)9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________． 解析：当x 取－1,0,1,2时， y ＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}． 答案：{－1，－2,2}10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值．解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)由(1)知g (2)＝6，∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)．∵ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a]．∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－1a]，∴－1a≥1，而a ＜0，∴－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x，则f (x )等于( )A.11＋x(x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0)C.x 1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 解析：选C.f (1x )＝11＋x ＝1x 1＋1x(x ≠0)，∴f (t )＝t1＋t (t ≠0且t ≠－1)，∴f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)．3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x 2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y 1 －1B.x 奇数 0 偶数y 1 0－1 C.x 有理数 无理数 y 1 －1D.x 自然数 整数 有理数y 1 0 －1解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f (12)＝16－1＝15. 法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B.∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1 解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ， 由于点(0,0)在函数图象上， ∴f (0)＝(0－1)2＋c ＝0，∴c ＝－1，∴f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( )A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0)D ．y ＝216x (x >0)解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x .7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1，∴f [1f (3)]＝f (1)＝2.答案：2 9．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． 解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1) ＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1.再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1.11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＋1x，求f (x )．解：∵x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x ≠1，∴f (x ＋1x )＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x)＋1.∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3.∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 (x ＞10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18 D ．16 解析：选A.f (5)＝f (f (10))， f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21， f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜11x， x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为( )A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2 D ．0,0或2 答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10； 当3＜x ≤4时，y ＝11.6； 当4＜x ≤5时，y ＝13.2； …当n －1＜x ≤n 时，y ＝10＋(n －3)×1.6，故选C.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2(0≤x ≤3)x 2＋6x (－2≤x ≤0)的值域是( )A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( ) A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3 D.3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x 为有理数，0， x 为无理数，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x 为有理数，1， x 为无理数，当x ∈R 时，f (g (x ))，g (f (x ))的值分别为( )A ．0,1B ．0,0C ．1,1D ．1,0解析：选D.g (x )∈Q ，f (x )∈Q ，f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝0.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2 (x ≤－1)，2(x ＋1) (－1<x <1)，1x －1 (x ≥1)，已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎭⎫－12，12∪(1，＋∞) 解析：选C.f (a )>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1(a ＋1)2>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <12(a ＋1)>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a－1>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a <－2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1a >－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12⇔a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ， 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”． 答案：mati8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，f (x －2)， x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.答案：09．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0x ＋(x ＋2)·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＜0x ＋(x ＋2)·(－1)≤5， 解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－1≤x ≤1)1 (x ＞1或x ＜－1)，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∵260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∴s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t (0≤t ≤5)，260 ⎝⎛⎭⎫5＜t ≤612，260＋65⎝⎛⎭⎫t －612 ⎝⎛⎭⎫612＜t ≤1012.12. 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. ①当点F 在BG 上时，。
数学必修一第一章试卷(含答案)
必修一第一章 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|1P x y x ==+，集合{}|1Q y y x =-＝，则P 与Q 的关系是（ ） A ．P Q =B ．P Q ⊆C ．P Q ⊇D ．P Q =∅2．若集合A ＝{y|y ＝2x ，x∈R}，B ＝{y|y ＝x 2，x∈R}，则 ( )A ．A ⊆B B ．A ⊇BC ．A =BD ．A ∩B =∅3．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则右图中的阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,84．已知集合A ={x|x <2}，B ={x|log 3x <1}，则A ∩B =（ ）A ．{x|x <3}B ．{x|x >1}C ．{x|0<x <2}D ．{x|0<x ≤1} 5．若(1)f x -的定义域为[1，2]，则(2)f x +的定义域为（ ）A ．[0，1]B ．[－2，－1]C ．[2，3]D ．无法确定6．下面各组函数中是同一函数的是（ ）A ．32y x =-与2y x x =-B ．()2y x =与y x = C ．11y x x =+⋅-与()()11y x x =+- D ．()221f x x x =--与()221g t t t =--7．下列各图中，不可能表示函数y ＝f(x)的图像的是( )A ．B ．C ．D ． 8．函数()123f x x x =-+-的定义域为（ ）． A ．(2，3)∪(3，+∞) B ．[2，3)∪(3，+∞) C ．[2，+∞)D ．(3，+∞)9．已知函数2log ,0,()3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ） A ．27 B ．9 C ．127 D ．1910．已知函数()2143f x x -=+，且()6f t =，则t =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1511．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增,则满足(21)(1)f x f -<的x 取值范围是（ ）A ．1x <B ．1x >C ．01x <<D ．0x < 12．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()10f =，则满足()23f x ->0的x 的取值范围是（）A ．()1,2B ．()2+∞，C ．()(),12,-∞⋃+∞D ．[)02， 二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，32()2f x x x =-，则(3)f =_____________.14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()31x f x =-，则当0x <时，()f x =_____________.15．设a ，b R ∈，集合{}1,,A a b a =+，0,,b B b a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -=______ 16．已知集合{},A a b =，写出集合A 的所有子集为______.三、解答题17（10分）．设全集为R ，集合{}36A x x =≤<，{}25B x x =<<.（1）分别求A B ，()A B C R⋃；（2）已知集合{}|1C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值构成的集合.18（12分）．已知函数8()32f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）求(2)f -及(6)f 的值．19（12分）．已知函数()[](]25,1,223,2,4x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩. （1）在图中给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调递增区间.20（12分）.用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数.21（12分）．已知函数()(]()[)x 6x 1.5f x 3x x 1.51x 2x 1，，，，，，∞∞⎧--∈--⎪=∈-⎨⎪+∈+⎩．（1）画出函数f （x ）的图象；（2）由图象写出满足f （x ）≥3的所有x 的集合（直接写出结果）；（3）由图象写出满足函数f （x ）的值域（直接写出结果）．22（12分）．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-. （1）求出函数()f x 在R 上的解析式；（2）画出函数()f x 的图像，并写出单调区间；（3）若()y f x =与y m =有3个交点，求实数m 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】求函数定义域求得集合P ，求函数值域求得集合Q ，由此得出两个集合的关系.【详解】对于集合A ，由10x +≥解得1x ≥-.对于集合Q ，0y ≥.故集合P 包含集合Q ，所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查集合与集合的关系，考查函数定义域和值域的求法，考查集合的研究对象，属于基础题.2．A【解析】【分析】由指数函数的值域化简集合A ，由二次函数的值域化简集合B ，对选项中的集合关系逐一判断即可.【详解】集合A ={y|y =2x ,x ∈R }={y|y >0}，B ={y|y =x 2,x ∈R }={y|y ≥0}，∴A ⊆B ，故选A.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 3．B【解析】阴影部分表示的集合为{}{}{}()4,6,7,82,4,64,6U A B ⋂=⋂=4．C【解析】【分析】先求解集合B ，然后由集合的交集运算求解.【详解】因为B ={x|log 3x <1}={x|0<x <3}，所以A ∩B ={x|0<x <2}，故选C.【点睛】本题考查了对数不等式的解法、集合交集运算，属于基础题，题目意在考查对集合运算掌握的熟练程度.5．B【解析】【分析】f （x ﹣1）的定义域为[1，2]，即x ∈[1，2]，再求x ﹣1的范围，再由f （x ）的定义域求f （x +2）的定义域，只要x +2在f （x ）的定义域之内即可．【详解】f （x ﹣1）的定义域为[1，2]，即x ∈[1，2]，所以x ﹣1∈[0，1]，即f （x ）的定义域为[0，1]，令x +2∈[0，1]，解得x ∈[﹣2，﹣1]，故选：B ．【点睛】本题考查抽象复合函数求定义域问题，复合函数的定义域关键是搞清自变量，易出错． 6．D【解析】因为选项A 中，对应关系不同，选项B 中定义域不同，对应关系不同，选项C 中，定义域不同，选项D 中定义域和对应法则相同，故选D.7．B【解析】B 中一个x 对应两个函数值，不符合函数定义.故选B.8．B【解析】【分析】解不等式组2030x x -≥⎧⎨-≠⎩可求得函数定义域. 【详解】 由题意可得：2030x x -≥⎧⎨-≠⎩23x x ≥⎧⇒⎨≠⎩ [)()2,33,x ⇒∈+∞本题正确选项：B【点睛】 本题考查函数定义域的基本要求，关键在于能够明确偶次根式被开方数大于等于零，分式分母不等于零，属于基础题.9．D【解析】【分析】结合函数解析式，将变量代入运算即可得解.【详解】解：由函数2log ,0,()3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 又()21239f --==， 即1149f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：D.本题考查了分段函数求值问题，重点考查了指数与对数求值，属基础题.10．A【解析】分析：用换元法求出()f t ，再解方程()6f t =即可.详解：21t x =-，则12t x +=， 故()143252t f t t +=⨯+=+， 令256t +=，则12t =，故选A . 点睛：函数解析式的求法有：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函数方程法.注意针对问题的特征选择合适的方法.11．C【解析】【分析】由()f x 为偶函数且在[)0,+∞上单调递增,便可由(21)(1)f x f -<得211x -<,解该绝对值不等式便可得出x 的取值范围.【详解】解：因为()f x 为偶函数,所以由(21)(1)f x f -<得(21)(1)f x f -<;又()f x 在[)0,+∞上单调递增; 211x ∴-<解得01x <<； x 的取值范围是01x <<.故选:C【点睛】本题考查函数的单调性解不等式,是基础题.【解析】【分析】根据偶函数的性质，结合题意画出函数的大致图像，由此列不等式，解不等式求得()23f x ->0的x 的取值范围.【详解】由于偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()10f =，所以函数()f x 在(],0-∞上递增，且()10f -=，画出函数大致图像如下图所示，由图可知()23f x ->0等价于1231x -<-<，解得12x <<.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查偶函数的图像与性质，考查利用奇偶性解抽象函数不等式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.13．C【解析】函数()f x 为奇函数，有(3)(3)f f =--，再把3x =-代入已知条件得到(3)f 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以32(3)(3)[(3)2(3)](2718)45f f =--=----=---=.【点睛】本题考查利用奇函数的定义求函数值，即(3)(3)f f =--，考查基本运算能力.14．C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，将0x <转化为0x ->即可求出函数的解析式.【详解】若0x <，则0x ->，当0x >时，()31x f x =-， ()31x f x -∴-=-，函数()f x 是奇函数，()()31x f x f x -∴=--=-+，所以C 选项是正确的.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，利用函数奇偶性的性质将条件进行转化是解决本题的关键，属基础题.15．A【解析】试题分析：由已知，，故，则，所以，. 考点：集合性质．16．{}{}{},,,,a b a b ∅【解析】【分析】根据子集的概念即可求出结果.【详解】因为{},A a b =，所以A 的所有子集为{}{}{},,,,a b a b ∅；故答案为：{}{}{},,,,a b a b ∅.【点睛】本题主要考查集合子集的基本概念，属于基础题.17．（1）{|35}A B x x ⋂=≤<，(){|2R A B x x =≤或3}x ≥；（2）[2,4]【解析】【分析】（1）进行交集、并集和补集的运算即可； （2）根据C B ⊆即可得出215a a ≥⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可.【详解】解：（1）{|36},{|25}A x x B x x =≤<=<<，(){|35},{|2R A B x x B x x ∴=≤<=≤或5}x ，(){|2R A x x B ∴=≤或3}x ≥；（2）{}|1C x a x a =<<+，且C B ⊆，则215a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得24a ≤≤， ∴实数a 的取值构成的集合为[2,4].【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集、并集和补集的运算，子集的定义.18．（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f =【解析】试题分析：（1）由20x -≠，且30x +≥即可得定义域；（2）将2x =-和6代入解析式即可得值.试题解析：（1）解：依题意，20x -≠，且30x +≥，故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()3,22,-⋃+∞.（2）()82122f -=+=---， ()86562f ==-. 19．（1）见解析；（2）单调递增区间是[)1,0-，(]2,4【解析】【分析】（1）根据二次函数与一次函数图象再对应区域内画图，（2）根据图象直接写出单调增区间.【详解】（1）（2）()f x 的单调递增区间是[)1,0-，(]2,4【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象与性质，考查基本分析求解能力，属基础题.20．见解析【解析】试题分析：本题考查函数单调性的证明.首先在定义域上任取两个12x x <，然后计算()()120f x f x -<，由此判断出函数为区间()2,+∞上为增函数.试题解析：令12x x <，且()12,2,x x ∈+∞，()()()121212121212444x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=+-+=- ⎪⎝⎭，由于12x x <，()12,2,x x ∈+∞，所以120x x -<，1240x x ->；故()()120f x f x -<，所以函数在区间()2,+∞上为增函数.21．（1）见图像；（2）（-∞，-9]∪[1，+∞）；（3）9.2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】分段作出函数的图像，结合图像求解解集和值域问题.【详解】 (1）f （x ）的图象如图所示：（2）（-∞，-9]∪[1，+∞）；（3）92∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题主要考查分段函数的图像问题，利用图像求解不等式和值域，侧重考查数形结合的思想.22．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩（2）图见解析，()f x 在()(),11,-∞-+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减.（3）()1,1m ∈-【解析】【分析】（1）通过①由于函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()00f =；②当0x <时，0x ->，利用()f x 是奇函数，()()f x f x -=-．求出解析式即可．（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间．（3）利用函数的图象，直接观察得到m 的范围即可．【详解】（1）①由于函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()00f =；②当0x <时，0x ->，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-．所以()()()()22[2]2f x f x x x x x =--=----=--． 综上：()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩＝．（2）图象如下图所示：．单调增区间：(][),1,1,-∞-+∞ 单调减区间：()1,1-．（3）因为方程()f x m =有三个不同的解，由图像可知， 11m -<<，即()1,1m ∈-．【点睛】本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，函数图象的画法，考查计算能力．。
高一数学必修一第一章测试题及答案
高中数学必修1检测题一、选择题：每小题5分，12个小题共60分1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则 B C U ）等于 （ ）A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{2，4，5}D ．{2，5}2．已知集合}01|{2 x x A ，则下列式子表示正确的有（ ） ①A 1 ②A }1{ ③A ④A }1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若:f A B 能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B .A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如果函数2()2(1)2f x x a x 在区间 ,4 上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）A 、3a ≤B 、3a ≥C 、a ≤5D 、a ≥5 5、下列各组函数是同一函数的是 （ ）①()f x ()g x f(x)=x 与()g x ③0()f x x 与01()g x x；④2()21f x x x 与2()21g t t t 。
A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④6．根据表格中的数据，可以断定方程02 x e x 的一个根所在的区间是（ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7．若 33)2lg()2lg(,lg lg yx a y x 则 （ ）A ．a 3B ．a 23C ．aD ．2a8、 若定义运算b a ba b aa b，则函数 212log log f x x x 的值域是（ ） A 0, B 0,1 C 1, D R9．函数]1,0[在x a y 上的最大值与最小值的和为3，则 a （ ）A ．21 B ．2 C ．4 D ．41 10. 下列函数中，在 0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x B、2log y C 、21log y x D、2log (45)y x x 11．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
高中数学必修一各章节同步练习(附答案解析)
第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[答案] C[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A[答案] A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .3．(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7} [答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D.6．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[答案] B[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B.二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N *；3________Z ； 0________N ；(－1)0________N *； 3＋2________Q ；43________Q .(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}； (2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.[答案] 2[解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题9．已知集合A 含有a －2,2a 2＋5a,12三个元素，且－3∈A ，求a 的值． [解析] ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，经检验，符合题意．故a ＝－32.[注意] (1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a －2,2a 2＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a 的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.[点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1} C ．{1} D ．{y |(y －1)2＝0}[答案] B[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[答案] C [解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[答案] D[解析] 当x ＞0，y ＞0，z ＞0时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.4．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________．[答案] {k |5＜k ≤6}[解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝________.[答案] {－3，－1,1,3} [解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意． 三、解答题7．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．[分析] 已知a ∈A ，1＋a 1－a ∈A ，将a ＝13代入1＋a1－a 即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．[解析] ∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋21－2＝－3∈A ，∴1－31＋3＝－12∈A ，∴1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12.8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”． (1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等．第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是( )A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．下列命题中，正确的有( )①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①②B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D[答案] B[解析] ∵正方形必为矩形，∴C⊆B.4．下列四个集合中，是空集的是( )A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案] B[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] D[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2[答案] A[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B ，所以a ≥2. 二、填空题7．用适当的符号填空：(1){x |x 是菱形}________{x |x 是平行四边形}； {x |x 是三角形}________{x |x 是斜三角形}． (2)Z ________{x ∈R |x 2＋2＝0}； 0________{0}；Ø________{0}；N ________{0}． [答案] (1)(2) ∈[解析] (1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x ∈R |x 2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x ∈R |x 2＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N 中含有元素0，但不止0这一个元素．8．(2012·大纲全国改编)已知集合A ＝{1,2，m 3}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝________. [答案] 0或2或－1[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ，所以m ＝m 3或m ＝2，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m ＝0或2或－1.三、解答题9．判断下列集合间的关系：(1)A ＝{x |x －3＞2}，B ＝{x |2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }． [解析] (1)∵A ＝{x |x －3＞2}＝{x |x ＞5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}，∴利用数轴判断A 、B 的关系． 如图所示，AB .(2)∵A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A ，∴B ＝{0,1,2}，∴B A .10．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 解法一：集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，对于集合N ，当n 是偶数时，设n ＝2t (t ∈Z )， 则N ＝{x |x ＝t －13，t ∈Z }；当n 是奇数时，设n ＝2t ＋1(t ∈Z )，则N ＝{x |x ＝2t ＋12－13，t ∈Z }＝{x |x ＝t ＋16，t ∈Z }．观察集合M ，N 可知M N .对于集合P ，当p 是偶数时，设p ＝2s (s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝s ＋16，s ∈Z }，当p 是奇数时，设p ＝2s －1(s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝2s －12＋16，s ∈Z } ＝{x |x ＝s －13，s ∈Z }．观察集合N ，P 知N ＝P . 综上可得：MN ＝P .解法二：∵M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝3×2m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －1＋16，n －1∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }，比较3×2m ＋1,3(n －1)＋1与3p ＋1可知，3(n －1)＋1与3p ＋1表示的数完全相同， ∴N ＝P,3×2m ＋1只相当于3p ＋1中当p 为偶数时的情形， ∴MP ＝N .综上可知M P ＝N .能力提升一、选择题1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M 与N 的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}，∴MN ，故选B.解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．2．(2015·湖北孝感期中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．Ø∈A[答案] B[解析] B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，故选B. 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] 由题意知，a ＝0时，B ＝Ø，满足题意；a ≠0时，由2a∈A ⇒a ＝1,2，所以a 的值不可能是3.4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．64[答案] D[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P *Q 的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝Ø，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1[解析] ∵M ＝Ø，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.6．集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝－x ＋2，y ＝12x ＋2⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.[答案] 2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝12x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入y ＝3x ＋b 得b ＝2. 三、解答题7．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，∴关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠Ø， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}． 当B ＝{－1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ，解得a ＝0，b ＝－1.8．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意；当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，2m －1<－2，解得m >4.综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a ∈(A ∪B )，则a ∈A ；②若a ∈(A ∩B )，则a ∈(A ∪B )；③若a ∈A ，且a ∈B ，则a ∈(A ∩B )；④若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x >3}，则M ∪N ＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x ≤5}C ．{x |3<x ≤5}D ．{x |x ≤5}[答案] A[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2[答案] D[解析] A∩B＝{8,14}，故选D.4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.5．若A∪B＝Ø，则( )A．A＝Ø，B≠ØB．A≠Ø，B＝ØC．A＝Ø，B＝ØD．A≠Ø，B≠Ø[答案] C6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为( )A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案] C[解析] 如图．要使A∩B＝Ø，应有a<－1.二、填空题7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.[答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x ＝0,1或－2.8．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.[答案] 6[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.三、解答题9．设集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，A ∩B ＝{－3}，求实数a 的值．[解析] ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B .∵a 2＋1≠－3，∴①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}，但由于A ∩B ＝{1，－3}与已知A ∩B ＝{－3}矛盾，∴a ≠0.②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，A ∩B ＝{－3}．综上可知a ＝－1.10．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a 2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2<2，∴a ＞－4. 能力提升一、选择题1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则M ∪N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－1,1} [答案] C[解析] 由题意可知，集合N ＝{－1,0}，所以M ∪N ＝M .2．若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P 等于( )A ．(1，－1)B ．{x ＝1或y ＝－1}C ．{1，－1}D ．{(1，－1)} [答案] D[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0x －y ＝2的解∴M ∩P ＝{(1，－1)}．3．(2015·衡水高一检测)若集合A ，B ，C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系为( )A ．C AB ．AC C ．C ⊆AD ．A ⊆C [答案] D[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，又B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选D.4．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3} [答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}．二、填空题5．以下四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆A ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的为________．[答案] ②③④[解析] ①是错误的，a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ，不一定推出a ∈A .6．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，则A ∪B ＝________.[答案] {－2，－1,4}[解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ，即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12－p ＋q ＝0，－12＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2， 所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}，所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．三、解答题7．已知A ＝{x |2a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．[解析] ∵B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，a ＋8≥5，解得－3≤a ＜－12. 8．设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R .如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2.当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－2a ＋2＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2.综上可得a ＝2或a ≤－2. [点评] (1)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时，要考虑B ＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集基础巩固一、选择题1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,5}，集合B ＝{1,2}，则(∁I B )∩A 为( )A ．{2}B ．{3,5}C ．{1,3,4,5}D ．{3,4,5}[答案] B[解析] 因为全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{1,2}，则∁I B ＝{3,4,5}．所以(∁I B )∩A 为{3,5}．故选B.[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析] ∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．(∁R P)⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁R P)⊆Q，故选C.4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U M) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] ∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁U B)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足( )A．a≥2B．a＞2C．a＜2 D．a≤2[答案] A[解析] ∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2，故选A.二、填空题7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.[答案] 58．U ＝R ，A ＝{x |－2<x ≤1或x >3}，B ＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝________，∁A B ＝________.[答案] {x |x ≤－2或1<x ≤3} {x |－2<x ≤1或3<x <4}三、解答题9．已知全集U ＝{2,3，a 2－2a －3}，A ＝{2，|a －7|}，∁U A ＝{5}，求a 的值．[解析] 解法1：由|a －7|＝3，得a ＝4或a ＝10.当a ＝4时，a 2－2a －3＝5，当a ＝10时，a 2－2a －3＝77∉U ，∴a ＝4.解法2：由A ∪∁U A ＝U 知⎩⎪⎨⎪⎧ |a －7|＝3a 2－2a －3＝5，∴a ＝4.10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[分析] 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，然后求解．[解析] 如图所示，∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．能力提升一、选择题1．如图，阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )A ．(∁U A )∩BB ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩(∁U B )D ．A ∪(∁U B )[答案] C[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁U B中，因此是A与∁U B的公共部分．2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝Ø，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝Ø；③若A∪B＝Ø，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有( )A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T[答案] B[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；若3∈∁U S，3∈T，则3∈(∁U S)∩T，排除C；若3∈∁U S,3∈∁U T，则3∈(∁U S)∩(∁U T)，排除D，∴选B，也可画图表示．4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}[答案] D[解析] ∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.二、填空题5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁R P，则a的取值范围是________．[答案] a≥2[解析] M＝{x|－2＜x＜2}，∁R P＝{x|x＜a}．∵M⊆∁R P，∴由数轴知a≥2.6．已知U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则ab ＝________.[答案] 12[解析] ∵A ∪(∁U A )＝R ，∴a ＝3，b ＝4，∴ab ＝12.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．[提示] 由2∈B,4∈A ，列方程组求解．[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ，∴4－2a ＋b ＝0.①又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝87，b ＝－127.经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127. [点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ，再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围．[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝Ø，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A .(2)若B ≠Ø，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3，即－12≤a <3. 综上可得a ≥－12.第一章 1.1 1.1.3 第三课时习题课基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}[答案] A[解析] A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于( )A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[答案] B[解析] 画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B.3．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B)D．[∁U(A∩C)]∪B[答案] A[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选C.方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B )，∴(A ∪B )＝(A ∩B )， ∴A ＝B ，∴a ＝1.6．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B. 二、填空题7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.[答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，∴p ＋q ＝0.8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．三、解答题9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁UB )∩A ＝{4}，求A ∪B .[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝0，22－5×2＋q ＝0.解得p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．能力提升一、选择题1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝Ø[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .2．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D. 3．(2015·陕西模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠Ø，则( )A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2[答案] C[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}．∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当B∩(∁U A)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k≤0，∴当B∩(∁U A)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.二、填空题5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．[答案] 6[解析] 根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．所以共有6个．故答案为6.6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．[答案]1 12[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为13的线段，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝112.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，试探求a 取何实数时，(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立．[解析] B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，由A ∩BØ与A ∩C ＝Ø同时成立可知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，将3代入方程得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}，与此题设A ∩C ＝Ø矛盾，故不适合．当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，此时(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立，则满足条件的实数a ＝－2.8．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}， 则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}， 故A －B ≠B －A .又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝Ø，B －A ＝Ø，此时A －B ＝B －A ，故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0[答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是________． [答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法基础巩固一、选择题1．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[答案] C[解析] 设y ＝k x ，由1＝k 2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[答案] D[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7[答案] B[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1.4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A ．成绩y 不是考试次数x 的函数B ．成绩y 是考试次数x 的函数C ．考试次数x 是成绩y 的函数D ．成绩y 不一定是考试次数x 的函数 [答案] B5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x ＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1 D ．f (x )＝(x －1)2－1[答案] D6．(2015·武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1x)＝3x ，则f (2)的值为( )。
人教版本高中高一数学必修一第一章练习试题--精选与包括答案
会合与函数基础测试一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个切合要求 ) 1．函数 y ＝＝ x 2－6x ＋10 在区间（ 2，4）上是（ ）A ．递减函数B ．递加函数C ．先递减再递加D ．选递加再递减．x y 22．方程组 { x y 0 的解组成的会合是（）A ． {( 1,1)}B ． {1,1}C ．（1，1）D ． {1}3．已知会合 A={ a ， b ， c}, 以下能够作为会合 A 的子集的是（ ）A. aB. { a ，c}C. { a ，e}D.{ a ，b ，c ，d}4．以下图形中，表示 M N 的是 （ ）MNNM M NMNABCD5．以下表述正确的选项是 （ ）A. { 0}B. { 0}C. { 0}D. { 0} 6、设会合 A ＝{x|x 参加自由泳的运动员 } ，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员 } ，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用会合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A B C.A ∪B D.A B 7.会合 A={x x2k, k Z } ,B={ x x2k 1, kZ },C={ x x 4k 1, k Z } 又 aA, b B, 则有（ ）A.（a+b ） AB. (a+b) BC.(a+b) CD. (a+b)A 、B 、C 任一个）．函数f （ x ）＝－ x 2＋2（a －1）x ＋2 在（－∞， 4）上是增函数，则 a 的范围是（8A ．a ≥ 5B ．a ≥3C ． a ≤ 3D ．a ≤－ 5 9.知足条件 {1,2,3} M {1,2,3,4,5,6} 的会合 M 的个数是（ ）A. 8B. 7C. 6D. 510.全集 U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么会合 { 2 ， 7 ，8}是 （ ）A. A BB. A BC. C U A C U BD. C U A C U B 11.以下函数中为偶函数的是（）A ． y xB ． y xC ． y x 2D ． y x 3112. 假如会合 A={ x|ax 2 ＋ 2x ＋ 1=0} 中只有一个元素，则 a 的值是（ ）A ．0B ．0 或 1C ．1D ．不可以确立 二、填空题 (共 4 小题，每题 4 分，把答案填在题中横线上 ) 13．函数 f （x ）＝ 2×2－3｜x ｜的单一减区间是 ___________． 14．函数 y ＝ 1的单一区间为 ___________．x ＋115. 含 有 三 个 实 数 的 集 合 既 可 表 示 成 { a, b,1} ， 又 可 表 示 成 { a 2 , ab,0} ， 则a 2 0 0 3b 2 0 0 4.a16. 已 知 集 合 U { x | 3 x 3} ， M { x |1 x1} ， C U N { x | 0 x 2} 那 么 集 合N三、解答题(共， M4 小题，共(C U N )44 分）， M N .17. 已知会合 A { x x2 4 0} ，会合 B { x ax 2 0} ，若B A ，务实数a 的取值会合．18.设 f（x）是定义在R上的增函数， f（ xy）＝ f（x）＋ f（y）， f（3）＝ 1，求解不等式 f （x）＋ f（x－2）＞ 1．19.已知函数 f （x）是奇函数，且当 x＞0 时， f （x）＝ x3＋ 2x2— 1，求 f （x）在 R 上的表达式．20. 已知二次函数 f ( x) x2 2( m 1) x 2m m2的图象对于y 轴对称，写出函数的分析表达式，并求出函数 f (x) 的单一递加区间.必修1 第一章会合测试会合测试参照答案：一、 1~5CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB二、 13 ［ 0，3］，（－∞，－3）4 414 （－∞，－ 1），（－ 1，＋∞）15-1 16 N { x | 3 x 0 或 2 x 3} ；M(C U N ) { x | 0 x 1} ；M N { x | 3 x 1或 2 x 3} .三、17 .{0.-1,1} ；18. 解：由条件可得f（x）＋f（x－2）＝f［ x（x－2）］，1＝f（3）．因此 f［x（x－2）］＞ f（ 3），又 f（ x）是定义在R上的增函数，因此有x（x－2）＞ 3，可解得 x＞3 或 x＜－ 1．答案： x＞3 或 x＜－ 1．19.．分析：此题主假如培育学生理解观点的能力．f （ x）＝ x3＋2x2－1．因 f （ x）为奇函数，∴ f （0）＝ -1 ．当x＜0 时，－ x＞0，f （－ x）＝（－ x）3＋ 2（－ x）2－ 1＝－ x3＋2x2－1，∴f （x）＝ x3－2x2＋1．20. 二次函数 f ( x) x 2 2(m 1) x 2m m 2的图象对于y轴对称，∴ m 1，则f (x) x2 1，函数 f (x) 的单一递加区间为,0 .．。
高一数学必修一第一章(上)集合练习题及答案
{______ Q , π _______ Q , e ______ C Q （ e 是个无理数）（2） - {}高一数学（必修 1）第一章（上）集合[基础训练]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（）A ．所有的正数B ．等于 2 的数C ．接近于 0 的数D ．不等于 0 的偶数2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ． {x | x + 3 = 3} B ． {( x , y ) | y 2 = - x 2 , x , y ∈ R } C ． {x | x 2 ≤ 0} D ． {x | x 2 - x + 1 = 0, x ∈ R } 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ． ( A C ) (BC )B ． ( AB ) ( AC )A BC ． ( A B ) ( B C )D ． ( A B ) CC4．下面有四个命题：（1）集合 N 中最小的数是1 ；（2）若 -a 不属于 N ，则 a 属于 N ；（3）若 a ∈ N , b ∈ N , 则 a + b 的最小值为 2 ；（4） x 2 + 1 = 2 x 的解可表示为 1,1}；其中正确命题的个数为（ ）A ． 0 个B ．1 个C ． 2 个D ． 3 个5．若集合 M = {a , b , c }中的元素是△ ABC 的三边长，则△ ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集U = {0,1,2,3 }且C A = {2}，则集合 A 的真子集共有（）UA ． 3 个B ． 5 个C ． 7 个D ． 8 个二、填空题1．用符号“∈ ”或“∉ ”填空（1） 0 ______ N , 5 ______ N , 16 ______ N1 2R（3） 2 - 3 + 2 + 3 ________ x | x = a + 6b , a ∈ Q , b ∈ Q2. 若集合 A = {x | x ≤ 6, x ∈ N }， B = {x | x 是非质数} ， C = A B ，则 C 的{} {}1．已知集合 A = ⎨x ∈ N |8 ⎩ 6 - x ∈ N ⎬ ，试用列举法表示集合 A 。
高一数学必修一第一章练习题及答案
高一数学必修一第一章练习题及答案基础训练1.选择题1.下列各项中，不可以组成集合的是（）A。
所有的正数 B。
等于2的数 C。
接近于2的数 D。
不等于2的偶数2.下列四个集合中，是空集的是（）A。
{x|x+3=3} B。
{(x,y)|y=-x,x,y∈R} C。
{x|x≤0} D。
{x|x-x+1=0,x∈R}3.下列表示图形中的阴影部分的是（）A。
(AC)(BC) B。
(AB22BB)(AC) C。
(AB)(BC) D。
(AB)CC4.下面有四个命题：1）集合N中最小的数是1；2）若-a不属于N，则a属于N；3）若a∈N,b∈N，则a+b的最小值为2；4）x+1=2x的解可表示为{x|2x-1,x∈R}；其中正确命题的个数为（）A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个5.若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A。
锐角三角形 B。
直角三角形 C。
钝角三角形 D。
等腰三角形6.若全集U={0,1,2,3}且CUA={2}，则集合A的真子集共有（）A。
3个 B。
5个 C。
7个 D。
8个二、填空题1.用符号“∈”或“∉”填空1）∈N。
2）-5∉N,16∈N3) 2-3+2+3∈x|x=a+6b,a∈Q,b∈Q2.若集合A={x|x≤6,x∈N}，B={x|x是非质数}，C=A-B，则C的非空子集的个数为。
答案：633.若集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，则AB=_____________。
答案：{x|3≤x<7}4.设集合A={x-3≤x≤2},B={x2k-1≤x≤2k+1}，且A⊆B，则实数k的取值范围是。
答案：k≥25.已知A={y|-x2+2x-1=y}，B={y|2x+1=y}，则AB=_________。
答案：{x|0≤x≤1}三、解答题1.已知集合A={x∈N|6-x∈N}，试用列举法表示集合A。
答案：A={1,5}2.已知A={x-2≤x≤5}，B={xm+1≤x≤2m-1}，B⊆A，求m 的取值范围。
高一数学人教版必修一第一章《集合与函数概念》综合测试题(含答案)
第一章集合与函数概念综合测试题、选择题1函数讨二2x -1的定义域是（）2•已知集合 A 到B 的映射f:x T y=2x+1，那么集合A 中元素2在B 中对应的元素是（ ）A • 2B • 6C • 5D • 83•设集合 A 二{x|1 ：：： x ：：： 2}, B 二{x|x ：：： a}.若 A B,则 a 的范围是（）A • a_2B • a < 1C • a - 1D . a 乞 24•函数y =（k • 2）x • 1在实数集上是减函数，则 k 的范围是（）A • k l ：—2B • k z ；—2C • k ^ -2D • k-25•全集 U ={ 0,1,3,5,6,8},集合 A = { 1 , 5, 8 }, B ={2},则（6 A ） B =（）A （2，；）B.[]；）2 2—1 C.（「2） -1D.（ =，2]B • { 0,3,6} {2,1,5,8} D • {0,2,3,6}F列各组函数中，表示同一函数的是（0 x y =x ,y =A •xB y = .x -1 . x 1, y = . x2 -1—2Dy=|x|,y = （、x）F列函数是奇函数的是（1A • y =x2B • y =2x2 3 （一“）若奇函数f x在1,3】上为增函数，且有最小值0,则它在1-3,-1】上A •是减函数，有最小值C •是减函数，有最大值设集合M = X - 2乞x -2 :f,B •是增函数,D •是增函数,N 二：y0 -有最小值有最大值y乞2：,给出下列四个图形，其中能表示集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（）x2 x 010. 已知f (x) X=0，则 f [ f (-3)]等于( )0 x cO2A . 0 B. n C. n D. 9二. 填空题r X +5(XA 1) nt211. 已知f(x—1)=x2，贝y f(x)= .14.已知f (x) = 2 ，则2x +1(x 兰1)f[f(1)> _______________________ .212. 函数y = x -6x的减区间是_____________ .13•设偶函数f (x)的定义域为R，当x・[0, •：：)时f(x)是增函数，则f (2), f (二)，f (-3)的大小关系是_________________________三、解答题14.设U =R, A x _1[ B J x 0 ：： x ：： 5?,求C u 切B 和A C U B .15. 求下列函数的定义域(4)f(X)x —22(2) f(x)|x| -216.集合A = 'xx2• 4x = 0； B -汉x2• 2 a T x • a2-1 = 0若A B = B求a 的取值范围。
高中数学(必修一)第一章 充要条件 练习题及答案
高中数学（必修一）第一章 充要条件 练习题及答案学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．若命题“若a M ∈，则b M ∉”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（ ）A ．若a M ∉，则b M ∉B ．若b M ∉，则a M ∈C ．若a M ∉，则b M ∈D ．若b M ∈，则a M ∉2．设x ∈R ，则“2x >”是“21x <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知下列四组陈述句：①p ：集合(){}**|3A x y x y x y =+=∈∈N N ，，，；q ：集合{(1,2)}． ①p ：集合A B C A ⊆⊆⊆；q ：集合A B C ==．①p ：{}21x x x n n ∈=+∈Z ，；q ：{}61x x x n n ∈=-∈N ，．①p ：某中学高一全体学生中的一员；q ：某中学全体学生中的一员．其中p 是q 的必要而不充分条件的有( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①4．已知,R a b ∈，则“1a >或1b >”是“2a b +>”的（ ）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要 5． “2x π=”是“函数cos 2y x =取得最大值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为常数，n ∈N ，1n ≥），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）．A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既非充分也非必要条件7．命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．4a ≥B ．3a ≥C ．2a ≥D ．1a ≥8．若α，β表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且l α⊂，则“l β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．已知集合{}{}22,1A xx x B x a x a =-≤=≤≤+∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．[]1,2- D ．[]1,1-二、填空题10．下列说法错误的是_________________①若0xy ≥，则x y x y +>+①若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠①“2a b x +>是x >的充分不必要条件 ①“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+”11．直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充要条件是__________.12．已知p ：210x ≤≤，q ：11a x a -<<+，R a ∈，且p 是q 成立的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________．三、多选题13．下列选项中，p 是q 的充要条件的是（ ）A ．p ：0xy >，q ：0x >，0y >B ．p ：A B A ⋃=，q ：B A ⊆C ．p ：三角形是等腰三角形，q ：三角形存在两角相等D ．p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分四、解答题14．已知集合{|211}A x a x a =-≤≤+，{|03}B x x =≤≤．(1)若a ＝1，求A B ；(2)给出以下两个条件：①A ①B ＝B ；①“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a 的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）参考答案与解析：1．D【分析】原命题与其逆否命题同真假,故找出题设命题的逆否命题即可.【详解】命题“若a M ∈,则b M ∉”的逆否命题为:“若b M ∈,则a M ∉”,因为原命题与其逆否命题同真假,故由原命题为真命题可知其逆否命题为真命题,故选:D【点睛】本题考查命题真假的判断,考查命题间的真假关系,属于基础题.2．A 【分析】根据分式不等式的解法求21x <的解集，结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可. 【详解】当21x<时，有0x <或2x >， 所以2x >是21x <的充分条件，但不是必要条件. 故选：A3．D【分析】逐个判断是否有q p ⇒且p q 即可．【详解】①若**3x y x y +=∈∈N N ，，，则12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，①{(1,2),(2,1)}A =，即p ：{(1,2),(2,1)}A =；故q p⇒且p q ，即p 是q 的必要而不充分条件，符合题意；①若A B C A ⊆⊆⊆，则根据子集的性质可得A B C ==，即p ：A B C ==；故p 是q 的充要条件，不符题意；①对于21x n n =+∈Z ，，当31n k k =-∈Z ，时，61x k k =-∈Z ，， 故{}61x x n n =-∈N ， {}21x x n n =+∈Z ，，①p 是q 的必要而不充分条件，符合题意；①易知p q ⇒且q p ，即p 是q 的充分而不必要条件，不符合题意；综上，p 是q 的必要而不充分条件的有①①．4．B【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】当1a >或1b >时，如2a =，3b =-，此时1a b +=2<，因此不充分， 若1a ≤且1b ≤，则2a b a b +≤+≤，因此是必要的．即为必要不充分条件．故选：B ．5．D【分析】根据余弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当2x π=时，函数cos 2cos 1y x π===-，故充分性不成立；当函数cos 2y x =取得最大值时，22,Z x k k π=∈，即,Z x k k π=∈，故必要性也不成立，综上可得：“2x π=”是“函数cos 2y x =取得最大值”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．6．B【分析】利用等比数列的性质以及正负进行判断即可.【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()222112n n n n a a q p a a ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，p 为常数，所以{}2n a 成等比数列，即{}n a 是等方比数列，故必要性满足.若{}n a 是等方比数列，即{}2n a 成等比数列，则{}n a 不一定为等比数列，例如23452,2,2,2,2,...--，有()221224n na a +=±=，满足{}n a 是等方比数列，但{}n a 不是等比数列，充分性不满足. 故选：B7．A【分析】充分不必要条件是指由结果不能推出条件，故放宽条件即可.【详解】由题知，命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题时，满足[1,3]x ∀∈-，22x x a -≤.则当[1,3]x ∈-时，222(1)13x x x -=--≤，所以命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题时，3a ≥.经验证，A 选项符合题意；8．C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定分析判断即可.【详解】若l α⊂，l β∥，则平面α和平面β可能平行，也可能相交；若l α⊂，αβ∥，则l β∥，所以“l β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件．故选：C ．9．D【分析】根据二次不等式的求解，结合集合关系的区间端点大小关系求解即可【详解】{}()(){}[]222101,2A x x x x x x =-≤=-+≤=-∣∣，因为B A ⊆，故112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤ 故选：D10．①①①【分析】①当,x y 均为正数时结论是错误的；①220x y +≠出,x y 不同时为0，故正确；①只有0a ，0b 时，2a b x +>才可推出，x > ①命题的否定只否定结论，故错误.【详解】对于选项①：若0x ，0y ，则||||||x y x y +=+，故①错误；对于选项①：若0x =且0y =，则220x y +=，所以：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠，故①正确；对于选项①：当0a ，0b 时，若2a b x +>，则x >题中没有说明,a b 的范围，所以是不充分，当x >时，2a b x +>不一定成立，如：2,8,4a b x ==>=，2a b x +>为2852x +>=，不成立，故“2a b x +>是x >的即不充分也不必要条件，故①错误；对于选项①：“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃>，1x e x +”，故①错误.故答案为:①①①11．0m =或1m =-【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】当m=0时，两直线为y=2与x= -1，此时两直线垂直;当2m -1=0，即m=12时，两直线为x= -4与3x+12y+3=0，此时两直线相交不垂直;当m≠0且m ≠12时，两直线的斜截式方程为233,2121m y x y x m m m m -=-=----, 由两直线垂直可知3121m m m -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，解得m= -1， 故两直线垂直的充要条件是0m =或1m =-.【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，本题的关键是由两直线垂直得出参数m 的取值，易错点是忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误,12．[]3,9【分析】根据题意可得()1,1a a -+ []2,10，即可建立不等关系求解.【详解】因为p 是q 成立的必要非充分条件，所以()1,1a a -+ []2,10，所以12110a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得39a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是[]3,9.故答案为：[]3,9.13．BC【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A ：由0xy >，得0x >，0y >或0x <，0y <，故P 不是q 的充要条件，故A 错误； 对于B ：由A B A ⋃=，则B A ⊆，若B A ⊆则A B A ⋃=，故P 是q 的充要条件，故B 正确；对于C ：三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故P 是q 的充要条件，故C 正确；对于D ：四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p 不是q 的充要条件，故D 错误； 故选：BC14．(1){|03}A B x x ⋃=≤≤ (2)1[,)2+∞【分析】（1）由并集定义计算；（2）若选择①，则由A ①B ＝B ，得A B ⊆，然后分类讨论：A =∅与A ≠∅两类求解；若选择①，得A 是B 的真子集，同样分类A =∅与A ≠∅求解．（1）当1a =时，集合{|12}A x x =≤≤，因为{|03}B x x =≤≤， 所以{|03}A B x x ⋃=≤≤；（2）若选择①，则由A ①B ＝B ，得A B ⊆．当A =∅时，即211a a ->+，解得2a >，此时A B ⊆，符合题意； 当A ≠∅时，即211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得：122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞． 若选择①，则由“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，得A ⫋B ． 当A =∅时，211a a ->+，解得2a >，此时A ⫋B ，符合题意；当A ≠∅时，211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩且等号不同时取，解得122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞．。
高一数学必修一第一章测试题(含答案)
高一数学必修一第一章测试题（含答案）满分150分，考试时间120分钟第I 卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则()U C A B ⋃为 （ ）A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}2. 集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A ∩B=（ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]-C ．(,2]-∞D ．(,3)-∞4. 已知函数xx f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=⋂N M （） A.{}2-≥x xB.{}2<x xC.{}22<<-x xD. {}22<≤-x x 5. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =6. 若函数1)12(2+-+=x a x y 在(]2-，∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ( )A. ),23[+∞-B. ]23,(--∞C. ),23[+∞ D .]23,(-∞7. 设函数211()21x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =（ ）A ．15B ．3C ．23D ．1398.下列各组函数中，与x x f =)(是同一个函数的是（ ）A ．=)(x g x2x B ．2)()(x x g = C ．2)(x x g =D ．33)(x x g =9．设)(x f 是定义在R 上的任意一个增函数，)()()(x f x f x G --=，则)(x G 必定为( )A ．增函数且为奇函数B ．增函数且为偶函数C ．减函数且为奇函数D ．减函数且为偶函数10.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f （ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．311.定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者，则函数},2m in{)(2x x x f -=的最大值是 （ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．212.若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)f 0=，则不等式0)(<x xf 的解集为 ( )A. (2,0)(2,)-+∞B ．(,2)(0,2)-∞-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．)2,0()0,2( -第II 卷二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．已知函数212x y x ⎧+=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是14. 已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是15. 已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝________16. 若函数5)12(+-=x a y 是减函数，则a 的取值范围是三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数q px x x f ++=2)(且满足0)2()1(==-f f ，求函数)(x f 的解析式.18. (本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≤3}，N ＝{x |x <1}，求M ∪N ，(∁U M )∩N ，(∁U M )∪(∁U N )．19. (本小题满分12分)函数)(x f 是R 上的偶函数，且当0>x 时，函数解析式为12)(-=xx f (1) 求)1(-f 的值；(2) 求当0<x 时，函数的解析式.20.(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |y ＝3－x 2，x ∈R ，且x ≠0}，集合B 是函数xx y -+-=522的定义域，集合C ＝{x |5－a <x <a }． (1)求集合A ∪(∁U B )(结果用区间表示)； (2)若C ⊆(A ∩B )，求实数a 的取值范围．21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋1 x＋1(1)判断函数在区间[)∞+，1上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[]4,1上的最大值与最小值．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋x－|x| 4.(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)在同一平面直角坐标系中，再画出函数g(x)＝1x(x>0)的图象(不用列表)，观察图象直接写出当x>0时，不等式f(x)>1x的解集．答案一、选择题 CCBDD BDDAA BD二、填空题13．已知函数212x y x⎧+=⎨-⎩ (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是 -214. 已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是 x x 62+ 15. 已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝________..{3,9}16. 若函数5)12(+-=x a y 是减函数，则a 的取值范围是 ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21，三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数q px x x f ++=2)(且满足0)2()1(==-f f ，求函数)(x f 的解析式. 解：因0)2()1(==-f f所以024,01=++=+-q p q p 得2.1-=-=q p所以2)(2--=x x x f 20. (本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≤3}，N ＝{x |x <1}，求M ∪N ， (∁U M )∩N ，(∁U M )∪(∁U N )．解：由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}， ∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}， 则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝Ø，(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}21. (本小题满分12分)函数)(x f 是R 上的偶函数，且当0>x 时，函数解析式为12)(-=xx f (1) 求)1(-f 的值；(2) 求当0<x 时，函数的解析式. 解：（1）1)1()1(==-f f(2)设0,0>-<x x 则，因)(x f 是R 上的偶函数，12)()(--=-=xx f x f20.(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |y ＝3－x 2，x ∈R ，且x ≠0}，集合B 是函数y ＝x －2＋25－x的定义域，集合C ＝{x |5－a <x <a }． (1)求集合A ∪(∁U B )(结果用区间表示)； (2)若C ⊆(A ∩B )，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知得A ＝{x |x <3}，B ＝{x |2≤x <5}， ∴∁U B ＝{x |x <2，或x ≥5}，∴A ∪(∁U B )＝{x |x <3，或x ≥5}＝(－∞，3)∪5，＋∞)． (2)由(1)知A ∩B ＝{x |2≤x <3}，当C ＝∅时，满足C ⊆(A ∩B )，此时5－a ≥a ，解得a ≤52； 当C ≠∅时，要满足C ⊆(A ∩B )， 则⎩⎪⎨⎪⎧5－a <a ，5－a ≥2，a ≤3，解得52<a ≤3.综上可得a ≤3.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1，(1)判断函数在区间[)∞+，1上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[]4,1上的最大值与最小值．解：(1)函数f (x )在[)∞+，1上是增函数． 任取x 1，x 2∈[)∞+，1，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[)∞+，1上是增函数． (2)由(1)知函数f (x )在[]4,1上是增函数，最大值f (4)＝95，最小值f (1)＝32.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋x －|x |4. (1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)在同一平面直角坐标系中，再画出函数g (x )＝1x (x >0)的图象(不用列表)，观察图象直接写出当x >0时，不等式f (x )>1x 的解集．解：(1)当x ≥0时，f (x )＝1＋x －x4＝1；当x <0时，f (x )＝1＋x ＋x 4＝12x ＋1.所以f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，12x ＋1，x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)函数g (x )＝1x (x >0)的图象如图所示，由图象知f (x )>1x 的解集是{x |x >1}．。
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1 2
）
7 2
2
B. 1
C. 3
D. 4
7. 函数 y x 2 x 1 ， x [2,2] ，则 （ ） A. 函数有最小值 0，最大值 9 B. 函数有最小值 2，最大值 5 C. 函数有最小值 2，最大值 9 D. 函数有最小值 1，最大值 5
a 在区间 [1,2] 上都是减函数，则实数 a 的取值范围是 （ x 1 A. (1,0) (0,1) B. (1,0) (0,1] C. (0,1) D. (0,1] 9. 已知一次函数 f ( x ) 满足关系式 f ( x 2) 2 x 5 ，则 f ( x) 。
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⑵求实数 a 的取值范围，使 y f ( x ) 在区间 5,5 上是单调函数。
x 2 2 x , x 0 21. 已知奇函数 f ( x ) 0, x0 x 2 mx, x0
⑴求实数 m 的值，并在给出的直角坐标系中画出 y f ( x ) 的图象； ⑵若函数 y f ( x ) 在区间 [1, | a | 2] 上单调递增，试求实数 a 的取值范围。
高一数学必修 1 第一章练习题答案：
1. A，2. D，3. D，4. C，5. B，6. A，7. A，8. D，
1 1 , ) ，11. [ ,2] ，12. a 2 ，13. 13 ，14. f ( x ) 2 x 2 x ， 2 2 5 15. 3 ，16. 4022 ，17. ⑴ 1 a 2 ，⑵ a 4或a 5 ，18. ⑴ [2, ) ， ( , ] ， 3 1 19. 0 a ，20. ⑴37，1；⑵ a 5或a 5 ，21. ⑴ m 2 ，⑵ 3 a 1或1 a 3 2
4. 函数 y x 2 6 x 10 在区间 (2, 4) 上是 （ ） A. 递减函数 B. 递增函数 C. 先递减再递增 D. 先递增再递减 5. 已知 y f ( x ) ， x ( a, a) ， F ( x ) f ( x) f ( x) ，则 F ( x) 是 （ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 6. 已知函数 f ( x ) 2 x 2 4 x 5 ，则B. f x x ， g x
x2 x
C. f x x 4 ， g x x 2 x 2
D. f x x 1 ， g x
x 1, x 1 x 1, x 1
高一数学必修 1 第一章练习题
1. 若 A {x | x 2 0} ， B {x | x 5 0} ，则 A B （ A. (2,5) B. (2, ) C. (,5) ） ） D. (,5) (2,) D. {2,1,0,1}
2. 若集合 U {2, 1,0,1,2} ， A {1, 2} ， B {2,0,1} ，则 (CU A) B （ A. {2,1,0} B. {2,0,1} C. {2,0} 3. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. f x
8. 已知 f ( x ) x 2 2ax 与 g ( x) 10. 函数 f ( x ) x x 的单调递增区间为
2
）
。 。 。 。
11. 若函数 f ( x ) 的定义域为 [1,2] ，则函数 f (3 2 x ) 的定义域是 12. 已知集合 A [2, 4], B [a, ) ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是
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13. 已知 f ( x) ax bx 2 且 f (5) 17 ，则 f (5) 。 14. 已知 f ( x ) 是偶函数，当 x 0 时， f ( x ) x (2 x 1) ，则当 x 0 时， f ( x) 15. 已知 f ( x )
x6 x 5, ，则 f (3) 。 f ( x 2), x 6 16. 已知函数 f ( x ) 满足：对任意实数 a, b 都有 f ( a b) f (a ) f (b) ，且 f (1) 2 ， f (2) f (3) f (4) f (5) f (2012) 则 。 f (1) f (2) f (3) f (4) f (2011) 17. 已知集合 A {x | a x a 3} ，集合 B {x | x 1或x 5} 。 ⑴若 A B ，求实数 a 的取值范围； ⑵若 A B B ，求实数 a 的取值范围。 1 18. 已知函数 f ( x) x 2 ， g ( x) 3 x 5 。 4x 8 ⑴试求 f ( x ) 和 g ( x) 的定义域；⑵求 f ( x 3) 和 g (1) 。 19. 已知定义在 (1,1) 上的函数 f ( x ) 是减函数，且满足 f (a 1) f (2a ) ，求实数 a 的取值范围。 20. 已知函数 f ( x ) x 2 2ax 2, x 5,5 ⑴当 a 1 时，求函数的最大值和最小值；