数学分析(Ⅱ)期末考试题(内附答案)

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《数学分析下册》期末考试卷及参考答案

《数学分析下册》期末考试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）1、已知uln某2y2，则uu，，y某du2、设L：某2y2a2，则某dyyd某L某=3cot，L：3、设（0t2），则曲线积分（某2+y2）d=y=3int.L4、改变累次积分dy（f某，y）d某的次序为2y33某y1，则(51)d某dy=5、设D：D得分阅卷人二、判断题（正确的打“O”;错误的打“某”；每题3分，共15分）p某0，y0）p某0，y0）1、若函数（在点（连续，则函数（点（必存在一f某，y）f某，y）阶偏导数。

()p某0，y0）p某0，y0）2、若函数（在点（可微，则函数（在点（连续。

f某，y）f某，y）()p某0，y0）3、若函数（在点（存在二阶偏导数f某y(某0,y0)和fy某(某0,y0)，则f某，y）必有f某y(某0,y0)fy某(0某,0y) L(B,A)()()4、L(A,B)f(某,y)d某f(某,y)d某。

5、若函数（在有界闭区域D上连续，则函数（在D上可积。

()f某，y）f某，y）第1页共5页得分阅卷人三、计算题（每小题9分，共45分）1、用格林公式计算曲线积分I(e某iny3y)d某(e某coy3)dy，AOAO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆某2y2a某上半部分的路线。

其中2、计算三重积分------线--------------------------------------(某V2y2)d某dydz，其中是由抛物面z某2y2与平面z4围成的立体。

第2页共5页3、计算第一型曲面积分IdS，S其中S是球面某2y2z2R2上被平面za(0aR)所截下的顶部（za）。

4、计算第二型曲面积分22Iy(某z)dydz某dzd某(y某z)d某dy，S其中S是立方体V0,b0,b0,b的外表面。

第3页共5页5、设D(某,y)某2y2R曲顶柱体的体积。

得分阅卷人四、证明题(每小题7分，共14分)1、验证曲线积分第4页共5页2.求以圆域D为底，以曲面ze(某2y2)为顶的(某22yz)d某(2y2某)zdy2(z2，某)ydzL与路线无关，并求被积表达式的一个原函数u(某,y,z)。

西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)

西华师范大学数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．A ．1(1)nn ∞=−∑B ．nn ∞=C ．21(1)nn n∞=−∑D ．11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x −++C ．发散D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x ′=（）A ．1xB ．ln x xC ．21x −D ．xe5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+∫收敛于1，则k =（）A ．2πB ．22πC ．2D ．24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x −−+−+−+⋯⋯收敛，则（）A ．x e<B ．x e>C ．x 为任意实数D ．1e x e−<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u =，和S =．3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaef e dx f x dx =∫∫，则a =，b =．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫−=⎨⎬+⎩⎭⋯的聚点为．6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、(1)dxx x +∫．2、2ln x x dx ∫．3、 0(0)dx a >∫．4、 2 0cos limsin xx t dt x→∫．5、dx ∫．四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 00sin cos nn x dx x dx ππ=∫∫．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈−∞+∞∑三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1.解111(1)1x x x x=−++∵1(1)dxx x ∴+∫（3分）11(1dxx x=−+∫ ln ln 1.x x C =−++（3分）2.解由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =∫∫3311ln ln 33x x x d x =−∫（3分）33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211ln 33x x x dx =−∫3311ln 39x x x C =−+（3分）3.解令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式，得0∫2220cos atdtπ=∫（3分）6768220(1cos 2)2a t dtπ=+∫221(sin 2)22a t t π=+2.4a π=（3分）4.解由洛必达(L ＇Hospital)法则得200cos limsin xx tdtx →∫20cos x x →=4分）lim cos x x→=1=（2分）5.解=（2分）20 sin cos x x dxπ=−∫4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=−+−∫∫（2分）244(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+−+2.=−（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(, ), x n ∀∈−∞∞∀+（正整数）22sin nx n n ≤（3分）而级数211n n ∞=∑收敛，故由M 判别法知，21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上一致收敛．（3分）2.解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径111lim nn R n→∞==，收敛区间为(1,1)−．（2分）易知1nn x n ∞=∑在1x =−处收敛，而在1x =发散，故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)−．（2分）01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈−−∑（2分）逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈−−∑∫∫．即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==−−==∈−+∑∑（2分）3.解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。

北京交通大学第二学期工科数学分析Ⅱ期末考试试卷及其答案

解此方程组，得
10．设函数 f ( x ) =
∫
0
x
sin t dt ．⑴ 试将 f ( x ) 展成 x 的幂级数，并指出其收敛域．⑵ 若在上式中 t
令 x = 1 ，并利用其展开式的前三项近似计算积分解： ⑴ 由于
∫
1
sin x dx ，试判断其误差是否超过 0.0001 ？ x 0
( t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 − 1) t 2 n −2 = 1− + − + − +"+ +" (2n − 1)! 3! 5! 7! 9! 11! 所以，在区间 [0, x ]上逐项积分，得
y x+ y ∫∫ e dxdy ，其中积分区域 D 是由直线 x = 0 ， y = 0 及 x + y = 1 所围成的闭区 D
6．计算二重积分域．
解：作极坐标变换 x = r cos θ ,
y = r sin θ ，则有
rdr
∫∫ e
D
y x+ y
π
dxdy = ∫ dθ
0
2
1 cos θ + sin θ
Σ
(
)
(
)
= ∫∫∫ z + x + y dV
2 2 2
(
)
Ω
= ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ ρ 4 dρ
0 0 0
−2
2π
π
2 a
2 = πa 5 5
8．求解微分方程 x y ′′ + xy ′ − 4 y = 2 x ．解：
2
这是 Euler 方程，令 x = e ，或 t = ln x ，原方程化为

高等数学,数学分析（2）期末考试题库

高等数学,数学分析（2）期末考试题库高等数学②期末考试题库目录高等数学②期末考试题（一） (2)高等数学②期末考试题（二） (8)高等数学②期末考试题（三） (16)高等数学②期末考试题（四） (23)高等数学②期末考试题（五） (30)高等数学②期末考试题（六） (36)高等数学②期末考试题（七） (42)高等数学②期末考试题（八） (48)高等数学②期末考试题（九） (55)高等数学②期末考试题（十） (61)高等数学期末考试题（一）一. 解下列各题（每小题6分） 1. .设)ln(),,(22z y x z y x u y ++=, 求zuy u x u ,,及全微分)2,1,(e du . 2. 求曲线32,,t z t y t x =-==的与平面0193=-++z y x 平行的切线方程. 3. 将?+=x x dy yx dx I 222101化为极坐标系下的累次积分, 并计算I 的值.4. 判断级数∑∞=12tan1n nn和∑∞=-+-1)1()1(n n n n 的敛散性.二. 解下列各题（每小题7分）1. 设函数)(u f 具有二阶连续导数, 且)sin (y e f z x =满足方程z e yz x z x22222=??+??, 求)(u f 的表达式. 2. 计算第一类曲面积分??∑=zdS I , 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的部分.3. 设)(x S 函数≤<≤<-=ππx xx x f 002)(2的以π2为周期的傅里叶级数展开式的和函数, 求)3(),2(),6(),6(ππS S S S -的值.4. 计算曲线积分?-+=Ldz z xdy dx y I 222, 其中L 是平面2=+z x 与柱面122=+y x 的交线, 若从z 轴正向往负向看去, L 取逆时针方向. 三. (8分）把函数)3(1)(-=x x x f 展成1-x 的幂级数, 并指出收敛域.四. （8分）设V 是由曲面z z y x 2222=++围成的立体, 其上任一点处的密度与该点到原点的距离成正比(比例系数为)k , (1)求V 的质量; (2) 求V 的质心坐标.五.（8分）证明曲面m xyz = 0(≠m 为常数)上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之积为常数.六. （8分）求幂级数∑∞=---121)12()1(n nn x n n 的收敛区间及和函数.七. (8分)计算曲面积分,)]([])([333??∑-+++=dxdy yz zf z dzdx y yz yf dydz x I 其中函数f 有连续的导函数, ∑为上半球面221y x z --=的上侧.八. (8分) 设函数)(y f 在+∞<<∞-y 内有连续的导函数, 且y ?,0)(≥y f ,1)1(=f , 已知对右半平面}0,),{(>+∞<<∞-x y y x 内任意一条封闭曲线Γ,都有0)(2=+-?Γy f x xdyydx , 求)(y f 的表达式.答案一. 1.1-=??y yx x u 222ln z y y x x y u y ++=?? 222z y z z u +=?? …………(3分) 1)2,1,(=??e xu52)2,1,(+=??e yu e54)2,1,(=e z u ………….(5分) dz dy e dx du 54)52(+++= ………………(6分)2. }3,1,2{2t t T -=………………..(1分) 由题设03962=+-t t , 即0322=-+t t …………………(2分) 解得1=t , 3-=t .…………………(3分) 切点为 )1,1,1(- 或 )27,3,9(-}3,1,2{=T 或}27,1,6{--=T切线为 311121-=-+=-z y x 或 27271369+=--=--z y x …………….(6分)3. ?=θθπρθ2cos sin 04d d I …………………..(2分`)θθθθπc o s 1c o s s i n 402==?d 4π)12(-= ……………………(6分)4.n n 2tan1~n2……………………….(2分) ∑∞=12n n 发散∑∞=∴12a r c t a n 1n n n 发散……………….(3分)∑∞=-+-1)1()1(n nn n ∑∞=++-=11)1(n nnn ……………………….(4分)n n ++11单调减少且趋于零, ∑∞=-+-∴1)1()1(n n n n 收敛……..(6分)二. 1.y e f x z x sin ?'=?? y e f yzx c o s ?'=?? ……………………….(2分) y e f y e f xz x x s i n s i n2222?'+?''=?? y e f y e f y zx x s i n c o s 2222?'-?''=?? ………………………..(4分)代入已知方程得 0=-''f f …………………………(5分) 012=-r 1±=ru u e C e C u f -+=21)( .………………(7分) 2.. ??+=xyD dxdy y x I 222 ……………………(3分)=θπρρθc o s 2022022d d ………………….(5分)=203c o s 3216πθθd 9232= .………………(7分)3.±=+=<<<<-=ππππx x x x x x S 2101002)(22 ………………(3分) 2)26()6(=-=πS S 2)62()62()6(-=-=-ππS S 1)0()2(==S S π 21)()3(2πππ+==S S ………..(7分)4. 解1 t z t y t x L cos 2,sin ,cos :-=== …………….(2分) dt t t t tI ]sin )cos 2(cos 2sin [(2203--+-=?π ………..………(5分)π2= …………………(7分) 解2 利用斯托克斯公式, 设S 是L 所围平面+-=Sdxdy y I )22( ………………...(3分)-=xyD dxdy y )22(π22==??xyD dxdy …………………….(7分)三.)311(31)(-+-=x x x f …………………..(2分)]211121)1(11[31----+-=x x ……………………..(4分)∑∑∞=∞=-----=00])21(21)1()1([31n n n nn x x ……………(6分) ∑∞=+----=011)1](21)1[(31n n n n x ……………….(7分)由 11<-x 及121<-x 得收敛域)2,0(∈x …………(8分)四. (1) ++=VdV z y x k m 222 ……………..(1分)=?ππ??θcos 2032020sin dr kr d d ……………(3分)58cos sin 8204πππk d k ==? …………….(4分) (2) 0=x 0=y ………………….(5分) ++= VdV z y x zk m z 2221 . ……………(6分) =?ππθc o s 2042020c o s s i n dr rd d m k .………… (7分) 783564cos sin 564206===m k d mk πππ.……………(8分) V 的质心为 )78,0,0(五. 曲面上任一点),,(000z y x P 处的切平面法向量为},,{000000y x z x z y n =…………………….(2分) 切平面 0)()()(00000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y ……….(4分) 即 0000000003z y x z y x y z x x z y =++ 在三坐标轴上截距分别为0003,3,3z y x .………………(6分) m z y x z y x 2727333000000==?? ………………..(8分)六. 1)12)(1()12(lim lim1=++-=∞→+∞→n n n n a a n nn n …………………(1分)1=R , 收敛区间 11<<-x ………………….(2分)设∑∞=---=121)12()1()(n nn x n n x S∑∞=----='1121)12()1(2)(n n n xn x S …………………..(3分) . ∑∞=---=''1221)1(2)(n n n x x S …………………..(4分)∑∞=--=112)(2n n x 212x+=………..………(6分) x x S a r c t a n 2)(=' …………………(7分) )1l n(a r c t a n 2)(2x x x x S +-= …………………(8分)七. 设0,1:22=≤+z y x S , 利用高斯公式-+++-=+dxdy yz zf z dzdx y yz yf dydz x I S)]([])([333∑ …….….(2分)0)(3222-++=VdV z y x ……………………..(4分)=1042020s i n 3dr r d d ??θππ ……………………(6分)=1420s i n6dr r d ππ56π= ……………………(8分)八. 222)]([)(y f x y f x x Y +-=?? 222)]([)()(y f x y f y y f x y X +'-+=………..(4分) 由y X x Y ??=?? 得 222)]([)(y f x y f x +-222)]([)()(y f x y f y y f x +'-+=即)(2)(y f y f y =' ……………………(5分)ydyy f y df 2)()(=……………………(6分) 1ln 2)(ln C y y f += 2)(Cy y f = ………………….(7分) 由 1)1(=f 得1=C 2)(y y f =∴ …………………..(8分)高等数学期末考试题（二）一、求解下列各题（每小题6分）1. 已知直线3221:+==-z m y x L 与平面02:=++-D z y x π平行，且L 到π的距离为6, 求m 与D 的值.3. 计算第二类曲线积分dy y xdx y x I L ?+= 2 ，其中L 是曲线x y =上从点)1 , 1(A 到点)2 , 4(B 的弧段. 4. 设有级数)11ln(1)1(11n nn pn +-∑∞=-, 指出p 在什么范围内取值时级数绝对收敛, 在什么范围内取值时级数条件收敛, 在什么范围内取值时级数发散(要说明理由).二、解下列各题（每小题7分）1. 已知n是曲面1222=+-z y x 在点)1 , 2 , 2(处指向z 增大方向的单位法向量, z z xy u ln 2-=, 求)1 , 2 , 2(nu.2. 将函数231)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数, 并求收敛区间及)1()5(f 的值.3. 计算三重积分Ω=zdV x I 2, 其中Ω是由柱面2x y =与平面1=y , 0=z ，2=z所围成的立体.4．求二元函数y x y x x y x f z 293),(223+---==的极值点与极值.三、(8分) 设1)(2+=x x f ，ππ≤≤-x , 将)(x f 展开成以π2为周期的傅里叶级数.四、（8分）设V 是由曲面222y x z --=与22y x z +=围成的立体, 求V 的表面积.五、(8分) 计算第二类曲面积分??++=Sdxdy dzdx y dydz x I 33, 其中S 是曲面22y x z += )10(≤≤z 的下侧.六、（8分）求幂级数∑∞=+12)(n n x n n 的收敛域与和函数.七、(8分) 已知在半平面0>x 内dy y x y x dx y x y x λλ))(())((2222++++-为二元函数),(y x f 的全微分. (1) 求λ的值； (2) 求 )0 , 2()3 , 1(f f -的值.八、（8分）设}|),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，其中0>t . 已知)(x f 在), 0[∞+。

数学分析(Ⅱ)试题与参考答案

数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别 1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．A ．1(1)nn ∞=-∑ B ． 1nn ∞=∑ C ．21(1)nn n ∞=-∑ D ． 11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x -++ C ．发散 D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（）A ．1x B ．ln x x C ． 21x- D ． x e 5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+⎰收敛于1，则k =（）A ． 2πB ．22πC ．D ． 24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x --+-+-+L L 收敛，则（）A ． x e <B ．x e >C ． x 为任意实数D ． 1e x e -<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为． 4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaef e dx f x dx =⎰⎰，则a = ，b = ．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭L 的聚点为． 6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分） 1、(1)dx x x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰．3、 0(0)dx a >⎰． 4、 2 0cos limsin xx t dt x→⎰．5、dx ⎰．四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性． 2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=L ，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 0sin cos nn x dx x dx ππ=⎰⎰．66。

数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析第二学期考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，共32分）1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ b ）A 、连续B 、有界C 、无间断点D 、有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ b ） A 、⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)(B 、0)(=⎰-aa dx x f C 、⎰⎰-=-aaa dx x f dx x f 0)(2)(D 、)(2)(a f dx x f aa =⎰-3、下列广义积分中，收敛的积分是（ a ）A 、 ⎰11dx xB 、 ⎰∞+11dx xC 、 ⎰+∞sin xdxD 、⎰-1131dx x4、级数∑∞=1n n a 收敛是∑∞=1n n a 部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ c ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ）A 、10arcsin xdx ⎰ B 、11ln eedx x x ⎰C 、1-⎰D 、10sin xdx x⎰ 6、下面结论错误的是（ b ）A 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界；B 、若)(x f 在),(b a 内连续，则 )(dx x f ba ⎰存在；C 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必可积；D 、若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积。

7、下列命题正确的是（ d ） A 、)(1x a n n ∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B 、)(1x a n n ∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 、若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x a n n ∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛 D 、)(1x a n n ∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为（ c ）A 、x eB 、x sinC 、)1ln(x +D 、x cos 二、计算题：（每小题7分，共28分） 9、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf 。

数学分析(2)期末试题参考答案

些值，使得
∫J
χK
(x,
y)dy ∫
≤
F (x)
≤
J χK (x, y)dy，则 F (x) 在 I 上 Riemann
可积，且有
I F (x)dx =
I ×J
χK (x,
y)dxdy
=
0。注意
F ∫
(x)
≥
0，所以，F
(x)
几乎处处为零。另一方面，根据 Kx 的定义，有 F (x) = J χKx (y)dy，所以 Kx
0，则有
(∫ R−ε ∫ R )
I(R) =
+
ey2−R2 dy ≤ e−2 R ε+ε2 (R − ε) + ε,
0
R−ε
于是 lim sup I(R) ≤ ε，另一方面显然有 lim inf I(R) ≥ 0，最后再令 ε → 0 即可
R→+∞
R→+∞
证明 lim I(R) = 0。
R→+∞
（证法二）上述极限还可通过 L’Hôspital 法则求得：
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是
χK (x,
y)
在
I
×J
上
Riemann ∫
可积，且有
I×J χK (x, y)dxdy = 0。根据 Fubini 定理，
积分
F (x)
= ∫
J χK (x, y)dy
几乎处处存在。在 ∫
F (x)
不存在的地方随意规定一
det J
=
det AU det AV
> 0。

数学分析2试题B及答案(

fn (x)
x
f (x) ，
fn (x) f (x) n2 (
x2
1
1 n2
x)
1 ，所以 limsup(
n
n
fn (x)
f (x) ) 0 ，即
函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上一致收敛。
三、1、证明： t R, b ( f (x) tg(x))2dx b f 2 (x)dx 2t b f (x)g(x)dx t2 b g 2 (x)dx 0 ，所以，
2
二、1、解:
lim
n
n2 2n2 1
1 2
0
，所以该级数发散。
2、解： lim n n
n 2n1
1 2
1 ，所以该级数收敛。
3、解： x [0, ),
sgn(sin x) 1 x2
1
1 x
2
1 x2
，因为
1 dx 收敛，所以 1 x2
sgn(sin x) dx 绝对收敛。 1 1 x2
4、解： x R, lim n
n1
n1
n1
n1
级数 bn (bn an an ) (bn an ) an 收敛。
n1
n1
n1
n1
四、解： A 2 1 a2 (1 cos )2 d 3 a2
20
2
五、解：
R
1，收敛域为 (1,1)
，和函数
f
(x)
n1
nxn
x
n1
nxn1
x
n1
xn
x
1
x
5、求极限： lim 0
x0

浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案

浙江大学20 10 -20 11 学年春夏学期《数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名：学号：所属院系： _一、计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim .x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2.(122)().f x y z gradf =，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x f r x r r r xf f y zgradf ∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为： 4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.C C C Cx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的 211.n Fourier n +∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n nn nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R n x f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n n x n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n n n n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n n n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n nn n n n t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n nt t n n t x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z z z f x y f x x x y ∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：， 12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x xz y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()112 1.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 34440443444442004113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v u u v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110000cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22z z x y z z z u x x u z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xe dx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 2220000011cos 2000(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d e d d e d e d e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327S SS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.S xdydz ydzdx zdxdy a x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zx xy yz zx xy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy a a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42C xdy ydx x C A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从 (2).BD ππ-点沿直线到点，22222222222222222222022224.44(4)4(0).444410arc 42C C DA L DA LL y x P y x Q P Q x y x y y x y xDA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂∙====++∂+∂∙+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：2220224221122332222222221tan 2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y y dxdyA A A A A A A D L y x P y x Q P Q C L x y x y y x y xP Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222022202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A A Dxdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nx u x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nx x n n n n nx n N n nx f x n nx n nx n g x n n n ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin 22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211n k n n x n x kx x n nx n nx Dirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数. 2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dy f x f x f x x dx ==+++=满足，且并计算的值 22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ∙=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos()x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy++=∙+++===''+++-=-+'在两边同时对求导，且当时，则：。

2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案

课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++，则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++，于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+，则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点，考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰，由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑，说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。

《数学分析(二)》题库及答案

《数学分析（二）》题库及答案一、填空1、⎰=+11- 251dx xx ____________。

2、⎰∞+-= 02dx xe x ____________。

3、=++++⋅+⋅ )1(1321211n n ___________。

4、⎰∞+∞=+ - 2______1xdx。

5、_______)15)(45(11161611=++-++⋅+⋅ n n 。

6、幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛域为______ 。

二、单项选择题1、设)(x f 是),(b a 上的连续函数，则在),(b a 上)(x f 必有___________。

A ．导函数 B ．原函数 C ．最大值 D ．最小值2、设)(x f 在),(+∞-∞上有连续的的导数)(x f '，则___________。

A ．⎰+='c x f dx x f )2(21)2( B ．⎰+='c x f dx x f )2()2( C ．⎰+='c x f dx x f )()2( D ． ⎰=')2(2))2((x f dx x f3、设)(x f 是),(+∞-∞上非零的连续奇函数，则⎰=xdt t f x F 0)()(是___________。

A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．可能是奇，也可能是偶函数 4、设函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上______ 。

A ．存在原函数B ．有界C ．连续D ．可导 5、若0lim =∞→n n a ，则数项级数∑∞=1n na______ 。

A ．收敛B ．发散C ．收敛且和为零D ．可能收敛，也可能发散 6、若反常积分⎰∞+ 12)(dx x f 收敛，则⎰∞+ 1)(dx x f ______ 。

A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．可能收敛，也可能发散。

三．判断对错1．若)(x f 在（a 、b ）内可微，则⎰+=c x f x df )()(。

2021-2022学年数学分析第二学期期末考试(含答案)

2021-2022学年第二学期期末《数学分析》一.填空题 ( 每题5分,共30分 )1. 已知势函数 2u x yz =，则其梯度 grad u = ，其梯度的散度 ()div grad u = 。

2. 曲面:ln x z y y ⎛⎫∑=+ ⎪⎝⎭在点0(1,1,1)P 处的单位法向量为 ,在该点处的切平面方程为 .3. 设22()d ,x x u x f x e u -=⎰ 则'()f x = .4. 设Γ是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界,则曲线积分()x y ds Γ+⎰ = .5. 设Ω是由锥面z =和上半球面 z = 围成的空间区域，则三重积分222()d f xy z V Ω++⎰⎰⎰ 在球坐标系下的累次积分为.6. 利用Γ函数和B 函数的性质，可知 2560sin cos d x x x π⎰ = .二. 计算题 (10分) 计算二重积分D，其中 D 是由22221x y a b += 所围的平面区域。

设Γ是任意一条包围着原点（不经过原点）的分段光滑、逆时针定向曲线，试计算曲线积分22.2xdy ydxx y Γ-+⎰四. 计算题 (10分)设∑为曲面 )20(222≤≤+=z y x z 的下侧．计算曲面积分33()d d ()d d 2()d d x y y z y z z x x y z x y ∑++-++-⎰⎰．计算曲线积分22I y dx xdy z dz Γ=-++⎰，其中Γ是平面2y z +=与柱面221x y +=的交线，从Oz 轴正向往下看为逆时针方向.六.计算题 (10分)计算双曲面z xy = 被围在圆柱面222x y a +=内部的面积．设()f x 是[,]a b 上的连续函数，利用二重积分性质证明不等式22()d ()()d b b a a f x x b a f x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰八. 证明题 (10分)设(,)f x u 在[,][,]a b αβ⨯上连续，证明对任意 0[,]u αβ∈，总有0lim (,)d (,)d b baau u f x u x f x u x →=⎰⎰设Ω为闭区域，∂Ω是Ω的边界外侧，n是∂Ω的单位外法向量。

《数学分析II》期末试卷+参考答案

《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。

yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。

a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。

四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。

]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。

求。

∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。

证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。

七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。

1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。

八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。

求级数的和。

∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。

二．。

3=a 三．是紧集。

四．一致收敛。

五．43。

六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。

第二学期数学分析II试题与答案

一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C dt t f xa+⎰（）.2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （）.3. 若()⎰+∞adx x f 绝对收敛，()⎰+∞adx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-adx x g x f ][必然条件收敛（）. 4. 若()⎰+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1n n f 收敛（）5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（）.6. 若数项级数∑∞=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰ax dx x f 在[]b a ,上（）A.不连续B. 连续C.可微D.不能确定2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（）A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ；C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=bab adx x g dx x f ；D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu 一定收敛；B. 若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u 一定收敛；C. 若1,1<>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；D. 若1,1>>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散；5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（） A. ∑nnxa 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑nnxa 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑nn xa 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D.∑nnxa 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分）1. ()()()n n n n n n n +++∞→Λ211lim2. ()⎰dx x x 2cos sin ln四. 判断敛散性（每小题5分，共15分）1.dx xx x ⎰∞+++-021132.∑∞=1!n nnn3.()nnn nn21211+-∑∞=五. 判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n Λ2. (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

数学分析期末考试题真题含答案

数学分析期末考试题真题含答案一、填空题（每小题2分，共10分）.________dx x)lnx (f ,)(.12=+=⎰⎰则若c x dx x f .________)x (F ,)(.21cos 2='=⎰-则若dt ex F x t=+-⎰-dx x x x )cos 21(.3112 . .______.41013时收敛满足条件当广义积分p xdxp ⎰-._______u lim )u 12u 1.51nn=+-∞→∞=∑n n n 收敛，则（若二、单选题（每小题2分，共10分）的一个原函数是则的导函数是若)(,cos )(.1x f x x f （）（A ）x sin 1+; （B ）x sin 1-; （C ）x cos 1+; （D ）x cos 1-. 2.函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是)(x f 在],[b a 上（）（A ）连续 ; （B ）有界; （C ）无间断点; (D)有原函数.3.下列反常积分收敛的是( ) (A)⎰∞+321dx x ; (B) ⎰∞+3ln dx x x ; (C) ⎰∞+3sin dx xx ; (D) ⎰∞+3ln 1dx x . 4.下列级数收敛的是( )(A)∑∞=11n ne ; (B))11ln(1∑∞=+n n ; (C) ∑∞=2ln 1n n ; (D) )1)1((21n n n n --∑∞=.5.)1ln()(x x f +=的幂级数展开式为（）（A ）]1,1(3232-∈•••+++x x x x ; （B ）]1,1(3232-∈•••-+-x x x x ; （C ）)1,1[3232-∈•••----x x x x ; （D ）)1,1[3232-∈•••+-+-x x x x . 三、计算题（每小题8分，共48分）;cos 1sin .1dx xx x ⎰++N);n (xdx tan I .2n n ∈=⎰的递推表达式求不定积分0);(,31x .3a >=-⎰∞+a x x d 求设π4.求函数项级数∑∞=1n xnx 的收敛域;5.求幂级数∑∞=+0)12(n n x n 的和函数；.x 9)(.62的幂级数展开成将函数x xx f +=四、讨论与应用题（每小题8分，共16分）1.求由轴y x y ,12-=与23x y =所围成的平面图形的面积,并求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积..)1cos1()1(.211的敛散性讨论级数pn n n ∑∞=--- 五、证明题（每小题8分，共16分）（从以下三题可任选两道题做）1.设)(x f 在[0,1] 连续,试证⎰⎰=πππ00)(sin )2/()(sin dx x f dx x xf .2.设函数序列)}({x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)(x f ,且)(x g 在区间],[b a 上有界,证明: 函数序列)}()({x g x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)()(x g x f .3.证明若∑∞=12n nx收敛,则∑∞=-11n n nx 发散. 答案一．1.c x +2ln ; 2. x e x sin cos 2-; 3. 1sin 4; 4.32<p ; 5. 1.二．１．D ２．B ３．A ４．D ５．B. 三．１．解：原式dx xdx x x⎰⎰+=2tan 2cos 22 (2分)dx xdx x xd ⎰⎰+=2tan )2(tan （5分）Cx x dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan . （8分）2．解：dx x x I n n )1(sec tan 22-=⎰- (2分)⎰---=21)(tan tan n n I x xd （4分）),4,3,2(tan 1121 =--=--n I x n n n . （6分）其中.cos ln ,10C x I C x I+-=+= （8分）3．解：令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=，当+∞→a x :时，+∞→-1:a t (2分)故原式⎰∞+-+=1212a dt t （4分）31arctan 2arctan 21ππ=--==∞+-a t a . （6分）从而，4=a （8分）４．解：由∑∑∞=∞==111n x n x n x n x. （2分）知，当1>x时, ∑∞=11n x n收敛,因此∑∞=1n xnx 也收敛；（4分）当1≤x时,∑∞=11n x n 发散,因此∑∞=1n xnx 也发散(0≠x )；（6分）当0=x 时,原级数收敛；故原幂级数的收敛域为0=x 及),1(+∞. （8分）5．解：.)12(lim x x n n n n =+∞→;,1x 级数收敛时当<;)12n (,1x 0n 发散原级数化为时当∑∞=+=;)12n ()1(,1x 0n n 发散原级数化为时当∑∞=+--=故原幂级数的收敛域为)1,1(+-. （4分）)1x 1()x 1(x 1x 11)x 1(2x x 11)x 1x (2x x 11)x 2x(x 11)dx nx (2x x 2nx x )12n ()x (s 221n n 1n x 01-n 0n nn n 0n n <<--+=-+-=-+'-=-+'=-+'=+=+=∑∑⎰∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=令 . （8分）6．解：nn n x x x x x f 202)3()1(91)3(191)(∑∞=-=+= （4分）)1(21203)1(++∞=∑-=n n n nx （6分）).3,3(,9)1(121--=-∞=∑nn n nx （8分）五．１．解：1>联立可解得与由223x y x 1y =-= 1/2x =故所求图形的面积为31)34(]3)1[(2/1032/1022=-=--=⎰x x dx x x S （4分）2>所求旋转体的体积为dx x dx x V 222/102/1022)3()1(⎰⎰--=ππ （5分）ππ12031)5832(2/1053=--=x x x . （8分）２．解．2pp n n 121~n 1cos1u -=由于.,n 121,21p 2p1n 故原级数绝对收敛收敛时当∑∞=> （4分） .,n 121)1(,n 121,21p 2p1n 1n 2p 1n 故条件收敛莱布尼茨交错级数条件满足而级数发散时当∑∑∞=-∞=-≤ 故原级数在21p ≤时条件收敛. （8分）六．１．证明：则令,x t -=π （2分）⎰⎰-=πππ00)sin ()t ()sin (x dt t f dx x f （4分）⎰⎰-=πππ00xf(sinx)dx )sin (dx x f （6分） ⎰⎰=πππ00)sin ()2/()sin (x dx x f dx x f 故. （8分）２．证明：因为)(x g 在闭区间],[b a 上有界.不放设],[,)(b a x M x g ∈∀≤ （2分）又函数序列)}({x f n 在闭区间],[b a 上一致收敛，故对0)(,0>∃>∀εεN 当N n >时，对],[b a x ∈∀，都有Mx f x f n ε<-)()( （6分）于是当N n >时，对],[b a x ∈∀，都有ε<-)()()()(x g x f x g x f n 函数序列)}()({x g x f n 在闭区间],[b a 上一致收敛)()(x g x f . （8分）3．证明：由于)1(2122n x n x n n +≤ （4分），又因为∑∑∑∞=∞=∞=+=+12122121)1(n n n n n nx n x 收敛，故∑∞=12n nn x 收敛，从而，∑∞=1n n n x 绝对收敛. （6分）.,11故原级数发散发散而∑∞=n n（8分）一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知)(x f 为x 2sin 的原函数，且21)0(=f ，则⎰=dx x f )( 。

数学分析II(山东联盟)智慧树知到期末考试章节课后题库2024年齐鲁师范学院

数学分析II（山东联盟）智慧树知到期末考试答案章节题库2024年齐鲁师范学院1.答案:02.答案:3.答案:发散4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:充分不必要9.答案:条件收敛10.答案:收敛11.答案:收敛12.答案:013.答案:14.答案:收敛15.答案:116.答案:117.答案:18.答案:19.答案:20.答案:充要21.答案:22.答案:单调减少且小于零23.答案:1224.答案:25.答案:26.答案:27.答案:28.答案:0 29.答案:30.答案:31.答案:收敛32.答案:33.答案:34.答案:收敛35.答案: 36.答案:37.答案:38.答案:条件收敛39.答案:必要非充分40.下列数项级数中发散的是（）；答案:41.答案:42.答案:绝对收敛43.答案:44.答案:45.答案:46.答案:247.答案:收敛48.答案: 49.答案:50.答案:收敛51.答案:52.答案: 53.答案:54.答案:55.答案:56.答案:057.答案:58.答案:发散59.答案:60.答案:61.答案:262.答案:有关63.答案:必要非充分64.答案:365.答案:发散66.答案: 67.答案: 68.答案: 69.答案: 70.答案:71.答案:2 72.答案:073.答案:74.答案:可能收敛也可能发散75.答案:76.答案:收敛77.答案:78.答案:79.答案:80.答案:收敛81.答案:82.答案:必要非充分83.答案:发散84.答案:85.答案:错86.答案:错87.答案:错88.答案:对89.答案:对90.答案:错91.答案:对92.答案:错93.答案:对94.孤立点一定是界点；（）答案:对95.任给一个函数，都可以写出它的傅里叶展开式。

（）答案:错96.答案:对97.答案:对98.答案:对99.答案:对100.答案:错101.答案:对102.设 .w68205758251s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758251s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758251s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758251s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } f 在点 .w68205758236s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758236s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758236s .font0 { font-size: 262px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758236s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758236s .font2 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 0 x 具有任意阶导数，那么 .w68205758217s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758217s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758217s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758217s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } f 在区间 .w68205758201s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758201s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758201s .font0 { font-size: 473px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758201s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758201s .font2 { font-size: 373px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758201s .font3 { font-size: 262px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758201s .font4 { font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758201s .font5 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) r x r x + - 0 0 , 内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式 .w68205758185s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758185s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758185s .pen1 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 16; stroke-linejoin: round; } .w68205758185s .font0 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758185s .font1 { font-size: 373px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758185s .font2 { font-size: 262px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758185s .font3 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } r x x < - 0 的 .w68205758230s .brush0 { fill: rgb(255,255,255); } .w68205758230s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758230s .font0 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758230s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } x ，有 .w68205758212s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758212s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758212s .font0 { font-size: 473px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758212s .font1 { font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758212s .font2 { font-size:373px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758212s .font3 { font-size: 242px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758212s .font4 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758212s .font5 { font-style: italic; font-size: 262px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758212s .font6 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) 0 lim = ¥ ® x R n n ，这里 .w68205758196s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758196s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758196s .font0 { font-size: 473px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758196s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758196s .font2 { font-style: italic; font-size: 262px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758196s .font3 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) x R n 是 .w68205758375s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758375s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758375s .font0 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758375s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } f 在 .w68205758359s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758359s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758359s .font0 { font-size: 262px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758359s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758359s .font2 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 0 x 的泰勒公式余项。