全国高中数学联赛湖北省预赛(高二)试题答案

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高二年级）

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的

和为n S ，则=100S 89 ．

2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为167

15．

3．设100

为 98 ．

4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 327 ．

5．若z y x ,,均为正实数，且12

22=++z y x ，则xyz z S 2)1(2

+=的最小值为 223+．

6．设椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=θcos ||MI 32-．

7．对于一切]21

,2[-∈x ，不等式012

3≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为110-≤≤-a ．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知数列}{n a 中，4

1,121==a a ，且 ),4,3,2()1(1Λ=--=+n a n a n a n n

n ．

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）求证：对一切*N n ∈，有6

712<∑=n k k a

． 解 （1）由已知，对2≥n 有 1

1)1()1(1

1---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n ，得 )

1(1)1(111---=+n n a n na n n ， 即 )111()1(111n

n a n na n n ---=--+， ……………………4分 于是，)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即 2),1

11(1)1(12≥---=--n n a a n n ， 所以

123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ． 又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=

． ……………………8分 （2）当2≥k ，有

)131431(31)13)(43(1)

23(122---=--<-=k k k k k a k ，………………12分 所以2≥n 时，有

⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a n

k k n k k Λ .6

761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n 又1=n 时，.6

7121<=a

故对一切*N n ∈，有

6

712<∑=n k k a ． ……………………16分 10．设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值． 解 )10(3)13(22--++=x x x P ．

所以，当10=x 时，2

131=P 是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数x 满足要求．

（1）当10>x 时，有22)13(++

又03132)3(222>++=+-x x x x P ，所以22)3(x x P +>，

从而2222)13()3(++<<+x x P x x ．

又Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数． ……………………10分

（2）当10x x P ．令Z y y P ∈=,2，

则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ，

所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ，

即 01|13|2)10(32≥+++---x x x ．

解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．

综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10. ……………………20分 11．已知直线x y =与椭圆C ：111

162

2=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．

（1）用α表示四边形MANB 的面积；

（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．

解 （1）直线MN 的倾斜角为α，记θ=∠MFO ，则πθα=+，

θ

α2222

2222cos 2cos 2||c a ab c a ab MN -=-=． 而AB 与MN 所成的角为θπ

+4，则四边形MANB 面积