96年A题最优捕鱼计划

最优捕鱼摘要：为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源等）的开发必须适度。

在经济生活中，对于“经济人”而言都是追求利润最大化，因此，最优捕鱼策略不仅要求我们要考虑商家的经济效益，还要考虑自然环境的生态效益。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

本文就渔业的可再生问题进行研究，建立模型，并利用相关的lingo和matlab等数学软件对模型进行求解。

关键词：最优捕捞策略生产能力成活率季节性集中产卵捕捞强度系数一.问题重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

考虑对某种渔（鱼是鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…，1龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵5繁殖，平均每条龄鱼的产卵量为1.109 10 （个），龄鱼的产卵量为这个数的一半，龄鱼和龄鱼不产卵。

产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（龄鱼条数与产卵总量n 之比）1.22 1011/（1.22 1011n）。

渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。

通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞龄鱼和龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。

渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。

2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务年，合同要求年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。

已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29（"09条）。

如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。

综上所述，原问题实质上是给出了各年龄组鱼群之间数量的变化规律，并给出了它们的自然死亡率及捕捞和产卵的时间分布，并固定3、4龄鱼捕捞能力的比值，要求选择一定的捕捞能力系数，使得各年龄组鱼的数量在各年开始的第一天条数不变（第一问），5年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏（第二问），并在此条件下，求到最大捕获量。

二.模型假设1. 这种鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，即死亡是一个连续的过程；2. 捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生；3. 鱼群的死亡率已考虑种群的相互竞争及环境等因素；4. 3、4龄鱼产卵集中在9月初期，到第二年初完成孵化；5. 龄鱼到来年分别长一岁成i+1龄鱼，其中上一年存活下来的4龄鱼仍是4龄鱼。

三.符号定义t --------- 时间过程（年）T——年份■ =t ----- 时间间隔M（t）——i 龄鱼在时间t的数量（个）r ---------- 自然死亡率（0.8/年）n ------- 年产卵总量a -------- 4 龄鱼的产卵量（1.109 105），3龄鱼为a/2b ------- 卵的成活率1.22 1011/（1.22 1011n）k4 ——4 龄鱼的捕捞强度（k3：3龄鱼为0.42k4）――决策变量四.模型的建立与求解4.1 .问题分析4.1.1. 题目简述及解释:1）题目简述鱼的基本情况：年龄组1龄鱼2龄鱼3龄鱼4龄鱼平均重量（克） 5.0711.5517.8622.99产卵量00a/2a（个）a）各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1 /年）b）产卵和孵化期为每年最后4个月捕鱼的限定：a）渔业管理部门规定：只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业b）固定努力量捕捞：投入的捕捞能力固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。

使用13mm网眼的拉网，只能捕捞龄鱼和龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:12）自然死亡率：由题目及假设给出的鱼的自然死亡率是指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数。

由死亡是一个数量的连续变化过程，同时 1 , 2龄鱼在每年数量的变化及3, 4龄鱼在后4个月的数量的变化只与死亡率有关。

由此可知，各龄鱼的变化满足：dN i (t)…N t , i 十,3,4; dt3) 捕捞强度系数：单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例系数，由于只能对 捕捞期内进行捕捞。

所以，捕捞强度系数影响了 3, 4龄鱼在前八个月内内的数量变化:设 k 4 = k ，则 k 3 = 0.42k 故有dN/t)dt4) 卵的成活率：1，2龄鱼不产卵，3，4龄鱼在每年的后四个月产卵，假设了在9月初一次产卵，因此可将每年的产卵量n 表示为：心.109 105°5N3(|)吨)11, 1.22 10b= ---------- H — 又有成活率1.22 10，所以每年年初1龄鱼的数目为1.22 1011 111.22 1011 n4.1.2.问题一分析：对于问题一，商家的目标是得到最大的捕捞量，故由捕捞量得到目标函数。

又要实现可持续捕 获，即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变。

可由每年年初鱼的数目不变得到约束条件。

进而求最优化问题。

对于捕捞量，只能对 3，4龄鱼在1到8月进行捕捞。

只求前八个月的对 3、4龄鱼的捕捞量即 为全年的捕捞量；对于鱼的数量变化，1，2龄鱼不能被捕捞，仅受自然死亡率的影响；而 3，4龄鱼不仅受自然死亡率的影响，还受捕捞强度系数的影响。

对于得到的最优化问题，可以用lingo 软件和matlab 软件进行求解。

4.1.3.问题二分析：问题二中，合同要求 5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，又要使总收益最高，这就 有可能发生满足了前者满足不了后者之类的情况。

对该问题，我们可以考虑在 5年的合同期内，捕捞强度不变，先确定一个收益最高的捕捞策略， 再计算在这种策略下，5年后各个鱼群的数量，进而确定是否对生产能力产生了太大破坏。

但从理 论分析可知，5年后将在鱼群尽可能接近可持续鱼群的情况下来使捕捞量达到最大。

对于破坏大小，由于各龄鱼群的数量在很大程度上受承包初 1龄鱼影响，我们以第六年初 1龄鱼群数量的变化量与承包时鱼群数量初值之比表示。

不妨假定该比值小于 5%寸，即可认为鱼群的生任课教师：郑勋烨日期：2011年 5月29 日(1)3，4龄鱼进行捕捞，并且只在则有(4)产能力没有受到太大破坏。

同理可按照问题一中的解法进行求解。

4.2 .模型建立4.2.1问题一模型1•可知1 , 2龄鱼的生长只受自然死亡率的影响，由此可知 1 , 2龄鱼的生长的微分方程满足方程(1):咽一啊」=1,2;dt可得：Ni(t)=N o e ,i ",2;每年年初龄鱼的数量。

(5)T年的i龄鱼在T+1年变为i+1龄鱼,则有，NMT+1)=e」N i(T)2 •而对于3, 4龄鱼，在前八个月生长不仅受自然生长率和捕捞强度系数的影响，而后四个月仅受自然生长率的影响。

以一年为一个时间单位，则这一时间单位可以分为前八个月和后四个月两个阶段。

1) 前八个月3、4龄鱼生长的微分方程满足：dNi =_(r +k i)N idt可以得到，汕⑴二Nh k|)ti =3,4由于每年的捕捞只在1到8月进行,为kiNi(t)，则i龄鱼的年捕捞量为:,N0为年初龄并且只能捕到3,鱼的数量(8)4龄鱼，所以任意一个时刻的捕捞量3K N i(t)dt 二宀N°(1-eF ki r))0k r2)后四个月3、4龄鱼生长的微分方程满足方程(1)：dN i——-rN i,i =3,4dt可得：N i(t) = N o e_rt,i =3,4;每年年初龄鱼的数量2 2—.(r ^.42k) —(Hk)其中产卵量n =0.5aN3e 3- aN4e 311又孵化存活率苗所以年初1龄鱼的总量汕厂1)"n(T)3 •根据以上分析，我们可以建立非线性规划模型:2 2目标函数：喰十86。

际3⑴dt 22.99 °际4㈣(9)(10)(11)(12)(13)(14)约束条件：任课教师：郑勋烨日期：2011年5月29 日2 2一 (0.42k 卡) 一(k 卡)n = 0.5aN 3e 3 +aN 4e 3N =b n N 2 =b ne 」 N 3 = bne ⑵ _(2/3 0.42k 3r)e[_ /处 r)4.2.2问题二模型针对渔业公司的5年捕捞计划，我们利用已得到的迭代方程在已知各个年龄组的鱼的初始值的 前提下，可迭代求出各龄鱼群第i 年的鱼量的分布的函数。

n(t 1) =a/2N 3(t)e"3 r)2/3 aN 4(t)e"3 r)2/31.22"011 n(t +1) N i (t 1)右1.22 10 n(t 1)rN 2(t 1) =e Ndt) N 3(t+1)=e 」N 2(t) N 4(t+1) = N 3(t)e+ N 4(t)e 4& =0.42k 4同时写出目标函数:4.3 .模型求解4.3.1问题一求解4.3.1.1由4.2.1中的3,我们可将目标函数和约束条件转化为： 目标函数为：2f220.42k 丄6^(0.8 七42k)k (丄 282 4)/ (吋』8) 二(0.8*)max =17.86 bne (1-e 3) 22.99bne228k』4). (1-e 3)(1-e 3)0.42k+0.80.8 + k约束条件:11,1.22 汇 10 b =-------- 11 --- 1.2210+ n64_(Mk 北.28k 屉 11 -(0.28 k 七；") e 3 3n =1.22 1011 (a (0.5 e 3 2------ ) -1) -(-^0.8)1-e 34.3.1.2然后我们利用lingo 软件和matlab 软件分别进行求解。

1） lingo 程序：（附录1）任课教师：郑勋烨日期：2011年 5月29 日N 4 =bn 整个生存过程满足的关系式为5max=C N 3(t))17.86t 吕丄(1—e 小 r )2/3) C N 4(t) 22.99 k 3 r tdk 4 k 4 r(k 4 -r)2/3e(15)直接运行，输出结果为:Local optimal soluti on found at iteratio n: 92 Objective value: 0.3887076E+12Variable Value Reduced CostK 17.36292 -1.034723N 0.6078067E+13 0.000000RowSlack or Surplus Dual Price10.3887076E+12 1.00000020.0000000.1258406E-02k =17.36292,f = 0.3887076E+122）matlab程序：（附录2）首先，建立fun 1.m、max1.m 1.m、picture.m 文件，运行picture.m 像：由图像，，我们看出kL川一，这与事实是相符的。