进才中学2006―2007学年第一学期期终考试(魏明志版)

二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）13．若b a >，则下列不等式中一定不成立的是 （ ） （A ）1<ba； （B ） ab b a 2>+； （C ） nnb a < ()*N n ∈ ； （D ） ()02<-b a c ；14．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ） （A ） x y =； （B ） 3x y -= ；（C ） x y = ； （D ） xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 ；15．给出下列命题：①函数0x y =与1=y 表示同一个函数；②函数3x y = (]1,1-∈x 是奇函数；③若偶函数()x f y =且在()0,∞-上是增函数，则函数()x f y =在()+∞,0上是减函数；其中正确命题的个数有 （ ） （A ） 0个 ； （B ）1个 ； （C ） 2个 ； （D ） 3个 ；16．对于“函数()3212++-=x x x f 是否存在最值的问题”，你认为以下四种说法中正确的是 （ ） （A ）有最大值也有最小值； （B ）无最大值也无最小值； （C ）有最大值而无最小值； （D ）无最大值而有最小值； 三、解答题17．（满分8分）设幂函数mx x f =)(（Q m ∈）的图像经过点()2,2。

（1）求m 的值； （2）求函数)(1)(x f x f y +=的最小值。

解：（1）（2）18．（满分8分）上海是我国最早跨入老年社会的城市，而且人口老龄化速度非常快。

据统计资料显示：浦东新区1995年末老年人口有41.17万人，到2005年末老年人口达82.34万人，设老年人口的年平均增长率为a ，从1995年末起经过x 年的老年人口数为)(x f 。

（即)0(f 表示1995年末的老年人口数、)1(f 表示1996年末的老年人口数） （1）求年平均增长率a 的值；并写出函数)(x f 的解析式；（2）预算浦东新区到2010年末老年人口数。

（精确到01.0万人） 解：（1）（2）19．（满分10分）（1）利用定义证明：函数x x x f 3)(3-=在]1,0[上单调递减，在),1[∞+上单调递增； （2）设0x 是方程10033=-x x 的正实数解，利用（1）的结论，求证：540<<x 。

证明：（1）（2）20．（满分12分）已知)(x f 是R 上的一个偶函数，)(x g 是R 上的一个奇函数，且满足()()x a x g x f +=（1,0≠>a a ）。

（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设45)1(=f ，求a 与)2(f 的值；（3）设m x f =)(0，m x f =)2(0，求0x 与m 的值。

解：（1）（2）（3） 21．（满分14分）（1）设一次函数)(x f 满足3)2(,2)3(==f f ，求)5(f 的值； （2）若函数)(x f 的定义域为],[b a ，值域为],[b a （b a <），则称函数)(x f 是],[b a 上的“方正”函数。

①设2321)(2+-=x x x g 是],[b a 上的“方正”函数，求常数b a ,的值。

②问是否存在常数b a ,（2->a ），使函数21)(+=x x h 是区间],[b a 上的“方正”函数？若存在，求出b a ,的值；不存在，说明理由。

解：（1）（2）① ②浦东新区2006——2007学年第一学期期末高一数学参考答案 一．填空题1．}2{； 2．必要非充分； 3．}11|{<<-x x ； 4．),1()0,(+∞-∞ ；5．若3=x 或2=x 则0652=+-x x ； 6．1-； 7．161-； 8．2||+=x y ； 9．4； 10．01<<-a ； 11．1≤x ； 12．0；二．选择题13．D ； 14．B ； 15．B ； 16．B ； 三．解答题 17．（满分8分）解：（1）由题意，将点()2,2代入m x x f =)(得2)2(=m ，所以2=m ……（4分）（2）由（1）知，2)(x x f =，于是221xx y +=又2122≥+xx （当且仅当12=x 时取等号），即当1±=x 时，函数221xx y +=取得最小值为2。

……（8分）18．（满分8分）解：（1）依题意得82.34)1(41.1710=+⋅b 122)1(1010-=⇒=+⇒b b ， 所以xb x f )1(41.17)(+⋅=即函数)(,241.17)(10N x x f x ∈⋅=；……（5分） （2）由)(,241.17)(10N x x f x ∈⋅=，即2010年末老年人口数24.492241.17241.17)15(1015≈⋅=⋅=f ；所以浦东新区到2010年末老年人口数约24.49万人。

……………………（8分） 19．（满分10分） 证明：（1）任取),0[,21+∞∈x x 且21x x < 于是)3()3()()(23213121x x x x x f x f ---=-)3)((3322212121213231-++-=+--=x x x x x x x x x x因210x x <≤，即021<-x x当]1,0[,21∈x x 时，⇒<-++03222121x x x x 0)()(21>-x f x f 即)()(21x f x f >； 当),1[,21+∞∈x x 时，⇒>-++03222121x x x x 0)()(21<-x f x f 即)()(21x f x f <； 由单调性定义得x x x f 3)(3-=在]1,0[上单调减，在),1[∞+上单调增；……（5分）（2）显然x x x f 3)(3-=，当30≤≤x 时1000)(<≤x f ，所以方程10033=-x x 的正实数解30>x ………………………………（7分）又x x x f 3)(3-=在),1[∞+上的增函数，且100)(0=x f 又52)4(=f ，110)5(=f)5()()4(0f x f f <<⇒即540<<x 。

…………………………………（10分）20．（满分12分）解：（1）由题设知()()xa x g x f +=（1,0≠>a a ，R x ∈）……①以x -代x 得()()xa x g x f -+-=-又)()(x f x f =-，)()(x g x g -=-所以()()x a x g x f -+-=……②由①+②得2)(xx a a x f -+=（1,0≠>a a ，R x ∈）；…………（4分）（2）由2452)1(1=⇒=+=-a a a f 或21=a 8172)2(22=+=⇒-a a f ；……（8分） （3）=)(0x f )2(0x f 012202200000=⇒=⇒⇒+=+⇒--x a a a a a x x x x x …（12分） 解法2设m x f =)(0，于是12)2(20-=m x f ，解122-=m m 得1=m 或21-=m （舍去）012000=⇒=+-x a a x x ；综上1=m ，00=x ……………………………（12分） 解法3由=)(0x f ⇒)2(0x f 2)(222000000-+=+=+---xx x x x x a a a a a a ，所以200=+-x x a a00=⇒x ；1)0()(0===f x f m ……………………（12分）解法42)(xx a a x f -+=在),0[+∞上单调增函数当00≠x 时，)2()(|)2(||)(|||2||000000x f x f x f x f x x <⇒<⇒<当00=x 时，)2()(00x f x f =，所以00=x ，1)0()(0===f x f m …………（12分） 21．（满分14分） 解：（1）设)0()(≠+=m n mx x f ，又a b f b a f ==)(,)(， 所以b a n m a n mb b n ma +=-=⇒=+=+,1,即0)()(=+⇒++-=b a f b a x x f ；……………………（4分）（2）①由11)1(21)(2≥+-=x x g 知)(x g 在],[b a 上单调增函数且1≥a ， 所以值域为)](),([b g a g ，由已知2321)(2+-=x x x g 是],1[b 上的“方正”函数，所以],[)](),([b a b g a g =则a a g =)(，b b g =)(，即b a ,是方程x x g =)(的两个根（b a <≤1）解方程x x x =+-23212得1=x 或3=x ，所以3,1==b a ………………（9分）②假设存在常数b a ,，使函数21)(+=x x h 是区间],[b a 上的“方正”函数。

因2->a ，显然21)(+=x x h 在区间],[b a 上是单调减函数，值域为)](),([a h b h ],[b a =，即b a a b b a a b b a a b b a a b h b a h =⇒+=+⎩⎨⎧⇒=+=+⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+=+⎩⎨⎧⇒==)2()2(1)2(1)2(2121)()(与b a <矛盾，故不存在常数b a ,，使函数21)(+=x x h 是区间],[b a 上的“方正”函数。

……（14分）。